2020-2021学年人教A版数学选修4-5课时作业：第四讲

［课时作业］

［A组基础巩固］

1.用数学归纳法证明当〃WN.时，1+2+22+…+251是31的倍数时，

当n=1时原式为()

A.1B.1+2

C.1+2+3+4D.1+2+22+23+24

解析:左边=1+2+2?+…+25E,所以〃=i时，应为1+2+…+25XLI=

1+2+22+23+24.

答案：D

2.记凸左边形的内角和为八%),则凸上+1边形的内角和人左+1)=*女)+()

A兀C

A，2B.兀

3

C.2兀D.2兀

答案：B

3.已知4/)=(2〃+7>3"+9,存在自然数机，使得对任意〃GN+,都能使机整

除人〃)，则最大的〃?的值为()

A.30B.26

C.36D.6

解析：川)=36,犬2)=108=3X36,7(3)=360=10X36,易知次〃)能被36整除，

且36为m的最大值.

答案：C

4.某同学回答“用数学归纳法证明犷工<〃+l(〃WN+)”的过程如下：

证明：(1)当〃=1时，显然命题是正确的；

(2)假设n=k时有4的1+1)<%+1,那么当〃=攵+1时，《仇+1>+伙+1)=

、F+3Z+2<、­4=(女+1)+1,所以当〃=%+1时命题是正确的.由(1)、

⑵可知对于〃WN+,命题都是正确的.以上证法是错误的，错误在于()

A.从后到4+1的推理过程没有使用归纳假设

B.归纳假设的写法不正确

C.从攵到A+1的推理不严密

D.当"=1时，验证过程不具体

解析：证明((%+1)2+++1)<上+1)+1时进行了一般意义的放大.而没有使用

归纳假设伙+1)4+1.

答案：A

5.用数学归纳法证明：

111

1---+

1-2+-3-41+•••+五(〃SN+),

则从〃=攵到〃=攵+1时，左边所要添加的项是()

A，B'

2攵+12左+22Z+4

C—D'

J2k+\2k+l2k+2

解析：，.•当〃=攵时，左边=1—-----y2k—\~2k,

当〃=左+1时，左边=1-，+行一V2k~1~2k+2k+l~2k+2'

由n=k到n=k+1左边增加了2k+\~2k+2'

答案：D

6.用数学归纳法证明22+32+…+〃2=迎土啜土D-i(〃eN+,〃>1)时，第一

步应验证〃=时，命题成立，当〃=%+1时左边的式子为.

解析：由于〃>1,

.•.第一步应验证〃=2时，命题成立，

当〃=4+1时，左边的式子应为22+324----F3+(A+1)2.

答案：222+32+-+^2+(A:+l)2

7.用数学归纳法证明"5〃一2”能被3整除”的第二步中，当〃=%+1时，为了

使用归纳假设应将5无+1—2收1变形为.

解析：假设当〃=攵时，5*—2"能被3整除，

则〃=%+1时，5*+1-221=5(5«-2«)+3-2《

由假设知5*—2*能被3整除，3・2上能被3整除.

故5-(5*—2«)+3-2«能被3整除.

答案：5-(5*-2*)+3-2*

8.设平面内有〃条直线(〃22),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直

线不过同一点.若用次〃)表示这〃条直线交点的个数，则14)=；当〃>4

时，.*〃)=(用n表示).

解析：犬2)=0,/3)=2,/4)=5,寅5)=9,每增加一条直线，交点增加的个数等

于原来直线的条数.

所以犬3)一式2)=2,负4)一*3)=3,八5)一*4)=4,…，

火〃)一次〃—1)=〃一1.累加，得犬〃)一八2)=2+3+4+…+(〃-1)=

2+(〃-1)

—

2(»2).

所以_A〃)=g(〃+D(〃-2).

答案：53(〃+1)("—2)

9.用数学归纳法证明：1+4+7+…+(3〃-2)

=—1)(〃£N」).

证明：(1)当〃=1时，左边=1,右边=1,

/.当〃=1时命题成立.

(2)假设当〃=k(kSN+,攵21)时命题成立，

即1+4+7+…+(3%-2)=夕

当〃=々+1时，1+4+7+…+(3左-2)+[3(k+l)—2]

=夕(3々-1)+(3%+1)

=g(3d+5Z+2)=；(Z+l)(3k+2)

即当n=k+1时命题成立.

综上(1)(2)知，对于任意〃6N+原命题成立.

10.证明对任意正整数n,34n+2+52n+1能被14整除.

证明：⑴当〃=1时，34"+2+52"+1=36+53=854=14义61能被14整除,命题成

⑵假设当n=k时命题成立，即3S+2+52W1能被14整除，

那么当〃=%+1时，

34(4+1)+2+52(2+i)+i=342+2x34-|-52^+1X52

4%+142t+12

=34t+2X34_|_52t+ix3-5X3+5X5

=3'3软+2+52*+1)-52<:+1(34-52)

=34(34/:+2+52*+1)-56X52i+l,

因34k+2+52k+'能被14整除,56也能被14整除，所以3故+D+2+52(*+D+1能被14

整除，故命题成立.

由(1)(2)知，命题对任意正整数〃都成立.

[B组能力提升]

1.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2"-i=2"—l(〃CN")”的过程中，第二步

假设〃=攵时等式成立，则当〃=%+1时应得到()

A.l+2+22H--(-2*-2+2*+1=2^+|-1

B.1+2+22]--^2k+2k+1-2k~l+2k+1

C.l+2+22H--H2*-,+2A+1=2i+l-l

D.1+2+22+…+2«I+2A=2的1—1

解析：由条件知，左边是从202i一直到2"，都是连续的，因此当〃=%+1时，

左边应为1+2+2?+…+2*-1+2\而右边应为2E一1.

答案：D

2.左棱柱有_/(Z)个对角面，则左+1棱柱的对角面个数人上+1)为()

A.fik)+k+]B.j(k)+k

C.f^k)+k-lD.阪+k—2

解析：当Z棱柱变为k+1棱柱时，新增的一条棱与和它不相邻的k-\条棱确定

攵一2个对角面，而原来的一个侧面变为对角面，所以共增加％—1个对角面.

答案：C

3.用数学归纳法证明卜+22+…+(〃-1)2+“2+(〃-1)2+―+22+12=@1±11

时，由〃=%的假设到证明〃=%+1时，等式左边应添加的式子是

解析：〃=攵时等式为F+22+…+(%—l)2+R+(%—1)2+…+2?+]2=蛆专±11,

n=k+\时等式为12+22H-----F(Jl-1)24-^+()1+l)2+^+(Z：-1)24-----F22+l2=

(Z+l)[2伙+1]+1]

3,

：.n=k+l时等式左边比〃=攵时等式左边增加了3+伙+1产

答案：庐+(女+1)2(或2A2+24+1)

4.设数列｛斯｝满足m=2,an+l=2an+2,用数学归纳法证明劣=42门-2的第

二步中，设“=%时结论成立，即以=4・2*一1—2,那么当〃=《+1时，.

解析：当〃=4+1时,把四代入,栗将42%—2变形为42(p】)-1一2的形式.

即以+1=2或+2=2(4-2x1-2)+2=4-2&-2=4-2伏+1广1―2

答案：以+1=42伏+11一2

5.求证：凸〃边形对角线条数九)=〃(〃23)(〃GN+,”23).

证明：⑴当"=3时，犬3)=0,三角形没有对角线，命题成立.

上他—3)

(2)假设〃=A(%eN+,Z23)时命题成立，即凸左边形对角线条数/(%)=七一2

将凸k边形A1A2…4在其外面增加一个新顶点4+1,得到凸k+l边形

A1A2.......AkAk+i,A«+i依次与A2,A3,…4-i相连得到对角线人一2条，原凸攵边

形的边44变成了凸Z+1边形的一条对角线，则凸Z+1边形的对角线条数为：

k(k—3)伙+1)(左一2)(左+1)[(%+1)—3]

火与+人一2+1=-^^+攵一1=-————-=-——~~~=J(k+1).

即当〃=女+1时，结论正确.

根据(1)(2)可知，命题对任何〃GN+,〃23都成立.

6.是否存在常数a、b>c使等式12+22+3?+…+/+(〃—1)2+…+2?+y=

a〃(加2+c)对于-一切“WN*都成立？若存在，求出a、b、c并证明；若不存在，

试说明理由.

解析：假设存在a、b、c使F+22+32T-----t-n2+(«-1)24-----F22+12=

an｛brr+c)对于一切〃£N*都成立.

当〃=1时，a(b+c)=1;

当n=2时，2a(4b+c)=6;

当”=3时，3a(9b+c)=19.

f1

/a(h+c)=l,a=y

解方程组，a(4/?+c)=3,解得Vb=2,

〔3a(9b+c)=19,

证明如下：

①当〃=1时，由以上知等式成立.

②假设当〃=k(Z21,AGN*)时等式成立，

即12+22+324--+J12+(A;-1)24--+22+12=1Z：(2^2+1)；

当n=k+\时，

l2+22+32H---Fd+i&+])2+左2+(々—i)2H---F22+12

=永(2炉+1)+伏+1)2+攵2

=；《23+3%+1)+伏+1)2

=^k(2k+1)(%+1)+伏+1)2

=小攵+1)(2后+4%+3)

=g(A+l)[2(k+l)2+l].

即当n=k+l时，等式成立.

因此存在。=；,b=2,c=l使等式对一切〃WN*都成立.

［课时作业］

［A组基础巩固］

1.用数学归纳法证明l+T+g+-+3i<〃（〃eN+，且〃>1）时，第一步即证下

述哪个不等式成立（）

A.1<2B.1+1<2

C.1+］+铲2D.1+铲2

解析：,且

.,.第一步〃=2,左边=1+]+,右边=2,

即1+；+；<2,应选C.

答案：C

111127

2.用数学归纳法证明不等式1+]+；+…+甘7〉记•成立时，起始值〃。至少应

取()

A.7B.8

C.9D.10

女…,1,1,1,1,,1127

解析：i+，+a+w+而+…+区=而，

n—1=6,〃=7,故〃o=8.

答案：B

3.用数学归纳法证明"的=士+士+W+…++7>l(〃eNJ”时，Si

n+1〃十2〃十3371+1

等于()

1

-

B.4

111

--

2-34

解析：因为Si的首项为]]=5,末项为Rx][=工,所以Si=.।।+]_(_0+<IT>

1十IzJA1-f-1q1-r11~vz,i十j

故选D.

答案：D

4.设凡r)是定义在正整数集上的函数，有人与满足：当“/也)23成立时，总可推

出/U+1)2伙+1)2成立”.那么下列命题总成立的是()

A.若/(3)29成立，则当％21时，均有加成立

B.若.*5)225成立，则当z<5时，均有加1)2后成立

C.若.*7)<49成立，则当上》8时，均有.*女)<必成立

D.若44)=25成立，则当人24时，均有1A)2d成立

解析：由题意设./(X)满足：“当加1)2后成立时，总可推出加1+1)2(2+1)2成

立”.因此，对于A,攵=1,2时不一定成立.对于B,C显然错误.对于D,因

为X4）=25>42,因此对于任意的％24,均有人女）23成立.

答案：D

5.某个命题与正整数〃有关，如果当〃=时命题成立，那么可推得当〃

=%+1时，命题也成立.现已知当〃=5时该命题不成立，那么可推得（）

A.当〃=6时该命题不成立

B.当”=6时该命题成立

C.当”=4时该命题不成立

D.当〃=4时该命题成立

解析：与“如果当〃=%（AGN+）时命题成立，那么可推得当〃=左+1时命题也成

立”等价的命题为“如果当n=k+\时命题不成立，则当〃=4%WN+）时，命题

也不成立”.故知当〃=5时，该命题不成立，可推得当〃=4时该命题不成立，

故选C.

答案：C

6.观察下列式子：1+拉|,1+1+*<|,1+[+*+*<*…,可归纳出一

般性结论：.

解析：由题意得1卜1工WN+).

4-2A+3AH(〃+n+1

答案：1+*+抖…+W声

2〃+11n-1

.sin-2-a-cos--a

7.用数学归纳法证明］+cosa+cos3a+…+cos(2〃一l)a=--------布耳--------

（AeN+,aWE,nGNi）,在验证〃=1时，左边计算所得的项是

答案：]+cosa

8.用数学归纳法证明：2"+i2〃2+"+2（/JeN+）时，第一步应验证

答案：〃=1时，22^12+1+2,即4=4

i右+方+…舄＜25(4+

9.证明不等式:).

证明：（1）当〃=1时，左边=1,右边=2,不等式成立.

（2）假设当〃=奴％21）时，命题成立，即

I+右+3+…+比<2#(kWN+).

当〃=k+l时'左边=1+古+古+...+t+忘!<2#+店=

2y/k(k+1)+1

yjk+l

现在只需证明27k(1^)乜2Vm，

即证：2出(%+1)<29+1,

两边平方，整理得0<1,显然成立.

.2也仅+1)+1

<2yjk+1成立.

#+1

即1+3+3+…+笈+忘!<2师成立•

...当”=bH时，不等式成立.

由(1)(2)知，对于任何正整数〃原不等式都成立.

10.设>=]*3+3x5+5x71卜(2〃-1)(2及+1)5*N+),设计算Si,S2,S3,

并猜想S的表达式，然后用数学归纳法给出证明.

1_1

解析：Si=]x3=3=2Xl+r

_11_2_2

52==1X3+3X5=5=2X2+r

_11I1_3_3

X3+3X5+5X7=5=2X3+1'

I?

猜想S尸厂H7(〃GN+).

2n+l

下面用数学归纳法证明：

(1)当〃=1时，左边Si=]*3=?右边=2x]+]=?等式成立.

(2)假设〃=处121,%£N+)时等式成立，即

11,1,,1_k

1X33X55X7（2攵-1）（2左+1）-2攵+1，

贝U当〃=攵+1时，

1,1,1,1,1k

1X33X55X7（2攵-1）（2左+1）（2%+1）（2攵+3）2左+1

]

（2左+1）（24+3）

2M+3女+1攵+1攵+1

=（2攵+1）（2%+3）=2攵+3=2伙+1）+「

这就是说，

当n=k+1时，等式成立.

由⑴⑵可知,

n

等式*=丁77对“GN+都成立.

2〃十1

[B组能力提升]

1.观察下列不等式：1>；,1+l+r>1,1+i+|d--F^>z,1+^+T4-------b"jr>2,

1+打%“十提>|,…，由此猜测第〃（〃GN+）个不等式为（）

A.1+^+|H----[-恭

_,,1,1,,1n

B,1+5+5-I-----F------r>^

232〃-12

_.।1.1,,1n

c-1+/§+•••+后〉2

c..1.1..1n

D.1+2+^----^^Fi>2

解析：•.•1,3,7,15,31,…的通项公式为劣=2"-1,

.•.不等式左边应是1+J+1+…+—：.

2J2〃—1

135

-1--

7172,2…的通项公式为bn=^,

...不等式右边应是g

答案：c

2.用数学归纳法证明不等式“士+士+…+=>聂(〃>2,〃GN+)”时的过程

n+1n+22〃24'

中，由〃=左到〃=左+1时，不等式的左边()

A.增加了一项2(%+])

B•增加了两项含T2伙+1)

C.增加了两项元匕，又减少了一项占

2k+12(K+1)k+1

D.增加了一项三£不，又减少了一项士

2(左十1)&十1

解析：当〃=%时，左边=出+出+…

k+1k+2Zk

当"=k+l时'左边=,十]+]+7+]+2+…+2(&+l)=IT^+而+…+如+

2Z+12Z+2，

故由〃=攵到〃=后+1时，不等式的左边增加了两项，又减少了一项.

答案：C

3.用数学归纳法证明某不等式，其中证〃=%+1时不等式成立的关键一步是：

(Z+D/+2),,-----—仪+1)(%+2),仅+2)(%+3)”口,一月3

-————2+[伏+2)伙+3)>、————-+()>-——----'括号中应填的

式子是.

解析：由甘伏+2)伙+3)>A+2,联系不等式的形式可知，应填左+2.

答案：Z+2

nn]

4.设外人均为正实数，〃£N+,已知M=(a+/?)〃，N=a+na~h9则N的

大小关系为(提示：利用贝努利不等式，令x=$.

解析：令x=*M=(a+h)n,N=an+nan~'b,

MN

二疝=(l+x)",6=1+»x

a>0,b>0,Ax>0.

由贝努利不等式得(1+xy>1+nx.

答案：M>N

5.对于一切正整数小先猜出使/〃>层成立的最小的正整数3然后用数学归纳

法证明，并再证明不等式:n(n+l).^>lg(l-2-3---n).

证明：猜想当f=3时，对一切正整数〃使3">层成立.下面用数学归纳法进行证

明.

当n=1时，31=3>1=12,命题成立.

假设〃左WN+)时，成立，

则有y23+1.

对〃=1+1,3片1=3-3*=3*+2-3及

>F+2(R+1)>33+1.

•.•(3d+1)—(4+1)2

=2诺-2k=2k(k—1)》0,

.,.32|>/+1)2,

...对〃=攵+1,命题成立.

由上知，当r=3时，对一切〃WN+,命题都成立.

再用数学归纳法证明：

«(«+1).-^>lg(l-2-3-••••n).

当〃=1时，1*(1+1)*(=粤〉0=母1,命题成立.

假设〃=网左21,左GN+)时,

匕伏+1)•竽>坨(123•…困成立.

当n=k+\时，(女+1>(4+2)•野

=e%+1)号+2(攵+1)号

>lg(l-2-3---^)+1lg3/1

>lg(1•2・3•Z)+；lg(%+1)2

=lg[123...・k•伙+1）],命题成立.

由上可知，对一切正整数”，命题成立.

6.已知等比数列｛z｝的首项ai=2,公比q=3,S,是它的前〃项和.

出、正5„+i3n+l

求证：H＜一1

证明：由已知，得8=3"—1,

婴w铝等价于3”+1_]3〃+1

'A,即3"，2〃+1.(*)

30-1n

法一：用数学归纳法证明上面不等式成立.

①当〃=1时，左边=3,右边=3,所以（*）成立.

②假设当〃=攵时，（*）成立，即3A22A+1,那么当〃=bH时,

3&+1=3X3*23（2%+1）=6攵+322Z+3=2（%+1）+1,

所以当n=k+\时，（*）成立.

综合①②，得3"22〃+1成立.

上,,Sn+\3n+\

所以二lW-----.

Snn

法二：当〃=1时，左边=3,右边=3,所以(*)成立.

当心2时,3"=(1+2)"=C9+C)X2+GX22+…+CSX2"=l+2〃+…>1+2〃,

所以(*)成立.

~.54+13〃+l

所以一^一w

onn

达标检测

时间：120分钟满分：150分

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的）

1.用数学归纳法证明“对任意无＞0和正整数n,都有炉+x"-2+炉一4+…+3+

xn

上+92〃+1"时，需要验证的使命题成立的最小正整数值〃o应为（）

A.no=lB.»0=2

C.〃()=1,2D.以上答案均不正确

解析：当〃0=1时，成立，故选A.

答案：A

2.从一楼到二楼的楼梯共有〃级台阶，每步只能跨上1级或2级，走完这〃级

台阶共有穴〃)种走法，则下面的猜想正确的是()

A..穴〃)-1)+式“一2)(〃三3)

B.八〃)1)(心2)

C.4")=加〃-1)一1(般22)

D./(〃)=/(〃_1/〃_2)(〃23)

\n,〃=1,2,

解析：分别取〃=1,2,3,4验证，得1〃)=

[f[n—l)+f{n—2),/?33.

答案：A

3.设凸〃边形有.穴〃)条对角线，则凸〃+1边形的对角形的条数/〃+1)为()

A.7(")+〃+1B./(〃)+〃

C./(〃)+〃-1D./(〃)+〃-2

解析：凸〃+1边形的对角线的条数等于凸〃边形的对角线的条数，加上多的那

个点向其他点引的对角线的条数(〃-2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有

.穴〃)+〃一1条对角线，故选C.

答案：c

4.用数学归纳法证明“〃3+(〃+1)3+(〃+2)3,〃eN,能被9整除"，利用归纳假

设证〃=%+1,只需展开()

A.(A+3)3B.伏+2>

C.伏+1>D.(%+1)3+(%+2)3

解析：〃=%时，式子为K+(k+1)'+(%+2)3,

n=k+l时，式子为(4+1)3+(无+2/+D+3)3,

故只需展开伏+3)3.

答案：A

5.下列说法中正确的是()

A.若一个命题当〃=1,2时为真，则此命题为真命题

B.若一个命题当“=%时成立且推得〃=左+1时也成立，则这个命题为真命题

C.若一个命题当〃=1,2时为真，则当”=3时这个命题也为真

D.若一个命题当〃=1时为真，〃=%时为真能推得"=攵+1时亦为真，则此命

题为真命题

解析：由完全归纳法可知，只有当〃的初始取值成立且由〃=攵成立能推得〃=攵

+1时也成立时，才可以证明结论正确，二者缺一不可.A,B,C项均不全面.

答案：D

6.平面内原有左条直线，它们的交点个数记为.大与，则增加一条直线/后，它们

的交点个数最多为()

A.人£)+1B.fik)+k

C.大女)+左+1D.卜默)

解析：第左+1条直线与前左条直线都相交且有不同交点时，交点个数最多，此

时应比原先增加％个交点.

答案：B

7.用数学归纳法证明34"+i+52"+i(〃GN+)能被8整除时，若〃=左时，命题成立，

欲证当〃=%+1时命题成立，对于3行+D+I+52(WI)+I可变形为()

A.56X34A:+1+25(34t+l+52A+l)

B.34X34/:+I+52X52/:

C.34*+1+52*+1

D.25(3软+1+52H1)

解析：由34(A:+1)+1+52(k+1)+1=81X34*+1+25X52*+1+25X34*+1-25X34k+1

=56X3钦+1+25(3位'+52*+1).

答案：A

8.数列｛m｝的前〃项和S"=M2s(〃22),而0=1通过计算。2,。3,04,猜想小

等于()

A^—B2

,(??+1)2/?(??+1)

C，D,

。2”-12〃一1

12

==

解析：由d2Sl—S\4-Cl2—1得。2=鼻J=勺Z〜A々J

由。3=53-52=9。3-4。2得。3=呼2=%=^^.

-2

由Cl4=S4-§3=16〃4—9。3得。4=三43=77j=1,猜想”"=而下/

D1U4Aj

答案：B

9.用数学归纳法证明(〃+1)(〃+2)…("+〃)=2"X1X3X…X(2〃-1)(〃GN+)时,

从々到4+1,左边需要增加的代数式为()

A.2k+lB.2(2%+1)

2k+l2Z+3

C-------D.

Z+lZ+1

解析：当'时左边的最后一■项是2攵，〃=%+1时左边的最后一■项是2Z+2,

而左边各项都是连续的，所以〃=攵+1时比〃=々时左边少了(4+1),而多了

(2k+1)-(2Z+2).因此增加的代数式是(2"+1]—+2)=2(2攵+1).

答案：B

10.把正整数按如图所示的规律排序，则从2018到2020的箭头方向依次为

()

14->58—>912—*13

2I―>3I6I—*7I1I0—►11I114…

A.I-B.—I

C.t-D.-t

解析：由2018=4X504+2,而a“=4〃是每一个下边不封闭的正方形左上顶点

的数，故应选D.

答案：D

/十九2

11.用数学归纳法证明1+2+3+…+/=一下一，则当〃=%+1时左端应

在〃=上的基础上加上()

A.E

B.(女+1)2

1+1)4+/+1)2

L-・。

D.(F+l)+(标+2)+…+(左+1)2

解析：•.,当〃=%时，左端=1+2+3+…+庐，

当n=k+\时，左端=1+2+3+…+幺+(幺+1)+(3+2)+…+(bH)2.

故当n=k+\时，左端应在n=k的基础上加上(/+1)+(F+2)H--F(Z:+1)2,

故应选D.

答案：D

12.若左棱柱有贝份个对角面，则％+1棱柱的对角面的个数为()

A.2附B.j[lc)+k-\

C.f(k)+kD./U)+2

解析：如图所示是4+1棱柱的一个横截面，显然从k棱柱到Z+1

棱柱，增加了从4+1发出的对角线上—2条，即相应对角面女一2个，/

以及4AA棱变为对角线(变为相应的对角面).故*

4+i

^+1)=^)+(^-2)+1=^)+^-1.

答案：B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)

13.已知n为正偶数,用数学归纳法证明1一：+1-1+…+士=

234n+1

2(圭+专+…十即时，若已假设〃=k(k》2为偶数)时命题为真，则还需要

用归纳假设再证〃=时等式成立.

解析：•.•〃=%为偶数，...下一个偶数为〃=Z+2.

答案：左+2

14.在数列｛而｝中,a=1,且S”,S“+i2Si成等差数列，则S2,S3,S4分别为

猜想S=.

解析：Si=l,2S〃+i=S"+2sl.

3

当〃=1时，252=SI+2=3,S2=5；

7

当〃=2时，2s3=S2+2,53=不

当n=3时，2s4=邑+2,S=v.

4o

2n-l

猜想

s,=2"-i

较安.37}5兰二1

口不：2、4、82"一]

15.设加)=0+加+*>{1+言，用数学归纳法证明的)23.在“假设

〃=上时成立"后，,*Z+1)与八%)的关系是人左+1)=/伏>.

解析：当〃=女时，

必)=(1+0]1+露)“(1+&；

当n=k+\时，州+1)

=0+1+?11+I+2}"0+2Z+2)'

所以应乘(1+汨4(1+汨工).告■.

答案:0+2l+T)^+2A:+2)I+T

16.有以下四个命题：

(1)2">2〃+1(〃23).

(2)2+4+6+…+2〃=〃2+〃+2(“21).

(3)凸n边形内角和为/(〃)=(〃一1)兀(〃23).

(4)凸n边形对角线条数加1)=〃(〃22)(〃24).

其中满足“假设片楸WN+，6〃o)时命题成立，则当n=k+\时命题也成立.”

但不满足“当〃=/耿如是题中给定的〃的初始值)时命题成立”的命题序号是

解析：当〃取第一个值时经验证(2),(3),(4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)

假设〃=-ZWN+,%2〃o)时命题成立，则当n=k+1时命题不成立.所以(2)(3)

正确.

答案：⑵⑶

三'解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤)

17.(12分)用数学归纳法证明对于整数〃20,4=ll"+2+i22E能被133整除.

证明：⑴当〃=0时,AO=1F+12=133能被133整除.

(2)假设n=k时，Ak=Uk+2+122k+i能被133整除.

当n=k+1时，

4+i=11m+122*+3=11.]产2+122-122<:+,

=11-11*+2+11-122<:+|+(122-11)-1224+,.

=11-(11*+2+122fe+1)+133-122*+1.

：.n=k+\时，命题也成立.

根据⑴⑵，对于任意整数〃20,命题都成立.

y11

18.(12分)设｛X"｝是由xi=2,x*+i=^+;r(〃eN卜)定义的数列，求证：Xn<-\[2+~.

证明：⑴当n—1时，汨=2<啦+1,不等式成立.

(2)假设当〃=1)时，不等式成立，即为<6+；,那么，当〃=后+1时，必+i

=至+_L

2Xk

由归纳假设，必〈啦+6哨坐+点

—>~_7.xk>y[2,

Xkr;,1VXk2

嫄+z

•,•麻+】号+薛噎+坐=啦+泉忤蠡

即X&1〈啦+*p

,当n=k+\时，不等式%〃〈也+；成立.

综上,得Xn<y[2+^(/?EN+).

19.(12分)证明：tana-tan2a+tan2a-tan3a+…+tan(〃-l)a-tanna=

tanna_

〃

tana£N+).

证明：(1)当〃=2时，左边=tana・tan2a,

tan2a-2tana1

右边=2=--------.-------2

tana1—tarratana

广一2

1—tana

Ztan2。tana-2tana,

一;—■一—=tana-tan2a=左边，等式成立.

1—tan2a1—tarra

(2)假设当〃=&(ZN2,左£N+)时等式成立，即

tan

tana-tan2a+tan2a-tan3aH-----Ftan(女——l)a-tanka=~^~^—k.

当n=k+l时，

tana・tan2a+tan2a-tan3aH----Ftan(k—l)(z-tan4a+tanZa・tan(Z+l)a

tanka,,,八一、

=—-K+tankx・tan(攵+l)a

tan+tana・tan(Z+l)a]

tanak

1「tan(A+1)。-tana"|

=I±h+tan/+l)a-tana_fl+tan(k+l)atana]~k

=tan/tan(k+l)a—tana]一女

tan(k+l)a

tana(Z+l),

所以当〃=k+l时，等式也成立.

由⑴和⑵知,当〃22,〃GN+时等式恒成立.

20.(12分)数列｛“”｝满足S“=