高数微积分(人大版)2-2.3

前面讨论了数列xn=f(n)的极限,它是函数极限中的特殊情形,特殊性在于:n只取自然数,且n趋于无穷大.

现在讨论y=f(x)的极限,自变量x大致有两种变化形式.(1)x,(2)x

x0(有限数).并且,x不是离散变化的,而是连续变化的.

第二节函数的极限1、x

时,f(x)的极限.讨论f(x)=1/x在x

+

时的变化情况

yx01)、x+时,f(x)的极限.定义1.

设f(x)在(a,+

)内有定义,也可记为f(x)

A,(x+)假设>0,M>0,当x>M时,相应的函数值f(x)满足|f(x)A|<.那么称常数A为f(x)当x+时的极限,记作

此时也称当x+时,f(x)的极限存在.否那么,称它的极限不存在.注1.将这个定义和数列极限定义相比较,就是将xn=f(n)换成了f(x).将“自然数N”换成“实数X>0”.但是,数列极限中n是离散变化的,而这里x是连续变化的.若

>0,M>0,当x>M

时,有|f(x)A|<

.假设>0,自然数N,使得当n>N时,都有|xna|<,例1.

证明

其中0<a<1.证:

0<

<1,要使|ax0|=ax<

.看图.y=ax1yx0

xxy只须若

>0,M>0,当x>M

时,有|f(x)A|<

.2)

x-时,f(x)的极限.讨论f(x)=1/x在x

-

时的变化情况

yx0

设f(x)在(-,a)内有定义,也可记为f(x)

A,(x-)假设>0,M>0,当x<-M时,相应的函数值f(x)满足|f(x)A|<.那么称常数A为f(x)当x-时的极限,记作

此时也称当x-时,f(x)的极限存在.否那么,称它的极限不存在.3)

x

时,f(x)的极限.讨论f(x)=1/x在x

时的变化情况

yx0定义2.设f(x)在(,a)(a,+)内有定义.假设>0,M>0,当|x|>M时,相应的函数值满足|f(x)

A|<

那么称A为f(x)当x时的极限,记作

由定义1,2可知几何意义例2用定义证明2、当x

x0时,f(x)的极限假设当xx0时,对应的函数值f(x)A,那么称A是f(x)当xx0时的极限,f(x)A可用|f(x)

A|<

刻划,如何用精确的数学而xx0那么可用|x

x0|<

刻划.语言刻划这一事实?定义3.

设f(x)在x0的某个去心邻域Uo(x0)内有定义,此时也称当x

x0时,f(x)的极限存在,假设>0,>0,当0<|xx0|<时,相应的函数值f(x)满足|f(x)A|<,那么称常数A为f(x)的当xx0时的极限,记作否那么,称当xx0时,f(x)的极限不存在.注1.与数列极限定义比较:将“xn=f(n)”换成f(x),将“N

”换成“

>0”,将“n>N

”换成“0<|x

x0|<

”.假设>0,自然数N,使得当n>N时,都有|xna|<,>0,>0,当0<|xx0|<时,|f(x)A|<,那么记而现在x

x0,“0<|x

x0|<

”表示了这一意思.这是因为在数列极限中.n.而“n>N”

表示了n充分大这一意思.1〕2〕即使函数f(x)在x0点无定义，仍可考虑的存在问题:3〕意味如果函数f(

x)在x0

有定义，4〕由定义知：是否必存在极限注意x

x0意为从x0

两侧无限接近x0；是否必有例

证明证欲使只要几何意义任意给定

>0,因为例

证明对于任意给定的正数

，

因为所以要使只要证yx012xxxyyy=f(x)x11/2例4.

证明证:

>0,要使|f(x)–2|<

,只须|2x–1|<

.(本例说明f(x)在x0无定义,但其极限可能存在)取

=

.那么当0<|2x1|<时,有|f(x)–2|<,故

>0,

>0,当0<|x

x0|<

时,有|f(x)

a|<

,例5.

证明证:

注意到不等式|sinx||x|

>0,要使|sinx–sinx0|<

,只须|x–x0|<

,取

=

.

>0,

>0,当0<|x

x0|<

时,有|f(x)

a|<

,(本例说明sinx和cosx在x0处的极限值就等于它在x0处的函数值。)定义4：设f(x)在x0的右边附近(左边附近)有定义，假设>0,>0.当0<x–x0<(或0<x0–x<)时，有那么称a为f(x)当xx0的右极限(或左极限),记作左、右极限例：设f(x)=1, 当x<0时,x, 当x≥0时,解：f(x)是一个分段函数，x=0是这个分段函数的分段点.由于当x<0时,对应的函数值f(x)=1.由于当x≥0时,对应的函数值f(x)=x.对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论.即，f(x)在点x0处的极限存在的充要条件是f(x)在x0的左、右极限存在，并且相等。定理1.

>0,

>0,当0<|x

x0|<

时,|f(x)

a|<

,则记假设>0,>0.当0<x–x0<(或0<x0–x<)时，有例：设f(x)=-x, 当x0时,x, 当x>0时,解：f(x)是一个分段函数，x=0是这个分段函数的分段点.由于当x0时,对应的函数值f(x)=-x.由于当x>0时,对应的函数值f(x)=x.对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论.例6：设f(x)=x, 当x0时,sinx, 当x>0时,解：f(x)是一个分段函数，x=0是这个分段函数的分段点.由于当x0时,对应的函数值f(x)=x.由于当x>0时,对应的函数值f(x)=sinx.对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论.例7：设f(x)=x, 当x0时,cosx, 当x>0时,左、右极限存在,但不相等,=0以后,常用以下记号表示函数的左,右极限看图x

0+cosxxyx

0¯1yy三、函数极限性质.定理2.定理3.推论:定义5:假设存在x0的某去心邻域Û(x0)，使得f(x)在Û(x0)内有界，那么称f(x)是xxo时的有界量.假设>0，使得f(x)在(–,–X)(X,+