数学-专题：与相交线有关的角度计算（原版）

七年级下册数学《第五章相交线与平行线》专题与相交线有关的角度计算题型一直接利用相交线的性质求角度题型一直接利用相交线的性质求角度【例题1】（1）写出∠AOE的余角和补角；（2）若∠BOF＝30°，求∠AOE和∠COG的度数．

【变式1-1】（2022秋•江北区校级期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分∠EOC，若∠EOD＝88°，求∠BOD的度数．【变式1-2】（2022秋•天河区校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：2：4．求∠BOE和∠DOF的度数．【变式1-3】（2022秋•清水县校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，∠COE＝80°，

∠COF：∠AOC＝2：3，射线OE平分∠BOF，求∠BOD的度数．【变式1-4】（2022春•华阴市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE是∠BOC的平分线，如果∠BOC：∠DOF：∠AOC＝1：3：5．求∠EOF的度数．【变式1-5】（2022秋•永兴县期末）如图，直线AB和直线CD相交于点O，OB平分∠EOD．（1）若∠EOC＝110°，求∠BOD的度数；（2）若∠DOE：∠EOC＝2：3，求∠AOC的度数．【变式1-6】（2022秋•夏邑县期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF

平分∠COE，∠AOD＝2∠BOD．（1）求∠DOE的度数；（2）求∠BOF的度数．【变式1-7】（2022秋•江夏区校级期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠BOD＝38°，求∠EOD的度数；（2）若∠EOC=45∠EOD，求∠【变式1-8】（2022秋•荣昌区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠AOM，且∠AOM＝90°，射线ON在∠BOM内部．（1）求∠AOD的度数；（2）若∠BOC＝5∠NOB，求∠MON的度数．

题型二利用垂线的性质求角度题型二利用垂线的性质求角度【例题2】（2022秋•兴化市校级期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．（1）图中与∠COE互余的角是；（把符合条件的角都写出来）（2）如果∠AOC=27∠EOF【变式2-1】（2022春•惠州期末）如图所示，直线AB，CD相交于点O，射线OE、OF在∠AOD内，且OD平分∠BOE，OF⊥CD，已知∠AOC：∠AOD＝1：5，求∠EOF的度数．【变式2-2】（2022秋•绿园区期末）如图：已知直线AB、CD相交于点O，EO⊥CD．（1）若∠AOC＝34°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD：∠BOC＝1：4，求∠AOE的度数．

【变式2-3】（2022秋•南关区校级期末）如图，OB⊥OD，OC平分∠AOD，∠BOC＝40°，求∠AOB的大小．【变式2-4】（2022春•长垣市期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD．（1）如果∠AOC＝60°，求∠DOE的度数；（2）如图，作OF⊥OE，试说明OF平分∠BOD．【变式2-5】（2022春•道外区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOC．（1）若∠DOE＝130°，求∠BOC的度数；（2）过点O作OF⊥OE，请直接写出和∠BOF互补的角．【变式2-6】（2021秋•玄武区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为O，OM

平分∠BOE，∠AOC＝50°．（1）求∠DOM的度数；（2）在∠AOM的内部画射线ON，使得∠MON＝45°，那么ON是∠AOD的平分线吗？请说明理由．【变式2-7】（2022春•蚌埠期末）已知，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）如图1，若OA⊥OB，∠BOC＝60°，求∠MON的度数；（2）如图2，若∠AOB＝80°，∠MON：∠AOC＝2：7，求∠AON的度数．题型三通过计算说明两角的数量关系题型三通过计算说明两角的数量关系

【例题3】（2022春•渭城区期中）将下面的解答过程补充完整：已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOF，∠COE＝90°．试说明：∠FOB＝2∠AOC．解：因为OE平分∠AOF，所以∠AOE＝∠EOF．（）因为∠COE＝90°，所以∠AOC+∠AOE＝90°．因为直线AB，CD相交于点O，所以∠EOD＝180°﹣∠COE＝90°，所以∠EOF+∠FOD＝90°．所以∠AOC＝（）．因为直线AB，CD相交于点O，所以（），所以∠FOB＝∠FOD+∠BOD＝2∠AOC．【变式3-1】（2021秋•莲都区期末）如图，直线AE与CD相交于点B，BF⊥AE．（1）若∠DBE＝60°，求∠FBD的度数；（2）猜想∠CBE与∠DBF的数量关系，并说明理由．【变式3-2】如图，直线AB与CD相交于O．OF是∠BOD的平分线，OE⊥OF．（1）若∠BOE比∠DOF大38°，求∠DOF和∠AOC的度数；（2）试问∠COE与∠BOE之间有怎样的大小关系？请说明理由．

（3）∠BOE的余角是，∠BOE的补角是．【变式3-3】直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足为O．（1）若∠EOF＝54°，求∠AOC的度数；（2）①在∠AOD的内部作射线OG⊥OE；②试探索∠AOG与∠EOF之间有怎样的关系？并说明理由．【变式3-4】（2022春•香坊区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，∠BOM＝∠DON＝90°．（1）如图1，若∠COM＝35°，求∠BON的度数；（2）如图1，请直接写出图中所有互余的角；

（3）如图2，若射线OE在∠MOB的内部，且12∠MON﹣∠BOE＝45°，请比较∠MOE与∠DOE【变式3-5】已知：如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，OF平分∠BOD，对∠EOF=12∠题型四通过计算说明两直线垂直题型四通过计算说明两直线垂直【例题4】（2022春•南昌期中）如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOE，OF平分∠AOE．

（1）判断OF与OD的位置关系，并证明；（2）若∠AOC＝30°，求∠EOF的度数．【变式4-1】（2022秋•拱墅区期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB．（1）若∠1＝∠2，证明：ON⊥CD；（2）若∠1=13∠BOC，求∠【变式4-2】（2022春•墨玉县期末）如图，直线AB．CD相交于点O．∠AOC＝28°．OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．（1）求∠BOF的度数：（2）判断射线OE与OF之间的位置关系．并说明理由．

【变式4-3】（2022春•香洲区期末）如图，直线AB与CD相交于点O，OF、OD分别是∠AOE、∠BOE的平分线．（1）若∠DOE＝28°，求∠AOD的度数；（2）请写出射线OD与OF之间有什么特殊的位置关系，并说明理由．【变式4-4】如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOD＝20°，∠DOF：∠FOB＝1：7，射线OE平分∠BOF．（1）求∠EOB的度数；（2）射线OE与直线CD有什么位置关系？请说明理由．

【变式4-5】（2022春•沂水县期中）直线AB，CD相交于点O．OE，OF，OG分别是∠AOC，∠BOD，∠AOD的平分线．（1）画出这个图形．（2）射线OE，OF在同一条直线上吗？为什么？（3）OE与OG有什么位置关系？说明理由．题型五与相交线有关的角度计算综合题题型五与相交线有关的角度计算综合题【例题5】（2022秋•渠县期末）若直线AB和直线ED相交于点O，OC为∠BOE内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．

（1）若∠BOD＝58°，求∠AOF和∠EOF的度数？（2）若∠BOD是任意角α（0°＜α＜90°），求∠EOF的度数？（3）请猜想，∠EOF度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则∠EOF度数是多少？【变式5-1】（2022春•大足区期末）如图，直线AB和CD交于点O，射线OE平分∠AOD，∠BOD＝46°．（1）求∠COE的度数；（2）若射线OF⊥AB于点O，请补全图形，并求∠EOF的度数．【变式5-2】（2022春•潜山市月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OB平分∠DOE，（1）如图1，若∠COE＝110°，求∠BOD的度数（2）如图2，若∠BOE：∠COE＝1：3，求∠AOC的度数；（3）在（2）的条件下，画OF⊥CD，请直接写出∠EOF的度数．

【变式5-3】（2022春•麒麟区期末）直线AB，CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．（1）①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD＝20°，∠BOE＝130°，求∠EOF的度数；②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明OC平分∠AOE．（2）若∠AOF＝2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．【变式5-4】（2021秋•鄞州区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC．【基础尝试】（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；【画图探究】（2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，探究∠AOC与∠EOF

之间的关系，结果用含x的代数式表示∠EOF．【拓展运用】（3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由．【变式5-5】（2021秋•罗湖区期末）如图①，直线AB与直线CD相交于点O，∠COE＝90°，过点O作射线OF．（1）若射线OF平分∠AOC且∠BOF＝130°，求∠BOE的度数；（2）若将图①中的直线CD绕点O逆时针旋转至图②，∠COE＝90°，当射线OE平分∠BOF时，射线OC是否平分∠AOF，请说明理由；（3）若∠BOE＝20°，∠BOF＝130°，将图①中的直线CD绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），∠COE始终