高考数学人教B版一轮复习测评5-3平面向量的数量积及平面向量的应用

核心素养测评二十七平面向量的数量积及平面向量的应用(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a·b=1,则x= ()A.1 B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选D.a·b=1×2+(1)×x=2x=1,所以x=1.2.(2020·十堰模拟)若夹角为θ的向量a与b满足|b|=|ab|=1,且向量a为非零向量,则|a|= ()A.2cosθ B.2cosθC.cosθ D.cosθ【解析】选B.因为|b|=|ab|=1,所以b2=a22a·b+b2,a2=2a·b,|a|2=2|a||b|cosθ,因为a为非零向量,所以|a|=2|b|cosθ=2cosθ.3.(多选)在直角坐标平面上,=(1,4),=(3,1),且与在直线l的方向向量上的投影的长度相等,则直线l的斜率k的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选BC.设直线l的一个方向向量为v=(1,k),由题意可得=,所以|1+4k|=|3+k|,解得k=QUOTE或QUOTE.4.(2019·广州模拟)已知非零向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|a2b|=2,则|b|等于 ()A.4 B.2 C.QUOTE D.1【解析】选D.因为|a2b|=2,所以|a2b|2=4,a24a·b+4b2=4,44·2|b|cos60°+4|b|2=4,解得|b|=1.(|b|=0舍去)5.(2020·山东新高考模拟)设向量a=(1,1),b=(1,3),c=(2,1),且(aλb)⊥c,则λ= ()A.3 B.2 C.2 D.3【解析】选A.由题,得aλb=(1+λ,13λ),由(aλb)⊥c,从而2×(1+λ)+1×(13λ)=0,解得λ=3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知△ABC的三边长均为1,且=c,=a,=b,则a·b+b·c+a·c=________.

【解析】因为<a,b>=<b,c>=<a,c>=120°,|a|=|b|=|c|=1,所以a·b=b·c=a·c=1×1×cos120°=QUOTE,a·b+b·c+a·c=QUOTE.答案:QUOTE7.已知向量m与n满足|m|=1,|n|=2,且m⊥(m+n),则向量m与n的夹角为________. 导学号

【解析】设m,n的夹角为θ,因为m⊥(m+n),所以m·(m+n)=m2+m·n=1+1×2cosθ=0,所以cosθ=QUOTE,又θ∈QUOTE,所以θ=QUOTE.答案:QUOTE【变式备选】已知向量a,b满足|a|=|b|=2且(a+2b)·(ab)=2,则向量a与b的夹角为________.

【解析】设a与b的夹角为θ.由已知a22b2+a·b=2,48+4cosθ=2,cosθ=QUOTE,又θ∈[0,π],所以θ=QUOTE,即a与b的夹角为QUOTE.答案:QUOTE8.设e1,e2为单位向量,其中a=2e1+e2,b=e2,且a在b上的投影为2,则a·b=________,e1与e2的夹角为________.

【解析】设e1,e2的夹角为θ,因为a在b上的投影为2,所以=2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cosθ+1=2,解得cosθ=QUOTE,则θ=QUOTE.a·b=(2e1+e2)·e2=2e1·e2+|e2|2=2|e1|·|e2|cosθ+1=2.答案:2QUOTE【变式备选】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则·的值为________;·的最大值为________.

【解析】以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t∈[0,1],则=(t,1),=(0,1),所以·=(t,1)·(0,1)=1.因为=(1,0),所以·=(t,1)·(1,0)=t≤1,·的最大值为1.答案:11三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°. 导学号(1)计算:①|a+b|,②|4a2b|.(2)当k为何值时,(a+2b)⊥(kab).【解析】由已知a·b=4×8×QUOTE=16.(1)①因为|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(16)+64=48,所以|a+b|=4QUOTE.②因为|4a2b|2=16a216a·b+4b2=16×1616×(16)+4×64=768,所以|4a2b|=16QUOTE.(2)因为(a+2b)⊥(kab),所以(a+2b)·(kab)=0,ka2+(2k1)a·b2b2=0,即16k16(2k1)2×64=0,k=7,所以当k=7时,a+2b与kab垂直.10.在平面直角坐标系xOy中,点A(1,2),B(2,3),C(2,1).(1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长.(2)设实数t满足(t)·=0,求t的值. 导学号【解析】(1)由已知=(3,5),=(1,1),则+=(2,6),=(4,4).所以|+|=2QUOTE,||=4QUOTE.所以所求的两条对角线的长分别为4QUOTE,2QUOTE.(2)由已知,=(2,1),t=(3+2t,5+t).由(t)·=0得(3+2t,5+t)·(2,1)=0,所以5t=11,所以t=QUOTE.(15分钟35分)1.(5分)(2020·潮州模拟)已知向量a、b为单位向量,且a+b在a的方向上的投影为QUOTE+1,则向量a与b的夹角为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.设向量a与b的夹角为θ,因为向量a、b为单位向量,a+b在a的方向上的投影为QUOTE+1,所以(a+b)·a=|a|QUOTE,变形得1+a·b=QUOTE+1,即a·b=1×1×cosθ=cosθ=QUOTE,又由0≤θ≤π,则θ=QUOTE,故选A.2.(5分)(2019·开封模拟)已知向量a=(m1,1),b=(m,2),则“m=2”是“a⊥b”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当m=2时,a=(1,1),b=(2,2),所以a·b=22=0,所以充分性成立;当a⊥b时,a·b=m(m1)2=0,解得m=2或m=1,必要性不成立.综上,“m=2”是“a⊥b”的充分不必要条件.3.(5分)在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2,AB=1,D为BC的中点,E在斜边AC上,若=2,则·=______.

【解析】如图,以B为原点,AB所在直线为x轴,BC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(1,0),C(0,2),=(1,2).因为D为BC的中点,所以D(0,1),因为=2,所以EQUOTE,=QUOTE,所以·=QUOTE·(1,2)=QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE4.(10分)(2020·郑州模拟)已知向量m=(2sinωx,cos2ωxsin2ωx),n=(QUOTEcosωx,1),其中ω>0,x∈R.若函数f(x)=m·n的最小正周期为π.(1)求ω的值.(2)在△ABC中,若f(B)=2,BC=QUOTE,sinB=QUOTEsinA,求·的值. 导学号【解析】(1)f(x)=m·n=2QUOTEsinωxcosωx+cos2ωxsin2ωx=QUOTEsin2ωx+cos2ωx=2sinQUOTE.因为f(x)的最小正周期为π,所以T=QUOTE=π,又ω>0,所以ω=1.(2)由(1)知f(x)=2sinQUOTE.设△ABC中角A,B,C所对边分别是a,b,c.因为f(B)=2,所以2sinQUOTE=2,即sinQUOTE=1,又0<B<π,解得B=QUOTE.因为BC=QUOTE,即a=QUOTE,又sinB=QUOTEsinA,所以b=QUOTEa,b=3.由正弦定理得,QUOTE=QUOTE,解得sinA=QUOTE.又0<A<QUOTE,解得A=QUOTE,所以C=QUOTE,c=a=QUOTE,所以·=cacosB=QUOTE×QUOTE×cosQUOTE=QUOTE.5.(10分)在如图所示的平面直角坐标系中,已知点A(1,0)和点B(1,0),||=1,且∠AOC=x,其中O为坐标原点.(1)若x=QUOTE,设点D为线段OA上的动点,求|+|的最小值.(2)若x∈QUOTE,向量m=,n=(1cosx,sinx2cosx),求m·n的最小值及对应的x值. 导学号【解析】(1)设D(t,0)(0≤t≤1),当x=QUOTE时,可得CQUOTE,所以+=QUOTE,所以|+|2=QUOTE+QUOTE(0≤t≤1),所以当t=QUOTE时,|+|2取得最小值为QUOTE,故|+|的最小值为QUOTE.(2)由题意得C(cosx,sinx),m==(cosx+1,sinx),则m·n=1cos2x+sin2x2sinxcosx=1cos2xsin2x=1QUOTEsinQUOTE.因为x∈QUOTE,所以QUOTE≤2x+QUOTE≤QUOTE.所以当2x+QUOTE=QUOTE,即x=QUOTE时,m·n=1QUOTEsinQUOTE取得最小值1QUOTE,所以m·n的最小值为1QUOTE,此时x=QUOTE.1.已知向量a,b,c共面,且均为单位向量,a·b=0,则|a+bc|的取值范围是 ()A.[QUOTE1,QUOTE+1] B.[1,QUOTE]C.[QUOTE,QUOTE] D.[QUOTE1,1]【解析】选A.因为a·b=0,所以|a+b|2=a2+2a·b+b2=2,所以|a+b|=QUOTE.所以|a+bc|2=a2+b2+c2+2a·b2(a+b)·c=32(a+b)·c当c与(a+b)同向时,(a+b)·c最大,|a+bc|2最小,此时(a+b)·c=|a+b|·|c|cos0°=QUOTE,|a+bc|2=32QUOTE=(QUOTE1)2,所以|a+bc|min=QUOTE1;当c与(a+b)反向时,(a+b)·c最小,|a+bc|2最大,此时(a+b)·c=|a+b|·|c|cosπ=QUOTE,|a+bc|2=3+2QUOTE=(QUOTE+1)2,所以|a+bc|max=QUOTE+1.所以|a+bc|的取值范围为[QUOTE1,QUOTE+1].2.已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足=(1,QUOTE),=(QUOTE,1),则