平面向量基础知识梳理及平面向量基础题,提升题,文科适用,理科适用

平面向量基础知识梳理一、向量的概念：⒈有向线段：叫做有向线段.⒉向量：叫做向量.向量通常用有向线段或表示.⒊向量的模：向量的又叫做向量的模，记作.⒋两个重要概念：①零向量：叫做零向量.记作.注意：零向量没有规定它的方向，因此零向量的方向是任意的.②单位向量：叫做单位向量.注意：单位向量的方向与它所在向量的方向相同.⒌相等向量：叫做相等向量.向量与相等记作.⒍平行向量：叫做平行向量.向量与平行可记作.规定：与任一向量平行.即∥，∥，∥.⒎共线向量：叫做共线向量.注意：若与是共线向量，则与的方向，它们所在的直线它们的夹角是.⒏相反向量：叫做相反向量.的相反向量是，−的相反向量是，的相反向量是.⒐两个非零向量和的夹角：.二、向量的运算：⒈向量的加法：⑴向量与的和的定义：⑵向量加法法则：①三角形法则（请画图于右）+（首尾相连）②平行四边形法则（请画图于右）+（起点相同）⑶向量加法运算律：①交换律：②结合律：⑷特例：=，=，=.⑸向量加法的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则=.⒉向量的减法：⑴向量与的差的定义：向量加上的相反向量叫做与的差，记作+(−)=−.OAB−是怎样的一个向量?答：.OABABD⑵向量减法法则：设=，=，ABD则−=-=.（请画图于右）.重要结论：设，是两个不共线向量，则以AB、AD为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是这两个向量和与差的模.⑶特例：=，=，=.⑷向量减法的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则=.⒊实数与向量的积：⑴定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：①|λ|=；②当λ＞0时，λ的方向与的方向，当λ＜0时，λ的方向与的方向；当λ=0时，λ=.⑵运算律：①λ（μ）=；②（λ+μ）=；③λ（）=.⑶实数与向量的积的坐标运算：⑷特例：若λ∈R，则λ=.⒋向量的数量积（或内积）：⑴定义：已知非零向量和，它们的夹角为θ，则=.⑶运算律：①=；②（λ）·==；③（+）·=.注意：向量的数量积没有结合律！特别地，=，或||=.⑸向量的数量积的坐标运算：设=（x1，y1），=（x2，y2），则=.⑹特例：=，=.三、重要定理、公式及方法：⒈平面向量基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2，使=λ1+λ2.⒉向量模的计算公式：设=（x，y），则||=.⒋如何证明A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）三点共线？⒌两个向量平行、垂直的充要条件：大前提充要条件向量表示坐标表示平行=(x1，y1),=(x2，y2),且≠∥∥垂直=(x1，y1),=(x2，y2),且≠、≠⊥⊥注意：若不考虑上面的大前提，则⑴向量=(x1，y1),和=(x2，y2)平行的充要条件是x1y2-x2y1=0.⑵向量=(x1，y1),和=(x2，y2)垂直的必要不充分条件是x1x2+y1y2=0.⒎已知向量=(x1，y1),和=(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cosθ=.⒐线段的中点坐标公式：已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点坐标是.⒑三角形的重心坐标公式：设△ABC三顶点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标是.平面向量1．向量的有关概念(1)平行向量：方向相同或____的非零向量；平行向量又叫____向量．规定：0与任一向量____.(2)相等向量：长度____且方向____的向量．(3)相反向量：长度____且方向____的向量．2．向量的线性运算3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使__b＝λa__.结论：1．零向量与任何向量共线．2．与向量a(a≠0)共线的单位向量±eq\f(a,|a|).3．若存在非零实数λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))或eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线．4．首尾相连的一组向量的和为0.5．若P为AB的中点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．6．若a、b不共线，且λa＝μb，则λ＝μ＝0.1．下列结论正确的打“√”，错误的打“×”.(1)向量就是有向线段；()(2)零向量没有方向；()(3)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；()(4)若a∥b，b∥c，则a∥c；()(5)若向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上．()2．(2018·江南十校联考)化简eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up6(→)) B．0C．eq\o(BC,\s\up6(→)) D．eq\o(DA,\s\up6(→))3.如图所示，在正六边形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝)A．0 B．eq\o(BE,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\o(CF,\s\up6(→))4．(2017·太原模拟)向量e1，e2，a，b在正方形网格中的位置．如图所示，向量a－b等于()A．－4e1－2e2B．－2e1－4e2C．e1－3e2D．3e1－e25．(2015·新课标2)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____.(2)(2017·成都模拟)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()A．|a|＝|b|且a∥b B．a＝－bC．a∥b D．a＝2b(1)(2017·南昌模拟)下列关于向量的叙述不正确的是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))的相反向量是eq\o(BA,\s\up6(→))B．模长为1的向量是单位向量，其方向是任意的C．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB＝CD，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))D．若向量a与b满足关系a＋b＝0，则a与b共线例2(1)(2015·全国卷Ⅰ)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))(2)(2018·山东曲阜期中)如图，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(NC,\s\up6(→))、P是BN上的一点，若eq\o(AP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，则实数m的值为()A．eq\f(1,9) B．eq\f(1,3)C．1 D．3(3)(理)(2017·河南洛阳统考)如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(BN,\s\up6(→))，则λ＋μ的值为()A．eq\f(8,5) B．eq\f(5,8)C．1 D．－11)(2018·江西临川一中月考)如图，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝4eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CA,\s\up6(→))＝3eq\o(CE,\s\up6(→))，则eq\o(DE,\s\up6(→))＝()A．eq\f(3,4)b－eq\f(1,3)a B．eq\f(5,12)a－eq\f(3,4)bC．eq\f(3,4)a－eq\f(1,3)b D．eq\f(5,12)b－eq\f(3,4)a(2)(2017·山东师大附中二模)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝()A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(4,3) D．eq\f(2,3)(3)平行四边形ABCD中，M为BC的中点，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AM,\s\up6(→))＋μeq\o(DB,\s\up6(→))，则λ－μ＝____.(1)设e1与e2是两上不共线向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A．－eq\f(9,4) B．－eq\f(4,9)C．－eq\f(3,8) D．不存在(2)已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为()A．1 B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2) D．－1或－eq\f(1,2)例4在△ABC中，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ＝()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)二、向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝_，a－b＝__，λa＝___，|a|＝___.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝__，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝__.4．向量共线的坐标表示若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔____.1．下列命题中正确命题的个数为()①在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CA,\s\up6(→))可以作为基底；②若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2；③若A(3,5)、B(－1,9)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－4,4)；④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2).A．1 B．2C．3 D．42．(2015·新课标卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq\o(BC,\s\up6(→))＝()A．(－7，－4) B．(7,4)C．(－1,4) D．(1,4)3．设向量a＝(2tanα，tanβ)，向量b＝(4，－3)，且a＋b＝0，则tan(α＋β)等于()A．eq\f(1,7) B．－eq\f(1,5)C．eq\f(1,5) D．－eq\f(1,7)4．(文)(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝____.(理)(2018·吉林省统考)向量a＝(－1,1)，b＝(x，－2)，若(a＋2b)∥b，则x＝()A．1 B．－eq\f(3,2)C．2 D．eq\f(2,7)5．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9,－8)(m，n∈R)，则m－n的值为_例1(1)(2014·福建)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)(2)如图，已知平面内有三个向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，其中eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(OB,\s\up6(→))的夹角为120°，eq\o(OA,\s\up6(→))与eq\o(CO,\s\up6(→))的夹角为30°，且|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为____.(1)如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2 D．e1－2e2与－e1＋2e2例2(1)(2017·广西耒宾实验中学诊断)设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为()A．－eq\f(11,2) B．eq\f(11,2)C．－eq\f(29,2) D．eq\f(29,2)(2)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则eq\f(λ,μ)＝____.(3)(理)(2017·东北三省四市二模)已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,3)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OA,\s\up6(→))＋neq\o(OB,\s\up6(→))(m>0，n>0)，若m＋n＝1，则|eq\o(OC,\s\up6(→))|的最小值为()A．eq\f(\r(5),2) B．eq\f(\r(10),2)C．eq\r(5) D．eq\r(10)(1)已知a＝(1，－1)，b＝(1,0)，c＝(1，－2)，若a与mb－c平行，则m＝()A．－1 B．1C．2 D．3(2)已知a＝(eq\r(3)sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈(0，eq\f(π,2))，若a∥b，则x＝___.1．向量的夹角范围是____.2．向量数量积几何意义：a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．3．平面向量数量积的性质及其坐标表示(1)设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角．①数量积：a·b＝|a||b|cosθ＝__.②模：|a|＝eq\r(a·a)＝____.③设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝④夹角：cosθ＝_=__.⑤已知两非零向量a与b，a⊥b⇔a·b＝0⇔___；1．下列结论正确的打“√”，错误的打“×”.(1)两个向量的数量积是一个向量．((2)向量在另一个向量方向上的投影也是向量．()(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(×)(4)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.()(5)(a·b)·c＝a·(b·c)．()(6)若a·b＝a·c(a≠0)，则b＝c.()2．向量a＝(2，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．6 B．5C．1 D．－63．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝____..4．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝____.5．(2016·课标全国Ⅲ)已知向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝(eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\f(\r(3),2)，eq\f(1,2))，则∠ABC＝()A．30° B．45°C．60° D．120°例2(1)(2018·四川绵阳一诊)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(x,1)，若a∥b，则|a＋b|＝()A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．3eq\r(2)(2)若平面向量a、b的夹角为60°，且a＝(1，－eq\r(3))，|b|＝3，则|2a－b|的值为()A．13 B．eq\r(37)C．eq\r(13) D．1(3)(2018·云南昆明一中模拟)已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|＝____.(1)(2018·山西康杰中学五校期中)已知向量a、b满足|b|＝2|a|＝2，a与b的夹角为120°，则