数学-专项16 正方形中“十字架”模型（带答案）

专题16正方形中“十字架”模型解题思路解题思路【十字架-模型归纳】分别连接正方形的两组对边上任意两点，得到的两条线段（如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段EF与MN，图3中的线段BE与AF）满足：若垂直，则相等。典例分析典例分析【典例1】（2022秋•三元区期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证：（1）△ADF≌△DCE；（2）AF⊥DE．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，∵BE＝CF，∴BC﹣BE＝CD﹣CF，即CE＝DF，

在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS）；（2）由（1）知△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠CDE，∵∠ADC＝90°，即∠CDE+∠EDA＝90°，∴∠DAF+∠EDA＝90°，∴∠AGD＝180°﹣（∠DAF+∠EDA）＝90°，∴AF⊥DE．【变式1-1】（2022秋•盐津县期中）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF＝DE，AF和DE相交于点G．（1）观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角；（2）线段AF与DE有怎样的位置关系，请判断并说明理由．【解答】解：（1）由图示得出与∠AED相等的角有∠AFB，∠DAF或∠EDC．（2）AF⊥DE．理由如下：由正方形ABCD的性质可得，AB＝AD，∠DAB＝∠B＝90°，在Rt△AED和Rt△BFA中，，∴Rt△AED≌Rt△BFA（HL），∴∠AED＝∠AFB．∵∠AFB+∠FAB＝90°，∴∠AED+∠FAB＝90°，∴∠AGE＝90°，

即AF⊥DE【变式1-2】（2022春•广阳区校级期末）如图，在正方形ABCD中，点P在AD上，且不与A，D重合，点H在AB上，且不与A，B重合，连接BP、CH，BP与CH交于点E．（1）若BP＝CH，求证：BP⊥CH；（2）在（1）的条件下，若正方形ABCD的边长为12，AP＝5，求线段BE的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，在Rt△PAB和Rt△HBC中，，∴Rt△PAB≌Rt△HBC（HL），∴∠APB＝∠BHC，∵∠APB+∠PBA＝90°，∴∠CHB+∠PBA＝90°＝∠CEB，∴BP⊥CH；（2）解：∵正方形ABCD的边长为12，∴AB＝BC＝12，∵AP＝5，由（1）Rt△PAB≌Rt△HBC得BH＝AP＝5，在Rt△HBC中，由勾股定理得：CH＝，∵△HBC的面积＝CH•BE＝HB•BC，∴，

解得：BE＝，即线段BE的长为．【变式1-3】（2022春•海淀区校级期中）在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B、C重合），E是AP的中点，过点E作MN⊥AP，分别交AB、CD于点M，N．（1）判定线段MN与AP的数量关系，并证明；（2）连接BD交MN于点F．①根据题意补全图形；②用等式表示线段ME，EF，FN之间的数量关系，直接写出结论．【解答】解：（1）MN＝AP．证明：过点M作MG⊥CD于点G，则四边形AMGD是矩形，∴MG＝AD，∠MGN＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABP＝90°，AB＝BC＝AD，∴MG＝AB，∠ABP＝∠MGN，又∵MN⊥AP，

∴∠AEM＝90°，∴∠AME+∠BAP＝90°，又∵∠NMG+∠AME＝90°，∴∠NMG＝∠BAP，∴△ABP≌△MGN（ASA），∴AP＝MN；（2）①补全图形如图2，②如图3，过点P作PH∥AB交MN于点H，交BD于点K，过点M作MG⊥CD于点G，∵AM∥PH，∴∠MAE＝∠EPH，∵E为AP的中点，∴AE＝EP，又∵∠AEM＝∠PEH，∴△AME≌△PHE（ASA），∴ME＝EH，AM＝PH，∵四边形AMGD是矩形，

∴AM＝DG，∴DG＝PH，∵∠CBD＝45°，∠BPK＝90°，∴∠BPK＝∠BKP＝45°，∴BP＝PK，由（1）知△ABP≌△MGN，∴BP＝NG，∴PK＝NG，∴HK＝DN，又∵NK∥DN，∴∠HKF＝∠NDF，∴△HKF≌△NDF（AAS），∴HF＝NF，∴EF＝EH+HF＝EM+FN．故答案为：EF＝EM+FN．夯实基础夯实基础1．（2022秋•碑林区校级期末）如图，在边长为的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则AF的长为（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC＝AB＝4，∠BCD＝∠B＝90°，∵DE⊥CF，∴∠CDE+∠DCF＝90°＝∠DCF+∠BCF，

∴∠CDE＝∠BCF＝30°，∴BC＝BF＝4，∴BF＝4，∴AF＝AB﹣BF＝4﹣4，故选：D．2．（2022秋•阜平县月考）如图所示，E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，则图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝AB＝AD，∠DAB＝∠ABF＝90°，∵AE＝AB，BF＝BC，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADM＝∠BAN，∵∠BAN+∠DAM＝90°，∴∠ADM+DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，同理：∠ANB＝90°，

∴∠AMD＝∠ANB，∴△DAM≌△ABN（AAS），∴AM＝BN，同理可以证明△BCP，△CDQ，△DAM，△ABN是全等的直角三角形，它们的面积相等，∵BE＝AB，DG＝DC，AB∥DC，∴四边形EBGD是平行四边形，∴ED∥BG，∴AM：AN＝AE：AB＝1：4，令正方形ABCD的边长是a，AM＝b，则BN＝b，AN＝4b，∴正方形ABCD的面积是a2，△ABN的面积是b•4b＝2b2，∵AB2＝BN2+AN2，∴a2＝b2+16b2＝17b2，∵阴影的面积＝a2﹣4×2b2＝17b2﹣8b2＝9b2，∴阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比是＝．故选：A．4．（2022秋•汝州市期末）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB，BC的中点，CE，DF交于点G，连接AG，下列结论：①CE＝DF；②CE⊥DF；③∠AGE＝∠CDF；④∠EAG＝30°，其中正确的结论是（）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③【答案】D【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠BCD＝90°，

∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BE＝AB，CF＝BC，∴BE＝CF，在△CBE与△DCF中，，∴△CBE≌△DCF（SAS），∴∠ECB＝∠CDF，CE＝DF，故①正确；∵∠BCE+∠ECD＝90°，∴∠ECD+∠CDF＝90°，∴∠CGD＝90°，∴CE⊥DF，故②正确；∴∠EGD＝90°，延长CE交DA的延长线于H，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∵∠AHE＝∠BCE，∠AEH＝∠CEB，AE＝BE，∴△AEH≌△BEC（AAS），∴BC＝AH＝AD，∵AG是斜边的中线，∴AG＝DH＝AD，∴∠ADG＝∠AGD，∵∠AGE+∠AGD＝90°，∠CDF+∠ADG＝90°，

∴∠AGE＝∠CDF．故③正确；∵CF＝BC＝CD，∴∠CDF≠30°，∴∠ADG≠60°，∵AD＝AG，∴△ADG不是等边三角形，∴∠EAG≠30°，故④错误；故选：D．5．（2022秋•茂南区期末）如图，在正方形ABCD中，E是边AB的中点，F是边BC的中点，连接CE、DF．求证：CE＝DF．【解答】证明：∵ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∠EBC＝∠FCD＝90°，又∵E、F分别是AB、BC的中点，∴BE＝CF，在△CEB和△DFC中，，∴△CEB≌△DFC，∴CE＝DF．6．（2022•碑林区校级开学）如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，F是CE上点．过点F作GH⊥CE，分别交AB、CD于点G、H，若BG＝1，CH＝5，求AG的长．

【解答】解：过G作GM⊥CD于M，如图：∵正方形ABCD，∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，BC＝CD＝AD，∵GM⊥CD，∴四边形GBCM是矩形，∴GM＝BC＝CD，CM＝BG＝1，∠GMH＝90°＝∠D，∵GH⊥CF，∴∠DCE＝90°﹣∠FHM＝∠MGH，在△GMH和△CDE中，，∴△GMH≌△CDE（ASA），∴HM＝DE，∵CH＝5，∴HM＝CH﹣CM＝4＝DE，∵E是AD边的中点，∴AB＝AD＝2DE＝8，∴AG＝AB﹣BG＝8﹣1＝7，∴AG的长为7．7.（2021•滨江区校级三模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边AB、BC

的中点，连接AF、DE交于点G，连结BG．（1）试判断AF与DE的数量关系与位置关系，并证明．（2）求证：BG平分∠EGF．【答案】（1）AF＝DE，AF⊥DE（2）略【解答】（1）解：AF＝DE，AF⊥DE，理由如下：∵ABCD是正方形，∴AD＝AB＝BC，∠DAE＝∠ABF＝90°，∵E、F分别为边AB、BC的中点，∴AE＝BF．∴△DAE≌△ABF（SAS）．∴AF＝DE，∠ADE＝∠BAF．∵∠DAG+∠EAG＝90°，∴∠DAG+∠ADG＝90°．∴∠AGD＝90°．∴AF⊥DE；（2）证明：如图，过点B作BM⊥AF，垂足为M，则BM∥GE，∵AE＝BE，∴AG＝GM．设BF＝a，则AB＝2a，AF＝a，BM＝a，AM＝a，∴GM＝BM＝a．∴△BMG为等腰直角三角形．∴∠BGM＝45°，∠BGE＝90°﹣45°＝45°．∴∠BGM＝∠BGE．

∴BG平分∠EGF．能力提升能力提升8．（2022春•阎良区期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解答】解：在正方形ABCD中，∠BAF＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，∵CE＝DF，∴AD﹣DF＝CD﹣CE，即AF＝DE，在△ABF和△DAE中，，∴△ABF≌△DAE（SAS），∴AE＝BF，故①正确；∠ABF＝∠DAE，∵∠DAE+∠BAO＝90°，∴∠ABF+∠BAO＝90°，

在△ABO中，∠AOB＝180°﹣（∠ABF+∠BAO）＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF，故②正确；假设AO＝OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB＝BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB＝BC相矛盾，所以，假设不成立，AO≠OE，故③错误；∵△ABF≌△DAE，∴S△ABF＝S△DAE，∴S△ABF﹣S△AOF＝S△DAE﹣S△AOF，即S△AOB＝S四边形DEOF，故④正确；综上所述，错误的有③．故选：B．9．（2022秋•江北区校级期末）如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（）A． B．4 C． D．【答案】B【解答】解：如图，作DL⊥AE于点H，交AB于点L，∵BF⊥AE，∴DL∥BF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，

∴BL∥DF，∴四边形BFDL是平行四边形，∵∠AGB＝90°，∠BAE＝90°﹣∠ABG＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵E为BC中点，∴BE＝CF＝BC＝CD，∴DF＝CF＝CD，∴BL＝DF＝CD＝AB，∴AL＝BL＝AB，∴＝＝1，∴AH＝GH，∵DA＝AB＝4，∴DG＝DA＝4，故选：B．10．（2022秋•皇姑区校级期末）如图，边长为5的正方形ABCD中，点E、G分别在射线AB、BC上，F在边AD上，ED与FG交于点M，AF＝1，FG＝DE，BG＞AF，则MC的最小值为．

【答案】﹣2【解答】解：取FD的中点H，作FK垂直BC于点K，∵DE＝FG，AD＝FK，∠A＝∠FKG＝90°，∴△AED≌△KFG（HL），∴∠ADE＝∠KFG，又∵∠FGK＝∠DFM，∠KFG+∠FGK＝90°，∴∠DFM+∠ADE＝90°，∴∠FMD＝90°，∴MH＝＝2，所以M在以H为圆心，2为半径的圆弧上运动，∵MC≥CH﹣MH当M落在CH上时，取到等号即MC达到最小，最小值为CH﹣M′H＝﹣2．11．（2022•迎泽区校级模拟）综合与实践：如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．

（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠BAD＝∠CBA＝90°，∴∠CEB+∠