必修4三角函数的图像与性质

§正弦函数、余弦函数的图象学习目标：1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此根底上由诱导公式画出余弦函数的图象.2.能熟练运用“五点法”作图.学习重点：运用“五点法”作图学习难点：借助于三角函数线画y=sinx的图象学习过程：一、情境设置遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的根本方法，那么，一般采用什么方法画图象？二、探究研究问题1.在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线.问题2.在相应坐标系内，在x轴表示12个角〔实数表示〕，把单位圆中12个角的正弦线进行右移.问题3.通过刚刚描点〔x0,sinx0〕,把一系列点用光滑曲线连结起来，能得到什么？问题4.观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？问题5.如何作y=sinx,x∈R的图象〔即正弦曲线〕？问题6.用诱导公式cosx=________〔用正弦式表示〕，y=cosx的图象〔即余弦曲线〕怎样得到？问题7.关键五个点.三、例题精讲例1：用“五点法”画以下函数的简图y=1+sinx，x∈(2)y=-cosx，x∈思考：〔1〕从函数图象变换的角度出发，由y=sinx,x∈的图象怎样得到y=1+sinx，x∈的图像？由y=cosx,x∈的图象怎样得到y=-cosx，，x∈的图像？四、稳固练习1、在[0,2]上,满足的x取值范围是().A.B.C.D.2、用五点法作)y=1-cosx，x∈的图象.3、结合图象，判断方程的实数解的个数.五、课堂小结在区间上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点〔平衡点〕.函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到.六、当堂检测1、观察正弦函数的图象，以下4个命题：〔1〕关于原点对称〔2〕关于x轴对称〔3〕关于y轴对称〔4〕有无数条对称轴其中正确的选项是A、〔1〕、〔2〕B、〔1〕、〔3〕C、〔1〕、〔4〕D、〔2〕、〔3〕〔〕2、对于以下判断：〔1〕正弦函数曲线与函数的图象是同一曲线；〔2〕向左、右平移个单位后，图象都不变的函数一定是正弦函数；〔3〕直线是正弦函数图象的一条对称轴；〔4〕点是余弦函数的一个对称中心.其中不正确的选项是A、〔1〕B、〔2〕C、〔3〕D、〔4〕〔〕3、〔1〕的图象与的图象关于对称；〔2〕的图象与的图象关于对称.4、〔1〕把余弦曲线向平移个单位就可以得到正弦曲线；〔2〕把正弦曲线向平移个单位就可以得到余弦曲线.5、画出的简图，并说明它与余弦曲线的区别与联系.七、课后作业教材P46A组第1题§正弦函数、余弦函数的周期性学习目标：1.了解周期函数及最小正周期的概念.2.会求一些简单三角函数的周期.学习重点：周期函数的定义，最小正周期的求法.学习难点：周期函数的概念及应用.学习过程：一、情境设置自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念——函数周期性.二、探究研究问题1：观察以下图表x----0sinx010-1010-10从中发现什么规律？是否具有周期性？问题1：.如何给周期函数下定义？周期函数的定义问题2：判断以下问题：〔1〕对于函数y=sinxx∈R有成立，能说是正弦函数y=sinx的周期？〔2〕是周期函数吗？为什么？〔3〕假设T为的周期，那么对于非零整数也是的周期吗？问题3：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？问题4：最小正周期的含义；求的最小正周期？三、例题精讲例1:求以下函数的最小正周期：〔1〕；〔2〕变式训练:1.⑴求⑵的周期问题5：观察以上周期的值与解析式中x的系数有何关系？结论：函数>0)的周期为四、稳固练习1、求以下函数的周期：〔1〕函数的周期是___________________________.〔2〕函数的周期是_________________________.〔3〕函数的周期是___________________________.〔4〕.函数的周期是______________________.〔5〕.函数的周期是________________________.的周期与解析式中的____无关，其周期为_____.3.函数的周期是那么=____________是以为周期的函数，且5.画出函数的图像并判断是不是周期函数？假设是，那么它的周期是多少？五、小结反思对周期函数概念的理解注意以下几个方面：(1)是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值，仍在定义域内且使等式成立.(2)周期是常数，且使函数值重复出现的自变量的增加值.(3)周期函数并不仅仅局限于三角函数，一般的周期是指它的最小正周期.六、当堂测评：1、设，那么函数的最小正周期为〔〕A、B、C、D、2、函数的周期不大于2，那么正整数的最小值是〔〕A、13B、12C、11D、103、求以下函数的最小正周期：〔1〕.〔2〕.4、函数的最小正周期为，那么.5、求函数的周期：〔1〕周期为：.〔2〕周期为：.〔3〕周期为：.〔4〕周期为：.6、试画出函数y=sin的图像，函数y=sin是周期函数吗？如果是，那么周期是多少？7、函数，求最小正整数，使函数周期不大于2；七、课后作业教材P46A组第3、10题§正、余弦函数的值域、奇偶性、单调性学习目标：1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用.2.熟记正、余弦函数的单调区间，并利用单调性解题.学习重点：三角函数的值域、奇偶性、单调性.学习难点：求三角函数的单调区间，根据图象求值.学习过程：一、情境设置在已学过的内容中，我们要研究一个函数，往往从哪些方面入手？二、探究研究问题1.观察y=sinx,y=cosx(x∈R)的图象，你能得到一些什么性质？问题2.分别列出y=sinx,y=cosx(x∈R)的图象与性质函数图象定义域值域最值当时，=当时，=当时，=当时，=最小正周期奇偶性单调性在上，都是增函数；在上，都是减函数；在上，都是增函数；在上，都是减函数；对称轴方程对称中心三、例题精讲例1：求以下函数的最大值及取得最大值时x的集合(1)(2)练习1：〔1〕假设呢？〔2〕假设呢？例2：利用三角函数的单调性，比拟以下各组数的大小〔1〕与(2)与练习2：利用三角函数的单调性，比拟以下各组数的大小〔1〕与(2)与〔3〕与〔4〕与例3:判断以下函数奇偶性〔1〕f(x)=1-cosx〔2〕g(x)=x-sinx练习3：判断以下函数的奇偶性：⑴：；⑵：⑶：.例4.求，的单调增区间练习4：〔1〕求，的单调增区间〔2〕求的单调增区间四、稳固练习1、.函数y=sinx,当时自变量x的集合是_________________.2、.把以下三角函数值从小到大排列起来为：_____________________________，，，3、.函数的奇偶数性为〔〕.A.奇函数C．既奇又偶函数D.非奇非偶函数4、以下四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是〔〕.A.B.y=C.D.5、函数，其增区间为.减区间为.五、小结反思：⑴正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要.⑵结合图象解题是数学中常用的方法.六、当堂测评：1、设，那么三角函数的定义域是〔〕A、B、C、D、2、在上是增函数，又是奇函数的是〔〕A、B、C、D、3、函数，那么其单调增区间是；单调减区间是。4、求以下函数的单调增区间：〔1〕〔2〕七、课后作业教材P46A组第2、4、5题§正切函数的图象与性质学习目标：1.熟练运用正、余弦函数的图象与性质解题.2.能借助正切函数的图象探求其性质.学习重点：运用三角函数的图象与性质解题学习难点：正切函数的单调性学习过程：情境设置问题1.在单位圆中如何定义正切线的？问题2.回忆图象的由来，你能通过正切线作的图象吗？二、探究研究新知1：正切曲线问题3.观察的图象，你能得到的一些怎样性质？新知2：正切函数的性质〔1〕定义域(2)值域(3)最小正周期(4)单调性三、例题精讲例1：求的定义域、周期和单调区间变式训练：〔1〕求的定义域、周期和单调区间(2)、函数的周期为〔〕.A．B．C．D．例2、根据正切函数图象，写出满足以下条件的x的范围①②③④四、稳固练习1、在定义域上的单调性为〔〕.A．在整个定义域上为增函数B．在每一个开区间上为增函数C．在整个定义域上为减函数D．在每一个开区间上为增函数2、以下各式正确的选项是〔〕.A.B.C.D.大小关系不确定3、直线(a为常数)与正切曲线为常数，且相交的两相邻点间的距离为〔〕.A．B．C．D．与a值有关4、与函数图象不相交的一条直线是〔〕.A．B．C．D．五、小结反思：〔1〕作正切曲线简图的方法：“三点两线”法，即和直线及，然后根据周期性左右两边扩展.〔2〕正切函数的定义域是，所以它的递增区间为六、课后作业：1、函数的最小正周期是〔〕A、B、C、D、2、函数的定义域是〔〕A、{且}B、{且}C、{且}D、{且}3、以下函数不等式中正确的选项是〔〕.A．B．C．D．4、在以下函数中，同时满足：①在上递增；②以为周期；③是奇函数的是〔〕.A．B．C．D．5、函数的大小关系是〔用不等号连接〕：.6、函数的定义域是.7、求函数的单调区间。8、确定函数的单调区间.§函数的图象与性质〔1〕学习目标:1.了解的实际意义，会用五点法画出函数的简图.2.会对函数进行振幅变换，周期变换，相位变换，领会“由简单到复杂，从特殊到一般”的化归思想.学习重点：五点法画的简图和对函数的三种变换.学习难点：函数的三种变换.学习过程：一、情境设置1.物体作简谐运动时，位移s与时间t的关系为，其中振幅是,周期是,频率是,相位为,初相是2.函数的图象与有何关系?二、探究研究1.在同一坐标系中,画出,,的简图.问题1.与的图象有什么关系?结论1：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点向平移个单位长度而得到的.问题2.与的图象有什么关系?结论2：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点的纵坐标变为原来的而得到的.问题3.与的图象有什么关系?结论3：一般地,函数的图象可以看做将函数的图象上所有的点的横坐标变为原来的而得到的.的图像可由函数的图像经过怎样的变化得来？例1：结论4：函数的图像，可由函数的图像用下面的步骤变化得到：第一步第二步第三步第四步三、教学精讲例2:表达到的变化过程.例3:表达到的变化过程.练习1:①向_______平移_______个单位得到②向_______平移_______个单位得到③向右平移个单位得到,求例4：求函数的振幅,周期,频率,相位,初相,用五点法作出该函数的图象四、稳固练习1、把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，而横坐标不变，可得的图象，那么A、B、C、D、〔〕2.以下命题正确的选项是().A.的图象向左平移的图象B.的图象向右平移的图象C.当<0时，向左平移个单位可得的图象D.的图象向左平移个单位得到3.函数的图象，可由函数的图象经过下述________变换而得到〔〕.个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍C.向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的五、小结反思： 平移变换函数的图象振幅变换 周期变换六、自我测评：1、将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到新的函数图象，那么新函数的解析式为〔〕A、B、C、D、2.把y=sinx的图象上各点向右平移单位，再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，那么所得的图象的解析式是〔〕.A.B.C.D.3.函数，在一个周期内，当时，取得最大值2，当时取得最小值-2，那么〔〕.A.B.C.D.4.将函数的图象向右平移个单位，所得到的函数图象的解析式是____________________；将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象的解析是____________________.5、将函数的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，那么新图象对应的函数值域是，周期是.6、函数的定义域是，值域是，周期，振幅，频率，初相.7、用“五点法”列表作出以下函数一个周期的图象：〔1〕；〔2〕§函数的图象与性质〔2〕学习目标:1.熟练掌握由到的图象的变换过程.2.根据三角函数的图象给出的条件求函数解析式.学习重点：图象的变换过程.学习难点：作出振幅变换，相位变换，周期变换相结合的图形，并求出解析式.学习过程：一、情境设置函数的图象可以由经过变换得到吗？二、探究研究在同一直角坐标系中用五点法作与的一个周期图象.问题1.它们两个图象的关系是什么?问题2：函数的图象和的图象有怎样的关系。三、教学精讲例1：〔1〕将函数的图象上所有的点的横坐标伸长为原来的3倍，再将所得图象向左平移个单位得到的图象，那么.〔2〕把函数的图象向_____平移_______个单位可得到的图象例2:函数图象的一个最高点〔2，3〕与这个最高点相邻的最低点为〔8，-3〕，求该函数的解析式.练习1：假设函数的最小值为-2，周期为，且它的图象过点〔0，〕，求此函数的表达式。四、稳固练习的图象可看作是函数的图象，经过如下平移得到的，其中正确的选项是〔〕.个单位个单位个单位2.函数〔A>0，>0，0<〕的两个邻近的最值点为〔〕和〔〕，那么这个函数的解析式为____________________.3.以下命题正确的选项是().A.的图象向左平移的图象B.的图象向右平移的图象C.当<0时，向左平移个单位可得的图象D.的图象向左平移个单位得到4.函数(A>O,>0,<)的最小正周期是，最小值是-2，且图象经过点〔〕，求这个函数的解析式.五、小结反思： 到的变换流程图.六、自我测评：1、把函数的图象向下平移1个单位，再把所得图象上点的纵坐标扩大到原来的3倍，然后再把所得图象上点的横坐标扩大到原来的3倍，最后再把所得的图象向左平移个单位，那么所得图象对应的函数是〔〕A、B、C、D、2、要得到的图象，只需将函数的图象〔〕A、向左平移B、向右平移C、向左平移D、向右平移3.函数的图象，可由函数的图象经过下述________变换而得到〔〕.个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍C.向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标缩小到原来的4、函数表示一个振动量，其中振幅是，频率是，初相是，那么这个函数为。5.函数的图象的对称轴方程为____________________.6.函数的图象关于y轴对称，那么Q的最小值为________________.6、函数的图象最高点为，由此最高点到相邻最低点的，图象与x轴的交点为。求此函数的一个表达式.7、设函数在同一周期内，当时，y有最大值为；当，y有最小值。求此函数解析式.8、函数的最小值为-2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差是,又图象过点〔0，1〕，求这个函数的解析式.§三角函数的应用〔1〕总第14课时执笔:王计文王振华罗鹏旺授课时间;年月日学习目标：1、会用三角函数的图象与性质解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。2、熟悉数学建模的方法与步骤.学习重点：函数思想解决具有周期变化规律的实际问题。学习难点：建立三角函数的模型。学习过程：一、情境设置三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用。二、探究研究问题1一半径为3cm的水轮如下图，水轮圆心o距离水面2m，设角是以ox为始边，op0为终边的角，求。解析：设∴∵∴问题2.水轮每分钟转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时〔图中P0〕开始计算时间，将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数。问题3.点P第一次到达最高点大约要多长时间？三、教学精讲例1：在图中，点O为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物体位移的正方向，假设振幅为3cm，周期为3s，且物体向右运动到距平衡位置最远处开始记时。⑴求物体对平衡位置的位移x(cm)和时间t(s)之间的函数关系。⑵求该物体在t=5s时的位置。例2.某城市一年中12个月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个三角函数来描述。6月份的月平均气温最高，为℃，12月份的月平均气温最低，为℃。求出这个三角函数的表达式，并画出该函数的图象。四、稳固练习1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型.2、是以____________为周期的波浪型曲线.3、设是某港口水的深度关于时间t(时)的函数，其中,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间t与水深y的关系.t03691215182124y12经长期观察，函数的图象可以近似地看成函数的图象.根据上述数据，函数的解析式为〔〕A．B．C．D．五、小结反思1、利用三角函数建立数学模型一定要熟悉的性质。实际问题实际问题问题实际问题实际问题问题数学问题实际问题问题2、六、自我测评：1、受日月引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐。在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，某港口水的深度y〔米〕是时间单位：时〕的函数，记作，下面是该港口在某季节每天水深的数据：t(时)03691215182124y(米)经长期观察，曲线可以近似地看做函数的图象。⑴根据以上数据，求出函数近似表达式。⑵一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5m或5m以上时认为是平安的〔船舶停靠时，船底只需不碰海底即可〕，某船吃水深度〔航底离水面的距离〕为米，如果该船想在同一天内平安进出港，问它至多能在港内停留多长时间