2020-2021年人教版高二年级上册册数学期中数学试卷（文科）含答案

2020-2021学年高二（上）期中数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的））

1.若点4（1,2）,圆的一般方程为/+y2+2x—4y+l=0,则点乂与圆位置关系（）

A.圆外B.圆内且不是圆心

C.圆上D.圆心

2.直线x+2y—5=0的纵截距是（）

5__5

A.5B.-5C.-2D.2

3.已知数列｛%｝满足的=1,an+1=an+6,则a$=（）

A.25B.30C.32D.64

4.已知m,n是不重合直线，a,/?,y是不重合平面,则下列说法：

①若aly、/?1y.则戊〃0；②m1a、n1a,则wi〃n：③若a〃/?、y〃0，则

y〃a；④若a-LS、m1/S,则m〃a.

正确的是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

%+2y>2

5.设变量％,y满足约束条件2%+yW4，则目标函数z=3x-y的最大值是（）

Ax—y>-1

A.6B.3C.--D.l

6.如图，网格纸上小正方形的边长为l,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几

何体的体积为（）

A.36B.72C.108D.216

12

一■+--

7.若点人（一2,—1）在直线mx+ny+3=0上，其中m,几均为正数，则mn的最小

值为（）

1_8

A.2B.3C.6D.3

8.在三棱锥4-BCD中，4BJ"平面BCD,AB=4,AD=2岳,BC=CD=V2,则三

棱锥4-BCD的外接球表面积是（）

A.2V57TB.V5TTC.57rD.207r

9.已知圆。1：（x+l）2+（y—3）2=9,圆O2：M+y2—4x+2y-ll=0,则这两个

圆的公共弦长为（）

AA—24

5

10.在AABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知a=l,2b-百c=

2acosC,sinC==，则△ABC的面积为()

A.—B.—C.更或立D.V5或立

24242

11.已知直线Z：(2k+l)x+(k+l)y+l=0(/ceR)与圆(x-l)z+(y-2尸=25交于

A,B两点，则弦长|4B|的取值范围是()

A.[4,10]B.[3,5]C.[8,10]D.[6,10]

12.四棱锥S-4BCD中，底面是边长为27/的菱形4BCD,ABAD=60°,S4JL平面

ABCD,且$4=2我，E是边BC的中点，动点P在四棱锥S-4BCD表面上运动，并且

总保持PE〃平面S4C,则动点P的轨迹周长为（）

A.3V2W6B.3芯eV5TD.2y

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上））

试卷第2页，总13页

2

13.已知一个圆柱的表面积等于侧面积的2,且其轴截面的周长为16,则该圆柱的体

积为.

14.已知△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,b=4,c=V33,则

BC边上的高为.

15.如图，在四面体力BCD中，AB=CD,M、N分别是BC、力。的中点，若4B与CD所

成的角的大小为30。，则MN和CD所成的角的大小为.

，_2__L2

aaa

16.数列｛册｝满足n+2=n+ln,%=1,a5=9,则由00=

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤））

17.已知直线4：x+my+6=0,l2：（m—2）x+3y+2m=0,求：

（1）若A_L，2，求m的值；

（2）若。〃L求m的值.

18.如图：在三棱柱ABC-中，已知1底面ABC,AC1BC.四边形8名的。

为正方形,设的中点为D,aCnBCi=E.求证

(1)DE〃平面A41cle

(2)BG1平面ABiC.

19.已知等差数列｛an｝中,d>0,a2—3,且由+1,a3-1,+l成等比数列.

(1)求｛an｝的通项公式；

]

(2)已知%=Rn"2什1,出“｝前”项和为无,若9Sn<-n+8,求n的最大值.

返

20.在三角形4BC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC+3csinB.

(1)求B；

(2)若AD为4B4C的平分线，且2BC=DC=4,求c.

21.如图所示，三棱柱48。-418停1中，侧面BBiGC是边长为2的正方形，4CG4是

菱形，4cA4[=60°,且平面B8[CiC垂直平面4CG4,M为中点.

(1)求证：平面MBC1平面为B1C1；

(2)求点G到平面M&C的距离.

22.在平面直角坐标系中，已知圆心在工轴上的圆C经过点4(3,0),且被y轴截得弦长为

2J5,经过坐标原点。的直线I与圆C交于M,N两点.

(1)求出圆C的标准方程；

(2)若OM+20N=0,求相应直线/的方程；

试卷第4页，总13页

(3)若点P(—3,0),分别记直线PM、直线PN的斜率为七，七，求自+的的值.

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.

【答案】

C

【考点】

圆的一般方程

点与圆的位置关系

【解析】

根据题意，将点4的坐标代入圆的方程，结合点与圆的位置关系，分析的答案.

2.

【答案】

D

【考点】

直线的一般式方程与直线的性质

【解析】

令x=0,求得的y值即为纵截距.

3.

【答案】

A

【考点】

等差数列的通项公式

【解析】

推导出数列｛｝是首项为公差为的等差数列，由此能求出

an1,6a$.

4.

【答案】

B

【考点】

空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与直线之间的位置关系

【解析】

对于①，a与夕相交或平行；对于②，由线面垂直的性质定理得m〃n；对于③，由

面面平行的判定定理得了〃/对于④，771〃。或771<=戊.

5.

【答案】

A

【考点】

简单线性规划

【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论.

6.

【答案】

A

试卷第6页，总13页

【考点】

由三视图求体积

【解析】

判断几何体的形状，利用三视图的数据求几何体的体积即可.

7.

【答案】

D

【考点】

基本不等式及其应用

【解析】

先由题设条件推出n的关系式，再利用基本不等式求得结果即可.

8.

【答案】

D

【考点】

球内接多面体

球的表面积和体积

【解析】

首先利用线面的关系求初秋的外接球的半径，进一步求出球的表面积.

9.

【答案】

A

【考点】

直线与圆的位置关系

【解析】

对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，再由点到直线的距离公式

求出一个圆的圆心到该弦的距离，用弦心距、弦的一半，半径建立的直角三角形求出

弦的一半，即得其长.

10.

【答案】

C

【考点】

三角形的面积公式

正弦定理

【解析】

2b—V3c=2acosC,利用正弦定理，求出4；sinC=苧,可得C=60。或120。，分类讨

论，可得三角形面积.

11.

【答案】

D

【考点】

直线与圆的位置关系

【解析】

通过直线［转化为直线系，求出直线恒过的定点，说明直线/被圆C截得的弦长最小时，

圆心与定点连线与直线I垂直，由勾股定理即可得到最短弦长.

12.

【答案】

【考点】

棱锥的结构特征

轨迹方程

【解析】

分别取48、SB的中点尸、G,连接EF、FG和EG,证明平面EFG〃平面SAC,然后由

已知求解^EFG的周长即可.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13.

【答案】

167r

【考点】

棱柱、棱锥、棱台的体积

旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

【解析】

由题意画出图形，设底面半径为r,高为九，由已知列关于r与％的方程组，求得r与九的

值，代入圆柱体积公式得答案.

14.

【答案】

啦

3

【考点】

余弦定理

【解析】

先利用余弦定理求得cosC,再由平方关系求得sinC,进而求得△ABC的面积，最后通过

等面积法求得BC边上的高.

15.

【答案】

15°或75。

【考点】

异面直线及其所成的角

【解析】

取B0中点。，连结M。、NO,推导出4M0N是4B与CO所成的角（或4B与CD所成的角

的补角），4NM。是MN和CD所成的角，且M0=N0,由AB与CD所成的角的大小为30。,

得NMON=30。或4MON=150。，由此能求出MN和CD所成的角的大小.

16.

【答案】

1

199

【考点】

数列递推式

试卷第8页，总13页

【解析】

直接利用等差数列的定义和通项公式的应用求出结果.

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.

【答案】

m=0时，两条直线不垂直，舍去.

m#0时，丫Zj1/2,•--mx3——1,解得m=2.

_1

综上可得：m=2.

由7n（?n—2）—3=0,解得：m=3或一1.

经过验证m=3时两条直线重合，舍去.

771=-1时，/i//l2.

【考点】

直线的一般式方程与直线的平行关系

直线的一般式方程与直线的垂直关系

【解析】

（1）对HI分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出.

（2）由—2）-3=0,解得：m=3或—1.

经过验证m=3时两条直线重合，舍去.

18.

【答案】

证明：（1）因为四边形881cle为正方形，B]CCBCi=E,所以E为4C的中点,

又。为4尺的中点，因此DE〃/1C.

又因为DE仁平面441QC,ACu平面441C1C,

（2）因为棱柱ABC-AiBiG是三棱柱，底面ABC

所以CGJL平面ABC.因为ACU平面ABC,所以4CJ.CG.

又因为CCiu平面BCCiBi，BCu平面BCC[Bi，FCnCQ=C,

所以AC1平面又因为BG<=平面BCCiBi，所以当。14。.

因为BC=CG，所以矩形BCCiB1是正方形，因此BQlBiC.

因为AC,BiCu平面&AC,ACC\B^C=C,所以8cl_L平面ABC

【考点】

直线与平面平行的判定

直线与平面垂直的判定

【解析】

(1)由正方形性质得E为4C的中点，从而DE〃AC,由此能证明DE〃平面A&GC.

(2)由线面垂直得ZCJLCG，由4CJ.BC,得ACJ•平面BCG%,由此能证明BCi1平

面4B1C.

19.

【答案】

因为％+i,a3-i,a4+i成等比数列，所以(打一1)-(a]+1)(a4+l)

因为即=。2-d=3-d,a3=a2+d=3+d,a4=a2+2d=34-2d,

所以(2+d)2=(4—d)(4+2d),所以d2=4,d=2.

所以an=Q2+(九-2)d=3+2(n—2)—2n—1

因为an=2n-l,所以a九+1=2几+1,

,=1,1/1_

所以n-(2n-l)(2n+l)~2k2n-l2n+l,

1111、1八1、n

2n-32n-l2n-l2n+l72u2n+J2n+l

即2n+l,整理可得：n2-3n-4<0,

所以一l<n<4,所以n的最大值为3.

【考点】

等差数列的通项公式

数列的求和

【解析】

(1)由%+1,。3-1,。4+1成等比数列，可得

2

(ayl)-(ai+l)(a4+l),再利用等差数列的通项公式代入即可得出公

差，进而得出即.

(2)利用"裂项求和"方法可得治,再利用不等式的解法即可得出n的最大值.

20.

【答案】

a=bcosC+-V^3-csi.nB

△48C中，由O,

si•nA=si.nBcosC-iV^5-si.nC.sinB

所以3

又因为sin4=sin(8+C)=sinBcosC+cosBsinC,

cosBsinC=osinCsinB

所以3

返

因为sinC>0,所以cosB=3sinB,

试卷第10页，总13页

解tanB=J'§；

K

又Be（o,TT）,所以B=3.

△BAD中，由正弦定理得：sinZBADsinZBDA,

CD二AC

△CAD中，由正弦定理得：sinZCADsinZCDA；

因为sinZ_BD4=sinNfD4,sinZ-BAD=s\nZ.CAD,

BD=AB二1

所以CDAC2；

在△ABC中，令则48=2x,

X2+36-4x2_1

由余弦定理可得：2X6X=I,

解得：x=Vl3-l或x=_W3-i（不合题意，舍去）；

所以cWIE-i.

【考点】

余弦定理

正弦定理

【解析】

(1)利用正弦定理和三角形内角和定理，即可求出tanB和B的值.

(2)利用正弦定理和余弦定理，列方程求出4B的值.

【答案】

证明：正方形BBiGC,；.BiGICG，

,.­面BBCC上面入〜出，面BBCCC面4CCi4i=CCi，B©u面88心。,

BQ面4CC14，

又CMu面4CGa,当Ci1CM,

./CAAi=60°

△CC14为等边三角形，

•••M为41Q中点，CM14C1，

又AiGnB】G=G,且AiG，BiGu面4]BiG，

.1.CM1面4BiCi，

又CMu面MBC,

平面MBC1平面4BiG.

由（1）可知,B1G，面ACC14,

Bi到平面MCG的距离为BiG=2,

由（1）知，。“，面4181（：]1,

1.'MB】u面&B1G，,CM1MBj,

在AMCCi中，CM=CC1-sin60°=V3

在△MB]C中，MB[=频守=风萨砺汽强

c1叵c1返

2CM・MB1=2,△""[=2cM-MCi=2,

设点G到平面MB1C的距离为h,

V=V

C1-MB1CB1-MCC

SS

...'3^B1C,h=JAKCC1.BiCi)

、.2脏

..h-.

2版

故点G到平面MB】C的距离为5.

【考点】

点、线、面间的距离计算

平面与平面垂直

【解析】

(1)由面BBiGCl面ACC1人,推出当6_L面4CCp4i，从而有当口_LCM；由菱形的

性质可推出CM_L4iG，进而有CM，面为8传1，故得证；

VcrMB[C=％*(：.

(2)由等体积法1111,即可得解.

22.

【答案】

由已知圆C的圆心在x轴上，所以设圆C