专题16妙解离心率问题（12大核心考点）（讲义）

专题16妙解离心率问题【目录】TOC\o"13"\h\z\u 2 3 4 4 12考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 12考点二：焦点三角形顶角范围与离心率 16考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题 19考点四：椭圆与双曲线的4a通径体 21考点五：椭圆与双曲线的4a直角体 24考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 26考点七：双曲线的4a底边等腰三角形 28考点八：焦点到渐近线距离为b 32考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 36考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 38考点十一：渐近线平行线与面积问题 41考点十二：数形结合转化长度角度 45求椭圆或双曲线的离心率、与双曲线的渐近线有关的问题，多以选择、填空题的形式考查，难度中等．考点要求考题统计考情分析离心率2023年新高考I卷第5、16题，10分2023年甲卷第9题，5分2022年甲卷第10题，5分2022年浙江卷第16题，4分2021年甲卷第5题，5分2021年天津卷第8题，5分离心率问题一直是高考每年必考，对圆锥曲线概念和几何性质的考查为主，一般不会出太难，二轮复习我们需要掌握一些基本的性质和常规的处理方法，挖掘椭圆双曲线的几何性质下手．求离心率范围的方法一、建立不等式法：1、利用曲线的范围建立不等关系．2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．4、利用题目不等关系建立不等关系．5、利用判别式建立不等关系．6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．7、利用基本不等式，建立不等关系．1．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆，的离心率分别为，．若，则A． B． C． D．【答案】【解析】由椭圆可得，，，椭圆的离心率为，，，，，或（舍去）．故选：．2．（2023•甲卷）已知双曲线的离心率为，的一条渐近线与圆交于，两点，则A． B． C． D．【答案】【解析】双曲线的离心率为，可得，所以，所以双曲线的渐近线方程为：，一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，圆的圆心到直线的距离为：，所以．故选：．3．（2022•甲卷）椭圆的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称．若直线，的斜率之积为，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【解析】已知，设，，则，，，，故①，，即②，②代入①整理得：，．故选：．4．（2021•甲卷）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【解析】设，，则根据题意及余弦定理可得：，解得，所求离心率为．故选：．5．（2021•天津）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为A． B． C．2 D．3【答案】【解析】解由题意可得抛物线的准线方程为，由题意可得：，渐近线的方程为：，可得，，，，所以，，由，解得：，即，所以双曲线的离心率．故选：．6．（2022•甲卷）已知椭圆的离心率为，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则的方程为A． B． C． D．【答案】【解析】由椭圆的离心率可设椭圆方程为，则，由平面向量数量积的运算法则可得：，，则椭圆方程为．故选：．7．（2022•全国）若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则的离心率为A．5 B． C． D．【答案】【解析】由双曲线的方程可得渐近线方程为，由题意可得，所以双曲线的离心率，故选：．8．（多选题）（2022•乙卷）双曲线的两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为A． B． C． D．【答案】【解析】当直线与双曲线交于两支时，设双曲线的方程为，设过的切线与圆相切于点，则，，又，所以，过点作于点，所以，又为的中点，所以，，因为，，所以，所以，则，所以，由双曲线的定义可知，所以，可得，即，所以的离心率．情况二：当直线与双曲线交于一支时，如图，记切点为，连接，则，，过作于，则，因为，所以，，，即，所以，正确．故选：．9．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线的左、右焦点分别为，．点在上，点在轴上，，，则的离心率为．【答案】【解析】（法一）如图，设，，，设，则，又，则，可得，又，且，则，化简得．又点在上，则，整理可得，代，可得，即，解得或（舍去），故．（法二）由，得，设，由对称性可得，则，设，则，所以，解得，所以，在△中，由余弦定理可得，即，则．故答案为：．10．（2022•浙江）已知双曲线的左焦点为，过且斜率为的直线交双曲线于点，，交双曲线的渐近线于点，且．若，则双曲线的离心率是．【答案】．【解析】（法一）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，由于，且，则点在渐近线上，不妨设，设直线的倾斜角为，则，则，即，则，，又，则，又，则，则，点的坐标为，，即，．（法二）由，解得，又，所以点的纵坐标为，代入方程中，解得，所以，代入双曲线方程中，可得，所以．故答案为：．考点一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：椭圆：，根据范围求解值域．双曲线：，根据范围求解值域．【例1】（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为，连接，则四边形为矩形，则，所以，在中，由，得，所以，所以，因为，所以，所以，所以.故选：B.【变式11】（2024·高三单元测试）已知椭圆（a＞b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且AF⊥BF，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，．则四边形为矩形．因此．．所以，．．，，，，其中，．．故选：A．【变式12】（2024·宁夏银川·高三银川二中校考阶段练习）已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设椭圆的左焦点为，连接，，可知四边形为矩形，从而可知，且，由，可得，，结合，可得，根据，求出范围即可.如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，，则四边形为矩形，所以，，由，可得，，，即，∵，，，，.故选：A.【变式13】（2024·河南驻马店·高三统考期末）已知双曲线右支上非顶点的一点关于原点的对称点为，为其右焦点，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，因为，所以四边形为矩形，所以，因为，，，所以，所以，∵，∴，，∴，故选：C考点二：焦点三角形顶角范围与离心率是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）．【例2】（2024·辽宁葫芦岛·高三统考期末）已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，椭圆的最大张角为，所以，所以，所以，故选：C．【变式21】（2024·江西抚州·高三统考期末）设是椭圆的两个焦点,若椭圆上存在点,使,则椭圆离心率的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】F1（c，0），F2（c，0），c＞0，设P，则|PF1|=a+ex1，|PF2|=aex1．在△中，由余弦定理得，解得．∵，∴0≤＜a2，即．且∴．故椭圆离心率的取范围是e∈【变式22】（2024·宁夏·高三校联考阶段练习）已知，是椭圆的两个焦点，若椭圆C上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】若椭圆C上存在点，使得，即以为直径的圆与椭圆有交点，设，，解得，即，，又，故.故选：B.【变式23】（2024·高三课时练习）已知椭圆的两个焦点分别为，若椭圆上存在点使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】当动点从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．∵椭圆上存在点使得是钝角，∴中，，∴中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴．椭圆离心率的取值范围是，故选B．考点三：共焦点的椭圆与双曲线问题，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围【例3】（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则当取最大值时，，的值分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，，．设，．．则，，∴，．因为，所以，即．∴，∴，∴，则，当且仅当，时取等号．故选：A．【变式31】（2024·湖南·高三校联考期末）已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于．【答案】【解析】设椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，为两曲线在第一象限的交点，为两曲线在第三象限的交点，如图，由椭圆和双曲线定义与对称性知，，四边形为平行四边形，，，而，则，因此，即，于是有，则，，所以，当且仅当，时取等号．故答案为：【变式32】（2024·湖北咸宁·校考模拟预测）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，，是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内，，即，，且，，，，解得：．在双曲线中，，；在椭圆中，，；；，，则，，可得：，的取值范围为.故选：B.考点四：椭圆与双曲线的4a通径体椭圆与双曲线的4a通径体如图，若，易知，若，则一定有，根据可得，即【例4】（2024·河南新乡·高三统考期末）设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线交双曲线的左支于、两点，若，且，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下图所示：，由双曲线的定义可得，所以，，则，由余弦定理可得，，因为，故，整理可得，故该双曲线的离心率为.故选：B.【变式41】（2024·甘肃庆阳·高三校联考阶段练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以可设，，，因为，所以，解得，因为，所以，，，所以，在中，，，由，可得，即椭圆的离心率为.故选：B.【变式42】（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图所示，设，，设，则，在中，，由椭圆定义可知，，，解得，所以，，在中，可得，在中，由余弦定理可得，，，即0，解得，所以椭圆离心率.故选：D.考点五：椭圆与双曲线的4a直角体如左图，若，过原点，且，，则可得离心率．如右图，若，过原点，且，通过补全矩形，可得，，借助公式可得离心率．【例5】（2024·山东济南·校联考）设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，不妨令，过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，，则，，又，所以，则和都是直角三角形，则，即，解得，所以，，又，，所以，因此，所以椭圆的离心率为.故选：C.【变式51】（2024·安徽池州·高三统考期末）设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，再由是等腰直角三角形，故选D,【变式52】（2024·湖北黄冈·高三统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，，且，椭圆的离心率为，则实数（

）A． B．2 C． D．3【答案】D【解析】因为，设，由椭圆的定义可得：，则，因为，所以，所以，即，又因为椭圆的离心率为，所以，则有，所以，则，则，由，所以，因为，所以，所以，即，解得：，故选：.考点六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题同角余弦定理使用两次【例6】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．所求椭圆方程为，故选B．法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．【变式61】（2024·江西九江·高三九江一中校考期末）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，又，所以，从而，，，中，，中．，所以，，所以，故选：C．【变式62】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【解析】由题意，又，所以，从而，，，中，，中．，所以，，所以，故选：C．考点七：双曲线的4a底边等腰三角形当或者时，令,则一定存在①，②【例7】（2024·河南·高三校联考阶段练习）设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜率为，所以，整理得，即，故选：D．【变式71】（2024·贵州·校联考模拟预测）设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线l的斜率为，所以，整理得，即，则，故．故选：C【变式72】（2024·全国·高三长垣市第一中学校联考开学考试）设双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左､右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】如图，设为的中点，连接.易知，所以，所以.因为为的中点，所以.设，因为，所以.因为，所以.所以.因为是的中点，，所以.在Rt中，；在Rt中，.所以，解得.所以.因为直线的斜率为，所以，所以，，所以离心率为.故选：A【变式73】（2024·全国·模拟预测）已知，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于，两点，连接，，在中，，，则双曲线的离心率为（

）A．3 B． C． D．2【答案】D【解析】设，则由双曲线定义可得，，，由可得，再在中根据余弦定理即可列出式子求出离心率.设，则由双曲线定义可得，，则，则，解得，从而.在中，，即，解得.故选：D.考点八：焦点到渐近线距离为b双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线，，过右焦点作，，由于渐近线方程为，故，且斜边，故，故，.【例8】（2024·河南新乡·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】连结，因为点分别为和的中点，所以，且设点到一条渐近线的距离，所以，又，所以，中，满足，整理为：，双曲线的离心率.故选：D【变式81】（2024·吉林白山·高三校联考阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨设渐近线的方程为，因为，为的中点，所以为的中点，将直线，的方程联立，可得，又，所以即，又点在双曲线上，所以，解得，所以该双曲线的离心率为，故选：A.【变式82】（2024·山西运城·高三统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据题意，不妨取点在第二象限，题中条件，得到，记，求出，根据双曲线定义，得到，，在中，由余弦定理，即可得出结果.因为以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，不妨取点在第二象限，所以，则，因为双曲线的渐近线方程为，则，所以；记，则，由解得，因为，由双曲线的定义可得，所以，，由余弦定理可得：，则，所以，整理得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：C.【变式83】（2024·辽宁·统考模拟预测）已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若(为坐标原点)的面积等于(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】设双曲线：的右焦点，双曲线的一条渐近线方程设为，可得，，的面积为，即有，化为，，解得.故选：A.【变式84】（2024·广西南宁·统考）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不妨设在第二象限，在第三象限，如下图所示：因为，，所以，所以，，又，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以.故选：C.考点九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形利用几何法转化【例9】（2024·江西九江·高三九江一中校考阶段练习）是双曲线的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，交另一条渐近线于点．若，则此双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】由题意得：，双曲线渐近线方程为：若为直线与交点，为直线与交点则

直线方程为：，与联立可得：直线方程与联立可得：由得：，即，即，解得：或（舍）由双曲线对称性可知，当为直线与交点，为直线与交点时，结论一致故选：【变式91】（2024·广西玉林·校考模拟预测）过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（

）A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意双曲线C：的渐近线，右焦点，不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为与联立得，所以，，所以交点坐标为，因为交点在第二象限，所以，因为，，，所以，，所以，即，因为，所以，即故选：A【变式92】（2024·江西新余·统考）已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如下图所示：双曲线的渐近线方程为，即，所以，，则，因为，则，设，则，所以，，，，由二倍角的正切公式可得，即，可得，因此，.故选：A.考点十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题以为直径作圆，交一条渐近线于点，交另一条渐近线于点，则令,则，【例10】（2024·全国·校联考）过双曲线的右焦点作轴的垂线，与双曲线及其一条渐近线在第一象限分别交于两点，且为坐标原点），则该双曲线的离心率是(

)A．2. B． C． D．【答案】D【解析】设双曲线的半焦距为，由得到，由得到，而，，即点A是线段FB的中点，所以，所以.故选：D【变式101】（2024·山西晋城·统考）设，是双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（

）A． B．C． D．2【答案】A【解析】由题意可得，即有为等腰三角形，设，则，所以即为，所以，故选：A【变式102】（2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】连接，设，则由题意可得是直角三角形，由恰好为正三角形得，，∴，∴，，．故选：C．【变式103】（2024·陕西宝鸡·统考）已知双曲线的左､右焦点分别为，，且以为直径的圆与双曲线的渐近线在第四象限交点为，交双曲线左支于，若，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】写出圆方程，与渐近线方程联立解得得点坐标，由可表示出点坐标，点坐标代入双曲线方程整理后可求得．，圆方程为，由，由，，解得，即，设Q(x0，y0)，由，，得，，因为在双曲线上，∴，，解得（舍去），故选：A考点十一：渐近线平行线与面积问题①双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数②双曲线C：上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于，两点，则是一个常数，，【例11】（2024·北京·人大附中校考）已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率