中考数学二轮培优复习几何专项练习：最值问题之隐圆（含解析）

试卷第=page22页，共=sectionpages22页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】试卷第=page11页，共=sectionpages11页资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】中考数学几何专项练习：最值问题之隐圆一、填空题1．如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是四边形SKIPIF1<0内的一个动点，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面积的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，通过计算得出当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0有最小值，求出最小值即可．【详解】解：如图，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为等腰梯形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在以点SKIPIF1<0为圆心，2为半径的圆上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0三点共线时，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点SKIPIF1<0位置的确定是解题关键．2．如图，点A，B的坐标分别为SKIPIF1<0为坐标平面内一点，SKIPIF1<0，M为线段SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，点M的坐标为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据题意可知：点C在半径为SKIPIF1<0的⊙B上．在x轴上取OD=OA=6，连接CD，易证明OM是△ACD的中位线，即得出OM=SKIPIF1<0CD，即当OM最大时，CD最大，由D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，根据勾股定理求出BD的长，从而可求出CD的长，最后即可求出OM的最大值．【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，SKIPIF1<0，∴C在⊙B上，且半径为SKIPIF1<0，在x轴上取OD=OA=6，连接CD，∵AM=CM，OD=OA，∴OM是△ACD的中位线，∴OM=SKIPIF1<0CD，∴即当OM最大时，CD最大，而D，B，C三点共线时，即当C在DB的延长线上时，OM最大，∵OB=OD=6，∠BOD=90°，∴BD=SKIPIF1<0，∴CD=SKIPIF1<0，且C(2,8),∴OM=SKIPIF1<0CDSKIPIF1<0，即OM的最大值为SKIPIF1<0，∵M是AC的中点，则M（4,4），故答案为：（4,4）．【点睛】本题考查坐标和图形，三角形的中位线定理，勾股定理等知识．确定OM为最大值时点C的位置是解题关键，也是难点．3．如图，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的动点，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0面积的最小值为．【答案】38【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可．【详解】解：连接SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．连接BG，由G是EF中点，EF=4知，BG=2，故G在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆弧上，圆弧交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示，由勾股定理得：AC=10，∵SKIPIF1<0AC·BH=SKIPIF1<0AB·BC，∴BH=4.8，∴SKIPIF1<0，即四边形SKIPIF1<0面积的最小值=SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出SKIPIF1<0点的运动轨迹．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】先由折叠判断出F的运动轨迹是为以D为圆心，CD的长度为半径的圆，当B、D、F共线且F在B、D之间时BF最小，根据勾股定理及圆的性质求出此时BD、BF的长度即可．【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示，可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值，∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，∴BC=6，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=SKIPIF1<0，∴BF=BD－DF=SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了折叠的性质、圆的性质、勾股定理解直角三角形的知识，该题涉及的最值问题属于中考常考题型，根据折叠确定出F点运动轨迹是解题关键．5．如图，已知SKIPIF1<0，外心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为腰向形外作等腰直角三角形SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是．【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是等腰直角三角形，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据全等三角形的性质得到SKIPIF1<0，求得在以SKIPIF1<0为直径的圆上，由SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，如图，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值最小，解直角三角形即可得到结论．【详解】解：SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0与SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0≌SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为直径的圆上，SKIPIF1<0的外心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的值最小，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+SKIPIF1<0CG的最小值为．【答案】5【分析】因为DG＝SKIPIF1<0EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝SKIPIF1<0CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值【详解】解：如图，在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝SKIPIF1<0，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，在CD上截取DI＝1，连接GI，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴IG＝SKIPIF1<0，∴BG+SKIPIF1<0＝BG+IG≥BI，∴当B、G、I共线时，BG+SKIPIF1<0CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点SKIPIF1<0的运动轨迹是解题的关键．7．如图，在锐角△ABC中，AB＝2，AC＝SKIPIF1<0，∠ABC＝60°．D是平面内一动点，且∠ADB＝30°，则CD的最小值是【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】作AH⊥BC于H，证明△ACH为等腰直角三角形，求得BC=SKIPIF1<0+1，在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，根据∠ADB=30°，可得点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，其最小值为⊙O的直径减去BC的长．【详解】解：如图，作AH⊥BC于H，∵AB=2，AC=SKIPIF1<0，∠ABC=60°，∴BH=SKIPIF1<0AB=1，∴AH=SKIPIF1<0，CH=SKIPIF1<0，∴△ACH为等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，BC=CH+BH=SKIPIF1<0+1，在BC上截取BO=AB=2，则△OAB为等边三角形，以O为圆心，2为半径作⊙O，∵∠ADB=30°，∴点D在⊙O上运动，当DB经过圆心O时，CD最小，最小值为4-（SKIPIF1<0+1）=3-SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理．解题的关键是得出点D在⊙O上运动．8．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】先判断出四边形ABCD是圆内接四边形，得到∠ACD=∠ABD=30°，根据题意知点E在以FG为直径的⊙P上，连接PD交⊙P于点E，此时DE长度取得最小值，证明∠APD=90°，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】解：∵∠BAD=∠BCD=90°，∴四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ACD=∠ABD=30°，∴∠ADB=60°，∵AD=2，∴BD=2AD=4，分别取AB、AD的中点F、G，并连接FG，EF，EG，∵E是AC的中点，∴EF∥BC，EG∥CD，∴∠AEF=∠ACB，∠AEG=∠ACD，∴∠AEF+∠AEG=∠ACB+∠ACD=90°，即∠FEG=90°，∴点E在以FG为直径的⊙P上，如图：当点E恰好在线段PD上，此时DE的长度取得最小值，连接PA，∵F、G分别是AB、AD的中点，∴FG∥BD，FG=SKIPIF1<0BD=2，∴∠ADB=∠AGF=60°，∵PA=PG，∴△APG是等边三角形，∴∠APG=60°，∵PG=GD=GA，且∠AGF=60°，∴∠GPD=∠GDP=30°，∴∠APD=90°，∴PD=SKIPIF1<0，∴DE长度的最小值为(SKIPIF1<0)．故答案为：(SKIPIF1<0)．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，得到点E在以FG为直径的⊙P上是解题的关键．9．如图，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标平面内一动点，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0取最大值时，点SKIPIF1<0的纵坐标为．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在AB的延长线上时，AC最大，根据中点坐标公式可得结论．【详解】解：如图，∵点C为坐标平面内一点，BC=2，∴C在⊙B上，且半径为2，∴当C在AB的延长线上时，AC最大，过点C作CD⊥x轴，∵点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵CD⊥x轴，∴SKIPIF1<0是等腰直角三角形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴C点的纵坐标为SKIPIF1<0，∵点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，∴点SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，动点线段最值问题，勾股定理等知识，确定AC为最大值时点C的位置是解题的关键．10．如图，正方形ABCD，边长为4，点P和点Q在正方形的边上运动，且PQ＝4，若点P从点B出发沿B→C→D→A的路线向点A运动，到点A停止运动；点Q从点A出发，沿A→B→C→D的路线向点D运动，到达点D停止运动．它们同时出发，且运动速度相同，则在运动过程中PQ的中点O所经过的路径长为．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分，则点P从B到A的运动过程中，PQ的中点O所经过的路线长等于SKIPIF1<03π，故答案为：3π．11．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，AB＝4，点P是BC边上的动点，过点c作直线记的垂线，垂足为Q，当点P从点C运动到点B时，点Q的运动路径长为．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：∵AQ⊥CQ，∴∠AQC＝90°，∴当点P从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120度的弧长，在Rt△ABC中，∵AB＝4，∠B＝30°，∴ACSKIPIF1<0AB＝2，∴点Q的运动路径长为SKIPIF1<0π12．如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则点P运动的路径长为．【答案】SKIPIF1<0【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝2，∵∠PAB＝∠ACP，∴∠PAC+∠ACP＝60°，∴∠APC＝120°，∴点P的运动轨迹是SKIPIF1<0，如图所示：连接OA、OC，作OD⊥AC于D，则AD＝CDSKIPIF1<0AC＝1，∵SKIPIF1<0所对的圆心角＝2∠APC＝240°，∴劣弧AC所对的圆心角∠AOC＝360°﹣240°＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAD＝30°，∵OD⊥AC，∴ODSKIPIF1<0ADSKIPIF1<0，OA＝2ODSKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0π；故答案为：SKIPIF1<0π．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D是BC上一动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是．【答案】SKIPIF1<0【分析】如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．证明OE＝SKIPIF1<0AC＝1，推出点E的在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．【详解】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T．∵∠ACB＝90°，AB＝4，∠B＝30°，∴∠CAB＝60°，AC＝SKIPIF1<0AB＝2，∵CE⊥AD，∴∠AEC＝90°，∵AO＝OC＝1，∴OE＝SKIPIF1<0AC＝1，∴点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大，∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线，∴FC＝FE，∴∠FCE＝∠FEC，∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°，∴∠CAE＝∠FCE，∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°，∴∠FEC＝∠EAT，∴∠CAE＝∠EAT＝30°，∵CF＝FE，OC＝OE，∴OF⊥EC，∵AD⊥CE，∵OF∥AD，∴∠COF＝∠CAD＝30°，∴CF＝OC•tan30°＝SKIPIF1<0，∴CF的最大值为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查直角三角形30°角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线的性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以O为圆心，1为半径的圆上运动，推出当FT与⊙O相切时，CF的值最大．14．如图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内部的一个动点，且满足SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0长的最小值为.【答案】2：【分析】首先证明点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC与⊙O交于点P，此时PC最小，利用勾股定理求出OC即可解决问题．【详解】∵∠PAB+∠PBA=90°∴∠APB=90°∴点P在以AB为直径的弧上（P在△ABC内）设以AB为直径的圆心为点O，如图接OC，交☉O于点P，此时的PC最短∵AB=6，∴OB=3∵BC=4∴SKIPIF1<0∴PC=5-3=2【点睛】此题考查了三角形与圆的综合题，重点是发现满足什么条件时PC有最小值.关于三点共线的最短距离是中考偏好考的考点之一，此类问题借助图形进行理解，发现点O的位置是关键.15．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将ΔEBF沿EF所在直线折叠得到ΔEB'F，连接B'D，则B'D的最小值是．【答案】SKIPIF1<0.【分析】如图所示，点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，B'D的值最小，根据勾股定理求出DE，根据折叠的性质可知B'E=BE=2，即可求出B'D．【详解】如图所示点B'在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B'、E共线时，B'D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB'F，∴∠B=∠EB'F，EB'=EB．∵E是AB边的中点，AB=4，∴AE=EB'=2．∵AD=6，∴DESKIPIF1<02SKIPIF1<0，∴B'D=2SKIPIF1<02．故答案为2SKIPIF1<02．【点睛】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短的综合运用；确定点B'在何位置时，B'D的值最小是解决问题的关键．16．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形内部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是．【答案】SKIPIF1<0﹣4．【分析】连接OC与圆O交于点P,先证明点P在以AB为直径的圆O上，再利用勾股定理求出OC即可.【详解】∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，∴OC=SKIPIF1<0，∴PC=OC﹣OP=SKIPIF1<0﹣4．∴PC最小值为SKIPIF1<0﹣4．故答案为SKIPIF1<0﹣4．【点睛】本题考查了点与圆的的位置关系、圆周角定理及最短路径等知识，会求圆外一点到圆的最大距离和最小距离是解题的关键.二、解答题17．如图，在正方形SKIPIF1<0中，点E在直线SKIPIF1<0右侧，且SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0为边作正方形SKIPIF1<0，射线SKIPIF1<0与边SKIPIF1<0交于点M，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．(1)如图1，求证：SKIPIF1<0；(2)若正方形SKIPIF1<0的边长为4，①如图2，当G、C、M三点共线时，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点N，求SKIPIF1<0的值；②如图3，取SKIPIF1<0中点P，连接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0长度的最大值．【答案】(1)见解析(2)①SKIPIF1<0，②当P、B、F三点共线时，PF有最大值为SKIPIF1<0【分析】（1）对角线SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0的对称轴，即可得SKIPIF1<0；（2）①当G、C、M三点共线时，根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0进而即可求得SKIPIF1<0的值；②连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，求出相似比，求出SKIPIF1<0，当P、B、F三点共线时，即可求出最大值．【详解】（1）如图1，∵对角线SKIPIF1<0是正方形SKIPIF1<0的对称轴，∴SKIPIF1<0；（2）如图2，①当G、C、M三点共线时，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，②如图3，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，当P、B、F三点共线时，PF有最大值：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．18．已知，平面直角坐标系中有一个边长为6的正方形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0上的动点，将SKIPIF1<0沿直线SKIPIF1<0对折，使SKIPIF1<0点落在SKIPIF1<0处．(1)如图①，当SKIPIF1<0时，求点SKIPIF1<0的坐标；(2)如图②，连接SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时．①求点SKIPIF1<0的坐标；②连接SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重叠部分的面积；(3)当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0（不包括端点）上运动时，请直接写出线段SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）如图，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0由对折可得：SKIPIF1<0证明SKIPIF1<0是等边三角形，可得SKIPIF1<0再利用三角函数可得答案；（2）①利用平行线的性质证明SKIPIF1<0从而可得答案；②如图，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0过SKIPIF1<0于SKIPIF1<0再分别求解SKIPIF1<0的坐标，利用函数解析式与三角形的面积公式可得答案；（3）如图，由对折可得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的SKIPIF1<0上运动，与SKIPIF1<0不重合，连接AC，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0当SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0取得最小值，从而可得答案．【详解】（1）解：如图，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0由对折可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等边三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）①SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0②如图，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0过SKIPIF1<0于SKIPIF1<0由①得：SKIPIF1<0设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0（不符合题意的根舍去）SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0同理可得：AM为SKIPIF1<0OB为SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0同理可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重叠部分的面积为：SKIPIF1<0（3）如图，由对折可得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的SKIPIF1<0上运动，与SKIPIF1<0不重合，连接AC，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0当SKIPIF1<0重合时，SKIPIF1<0取得最小值，此时SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的取值范围为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查的是正方形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，一次函数的几何应用，圆的基本性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用一次函数的性质解决几何图形面积问题，利用圆的基本性质求解线段长度的最小值是解本题的关键．19．如图，抛物线SKIPIF1<0（a为常数，SKIPIF1<0）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC．(1)求a的值；(2)点D是该抛物线的顶点，点P（m，n）是第三象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、CD、BP，当∠PBA＝∠CBD时，求m的值；(3)点K为坐标平面内一点，DK＝2，点M为线段BK的中点，连接AM，当AM最大时，求点K的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）先求得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0点的坐标，进而根据SKIPIF1<0即可求得SKIPIF1<0的值；（2）过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0是直角三角形，进而SKIPIF1<0，根据相似的性质列出比例式进而代入点SKIPIF1<0的坐标解方程即可；（3）接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0,根据题意，点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，2为半径的圆上，则SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上运动，根据点与圆的距离求最值，进而求得SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0,设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入求得SKIPIF1<0，进而设SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，进而根据勾股定理列出方程解方程求解即可．【详解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0抛物线SKIPIF1<0（a为常数，SKIPIF1<0）与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，SKIPIF1<0抛物线与SKIPIF1<0轴的交点为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0（2）如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是直角三角形，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在抛物线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0（舍）SKIPIF1<0在第三象限，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）如图，连接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线SKIPIF1<0根据题意点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，2为半径的圆上，则SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上运动，当SKIPIF1<0三点共线，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延长线上时，SKIPIF1<0最大，如图，SKIPIF1<0SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0，代入点SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的解析式为SKIPIF1<0设点SKIPIF1<0