2022年上海港湾学校高三数学文联考试卷含解析

2022年上海港湾学校高三数学文联考试卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

C攵〃力一"〜，4）11在为增函数,

则m的值为（）

A.1或3B.1C.3D.2

参考答案：

B

试题分析：因为函数，（於"-4"+4），一是幕函数，所以■，一j4=i,即

■=1或”3,当m=1时，函数，8=2在（°“）为增函数，符合题意；当iit=3时，

函数/㈤=*T在@*»）为减函数，不符合题意，故选B.

考点：睡函数的定义与性质.

2.已知△48C是边长为1的等边三角形，点、D,E分别是边A8,8c的中点，连接OE并

延长到点F,使得。£—2质，则》-丽的值为（）

5n11

A.*B.8C.4D.8

参考答案：

D

【分析】

1与凝

利用即）a,结合而方=o与~2,由平面向量数量积的

运算法则可得结果.

【详解】

DE^2EF.EF^-DE

由7MC=2jW,可得2

如图，连接de，则d£l，C,

所以旃7五:0,

薪疏=（万♦丽泰二疏万」族死

=0/I函I而I8工

23

11,11

=0A+-x-xlx—=一

2228,故选D.

【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算及平面向量的数量积，属于中档题.数量积的运

算主要注意两点：一是向量的平方等于向量模的平方；二是平面向量数量积公式.

1.复数2=卬+'如为鳏单位）在复平面上对应的点位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四

象限

参考答案：

B

4.已知集合A={1,4},B={yy=log2X,xGA）,贝ljAUB=（）

A.{1,4}B.{0,1,4}C.{0,2}D.{0,1,2,4}

参考答案：

D

【考点】并集及其运算.

【分析】先分别求出集合A和B,由此能求出AUB.

【解答】解：•.•集合A={1,4},

B={y|y=log2X,xGA}={0,2},

.".AUB={0,1,2,4}.

故选：D.

若直线Jr［-1，一+2：/（［为参数）与直线4x+W=l垂直，则常物=

5.()

«■11

A.-6B.6C.6D.6

参考答案：

A

6.集合〃-m37"},S={L4,5}J={Z3"则sn(CJ/)等于()

A,{l,4；5,6}B."}C.{⑸A{L04»

参考答案：

c

7.函数y=&+1+J3f的定义域为()

(A)24(B)24J(c)24(D)

(-I.O)VJ(O.-KO)

2,

参考答案：

C

8.A.所有实数的平方都不是正数B.有的实数的平方是正数

C.至少有一个实数的平方是正数D.至少有一个实数的平方不是正数

参考答案：

D

略

9.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加

一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有

()

A.20种B.30种C.40种

D.60种

参考答案：

A

略

x-^y<1

x-y<1

io.设变量X,y满足约束条件上+12°,则目标函数z=x+2y的最小值为

()

A.3B,1C.-5

D.Y

参考答案：

C

略

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

11.设直线区+3,+1=0和圆/+八21-3・。相交于点/、尻则弦AB的垂直平分线

方程是.

参考答案：

3x-2y-3=0

试题分析：由痴-3・。得(x-D"/=4,所以圆的圆心为G。)，根据圆的相关

3

性质，可知所求的直线的斜率为2,根据直线的点斜式方程化简可得结果为

3r-2y-3=0

考点：圆的性质，直线的方程，两直线垂直关系的应用.

12.(1-x)(l+2x)5展开式按x的升嘉排列，则第3项的系数为一.

参考答案：

30

【考点】二项式定理的应用.

【分析】把(l+2x)s按照二项式定理展开，可得按x的升幕排列的前三项，从而得到第3

项的系数.

P0p1P2r3广4

【解答】解：*/(1-x)(l+2x)5=(1-x)(L5+L5?2X+V5?(2X)”5?(2x)、气？

(2x)'+V5?(2x)5),

展开式按x的升哥排列，前三项分别为W,(C5?2-1)x,C5(2x)2-C5?2X=30X；

则第3项的系数为30,

故答案为：30.

13.某单位有27名老年人，54名中年人，81名青年人.为了调查他们的身体情况，用分层

抽样的方法从他们中抽取了n个人进行体检，其中有6名老年人，那么"=.

参考答案：

36

略

14.在空间直角坐标系中，点A(2,1,2)到原点0的距离为，点A关于原点0对称

的点的坐标为—.

参考答案：

3,_(-2,-1,-2).

【考点】空间中的点的坐标.

【分析】利用两点间矩离公式、对称的性质直接求解.

【解答】解：点A(2,1,2)到原点0的距离d=422+12+22=3,

点A(2,1,2)关于原点。对称的点的坐标为(-2,-1,-2).

故答案为：3,(-2,-1,-2).

【点评】本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公

式、对称性质的合理运用.

15.已知A,B,C,是圆/+/=】上的三点，且次+丽=玄，其中O为坐标原

点，OAOB=_。

参考答案:

3

-2

略

16.函数f(x)=sin(x+2<i>)-2sin(x+4))cos。的最大值

为.

参考答案：

1

【考点】三角函数的最值.

【专题】转化思想；整体思想；三角函数的求值.

【分析】由三角函数公式和整体思想化简可得f(x)=-sinx,易得最大值.

【解答】解：由三角函数公式化简可得：

f(x)=sin(x+2)-2sin(x+6)cos4>

=sin[(x+4>)+4>]-2sin(x+4>)cos4>

=sin(x+<t>)cos4>+cos(x+6)sin<l>-2sin(x+6)cos4>

=-sin(x+)cos<i>+cos(x+<l>)sin<l>

=-sin[(x+)-6]=-sinx,

.,.函数的最大值为：1

故答案为：1

【点评】本题考查三角函数的最值，涉及整体法和和差角的三角函数公式，属基础题.

17.已知/(-L】)、b(L2)、C(-2一1)、1X3,4),则向量而在ai方向上的投

影为.

参考答案：

3庐

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(本小题满分13分)

在数列中，/二心？10,点（乩2a“-/）在直线尸=2*、上，设

4=%.「&+£,数列电｝是等比数列.

⑴求出实数£；

⑵令％=|log|,问从第几项开始，数歹ij匕/中连续20项之和为100?

参考答案：

解：⑴由题设知血心劣+产”，从而％・卢+‘磷

2

当”>1时，4T&-4】+2（a,-o]r_l+i）,

若｛4｝是等比数列，则2"+之力，故[=-2”......................6分

⑵•••｛%｝是以5为公比的等比数列，首项为。2-。】+£,Wow-w*k&s%5¥u

••，

+111u11

..«2=（«i2）=2#+2*）tfj_ai_2=2

.耳=2ng尸=产

...G=|MT2|,......................8分

假设（C：从第太项起连续20项之和为100,

当上…12时，6+%】++%a%+%++%=190100不合题意，

.....10分

当」--II1]',','->-•>+。“9w。w-w*k&s%5Yu

=12-i+ll-t+-+l+0+l+-+*+7=jtJ-5>t+106=100

解得尢=2或3,

所以数列｛'J从第二项或长三项起连续20项之和为100.

......................13分

略

19.(本小题满分12分)已知将一枚质地不均匀的硬币抛掷三次，三次正面均朝上的概率

1

为万

(1)求抛掷这一枚质地不均匀的硬币三次，仅有一次正面朝上的概率；

(2)抛掷这一枚质地不均匀的硬币三次后，再抛掷另一枚质地均匀的硬币一次，记四次

抛

掷后正面朝上的总次数为4,求随机变量4的分布列及期望

参考答案：

(1)设抛掷一次质地不均匀的硬币，正面朝上的概率为P,依题意有：

p=-

327A3

所以，抛掷这质地不均匀的硬币三次，仅有一次正面朝上的概率为

尸=叫耻.......................

.........5分

(2)随机变量f的可能取值为°1，2,3,4

P-由I*3)•虱淤咐〉齐

(|)芸+吗,朋/

产(DWG)"/

所以4得分布列为:

01231

P41091

?727275454

109713

£/=lx—2x—+3x—+4x—=-

所以、27+2754542...........................................

20.已知函数/(MTX-H+H,其中aw2

(1)当时，求不等式/(X)23X+|2X+1|的解集；

(2)若不等式/(“«'的解集为K|x4T},求。的值.

参考答案：

解法一：(1)07时，/(xhUTI+Bxiij/aPIN+ll+H,得|x-l|T2x+l|»・,

...不等式的解集为［*卜24*”］

xia(x<a

*2a(x<aaa

„14x-。"，或12x+a4•即I*'*,或［*'一£.

(x|x^--l----I

1)当。>°时，不等式的解集为2.由2,得。=2.

2)当a-0时，解集为{•},不合题意.

{*|x4±J--1

3)当。<。时，不等式的解集为4.由4,得。=<.

综上，。=2,或a=-4.

解法二：(1)当xA。时，/W=4*-a,函数为单调递增函数，

此时如果不等式/(x)〈•的解集为1*1*4T1成立，

那么〃F=4x(-1)-a=・，得

(2)当x<a时，/(x)=2x+a函数为单调递增函数，

此时如果不等式/(*)〈•的解集为1*1*4T］成立，

那么得a=2；经检验，。=2或a=Y都符合要求.

22

21.椭圆C：a+b=1(a>b>0)的短轴两端点为R(0,-1)、B2(0,1),离心率

返

e=2，点P是椭圆C上不在坐标轴上的任意一点，直线BF和B2P分别与x轴相交于M,

N两点，

(1)求椭圆C的方程和0M|?!0N|的值；

(II)若点M坐标为(1,0),过M点的直线1与椭圆C相交于A,B两点，试求aABN面

参考答案:

【考点】椭圆的简单性质.

£返1

【分析】(I)由b=l,离心率e=W=^",则cJWl,由a'-b'cz,代入即可求得a和b

丁+1

x

的值，求得椭圆方程，设点P(xo,y。)，则直线BF方程为y=0x-1,y=0,得

2

Xo

町x。

2

1+yy

x)1=o,同理可得XN=i-y。,OM|?|ON|=Ix«I?IXNI=1-0=4；

(II)设直线AB的方程为x=ty+l,代入椭圆方程，由韦达定理求得Iy,-y2I

6

』的+丫2)2-432=半詈,S=2|MN|?|y,-y2|二同由函数

的单调性即可求得AABN面积的最大值.

92

【解答】解：(1)椭圆(3：&+b=1(a>b>0)焦点在x轴上，由R(0,-1)、B?

(0,1),知b=l,…(1分)

£在1

由椭圆的离心率e=a=2,则c2=4a2,由/-b-c2,

3,

a2-l=7a%解得：aM,

x22.

...椭圆c的方程为：TyT；…

Vo+1

设点P（x。，y„）,则直线BF方程为y=x0x-1,

x°X。

令y=0,得斫1+丫0,同理可得a=1一旷0,

2

Xo

Xox。

T2

-一

1+yIyO

|0M?|0N|=|X,|?|xs|=|0|?|1一了0-=4

OM|?|ON|=4；…

（II）当点M坐标为（1,0）时，点N（4,0）,|MN|=3,…（6分）

设直线AB的方程为x=ty+l,A（xi,yj,B（x2,y?）,

x=ty+l

£2-1

4y一，整理得（t，4）y2+2ty-3=0,

2t3

-22-

则yi+y2=-t+4,y1？y2=-t+4,…（8分）

--------------------2t21243+3

222

|y「y?|=｛（了1+旷2）2-4为了方丫t+4t+4=t+4,

_____6

22

△ABN面积S=2|MNI?Iyi-y2I=2?t+4=Vt+3，…（10分）

3^3

.,.SW2,