2021北京重点校高一（上）期中数学汇编：函数概念与性质1

2021北京重点校高一(上)期中数学汇编

函数概念与性质1

一、单选题

1.(2021•北京•清华附中高一期中)设偶函数/(%)在区间(-，-1]上单调递增，则()

A.

C./⑵</(-1)</卜|)D./(-1)</[-|]</(2)

f—2x—cix—4x(1

2.(2021•北京师大附中高一期中)已知I函数f(x)=2.、+”x>]'-是R上的增函数，则“的取值范围是()

A.[-4,0)B.E-4,-2)C.[-4,+oo)D.(-8,-2)

3.(2021•北京师大附中高一期中)下图是函数y=/(x)的图像，/(6)的值为()

4.(2021•北京师大附中高一期中)下列函数中，在区间(0,+oo)上不是单调函数的是()

A.j=--B.y=x2C.y=|x-l|D.y=x3

5.(202L北京八中高一期中)已知〃=则噌卜O等于()

6.(2021•北京市第十三中学高一期中)函数)，=•!■的单调减区间为()

X

A.(-00,+oo)B.(-co,0)U(0,+oo)

C.(一8,0)c(0,+oo)D.(-00,0),(0,+oo)

—x~—cix—7,x<1

7.(2021•北京八十中高一期中)已知函数/(©=°是R上的增函数，则。的取值范围为()

一,x>1

、X

A.[-4,0)B.[-4,-2]C.(-oo,-2]D.(Y,0]

8.(2021.北京四中高一期中)已知函数/⑺是R上的偶函数，当xNO时/(x)=x-l,则不等式9(x)<0的解集是

()

A.(-1,0)?(1,?)B.(e,-l)U(0」)C.(7,-1)U(L+8)D.(-1,1)

x+2,x<-1,

9.(2021•北京四中高一期中)函数/(、)=x2,-1<工<2,若/*)=3,则x的值是()

2x,x>2.

A.±6B.1或3C.1或±6D.&

10.(2021•北京四中高一期中)若/•(1一天)=上】，则/(0)=()

1+厂

A.0B.gC.1D.-1

二、填空题

11.(2021.北京师大附中高一期中)函数/(力=叵I的定义域是.

12.(2021•北京市陈经纶中学高一期中)己知塞函数)=/(*)的图像过点(8,2夜)，则/(9)的值为.

13.(2021•北京市陈经纶中学高一期中)设定义在R上的函数/(x)满足：

(1)当北时，f(m+n)=(2)/(0)工0；(3)当x<0时，

则在下列结论中：

②/(x)在R上是递减函数；

③存在看,使

④若/(2)=:，则/(：)=：,/(：)=1.

24466

其中正确结论的命题为.

14.(2021•北京市第十三中学高一期中)能够说明“若/(x)</(x+l)对任意的xeR都成立，则函数f(x)在

(T»,+CO)是增函数”为假命题的一个函数是.

15.(2021•北京市H^一学校高一期中)函数f(x)是定义在R上的奇函数，/(-1)=0,且对于

内,天€(0,+OO)(玉HW)都有(4-%)[/(%)—f5)]>0,则不等式(X-l)/(x)<0的解集为.

16.(2021.北京市十一学校高一期中)写出“函数/。)=/-2狈+1在区间(-co』)上单调递减”的一个充分不必要条

件：.

[£x>i

17.(2021•北京市十一学校高一期中)已知函数f(x)=Jx'-在R上单调递减，则实数〃的取值范围是

I-x+3a,x<l

三、双空题

18.(2021.北京市十一学校高一期中)若定义在R上的奇函数/(x)满足〃2-x)=/(x),且xe[0,l]时

f(x)=x2-2x,则：

(1)7(2021)=；

(2)当xe[3,4]时，f(x)=.

19.(2021•北京市十一学校高一期中)己知两个函数Ax)和g(x)都是定义在｛0,1,2,3｝上的函数，对应关系如下表:

(2)方程18(八幻)-刈=1的解集是.

20.(2021•北京市十一学校高一期中)已知函数y=/(x)的图象是如图所示的两条线段(不含端点)，则:

(1)/(/(D)=；

(2)若/(。)>/(。+1),则实数。的取值范围是.

四、解答题

21.(2021•北京市陈经纶中学高一期中)已知函数/5)的定义域为R,且满足对于任意都有

f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时，/(x)<0,且f⑴=-3.

⑴求〃0)与/(3)的值；

(2)判断，x)的奇偶性；

(3)判断/(x)的单调性，并证明；

(4)解不等式/(/+1)+/(%)<-9.

22.(2021•北京市陈经纶中学高一期中)已知函数/(x)=x-』

X

⑴用函数单调性的定义证明/(X)在区间(0,口)上是增函数；

⑵解不等式

23.(2021•北京师大附中高一期中)已知函数〃、力2=丫黄一3;

(1)判断函数/(X)是否具有奇偶性？并说明理由；

(2)试用函数单调性的定义证明：/(X)在(-1,+8)上是增函数；

⑶求函数“X)在区间［1,4］上的值域.

24.(2021•北京师大附中高一期中)已知函数“X)在上有意义，且对任意满足

"x)+“y)T尚).

(1)求〃0)的值，判断了(X)的奇偶性并证明你的结论；

⑵若xe(-l,0)时，/(x)>0,判断“X)在(-1,1)的单调性，并说明理由.

(3)在(2)的条件下，请在以下两个问题中住淮1个作答：(如果两问都做，按①得分计入总分)

①若=请问是否存在实数。，使得/(力+/(。)+120恒成立，若存在，给出实数。的一个取值；若不存

在，请说明理由.

②记max{a,。}表示a力两数中的较大值，若对于任意,max|-|/(x)|,x2+w|x|+^-1>0,求实数机的取值

范围？

25.(2021•北京八中高一期中)已知集合M是满足下列性质的函数/(*)的全体：存在非零常数T,对任意xeR,

有〃x+T)=疗(x)成立.

(1)判断函数f(x)=x是否属于集合M，并说明理由；

(2)设函数/(x)="m>0,a#l)的图像与y=x的图像有公共点，证明：函数/5)属于集合M；

(3)是否存在实数“，使得/(幻=幻》-4|属于集合时？若存在，求出实数。的取值范围；若不存在，请说明理由.

26.(2021.北京.101中学高一期中)对于定义域为/的函数f(x),如果存在区间［见网=］,使得/(x)在区间［孙网

上是单调函数.且函数y=/(x),xe［九川的值域是［北川，则称区间［孙川是函数f(x)的一个“优美区间”

4

⑴判断函数y=/*£/?)和函数y=3—-。>0)是否存在“优美区间”？(直接写出结论，不要求证明)

x

⑵如果［，",〃］是函数/(x)=(/+,)x-l(”0)的一个“优美区间，，,求〃-机的最大值；

a~x

⑶如果函数g(x)=x、a在R上存在“优美区间”，求实数”的取值范围.

27.(2021•北京市H^一学校高一期中)已知定义在R上的函数〃x),g(x)满足：

①/(0)=1;②g(x)为奇函数；@Vxe(0,+oo),都有g(x)>0；④Vx,yeR都有/(x-y)=/(x)/(y)-g(x)g(y).

(1)判断并证明函数/")的奇偶性；

(2)判断并证明函数Ax)在(0,+«>)上的单调性；

⑶若对于任意fe［0,+8),不等式,/■(—1)-/(2-口<0恒成立，求实数后的取值范围.

2

28.(2021•北京市十一学校高一期中)己知函数/(x)=——x.

x

(1)用单调性定义证明：函数fM在(0,+8)上递减；

(2)直接写出函数fM的定义域和奇偶性，并画出函数/(X)的大致图象;

(3)设g(x)=〃-2,若对于e[2,4],总IT?€[-2,-1],使〃々)=8(王)恒成立，求实数〃的取值范围.

29.(2021•北京四中高一期中)已知函数/(x)=4x+‘.

X

(1)应用函数单调性的定义证明：函数/(X)在区间+8)上单调递增；

⑵求/(X)在区间[1,3]上的最大值与最小值.

注：证明(1)只能用函数单调性定义证明.

30.(2021.北京.北师大二附中高一期中)设/(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=2x+l.

⑴求〃x)的解析式；

(2)若x<0时，方程/(司=^+a+2f仅有一实根或有两个相等的实根，求实数f的取值范围.

参考答案

1.B

【分析】根据函数奇偶性，将/(2)转化为了(_2),再利用函数单调性即可比较大小.

【详解】根据题意“力为偶函数，则〃2)=〃-2),

又由函数f(x)在区间上单调递增，且

故选：B.

2.B

【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式

组，解得即可；

【详解】因为/(x)=L「"且/⑴在R上单调递增，

[2+a,x>\

则

[—2—tZ>0r、

所以C>m-4<a<-2,即“e-4,-2),

[-2-a-4<2+aL'

故选：B

3.A

【分析】由图象可知xe[3,9]时，y=/(x)为一次函数，进而待定系数法求出解析式，即可求出结果.

【详解】由图象可知xe[3,9]时，y=〃x)为一次函数，且过点(3,6),(9,0),

设xe[3,9]时，/(力="+仇则0=%+)，解得kg，则〃X)=T+9,

因止匕/(6)=-6+9=3,

故选：A.

4.C

【分析】由基本函数的性质分析判断即可

【详解】对于A,y=」在(0,+oo)上单调递增，所以A错误，

X

对于B,y=/在(0,+oo)上单调递增，所以B错误，

对于c,y=x-l=<，在(0,+8)上不是单调函数，所以C正确,

1\\-x,x<l

对于D,y=/在(0,+oo)上单调递增，所以D错误，

故选：C

5.B

【分析】根据分段函数解析式求解即可.

【详解】解：由题知==)=_g+l=|,

所以佃+《｛|吟

故选：B

6.D

【分析】根据反比例函数的单调性即可得出答案.

【详解】解：由函数y=L,定义域为(-8,0),(0,+8),

X

得其单调减区间为(YO,0),(0,+8).

故选：D.

7.B

【分析】依题意可得函数在各段均是增函数且在断点的左侧的函数值不大于断点右侧的函数值，即可得到不等式

组，解得即可；

—X2—ux—7,x<1

【详解】解：因为人幻二。且f(x)在R上单调递增，

一,x>1

a<0

所以,一耳21,解得—44aW—2,即a£[—4,—2]

a>-\-a-7

故选：B

8.B

【分析】根据函数的奇偶性得到函数解析式，再考虑xNO和冗<0两种情况，解不等式得到答案.

【详解】当x<0时，-x>0,/(x)=/(-x)=-x-l.

当xNO时，W)<0,即x(x—1)<0,解得0<xvl,故Ovxvl；

当x<0时，xfM<0,即工(一九一1)<0,解得]>0或x<-l,故xv—l.

综上所述：工£(-00,-1)=(0,1).

故选：B.

9.D

【分析】考虑xK-1,-l<x<2,xN2三种情况，代入函数分别计算得到答案.

【详解】当xW-l时,/(x)=x+2=3,解得％=1,不满足；

当—lvxv2时，/(x)=x2=3,x=或x=-退(舍去)，故尢=百；

3

当xN2时，/(x)=2x=3,解得x=],不满足.

综上所述：x=-73.

故选：D.

10.A

【分析】取x=I,代入计算得到答案.

1-1

【详解】取x=l,则〃0)=「=0.

1+1

故选：A.

H.+00)

【分析】由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0,联立不等式组求解X的取值集合得答案.

fx+l>0

【详解】由八，得X2-1且XW0,

•••函数/(幻=立9的定义域为卜1,0)U(0,+8);

X

故答案为：卜1,0)口(0,+8).

12.3

【分析】利用待定系数法求出了(X)的表达式即可.

【详解】设八彳)=皆,

33一1

则”8)=80=23。=20=22，解得3a=5,所以。=万

II1

则/(x)=/，/(9)=92=3，

故答案为：3

13.①②③

【分析】通过赋值可得/(0)=1,进而可判断①，再根据单调性的定义及条件可判断②，由②得单调性和/(。)=1可

判断③，由/'(()=£6=7考=4可判断④.

【详解】当私时，f(m+n)=f(m)-f(n)

令%=〃=0时，/(0)=/(0)-/(0),

因为八0)工0,所以/(0)=1,

所以〃。>/(-。)=八0)=1,所以①正确；

由①知，/(MO,所以有了。)=.吗+立=尸9>0,

任意的X[,X[且X]<X],

/U1)-/(JC2)=/(X,-x2+x2)-/(x2)

=f(xt-X2)f(x2)-f(x2)=f(x2)[f(xt-x2)-l]

因为占<%,则占-w<0,所以/（小）>0,

所以/（占）-/（七）>0,所以/（X）在R上是递减函数，②正确；

因为/（。）=1,〃x）在R上是递减函数，所以当x>l时，/（x）<l,③正确;

由/（2）=；,结合①得，由;）==£2）=4'④错误•

故答案为：①②③.

//W、=[x+0.1,x<0

14.L-0,u>0（答案不唯一）

x+0.1,x<0

【分析】根据题意函数可为.“力=说明此函数在（3,+8）上不是增函数即可.

x-0.1,x>0

x+0.1,x<0

【详解】解：根据题意函数可为f（x）=

x-0.1,x>0

则对于任意的X£R都有fM</（x+1）,

函数/（X）在（F,0）,（0,+00）上都是增函数,

x/（o）=0.1>/（0.1）=0,则函数/（X）在（-8,田）上不是增函数,

x+0.1,x<0

所以函数f（x）=能够说明题中命题为假命题.

x-0.1,x>0

£(\|x+0.1,A：<0

故答案为:/W=L-o,u>o-（答案不唯一）

15.(—1,0)

【分析】由题可得函数/（X）在（0,m）上为增函数，函数/*）在（YO,0）上为增函数，不等式（X-l）〃x）<0等价于

x-l>0Jx-l<0

,解之即得.

/(x)<0^[/(x)>0

【详解】•••函数f（x）是定义在R上的奇函数，/（-D=0,

/(I)=0,又€(。,+00)(玉二々)都有(玉-^)[/(%,)-/(%2)]>0,

函数/（X）在（0,+8）上为增函数，函数/（X）在（70,0）上为增函数,

由/(x)>0得xe(-1,0)U(L+oo),由/(x)<0得x€(-co,-l)u(0,l),

x—1>0Jx-1<0

由(x-l)/(x)<0得,/(x)<0^[/(x)>0

xe(-l,0).

故答案为：（7,0）

16.a>1（答案不唯一）

【分析】由函数/（x）=f-2仪+1在区间（YO,1）上单调递减可得“21,再利用充分条件、必要条件的定义即得.

【详解】由函数八此=/-2”+1在区间（YO,1）上单调递减可得“21,

所以“函数/。）=/-2如+1在区间（3,1）上单调递减”的一个充分不必要条件为”>1.

故答案为：(答案不唯一)

17.\，+8)

fa>0

【分析】根据题意可知{।、，由此即可求出结果.

[£

【详解】因为函数/*)=/-在R上单调递减，

-x+3。，x<1

[a>01

所以，°、，解得北，

故答案为：；，+8).

18,-1-X2+6x-8

【分析】(1)由题可得/(4+x)=/(x),再结合条件可求；

(2)由题可求当xe[T,O]时,〃X)=-X2_2X,再结合函数的周期性即求.

【详解】•••定义在R上的奇函数/&)满足/(2-x)=f(x),

：./(-x)=-/(x),/(2+x)=f(-x)=-/(x),

/./(4+x)=f(x)，即函数f(x)是以4为周期的周期函数，

又xe[O,l]时f(x)=x2-2x,

：./(2021)=/(4x505+l)=/(l)=l-2=-l,

.•.当xe[—1,0]时,-xe[0,l],

f{x)=—f(—x)=—[(—x)~—2(—x)]=—x2—2x,

.•.当xe[3,4]时，x—4G[—1,0],

/(x)=/(x-4)=-(x-4)2-2(x-4)=-x2+6x-8.

故答案为：(1)T；(2)-X2+6X-8

19.0{1,2}##{2,1}

【分析】(1)利用函数的对应关系即求；

(2)把x的取值代入验证即求.

【详解】(1)•••g(/(x))=2,

；.〃x)=3,

；.x=0；

(2)当x=0时，|g(/(0))-0|=|g(3)|=2#l,

当x=1时,Ig(/⑴)-l|=|g(2)-l|=|0-l|=l,

当x=2时，|g(.f(2))-21=|g⑴-2|=|3-2|=1,

当x=3时，|g(〃3))—3|=|g(0)—3|=|1—3|=2/1,

...方程Ig(7(x))-X1=1的解集是{1,2}.

故答案为：(1)0；(2){1,2}

20.1-l<a<0

【分析】(1)先根据函数的图象利用分段函数写出函数的解析式，再根据所求由内向外逐一去掉括号，从而求出

函数值；

(2)根据函数图象，建立不等式求解.

fx+2(-2<x<0)

【详解】(1)由图象知/(*)=;八

[x-2(0<x<3)

A/(/(D)=/(-1)=-1+2=1.

(2)由图象可知，函数在(-2,0)和(0,3)上单调递增，

又/⑷>/(。+1),

所以ae(-2,0),a+1e(0,3),

解得-l<a<0

故答案为：1；-l<a<0

21.(1)/(0)=0,/(3)=-9

(2)见解析

(3)见解析

⑷{x[x<-2或x》l}

【分析】(1)通过赋值可得解；

(2)令y=-x,结合/(o)=o可判断；

(3)令由35)+/(-±)<0可判断4*1)>/(莅)；

(4)由/(X2+I)+/(X)V-9O/，+1+X]V〃3),可得d+l+x23,进而得解.

(1)

令x=y=0,则/(0)=/(0)+/(0),即/(0)=0,

〃l)=-3n/(2)=2〃l)=-6,

/(3)=/(1)+/(2)=-9；

(2)

令Y=-x,则/(0)=/(x)+/(-x)=0,即。(-x)=-f(x),可得f(x)为奇函数；

(3)

f(x)是R上的减函数

下证明：令X1<W，贝1」工2-玉>0,由X>0时，f(x)<0,

可得了(z-占)<0,即有/氏)+/(-5)<0,gp/(x2)-/(^)<0,即得％)>f(X2),

则/(X)是R上的减函数；

(4)

fix1+1)+f(x)<-9<=>标+1+幻V/⑶,

由(3)知/(x)是R上的减函数，

所以Y+1+X23,解得尤W-2或xNl.

故不等式的解为或x3l}.

22.⑴见解析

【分析】(1)通过计算/(内)-/(%)<0,证得/(*)在区间(。，+8)上为增函数.

(2)利用/(%)的解析式，化简不等式,由此求得不等式的解集.

(1)设任意的不&e(0,+oo)且占<%,

则/(%)-/(W)

(1)j1]

=%―一卜当―一

1%八X2)

11

-Xy-------1—

-X,X?

=(Xf)+^^

中2

=(xj-x2)-1+---I,

1中2；

・.・看,12£(°，+0°)且不<毛，

X,-x2<0f1H---->0,

中2

/(1)

即(百—),1H----<0,

1X\X2)

即/&)</(&),

即对任意的内,当40,小功，当王<乂2时，都有/(%)</(%)，

•••fM在区间(0,+8)上是增函数；

(2)由/⑺可得

2t2

7>op<o

所以有’21,c或'*21*1-

t—Z—1>0t—Z—1<0n

22

解得或

44

所以不等式的解为：f--"+8)

23.(1)函数/(x)不具有奇偶性；理由见解析；

(2)证明见解析；

⑶［《，1］.

【分析】(1)通过定义域不关于原点对称来判断奇偶性；

(2)任取制，&£(-1,+8),且X/VX2,通过计算/(x/)-f(X2)的正负来判断单调性;

(3)通过函数/(X)在区间［1,4］上的单调性求得最值即可.

(1)由已知X+1H0,故工¥-1

函数/(X)定义域为(e，T)，

因为定义域不关于原点对称，

所以函数/(另不具有奇偶性；

2x—32(x+l)—5

(2)证明：/(%)==2-9

X+1X+1

任取X/,X2^(-1,+8),且也<X2

55

=)-(2--)

555(X+1)—5(工2+1)

x2+1xi+1+l)(x2+1)

5(x1-x2)

一(芭+l)(x2+1)'

又由-1〈X/<X2,则X/・X2<0,Xl+1>0,X2-\~1>0,

故f5)-f(X2)<0,即f(X/)<f(X2)»

所以./U)在(-1,+oo)是增函数；

(3)由(2)知，工)在［1,4］上单调递增,

所以,/(工)01小=、/(1)=・5，/(^)max=f(4)=1,

故加0在［I，4］上的值域是［-g,1］.

24.(1)/(0)=0,/(x)奇函数；证明见解析

(2)/(x)在(-1」)上是单调递减函数；理由见解析

(3)①不存在；理由见解析；②卜1,口).

【分析】(1)令x=y=O,得到/(0)=0,再令y=—x,可得〃x)+〃-x)=o,劲儿可得出结论;

(2)设任意玉,电5<W，令》=再，丫=一当，进而可得(%)=/判断其正负，结合单

1一中2,

调性的概念即可得出结论.

选①结合函数单调性可得需，(2-tz)-l+2a-l>0

1进而可得解不等式即可得出结论;

(2-6Z)«(-l)+2«-l>0

选②令r=|x|,rs[0,l),所以“+加+；20,进而分r=0和rwo两种情况讨论即可求出结果.

(1)令x=y=0,则/(0)+/(0)=〃0),解得"0)=0,

令y=f,

x-x

则“X)+/(T)=/=/(0)=0,

1-x2

则〃一力=一〃力，

又因为/(x)定义域为(T1)，关于原点对称,

所以/(x)为奇函数.

(2)〃力在(-1,1)上是单调递减函数.

理由：设任意AW王</，

令冗"，y=一/，

「

xx2

即：/(x,)-/(x2)=/

、1一中2

因为占,々€(-1,1),X,<Xj,

所以马_芭>0,1-^%2>0,

所以(1-%々)一(七一%)=(1+%)(1—&)>0,

所以一

因为x«—l,o)时，〃x)>0,

所以f"红>0,

u-卬J

故/(西)-/(々)>0，

所以/(与)>/(七)，

所以/(X)在(-1,1)上为单调递减函数.

(3)选①

6

由(2)知，f(x)在(-1,1)上是单调递减函数，且一

所以，(g)=T，«e(-l,l),

因为/(x)+"a)+120,所以/

所以产

14-ax2

HP2(x+a)>l+ar,(2-a)x+2a-\>0,Vxe(-l,l),

(2-a)-l+2a-1>0

所以(2-«)(-l)+2a-l>0'即

又因为a«T,l),

所以不存在实数。使得/(x)+〃a)—120恒成立.

选②

maxj-|/(x)|,x2+/M|X|+^|>0,Vxe(-l,l)

由(2)知，f(x)在(-1,1)上是单调递减函数，且"0)=0.

所以〃(x)L=°，所以[七(加皿=°，

所以12+机|目+；20,Vxe(-l,l)

令r=W，re[0,1),

所以/+加，+’之0,

4

若，=0,mwR；

若fwO,加2-(/+疝■),

因为f口=1,当且仅当t时等号成立，

MV4/2

所以一卜+士卜-1,

所以，“2-1.

综上，实数〃，的取值范围为

【点睛】含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问

题，而不等式的解集。的对立面(如式x)>，”的解集是空集，则4x)S”恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题

都可转化为最值问题，即yu)<a恒成立u»>yu)〃?4x,兀0>4恒成立=〈/(》)加".

25.(l)/(x)=xgM,理由见解析

(2)证明见解析

(3)不存在实数“，使得f(x)=x|x-a|属于集合M

【分析】(1)将〃幻=》代入定义/(x+T)=7/(x)验证知函数/(x)=x不属于集合M.

(2)由题意存在xeR使得a,=x,由新定义知存在非零常数T使得『=T,将函数关系式代入/。+7)=工/口)验

证知/(x)=axeM.

(3)先假设存在，则由新定义有方程组无解，故不存在

⑴/(X)=X£M,

理由如下：

若/(x)=x,

则/(x+T)=x+Tmx)=Tr,

当x=OJ(x+T)=TwO，V(x)=O,

所以/(x)=xeM；

(2)函数〃x)=a\a>0,aH1)的图像与V=x的图像有公共点，

y=ax

所以方程组：f有解，消去>得d=x,

y=x

显然x=0不是方程优=x的解，

所以存在非零常数T,使/=7.

于是对于f(x)=ax有/U+T)=a^T=axar=Tax=Tf(x),

故/(x)=axeM；

(3)若则当x=0时，f(x+T)=T\T-a\,TfW=O,

所以7|7-4=0,得T=a,

贝Ij+7)=(x+7)|x|,〃(x)=仲-T|,

当x>0且x>r,f(x+T)=x2+Tx,Tf(x)=Tx2-T2x,

［T=\

所以丁=_72,方程组无解，

故不存在实数。，使得/(x)=x|x-al属于集合M

26.(1)/(、)存在优美区间是［0,1］,g(x)不存在优美区间；

⑵亚

3

4

【分析】(1)由函数的单调性及值域及新定义求解；

(2)由新定义及函数定义域，确定相应方程/(x)=x有两个同号的不等实根，由此求得参数范围；

(3)由函数的单调性，分类讨论：mWO,"WO,m<0</7,确定函数的最大值和最小值，转化为一元二次方程的

根的分布，可得结论.

(l)y=x2>0,y=/在［0,+8)上单调递增，由*2=*得犬=0或1,存在优美区间是

c4

3---=m

y=3-±(x>0)是增函数，若存在优美区间［孙川，贝I」,无解，不合题意，不存在优美区间；

x“4

⑵fM==1+1-4-14(-8,0)和(0,田)上都是增函数,

a~xaa"x

因此优美区间川口(~°°,0)或["?,〃]口(0,+<»),

ff(m)=m,一

由题意[、，所以Fa)=x有两个同号的不等实根，

[f(n)=n

/(x)=1H-------z-=x，a，？—(4~+a)x+1=0,

aax

△=(a?+。厂—4Q“>0,。~(。+3)(a-1)>0,ci<—3或〃>1,

\x2=^7>0,x，w同号，满足题意，

a2+aa+\

%+%=『=丁,

(々+1)2432।

n-m-\x-x|=yl(x+x)2-4x1x=一一^+一+1

}2122a，a2ara

所以当｝=；,即。=3时，(〃-咻ax=/=¥・

因为av—3或。＞1

(3)函数g(x)=炉+a在R上存在“优美区间”，设[m,n]得其一个优美区间,

g(x)在(7),0)上递减，在(0,+8)上递增，

fP(A77)=Z?7

若心0,则，；,即g(x)=x有两个不等的非负根，

[g(〃)=n

x2+a=x9x2—x+a=0fA=l—4(2>0,a<~>

4

fx+尤)=11

-,则。20,所以0«。<一；

=。4

Jft(/%)~~fj777~-i-a~~M

若〃KO,则{,、，即《2，两式相减得G"+k)(机一〃)="一加+〃=—1,

[g(n)=m[n-k-a=m

\所以方程/+a=_l-x有两个不等的非正根，

[n2+a=-i-n

方程整理为Y+x+a+l=0,

3

A=l-4(a+l)>0,a<一一,内+乂=一1<0满足题意，\x=a+\>0,ci2-1,

42

3

所以一1工。<一彳；

4

若mvOvn,则g(x)min="，因此机=。，所以〃<0,

g(m)=g(a)=a2+a,g(n)=n2+a,

i2+a>n2+a,即0<〃工一。时，a1+a=ny0<cr+a<-a>-2<^<-l,

2

a?+々w/+Q即a时，tr+a=nn-n+a=0A=l—4tz>0,

J+〃2=l巧,〃2一正一负，取正根为鼠=土4互，

4%=。<02

n=1+11—巴>—a>-《4a<0时，成立，

22

时，不等式变为Jl-4aN-2a-l>0,l-4a>(-2a-l)2,-2<a<0,即一24a<-g,

综上，”的取值范围是[-2，!).

【点睛】本题考查函数的新定义，解题关键是理解新定义，解题难点是新定义的应用，解题方法是利用新定义把问

题转化为一元二次方程根的分布，注意分类讨论的应用.对学生的逻辑思维能力运算求解能力要求较高，属于难

题.

27.(1)偶函数，理由见解析

(2)函数/(A)在((),+口)上的单调递增，理由见解析

(3)左<一1

【分析】(1)利用给定条件求出g(0),再借助赋值法及奇偶性定义即可判断作答.

(2)利用(1)的结论结合赋值法和函数单调性定义即可证得结论.

(3)利用(1),(2)的结论脱去法则，尸转化为恒成立的不等式求解作答.

⑴函数Ax)是R上的偶函数，

因Vx,yeR都有f(x-y)=f(x)f(y)-g(x)g(y),则取x=y=0,有/(0)=[/(O)]2-[g(O)]2,

而『(0)=1,则有g(0)=0,取x=O,ywR,可得/(-y)=/(())/(>)-g(O)g(y)=/(y),即VxwR,恒有f(-x)=f(x),

所以函数/(X)是R上的偶函数.

(2)函数/(x)在(0,+8)上的单调递增，

因Vx,yeR都有/(x-y)=/(x)/(y)-g(x)g(y),而g(x)为奇函数，/*)是偶函数，

贝！1有f(x+y)=-g(x)g(-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y),两式相减得：f(x-y)-/(x+y)=-2g(x)g(y),

€(0,+8),为<々，则〃E)_/(々)=/(^|^-^^)一/(^|^+^1^)=-28(^^必(^|^)

因三〉x,>。，则岩>0,41>0,而当xe(O,+a>),g(x)>0,于是有g(气立生(三/)>0,

因此，/(xl)-/(x2)<0,即/区)</(%),

所以函数/(X)在(0,+8)上的单调递增.

(3)由⑴知,函数/*)是R上的偶函数，贝IJ/Q-1)-/⑵-Q<0o/(|f-l|)</(|2r-A|),

由⑵知，Vx,yeR,/(x+y)=f(x-y)+2g(x)g(y),则有Vx>(),gf|)>0,

/«=/(|+|)=*-.+2g(》g9>f(0)=1，

又/(X)在(0,+00)上的单调递增，则有/")在[0,+8)上的单调递增，

从而有|2f-AJ>|f-l|o(2r-Jt)2>(r-1)23f2-2(2k-l)t+k2-l>0,

因We[0,+8),/。-1)一/(2f-Q<0恒成立，则Vfw[O,y),3产一2(2Jt-l)f+L-i>。,

令帕)=3*-2(21)+/-1,BPV?e[0,+oo),力。)>0成立，

而二次函数Mr)=(3r—Z—1)。—Z+1)有零点，且对称轴为r=等L

因此，\[340，解得左<一1,

/?(0)=*2-1>0

所以实数4的取值范围々<-1.

28.(1)证明见解析；

⑵函数/(x)的定义域为(-8,0)U(0,+oo),函数Ax)为奇函数，图象见解析；

13

⑶弓，/.

【分析】(1)利用单调性的定义即证；

(2)利用函数解析