福建省莆田第十五中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

20192020学年(上)期末高中教学质量检测高一数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，那么()A. B. C. D.2.下列函数中与函数是同一个函数的是（）．A. B.C.D.3.幂函数f（x）的图象过点（4，2），那么f（）的值为（）A. B.64 C.2 D.4.在下列区间中，函数f（x）＝ex+2x﹣5的零点所在的区间为（）A.（﹣1，0） B.（0，1） C.（1，2） D.（2，3）5.下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A.①②④ B.④②③ C.①②③ D.④①②6.若a＝40.9，b＝log415，c＝80.4，则（）A.b＞c＞a B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.a＞c＞b7.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是()8.已知一几何体三视图，则它的体积为A. B.C.D.9.若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的()A.倍 B.2倍 C.倍 D.倍10.已知正方体的个顶点中，有个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为（）A. B. C. D.11.如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①②与成角③与为异面直线④以上四个命题中，正确的序号是（）A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④12.设函数,若关于的方程有四个不同的解,且,则的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为________．14.已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________．函数f（x）满足f（x），则f（3）的值为_____．16.如图，在三棱锥D­ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，则三棱锥D­ABC的体积的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数f（x）=的定义域为A，集合B={x|2x＞1}．（1）求A∪B；（2）若集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集，求a的取值范围．18..如图，在四棱锥中,平面,,棱上一点.（1）设为与的交点,若,求证:平面；（2）若,求证：．19．在三棱锥中，平面平面，，，分别是棱，上的点（1）为的中点，求证：平面平面.（2）若，平面，求的值.20.如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)设AA1＝AC＝CB＝2，AB＝2eq\r(2)，求三棱锥C­A1DE的体积．如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．(1)求四棱锥P­ABCD的体积；(2)求证：PA∥平面MBD；(3)试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．22.已知函数f（x）＝x2﹣2x+1+a在区间[1，2]上有最小值﹣1．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（log2x）+1﹣2klog2x＝0在[2，4]上有解，求实数k的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，求实数m的取值范围．（附：函数g（t）＝t在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．）

20192020学年(上)期末高中教学质量检测高一数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，那么(B)A. B. C. D.2.下列函数中与函数是同一个函数的是（B）．A. B.C.D.3.幂函数f（x）的图象过点（4，2），那么f（）的值为（A）A. B.64 C.2 D.4.在下列区间中，函数f（x）＝ex+2x﹣5的零点所在的区间为（C）A.（﹣1，0） B.（0，1） C.（1，2） D.（2，3）5.下列所给四个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（D）（1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于立刻返回家里取了作业本再去上学；（2）我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；（3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A.①②④ B.④②③ C.①②③ D.④①②6.若a＝40.9，b＝log415，c＝80.4，则（D）A.b＞c＞a B.a＞b＞c C.c＞a＞b D.a＞c＞b7.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(A)8.已知一几何体三视图，则它的体积为(C)A. B.C.D.9.若一个三角形，采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积是原三角形面积的(C)A.倍 B.2倍 C.倍 D.倍10.已知正方体的个顶点中，有个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比为（A）A. B. C. D.11如下图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中①②与成角③与为异面直线④以上四个命题中，正确的序号是（D）A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③④12.设函数,若关于的方程有四个不同的解,且,则的取值范围是(D)A. B. C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.如图所示，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，则AO与A′C′所成角的度数为___30°___．14.已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为____eq\f(13,2)_．15.如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1­ABC1的体积为_____eq\f(\r(3),12)___．16..如图，在三棱锥D­ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，则三棱锥D­ABC的体积的最大值是___2eq\r(15)_____．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设函数f（x）=的定义域为A，集合B={x|2x＞1}．（1）求A∪B；（2）若集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集，求a的取值范围．【答案】（1）[6，+∞）；（2）[0，1].【解析】（1）由得，6≤x＜2；由2x＞1得，x＞0；∴A=[6，2），B=（0，+∞）；∴A∪B=[6，+∞）；（2）A∩B=（0，2）；∵集合{x|a＜x＜a+1}是A∩B的子集；∴；解得0≤a≤1；∴a的取值范围是[0，1]．18..如图，在四棱锥中,平面,,棱上一点.（1）设为与的交点,若,求证:平面；（2）若,求证：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）只需证得，即可证得平面；（2）因为平面，平面，所以，即可证得平面，从而得证.试题解析：（1）在与中，因为，所以，又因为，所以在中,有，则.又因为平面，平面，所以平面．（2）因为平面，平面，所以.又因为,平面,平面,，所以平面，平面，所以．19..在三棱锥中，平面平面，，，分别是棱，上的点（1）为的中点，求证：平面平面.（2）若，平面，求的值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，证得，由面面垂直的性质定理，证得平面，进而证得平面平面.（2）根据线面平行的性质定理，证得，平行线分线段成比例，由此求得的值.【详解】（1），为的中点，所以.又因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）∵平面，面，面面∴，∴.20．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．(1)求证：DE∥平面ABC；(2)求三棱锥E­BCD的体积．解：(1)证明：如图，取BC的中点G，连结AG，EG，因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，且EG＝eq\f(1,2)BB1.由题意知，AA1綊BB1.而D是AA1的中点，所以EG綊AD.所以四边形EGAD是平行四边形．所以ED∥AG.又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC.(2)因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE.所以VE­BCD＝VD­BCE＝VA­BCE＝VE­ABC.由(1)知，DE∥平面ABC，所以VE­BCD＝VE­ABC＝VD­ABC＝eq\f(1,3)AD·eq\f(1,2)BC·AG＝eq\f(1,6)×3×6×4＝12.如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正三角形PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点．(1)求四棱锥P­ABCD的体积；(2)求证：PA∥平面MBD；(3)试问：在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB？若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．解：(1)因为Q为AD的中点，△PAD为正三角形，所以PQ⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊂平面PAD，所以PQ⊥平面ABCD.因为AD＝4，所以PQ＝2eq\r(3).所以四棱锥P­ABCD的体积V＝eq\f(1,3)SABCD·PQ＝eq\f(1,3)×42×2eq\r(3)＝eq\f(32\r(3),3).(2)证明：连结AC交BD于点O，连结MO.由四边形ABCD为正方形知点O为AC的中点，又因为M为PC的中点，所以MO∥PA.因为MO⊂平面MBD，PA⊄平面MBD，所以PA∥平面MBD.(3)存在点N，当N为AB中点时，平面PCN⊥平面PQB.证明如下：因为四边形ABCD是正方形，Q为AD的中点，所以BQ⊥NC.由(1)知，PQ⊥平面ABCD，NC⊂平面ABCD，所以PQ⊥NC.又BQ∩PQ＝Q，所以NC⊥平面PQB.因为NC⊂平面PCN，所以平面PCN⊥平面PQB.22.已知函数f（x）＝x2﹣2x+1+a在区间[1，2]上有最小值﹣1．（1）求实数a的值；（2）若关于x的方程f（log2x）+1﹣2klog2x＝0在[2，4]上有解，求实数k的取值范围；（3）若对任意的x1，x2∈（1，2]，任意的p∈[﹣1，1]，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤m2﹣2mp﹣2成立，求实数m的取值范围．（附：函数g（t）＝t在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增．）【详解】（1）函数f（x）＝x2﹣2x+1+a对称轴为x＝1，所以在区间[1，2]上f（x）min＝f（1）＝a，由根据题意函数f（x）＝x2﹣2x+1+a在区间[1，2]上有最小值﹣1．所以a＝﹣1．（2）由（1）知f（x）＝x2﹣2x，若关于x的方程f（log2x）+1﹣2k•log2x＝0在[2，4]上有解，令t＝log2x，t∈[1，2]则f（t）+1﹣2kt＝0，即t2﹣（2+2k