2022年浙江省高考数学真题（浙江卷）（学生版+解析版）

2022年浙江省高考数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（4分）设集合A={1,2},8={2,4,6）,则AUB=（）

A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.（1,2,4,6）

2.（4分）已知a,旄R,a+3i=（b+i）i（i为虚数单位），则（）

A.a=\,b=-3B.a=-1,h=3C.a=-1,h=-3D.a=l，b=3

x—2N0，

2x+y-7<0,则z=3x+4y的最大值是（）

{x-y-2<0,

A.20B.18C.13D.6

4.（4分）设x€R,则“sinx=l”是“c（m=0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：5?）是（）

a1a

2

*1*2+1**1*2->i14

正视图恻视图

©

俯视图

2216

A.22TlB.8nC.—nD.—Ti

33

6.（4分）为了得到函数y=2sin3x的图象,只要把函数）=2sin（3x+1）图象上所有的点

（）

TC

A.向左平移g个单位长度

71

B.向右平移g个单位长度

71

C.向左平移二个单位长度

15

71

D.向右平移二个单位长度

15

7.（4分）己知2a=5,log83=&,则4"-3b=（）

255

A.25B.5C.—D.-

93

8.（4分）如图，已知正三棱柱4BC-A18C”AC=A4i，E,尸分别是棱BC,4。上的点.记

EF与A4i所成的角为a,EF与平面ABC所成的角为0,二面角E-BC-A的平面角为

Y，则（）

A.aW0WyB.BWaWyC.BWyWaD.aWyWp

9.（4分）已知a,beR,若对任意x€R,a\x-b\+\x-4|-|2x-5|20,则()

A.aWl,623B.aWl,bW3C.b23D.心1,/W3

2

10.（4分）已知数列｛斯｝满足ai=l,4”+1=斯一1a„(〃€N*),贝lj()

A.2<lOOaioo<|5

B.-<lOOtzioo<3

2

77

C.3<1OO6/IOO<2D.5VlOO〃io()V4

二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分,共36分。

11.（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方

法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就

是5=l1[c2a2-（^y^）2],其中a,b,c是三角形的三边，S是三角形的面积.设

某三角形的三边a=VLb=W,c=2,则该三角形的面积S=.

12.（6分）已知多项式（x+2）（x-1）4=ao+aix+a2XZ+ci3Xi+a4x4+a5^,则ai=,

Ql+〃2+〃3+〃4+〃5=.

13.（6分）若3sina-sin0=VT^，a+0=货贝Usina=,cos2p=.

-%?+2,%W1,i

14.（6分）已知函数f（x）=）i则/（/（一））=_______；若当x£[a,b]

x+——Lx>l,2

x

时，W3,则/?-〃的最大值是.

15.（6分）现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取

3张，记所抽取卡片上数字的最小值为H则尸（8=2）=,E（P=.

x2y2b

16.（4分）已知双曲线"一三=1（a>0,b>0）的左焦点为凡过尸且斜率为一的直线

交双曲线于点A（xi，yi）,交双曲线的渐近线于点B（X2,”）且XIV0VX2.若|尸8|=3|杉1|,

则双曲线的离心率是.

17.（4分）设点P在单位圆的内接正八边形A1A2…A8的边A1A2上,则成12+PQ+…+PAs

的取值范围是.

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

18.（14分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知4“=反，cosC=条

（I）求sinA的值；

（II）若6=11,求△ABC的面积.

19.（15分）如图，已知A8CD和CDEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC

=3,EF=\,ZBAD=ZCDE=60<,,二面角尸-DC-8的平面角为60°.设M,N分

别为AE,BC的中点.

（I）证明：FN±AD-,

（II）求直线与平面AOE所成角的正弦值.

20.（15分）已知等差数列｛即｝的首项m=-1,公差d>l.记（%｝的前〃项和为S”（〃eN*）.

（I）若S4-242a3+6=0,求Sn;

（II）若对于每个〃CN*,存在实数Cn，使斯+Cn,即+l+4cn,即+2+155成等比数列,求d

的取值范围.

无1

21.（15分）如图，已知椭圆石+）?=1.设A,B是椭圆上异于尸（0,1）的两点，且点。

（0,在线段AB上，直线以，P8分别交直线），=一方+3于C,。两点.

（I）求点P到椭圆上点的距离的最大值；

（II）求|CC|的最小值.

22.（15分）设函数/（X）=摄+而（40）.

（【）求/（x）的单调区间；

（II）已知m/?GR,曲线y=/（x）上不同的三点（xi,f（xi））,（田，/（X2）），（X3，f

（X3））处的切线都经过点（小b）,证明：

1a

（i）若a>e,贝!jOV〃-/（a）<亍（——1）；

/e

2e—Q1126—CL

（ii）若0<a<e,xiVx2Vx3，则一+—7V—+一〈———

2a

e6ex36。/

（注：e=2.71828…是自然对数的底数）

2022年浙江省高考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的。

1.（4分）设集合4={1,2],8={2,4,6},则AUB=（）

A.{2}B.{1,2}C.{2,4,6}D.{1,2,4,6）

【解答】解：2},B=[2,4,6）,

；.AU8={1,2,4,6},

故选：D.

2.（4分）已知a,b&R,a+3i=（b+i）i（i为虚数单位），则（）

A.a=\,b=-3B.a=-1,h=3C.a=-1,b=-3D.a=lfb=3

【解答】解：・・・〃+3i=（b+力i=-1+W,a,Z?GR,

*.a=-1,6=3,

故选：B.

x—2N0f

3.（4分）若实数居y满足约束条件•2x+y-7<0,则z=3x+4），的最大值是（）

、x-y—2W0f

A.20B.18C.13D.6

x-2>0,

【解答】解：实数x,y满足约束条件,2x+y—7WO,

-y—2S0,

则不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分，

由已知可得A（2,3）,

由图可知：当直线3x+4y-z=0过点A时，z取最大值，

则z=3x+4y的最大值是3X2+4X3=18,

故选：B.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解答】解：*/sin2x+cos2x=L

①当sinx=1时，则cosx=0,/.充分性成立，

②当cosx=0时，则siar=土1,，必要性不成立，

Asinx=1是cosx=0的充分不必要条件，

故选：A.

5.（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：。机），则该几何体的体积（单位：。m3）是（）

o-----*不Q

2

*1+2->i1*-w1f1*

2216

A.22ITB.8nC.-^-71D.

【解答】解：由三视图可知几何体是上部为半球，中部是圆柱，下部是圆台,

14,71_1

所以几何体的体积为：-X—X13+TCXI2X2+2(22X7T+I2X7T+

y/22X7TXI2X7T)X2=-yll.

故选：c.

6.(4分)为了得到函数y=2sin3x的图象，只要把函数y=2sin(3x+1)图象上所有的点

()

TT

A.向左平移g个单位长度

B.向右平移g个单位长度

71

C.向左平移石个单位长度

71

D.向右平移痴个单位长度

【解答]解:把y=2sin(3x+g)图象上所有的点向右平移套各单位可得y=2sin[3(xT)

+刍=2sin3x的图象.

故选：D.

7.(4分)已知2"=5,log83=/?,则4"一36=()

255

A.25B.5C.—D.-

93

【解答】解：由2a=5,log83=b,

可得a=236=3,

则小余嘉4号

故选：C.

8.(4分)如图,已知正三棱柱4BC-正81G,AC=AA\,E,尸分别是棱BC,41cl上的点.记

EF与AAi所成的角为a,£尸与平面ABC所成的角为0,二面角b-8C-A的平面角为

A.aWBWyB.pWaWyC.GWyWaD.aWyWB

【解答】解：•正三棱柱ABC-ABC中,AC=AAi,

.♦.正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1,

如图，过尸作FG_LAC,垂足点为G,连接GE,则4A〃尸G,

：.EF与AAi所成的角为NEFG=a,且tana=吃=GE,

又GEe[O,1],.,.tanaetO,1],

与平面ABC所成的角为NFEG=0,且tan0=^=言11,+°0),

...tanB>tana,…①，

再过G点作G”_LBC,垂足点为“，连接“尸，

又易知FG,底面ABC,BCu底面ABC,

：.BCVFG,又FGCGH=G,；.8C_L平面G/7R

・・・二面角F-3C-A的平面角为NG//F=y,且tany=g^=笳，又GH€[0,1],

AtanyE[l,+°°),/.tany>tana,…②，

又GE2GH,.•・tan0〈tanY，…③，

7TIT

由①②③得lanaWlan0Wlany,又a,p,yG[0,—),y=tanr在[0,—)单调递增,

，(XW0WY，

故选：A,

9.（4分）已知〃，b£R,若对任意xER,a\x-b\+\x-4|-|2x-5|^0,则（）

A.aWl,B.aWl，Z?W3C.b23D.b&3

【解答］解：取x=4,则不等式为〃|4-例-320,显然〃W0,且SW4,

观察选项可知，只有选项。符合题意.

故选：D.

10.（4分）已知数列｛〃“｝满足。］=1,a〃+i=斯一gaj（nGN）,则（）

55

A.2<1OO6/IOO<7B.-<lOOaioo<3

/2

77

C.3<100«IOO<4D.-<lOOizioo<4

22

【解答】解：易知数列｛斯｝是单调递减数列，即+]”"=1—斜2<0,

，｛如｝为递减数列，'：ai=l,：.an<l,

,an+113\n

・・------=1——Q”>->0,

n

an34

又〃1=1>0,则斯>0,

_12、1

an~an+l一可。〃—3anan+lf

111

:.------——>

an+lan3

111123

—>—+-(n-1)=3n+?则即W*'

an3

lOOalooW100x品〈需=3；

1111111

由%+1=一不。/得/i+l=%i（l一百时），得------——=--------<.......-=~(1+

aaa3一一—3

n+ln^~nn+2

1

111111

累加可得,一三二九+二（二+一+...+——)+1,

an+l33\3n+1

11111111

<344--X(一+一++——)<34+-x(-x6+-x93)<40,

a1003、23100y3

15

.•.100aloo>100x^=^

工5

综上，-<lOOaloo<3.

故选：B.

二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每空3分，共36分。

11.（4分）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方

法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白.如果把这个方法写成公式，就

是5=^[c2a2-（^^^-y],其中a,b,c是三角形的三边，S是三角形的面积.设

某三角形的三边a=VL〃=百，c=2,则该三角形的面积5=华.

【解答]解：由S=2a2一（比哈Q）2]=1]22.（伪2_着+（呵_（、”」；二等,

故答案为：v.

4

12.(6分)已知多项式(x+2)(x-1)4=a()+a\x+a2^+ci3X^+a4X4+a5X5,贝!Jai=8

Q1+。2+〃3+。4+。5=-2.

【解答】解：(x-1)4=/-4/+67-4尤+1,

*.ai=-4+12=8；

令x=0,则a)=2,

令X=1,贝lj的+。1+〃2+。3+〃4+。5=0,

41+。2+。3+。4+。5=-2.

故答案为：8,-2.

_TT3V104

13.(6分)若3sina-sin0=VJlO,a+0=亍则sina=，cos2B=".

zID5

【解答】解：V3sina-sinp=VTo,a+0=

A3sina-cosa=VTO,

cosa=3sina—VTO,

Vsin2a+cos2a=l,

/.sin2a+Osina-V10)2=1,

於"旦.3JIGQ.3V10

解得sina=-1。，cos0=sma="，

904

cos2S=2cos190-1=2xI。。—1=耳.

3x/104

故答案为：——;

105

—x2+2/%<1/i37

14.(6分)已知函数/(x)=1则/(/(-))=；若当在伍，切时，

X+--1,%>1,2—23—

x

l^/(x)W3,则〃的最大值是3+禅.

—X2+2/%<1117

【解答】解：•・•函数f(x)=11，,\A(二)=—Z+2=五，

%+--1,%>12一4

•V(1/(7-7)4)条37

作出函数/（X）的图象如图:

由图可知，若当在口，回时，l〈f（x）W3,则b-a的最大值是2+百一（-1）=3+6.

37

故答案为：—;3+V3.

28

15.（6分）现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取

3张，记所抽取卡片上数字的最小值为《，则Pe2）=号,E⑺=三

【解答】解：根据题意可得：s的取值可为1,2,3,4,

「2o

又尸（日）=4=4,

Cy口

J.「乙।「乙X

16

P(8=2)=（2.《4+《2（4

35,

2

尸(E)=合r3

讨

r2

P(?=4)=%=1

,

C735

・・.E⑴=1x1+2x||+3x+4x

故答案为：称；—•

357

x2y2b

16.（4分）已知双曲线二一三=1（。>0,b>0）的左焦点为R过尸且斜率为一的直线

azb，4a

交双曲线于点A5,yi）,交双曲线的渐近线于点8（X2,”）且X1<O<X2.若匹B|=3照

则双曲线的离心率是”.

【解答】解：如图，过点月作44‘轴于点A',过点B作88'J_x轴于点夕，

由于B（X2，）2）且X2>0，则点3在渐近线y=\%上，不妨设m>0,

b

h\BBr\b-mb

设直线A8的倾斜角为仇则tern。=g,则舄=一,即右二广，则取夕|=4加,

4a\FB!\4a|尸B，|4a

・・[OF]=C=3〃7,

乂鼠=踹4则四|斗㈣今崎,

又鼠=霸/则四|,四|=竽,则㈤=3时竽=竽专

・••点A的坐标为（—等，器）,

25c2b2c2

~^rHZ2d8127

NJ

・・淳b2-1，a2-24-8,

.c3A/6

・・e=—=—7—.

17.（4分）设点P在单位圆的内接正八边形斗也…人的边4也上,则后/+。722+…+PAg1

的取值范围是[12+2V2,161.

【解答】解：以圆心为原点，A7A3所在直线为x轴，44所在直线为y轴，建立平面直

角坐标系，如图所示，

则Ai（0,1）,4（芋>竽）‘A3（1,0）,人式乎*—苧），As（0,-1）,4（一芋，—苧），

Ay（-1,0）,48（-竽，¥）,

设尸（x,y）,

则+…+「^2=陷I『+解2『+|弘3『+解4『+|以5『+附6『+建7『+|%8|2=8（?+/）

+8,

l+cos45°

Vcos22.5°W|OP|W1,J——-——<x294-y92<1,

2+V222

:.-----<%2+y2<1,

4

A12+2V2<8(7+/)+8WI6,

2

即PZ/+PK2+…+PAa的取值范围是[12+2或，16],

三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

Q

18.(14分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为①h,c.已知4a=遍以cosC=*

(I)求sinA的值；

(H)若〃=11,求△A8C的面积.

2TC,_________4

【解答】解：(I)因为cosC=『〉0,所以CW(0,—),且sinC=71-cos2c=己,

525

由正弦定理可得：—=三，

sinAsinC

□rt-/—••.CLSITtCCL.J54J5

即有sinA=---C--=-CsinC=二r4xb=bm；

(II)因为4a=yj5c=^a=空cVc,

71

所以AVC,故AW(0,-),

2

又因为sinA=咯，所以cosA=竽，

所以sin8=sin|n-(A+C)]=sin(A+C)=sin/lcosC+cosAsinC=；

ab

由正弦定理可得:=5V5,

sinAsinCsinB

所以〃=5V5sinA=5,

_114

所以SA4BC=2"bsinC=0x5X11x耳=22.

19.（15分）如图，已知ABCQ和CQEF都是直角梯形，AB//DC,DC//EF,AB=5,DC

=3,EF=\,NBA£>=NCDE=60°,二面角尸-£>C-8的平面角为60°.设M,N分

别为AE,8c的中点.

(I)证明：FNLAD；

(II)求直线BM与平面AOE所成角的正弦值.

【解答】证明：(/)由于COJ_C8,CDLCF,

平面4BCOC平面C£)EF=C。，CFu平面COEF,CBu平面ABC。，

所以/FCB为二面角尸-OC-B的平面角，

则/FCB=60",CDJ_平面C8F,则C£»J_7W.

又CF=凤CD-EF)=2V3,CB=痘(AB-CD)=2百，

则△BCF是等边三角形，则CBLFN,

因为。C_LFC,DCLBC,FCOBC=C,FCu平面FCB,BCu平面FCB,

所以。C_L平面FC8,因为FNu平面FCB,所以。CJ_FM

又因为。CCCB=C,DCcTffiABCD,C8u平面ABCD,

所以FN_L平面ABC£>,因为AQu平面ABCQ,故FN_L4。；

解：(II)由于尸ALL平面A8C£>,如图建系：

z

于是B(0,V3,0),4(5,V3,0),F(0,0,3),£(1,0,3),D(3,一百，0),则

A“2B3、

M(3,玄，力

T叵&TT

BM=(3,-竽，|),DA=(2,2VL0),DE=(-2,次,3),

设平面AOE的法向量%=(x,y,z),

则卜必=°,.•俨+2灯=。,令户遮，则y=-l,z=g,

(n-DE=0l-2x+V3y+3z=0

平面AOE的法向量蔡=(遮，-1,V3),

设BM与平面AOE所成角为0,

则.”回=罂

\BM\\n\I?

20.(15分)已知等差数列｛即｝的首项m=-1,公差d>L记｛劭｝的前〃项和为S”(〃eN*).

(I)若S4-242a3+6=0,求Sn；

(II)若对于每个〃eN'，存在实数Cn,使斯+Cn,〃"+l+4Cn，a”+2+15Cn成等比数列，求d

的取值范围.

【解答】解：(I)因为等差数列｛“"｝的首项G=-1,公差d>l,

.,i4(Qi+Q4)r

因为S4-2。2。3+6=0,可得----------2。2a3+6=0,即2(。1+。4)-2。2。3+6=0,

〃i+〃i+3d-(〃i+d)(〃i+2d)+3=0,即-1-l+3d-(-1+d)(-l+2d)+3=0,

整理可得：屋=3d,解得d=3,

所以s尸“0+%2/=-〃+吟阳=塔包，

即S尸型产：

(II)因为对于每个"6N*,存在实数cn，使即+Cn,如+l+4cn，斯+2+155成等比数列,

则(ai+〃d+4cn)2=[ai+(H-1)d+cn][(a1+(〃+l)d+15cn],a\=-1,

整理可得：Cn2+[(14-8〃)d+8]cn+，=0,则△=[(14-8n)-+8产-4冷0,

即(7-4/j)d+42d或(7-4”)d+4W-d,

整理可得(3-2n)”2-2或(2-n)dW-1,

当”=1时，可得d2-2或dW-1,而d>l,

所以dW-1(舍)，

所以d的范围为(1,+°°);

〃=2时，"W2或0,而">1,

所以此时(1,2J,

当”为大于2的任何整数，出熹或心二，而d>l,

ZH-□71—N

所以4三万%(舍)，”>1恒成立；

£71—3

综上所述，〃=2时，JG(1,2]；

〃为不等于2的正整数时，”的取值范围为(1,+8),都存在Cn，使即+Cn，a“+l+4Cn，

斯+2+15Cn成等比数列.

无2

21.(15分)如图，已知椭圆石+)?=1.设4,8是椭圆上异于尸(0,1)的两点，且点Q

(0,1)在线段AB上，直线％,P8分别交直线)，=一方+3于C,。两点.

(I)求点P到椭圆上点的距离的最大值；

(II)求|CD|的最小值.

【解答】解：(I)设椭圆上任意一点M(x,y),则(y-1)2=12-12/+9

-2y+\^-ll/-2y+13,yE[-1,1],

而函数z=-11/-2y+13的对称轴为y=G[-1,1],则其最大值为一11x(-否2+

1144

2x-j-jj-+13=]],

.\\PM\max=、悟=岑且，即点P到椭圆上点的距离的最大值为警i；

\111111

(II)设直线A5：y=kx+5，4(”%)，Bg，丫2)，

y=kx+5

22,消去y并整理可得，(12必+D/+12履-9=0,

(金+y2=i

9

由韦达定理可得，%1+X2=一一写一/孙=-

12r+112必+1

2

12ky+366jl6k+1

ki-xl=J(X1+&)2-4X62=2

212k2+r12k2+l12fcz+l

设C(%3，”)，D(X4，>4)，直线AP：y=——-%4-1,直线BP：y=—~~-x+1,

X1x2

上x+1

y

以及

-+3y-+3

可得“3=(2k+l)：「l'%=(2^+l)x2-r

•••由弦长公式可得印=+I右fI=竽I(2遥31-(2k盘-11=

375,416^+1._75,2532,”—芯/QCr16J44、艮

-1l=+16=-25(_)

I3^+1T,(3^+1)2-3FHI-J3k+T25+芯

号=竿，当且仅当k=«时等号成立，

6V5

...|CD|的最小值为不一.

22.(15分)设函数5(x)=提+/〃*(x>0).

(I)求/(x)的单调区间；

(II)已知a,ZJGR,曲线y=.f(x)上不同的三点(xi，f(xi)),(X2，f(X2))»(X3,f

(X3))处的切线都经过点(a，b).证明：

ia

(i)若〃>e,贝!JOV/?-/(a)<二(——1)；

2e—a112C—CL

(ii)若0<a<e,X]<X2<x,则一+―r<—+—<---

3zz

e6ex1x3a6e

(注：e=2.71828…是自然对数的底数)

【解答】解：(I)••,函数/(x)=^+lnx(x>0),

•W-源等，（x>。），

由r（x）=分”>0,得在（|,+8）上单调递增；

由（（%）=当£<0,得04<舄.•./（X）在（0,-）上单调递减.

2xz乙2

（II）（/）证明：设经过点（。，b）的直线与函数/（X）的图象相切时切点坐标为（租,

2^+仇无0），

y

则切线方程为/：---lnxo=f(xo)(x-xo),

2%0

Vf(x)——e2+~^~9**•切线/的方程为(-J2+白)x~y~^~+ITLXQ-1=0,

2%o，%oX0XQ

Q26

(----I----)a-b-\------VlnxQ-1=0,

2X

2x0x0Q

令g(x)=(-+f-。+8+(+柩-1，(x>0),

,曲线y=f（x）上不同的三点（X[,f（XI））,（必/（X2）），（X3,f（X3））处的切线都经

过点（a,b）,

・・.函数g(x)有三个不同的零点，

,••g'(x)=信T)a-E+*(”一?尸，

・・・x〈e,或x>〃时，g'(x)>0,g(x)单调递增，

e<x<a时7g1(x)<0,g(x)单