2022届高考：数学模拟测试卷06（解析）

2022届高考数学•备战热身卷6

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，有一项符合

题目要求。）

1.（2022・湖南•长郡中学高三阶段练习）已知集合A=,B={-2,-1,0,1},则

AHB=（）

A.{-2,-1,0,1）B.{-1,0,1}C.{-1,0}D.{-2,-1,0）

【答案】B

x-1f（x-l）（x4-2）0

【详解】因为二二工0等价于/n等价于—2＜工＜1,

x+2［尤+2。0

所以4={x|-2＜xMl},又3={-2,T,0,l},所以ACB={-1,0,1}.

2.（北京市房山区2022届高三一模数学试题）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2,

—1）,则Z♦乞=

A.5B.3C.5-4iD.3-4i

【答案】A

【详解】由题意知，z=2-i,z=2+i,z-z=（2-i）（2+i）=4-i2=5.

3.（2022・湖南•长郡中学高三阶段练习）数列{q}满足4：=。,1《川（〃N2,"eN）是数列{4}

为等比数列的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件

【答案】B

【详解】因为。“=。满足用，所以充分性不成立

若数列{“"}为等比数列，则9厂=}，。"2=”，1《用，即必要性成立.

Cln-\an

4.（2022・湖南•长郡中学高三阶段练习）设。，石为△ABC所在平面内两点，AD=DC,

--_.LlUtl

CB=2BE,则（）

A.--AB+ACB.-AB-ACC.AB--ACD.-AB+-AC

2222

【答案】B

【详解】因为而=反，CB=2BE,所以觉=；/，CE=|CB,

所以£)E=OC+CE=5AC+]C3=IAC+WA8-AC)=548-AC.

5.(2022•湖南•长郡中学高三阶段练习)已知函数若a<b<l,且a+c>2,则

()

A.f(a)<f(b)<f(c)B./(c)</(/?)<./(a)C.f(b)<f(a)<f(c)

D./(«)</(c)</(&)

【答案】C

fx<1

【详解】由题可知〃x)=，当X41时是减函数，当X>1时是增函数；

由于f(2—x)=2斤T=*"=〃x),直线广1是〃x)的对称轴；

•：a<b<],.,./(a)>/(Z>),

由a+c>2可知，c>2-a>l,由对称性可知〃c)>〃2-a)=f(a),

6.(2022•湖南•长郡中学高三阶段练习)12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成

3个组(每组4个队)，则3个强队恰好被分在同一组的概率为

1311

A.—B.—C.-D.—

555543

【答案】B

【详解】因为将12个组分成4个组的分法有种，而3个强队恰好被分在同一组分

C3clc4c43

法有34,故个强队恰好被分在同一组的概率为C；C；C；C：A；C：2C；C：A；=4.

7.(2022・全国•高三专题练习)已知双曲线C的离心率为2,焦点为「、尸2,点A在C上,

若国闻=2|取1],则cosNA亮耳=

A.-B.-C.无D.也

4343

【答案】A

【详解】由已知设隹小=g海川=2肛则由定义得

忻一怩4=2a,/.m=2a,\F^=4a,|=2a.

•.・e=：=2,|F；图=2c=4a.在&4百6中，由余弦定理得

|隹|2+|耳用2-|9|24/+(4d_(4〃)2J

cosZAF2Fl=故选A.

2\AF2\-\FtF2\.2x2ax4a~4

8.(2022•湖南•长郡中学高三阶段练习)若不等式历工77而二i而7N"?对任意aeR,

be(O,+w)恒成立，则实数〃?的取值范围是()

A.卜巴；B.一。0,/C.卜8,及]D.(-oo,2]

【答案】B

【详解】设7=府诟Hi斤，则7的几何意义是直线>上的点Ra，。)与曲线

/(x)=Inx上的点0(6,Inb)的距离,

将直线V=x平移到与面线/(x)=Inx相切时，切点Q到直线y=x的距离最小.

而尸(x)=L令/'优)=,=1,则%=1,可得01,0),

XXQ

此时，。到直线y=x的距离任曾=坐，故|尸。/=走，所以mV也.

。2222

二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。)

9.(湖北省荆州市八县市2021-2022学年高一上学期期末质量检测数学试题)下列命题正确

的是()

A.存在正实数M,N,使得log“M+k)g“N=log.WN,其中。>0且awl

B.若函数〃x)在(2021,2022)上有零点，则”2021)•“2022)<0

C.函数〃x)=bg“(2x-l),(a>0且"1)的图象过定点(1,0)

D.“疝皿+8$。>1”是“，为第一象眼角”的充要条件

【答案】AC

【详解】A.由对数的运算知：存在正实数M,N,使得log“M+log,,N=k)g“MN,其中。>0且

〃工1,故正确；

B.如/'(xA。-2021.5)2在(2021,2022)上有零点,但〃2021〉”2022)>0,故错误：

C.令2x7=(),解得x=l,此时y=0,所以函数〃力=咋。(2%一1),(4>0且4/1)的图象

过定点(1,0)，故正确；

D.sine+cosO>l等价于l+2sin6cos6>l,等价于sindcos。〉。，则。为第一象限角或第

三象限角，故“如，+«^>1”是“。为第一象限角”的必要不充分条件，故错误.

10.(2022・湖南•长郡中学高三阶段练习)袋内有大小相同的3个白球和2个黑球，从中不

放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，用B表示“第二次摸到白球“，用C表示“第一次

摸到黑球”则下列说法正确的是()

A.A与B为互斥事件B.B与C为对立事件C.A与B非相互独立事件D.A与C为

相互独立事件

【答案】C

【详解】A与8可以同时发生但是不放回的摸球第一次对第二次有影响，所以不为互斥事件,

也非相互独立事件；

B与C可以同时发生所以不是对立事件：

A与C,第一次摸到白球与第一次摸到黑球一定不能同时发生，不是相互独立事件.

11.（2022・湖南•长郡中学高三阶段练习）已知函数f（x）=Asin（s+夕）（其中A>0,。>0,

I创〈乃）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A.函数｛-向是偶函数

B.函数/（x）的图象关于点,.，0）对称

C.产1与图象>4x4誓]的所有交点的横坐标之和为合

D.函数/（x）的图象可由产COS2X的图象向右平移段个单位得到

【答案】BC

【详解】根据函数/（X）=Asin（sr+p）（其中A>0,cu>0,131Pr）的部分图象,

口」得人=2,—x—=-------,••co=2.

467312

结合五点法作图，可得2xW+9=》+2k;r（k€Z）,，9=Bf(x)=2sin(2x+.J,

126

故/（x-£|=2sin（2x-£|,为非奇非偶函数，故A错误；

令尸-看，求得“X）=0,故函数“X）的图象关于点卜告对称，故B正确；

直线尸1与图象y=fGW等）的所有交点的横坐标x满足sin（2x+胃=:.

由于2x+fe（0,4;r）,故满足sin（2x+g]=：的％值共计有4个，设它们分别为。、氏c、d.

6Vo72

r11c兀cinc37t_.TC_7T_3TC

则2。4--F2dH—=2x—,2bH---F2cH—=2x—,

662662

故交点的横坐标之和为a+b+c+d=^,故C正确；

把函数产cos2x的图象向右平移看个单位得到y=cos（2x=sin+高的图象，故D错

误.

12.(2022•湖南•长郡中学高三阶段练习)如图，把边长为4的正方形纸片A6C。沿对角线AC

折起，使得二面角8-AC—£＞为120、E,F分别为AZ),BC的中点，。是AC的中点，

贝IJ()

A.折纸后四面体ABC。的体积为辿

3

3

B.折纸后cos/EOF=——

4

C.折纸后EOLBC

D.折纸后四面体ABC。外接球与内切球的半径之比为撞上撞

【答案】AB

【详解】如图，连接8。，DO,BD,EF,过。作OGIB。的延长线于G.

■：ACVBO,ACA.OD,BO[}DO=O,

.•.AC1,平面8。。，/8。。=120'，易证DGJ•平面ABC.

-.■AB=CD=4,DO=2721•••NGOO=60。，

:.GO=y/2,DG=屈，

ABC=--SAHCDG=—'A正确•

•••ABLBC,BD=ylOB12+ODr-2OBOD-cosZBOD=2显,

.…3ABi一»」

2ABAD4

:.ABCD=AB(CB+BA+AD)=ABCB+ABBA+AB-

AD=-AB?+1AB|-|AP|•cosABAD=-12,

:.EF^=(OF-OE)2=(-AB--CD)2=-(AB^+CD-2AB-CD)=S--ABCD=14.

2242

11EO2+FO1-EF23

•：EO=-CD=2,FO=-AB=2,:.cosAEOF=~—=---B正确.

222EOFO4

取AB的中点H,连接E",OH,则。Z///BC.

■;OH=-BC=2,0E=-CD=2,EH=-BD=^,..OE2+OH2EH2,C错误.

222

设四面体ABC。外接球的半径为R,内切球的半径为r.

■.■OA=OB=OC=OD=2x[2，R=272.

S表面积=2SiABC+2SAAZJD=16+AB-AD-sinABAD=16+4>/15,

.­,r=^^=^=,遂=4石+3何口错误

S表面积4+\/15r3

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.（2022•湖南•长郡中学高三阶段练习）已知/。）=炉+2?'（-；）,则曲线f（x）在点x=-；

处的切线方程为.

【答案】6x-9y-l=0

【详解】/'（X）=2X+24T）

当x=T时,《-目=-|+2（-｛），解得：

所以/（司=丁+¥，n=-g,

所以曲线f（x）在点工=-3处的切线方程为y+；=g（x+；）,化简为：6A-9y-l=0.

14.（2022・湖南•长郡中学高三阶段练习）设（1+2，侬=a°+qx+a/2+…+423x2022,则

a\a2।,4202142022

耳一齐+落…

【答案】1

【详解】由题意令x=0,可得%=1

令x=T，可得（1-产=%/+土/+…-第+黑，所以

〃_a\a2.a3,a2021_W（）22-i

“o-5一初十初一•••十22021—2202211

15.（2021・湖南・邵阳市第二中学高三阶段练习）英国数学家泰勒发现了公式：

sinx=x_1+1-'+…，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下

面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明.

I111

1+—+-T+—+-.

223242

其发现过程简单分析如下：

当XM0时，有皿=1-1+[-4”，

x3!5!7!

容易看出方程cin出X=0的所有解为：±兀，±2兀，…，土m,…，

x

2

于是方程詈=0可写成：（X-兀2）卜2-（2兀）2]…[%2-（见）2]…=0,

改写成：o-部-另卜上磊卜=0.（*）

比较方程（*）与方程+中》2项的系数，即可得

,111

“"+L”=----

【答案】—.

6

=0中工2项的系数为

又方程1-,+1-'+“・=0中/项的系数为

由题意知-所以1+5+/+*.“+*+…喙.

16.（2022•湖南•长郡中学高三阶段练习）在锐角△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,

b,c,已知/+加从侬。=劝2,则tanAtanBtanC的最小值是.

【答案】6

【详解】根据题意，已知a2+2aAcosC=3。2,由余弦定理得6+2ab=3b，,化

lab

简得2(〃一")=02

2222

由正弦定理：2(sinA-sinJB)=sinC,g|I2sin(/I+B)sin-B)=sinC(」E弦平方差)

整理可得：2sinAcosB-2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,即

sinAcosB=3cosAsinB=>tanA=3tanB

设tanA=x,tanB=3x

因为为锐角三角形，所以tan4>0,x>0

,厂/tanA+tanB_4x,八八12x3

此n时lanC=-tan(A+B)=---------------n即ntanC=---,所以tanAtanBtanC=--——

/1-tanAtanB3x--l3x2-\

令"昌小)*”『)

当/'(耳>0/>1,收)递增：当/'(x)<0,0<x<l,f(x)递减：

所以/(x)*=/(1)=6,故tanAtanfitanC的最小值是6.

四、解答题（本题共6小题，共70分。第17题10分，其余每题12分.解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤。）

17.（2021•云南五华•模拟预测（理））在①2asin3-bcosC-ccos8=0,②

sin2A—sin2B+sin2C—\/3sinAsinC=0»③sinAsinC-\/3sinB—cosAcosC=0三个条件中

任选一个，补充到下面问题中，并解答.

已知锐角AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,满足（填写序号即

可）

（1）求B；

（2）若a=l,求匕+c的取值范围.

注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.

【答案】⑴条件选择见解析；B=*⑵.

【解析】（1）若选①，由正弦定理得2sinAsin5=sinBcosC+sinCeosB=sin（B+C）=sinA,

因为sinAxO,所以sin8=；,又因为所以8

若选②，由正弦定理得从+c?一品c=0,即岛八

由余弦定理得cosB=l+C=更，

2ac2

又因为所以8=今

若选③，-V3s\n13=cosAcosC-sinAsinC=cos(A+C)=cos(TC-B)=-COSB,

从而得tanB=更，又因为所以B=$.

3k2J6

（2）由正弦定理号京=肃？得"=黑=与匕

sinA

sinC_sin(A+8)jfsin"cosA_G-,

sinAsinAsinA22sinA

G2c0S2A

,上1+cosAg21

所以b+c=匚+-------=—+-----+

22sinA2A~2~~~A

4sin—cos2tan

222

0<A<-

IIIAMC是锐角三角形可得I,得则

_„5K_7t32624

A0<C=-----A<—

62

因为y=tanx在上单调递增，所以tan.ej*从而京［"“石），

所以b+c的取值范围为二整，石

18.（2022.全国•高二）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形，侧棱PA±底面ABCD,

AB=6BC=\,PA=2,E为PO的中点.

（1）求异面直线AC与PB间的距离；

（2）在侧面以B内找一点N,使NE_L平面PAC,并求出N到A8和AP的距离.

【答案】（1）域Z；⑵N到A8的距离为1,N到”的距离为近.

196

【解析】（1）山题意得PA1.AD,PA1.AB.

以A为原点，AB所在直线为x轴，所在直线为）轴，AP所在直线为z轴，建立空间宜

角坐标系，如图所示，

则4(0,0,0),C(51,0),P(0,0,2),8(6，()，0),

,,AC=(>/3»I»0)»PB=(V3»0,-2),AP=(0，。，2),

设异面直线AC、P8的公垂线的方向向量为2=（x,y,z）,则3，而，3,而,

n-AC=>/3x+y=0,J3-f厂

-r令x=l,则产・G，z=—»即〃=1,一石,丁.

yz-PB=V3x-2z=0212J

\AP-n\—62JS7

设异面直线AC、PB之间的距离为d,则公下厂,+3+3=絮..

（2）设在侧面用B内存在一点M。，0,c）,使NEL平面以C,

由（1）知£（0，g，l）,...诋=[a，g，l-c）,

MEAP=2(l-c)=073@01〕

______r-1，解得<N

NE-AC=-y/3a+-=06)

2C=1

到AB的距离为炉手=1，N到A尸的距离为+02邛

19.（2022・山东•聊城二中高三开学考试）已知公差不为零的等差数列上｝中，4=1,且％,

的，久成等比数歹U，

（1）求数列｛%｝的通项公式;

⑵数列也｝满足勿=（；）’%,数列也｝的前”项和为7.，若不等式（一1）葭<7；+会对一切

〃wN”恒成立，求2的取值范围.

【答案】⑴4=〃；⑵彳€11,|）

【解析】⑴设等差数列｛q｝的公差为d（d#O）,且％,0，4成等比数列,

则a；=q•包，即（q+“y=q.（4+34）,又勾=1,解得d=l,所以。“=";

q=嘏，设4=仇+与+,••+〃,，

W+弄…+券②，

/7\(^\1/1111〃2

iL'-l0:-T=---1-----4----+•••­1-------------------V=-

2222234T2rt+,

1——

2

则（-1）"2<7；+，，得（-

当"为偶数时，4<22-1又产2-2单调递增，当〃=2时，2-（2最小,

33

=2>即彳<万：

222

当w为奇数时,2>-2+3，又丫=-2+爰单调递减，当”=1时，-2+（最大,

即（-2+—）=-1,即力>—1；

所以,1,9.

20.（2022.广东汕头•一模）已知M（毛,0）,N（0,y0）两点分别在x轴和y轴上运动，且|MN|=1,

若动点G满足OG=2OM+ON,动点G的轨迹为E.

（1）求£的方程；

（2）已知不垂直于x轴的直线/与轨迹E交于不同的A、8两点，。彳一,0总满足

IJ7

ZAQO=ZBQO,证明：直线/过定点.

2

【答案】⑴三+丁=1；（2）证明见解析.

4

【解析】(1)因为砺=2丽+两，BP(x,y)=2(xn,0)+(0,y„)=(2xa,yn),

所以x=2x。，y=%,则x°=$%=y,又=得年+叶之，即g2+y2=[,

所以动点G的轨迹方程E为：—+/=1；

4

⑵由题意知，设直线/的方程为：y=kx+m,A(西，乂)，夕伍，％)，

则必=履I+〃7,y2=kx2+m,

V2

4+)，消去y,得(4左之+1)炉+8攵7nr+4加2-4=0,

y=kxJt-m

2

由△=641疗-16(4&2+1)(W-1)>(),得加2V4k2+1,

-8km4/H2-4

…=西，中2=^7T

k_-k一必

直线AQ的斜率为破4石，直线8。的斜率为做4G,

为一丁丁亍

X:必

又4QO=8QO,所以L=-L，即4#4百，

x「亍”F

战工用zg4>/345/3__,4\/3,..8-73八

整理‘得'+2一亍"亍丫0,23+(时亍&)("%)-亍加=0,

22

Sk(m-l)8km°32石km8x/3A

4k2+\4A2+134A2+I3

由4X+]HO，化简得〃?=-百3所以y=心;-0k=k(x-G),

故直线过定点(6,0).

21.(2021・广东•金山中学三模)在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩

是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自

身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”

成为口罩生产线上的重要标语.

(1)在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口

罩的生产且互不影响，第四道是检测工序.已知批次A的成品口罩生产中，前三道工序的次

品率分别为6=(，6=]求批次A成品口罩的次品率P(A).

(2)已知某批次成品口罩的次品率为。设100个成品口罩中恰有1个不合格品

的概率为#(0),记G(p)的最大值点为p0,改进生产线后批次l/的口罩的次品率p(J)=%.

某医院获得批次A,■/的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用.经统计，正常佩戴使用这两

个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示；求出外，并判断是否

有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？

n^ad-bcy

(a+/?)(c+d)(.+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

3

【答案】(1)与；(2)〃。=().()1,有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风

险有关.

【解析】(1)批次A成品口罩的次品率为

P(A)=1一[(1一用(1一初(1一编]=1一券堂||=亲

(2)100个成品口罩中恰有1个不合格的概率为9(p)=C：00Py-p)",

所以d(p)=100[(l-pf-99p(l-p门=100(1-pf-(1-lOOp),

令”(p)=0,解得p=0.01,当pe(0,0.01)时，d(p)>0,当pe(0.01,l)时，

所以夕(p)在(OOOl)上单调递增，在(0.01,1)上单调递减.

所以S(P)的最大值点为为=()•(”,

由条形图可建立2x2列联表如下：

口罩批次合计

核酸检测结果

AJ

呈阳性12315

呈阴性285785

合计4060100