模型36 中点四边形模型和梯形中位线定理（教师版）

PAGE1模型介绍模型介绍中点四边形模型（1）任意四边形四条边的中点依次连接得到的四边形一定是平行四边形.（2）矩形四条边中点连线所得到的四边形为菱形.（3）菱形四条边中点连线所得到的四边形为矩形.梯形中位线定理（1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．（2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．（3）梯形面积与中位线的关系：梯形中位线的2倍乘高再除以2就等于梯形的面积，即梯形的面积＝×2×中位线的长×高＝中位线的长×高（4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线．例题精讲例题精讲考点一：中点四边形问题【例1】．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝4，BC＝5，则四边形EFGH的周长是9．解：∵E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，∴EF＝AD＝2，FG＝BC＝2.5，GH＝AD＝2，EH＝BC＝2.5，∴四边形EFGH的周长＝EF+FG+GH+HE＝9，故答案为：9．变式训练【变式1-1】．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长是（）A．7 B．9 C．11 D．13解：∵BD⊥CD，BD＝4，CD＝3，∴BC＝＝＝5，∵E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，∴EH＝FG＝BC，EF＝GH＝AD，∴四边形EFGH的周长＝EH+GH+FG+EF＝AD+BC，又∵AD＝6，∴四边形EFGH的周长＝6+5＝11．故选：C．【变式1-2】．如图，在四边形ABCD中，AC＝8，BD＝6，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝50．解：连接HG，EH，EF，FG，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴HG＝EF＝AC＝4，EH＝FG＝BD＝3，∵E，H，是AB，AD中点，∴HE∥BD，HE＝BD，同理FG∥BD，FG＝BD，∴四边形HEFG是平行四边形，∵AC⊥BD，∴HG⊥EH，∴四边形HEFG为矩形，∴EG2+FH2＝EF2+FG2+EF2+EH2＝52+52＝50，故答案为：50

考点二：梯形的中位线定理【例2】．如图，在▱ABCD中，BC＝4m，E为AD的中点，F、G分别为BE、CD的中点，则FG＝3m．解：∵在▱ABCD中，BC＝4m，E为AD的中点，∴ED＝×4＝2m；又∵F、G分别为BE、CD的中点，∴FG＝（BC+ED）＝×（4+2）＝3（m）．变式训练【变式2-1】．如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF＝3，则梯形ABCD的周长为（）A．9 B．10.5 C．12 D．15解：∵EF梯形的中位线，∴EF∥BC，AD+BC＝2EF＝6．∴∠EPB＝∠PBC．又因为BP平分∠EBC，所以∠EBP＝∠PBC，∴∠EPB＝∠EBP，∴BE＝EP，∴AB＝2EP．同理可得，CD＝2PF，所以AB+CD＝2EF＝6．则梯形ABCD的周长为6+6＝12．故选：C．【变式2-2】．在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，若AC＝5，BD＝12，中位线长为，△AOB的面积为S1，△COD的面积为S2，则＝．解：作BE∥AC，∵AB∥CE，∴CE＝AB，∵梯形中位线为6.5，∴AB+CD＝13，∴DE＝CE+CD＝AB+CD＝13，∵BE＝AC＝5，BD＝12，由勾股定理的逆定理，得△BDE为直角三角形，即∠EBD＝∠COD＝90°，设S△EBD＝S则S2：S＝DO2：DB2S1：S＝OB2：BD2∴＝∵S＝12×5×＝30∴＝．故本题答案为：．

1．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD为对角线，中位线EF交BD于O点，若FO﹣EO＝3，则BC﹣AD等于（）A．4 B．6 C．8 D．10解：∵EF是梯形ABCD是中位线，∴EF∥BC∥AD．∴OB＝OD．∴BC＝2OF，AD＝2OE．∴BC﹣AD＝2（FO﹣EO）＝2×3＝6．故选：B．2．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝5，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，HF，相交于点O，则EG2+FH2的值为（）A．25 B．30 C．35 D．40解：连接EF、FG、GH、HE，∵点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF＝AC＝，FG＝BD＝，GH＝AC＝，HE＝BD＝，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥FH，OE＝OG，OF＝OH，∴OE2+OH2＝EH2＝，∴EG2+FH2＝4OE2+4OH2＝25，故选：A．3．在如图所示的梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝11，①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1＝8，②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出A1B1+A2B2的值…，照此规律下去，③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（）A．50 B．80 C．96 D．100解：①中A1B1是连接两腰中点的线段，易知A1B1＝8；②中A1B1，A2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，根据梯形的中位线定理，得A1B1+A2B2＝2×8＝16，可知，在中位线两边离中位线距离相等的线段和为16；③中A1B1，A2B2，…A10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则A1B1+A2B2+…+A10B10的值为（A1B1+A10B10）+（A2B2+A9B9）+（A3B3+A8B8）+（A4B4+A7B7）+（A5B5+A6B6）＝16+16+16+16+16＝80．故选：B．4．如图，四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBn∁nDn．下列结论正确的是（）①四边形A4B4C4D4是菱形；②四边形A3B3C3D3是矩形；③四边形A7B7C7D7周长为；④四边形AnBn∁nDn面积为．A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④解：①连接A1C1，B1D1．∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；∵AC⊥BD，∴A1B1⊥A1D1，∴四边形A1B1C1D1是矩形，∴B1D1＝A1C1（矩形的两条对角线相等）；∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位线定理），∴四边形A2B2C2D2是菱形；∴四边形A3B3C3D3是矩形；∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；故①②正确；③根据中位线的性质易知，A7B7＝A5B5＝A3B3＝A1B1＝AC，B7C7＝B5C5＝B3C3＝B1C1＝BD，∴四边形A7B7C7D7的周长是2×（a+b）＝，故③正确；④∵四边形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC⊥BD，∴S四边形ABCD＝ab÷2；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形AnBn∁nDn的面积是，故④错误；综上所述，①②③正确．故选：A．5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，若AD＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为．解：在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，故可得：EF＝AC，同理FG＝BD，GH＝AC，HE＝BD，在梯形ABCD中，AB＝DC，故AC＝BD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形．在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH是正方形．如图，连接EG．在梯形ABCD中，∵E、G分别是AB、DC的中点，∴EG＝（AD+BC）＝3．在Rt△EHG中，∵EH2+GH2＝EG2，EH＝GH，∴EH2＝，即四边形EFGH的面积为．6．如图，等腰梯形的一条对角线与下底的夹角为45°，中位线长为8，则梯形的面积为64．解：过O作GH⊥BC于H，GH⊥AD于G．∵∠1＝∠2＝45°，∴OB＝OC，∠1＝∠BOH＝45°．∴OH＝BH＝BC．∵AD∥BC，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝45°．∴∠AOG＝45°，AG＝OG．∴GH＝OG+OH＝（AD+BC）＝×16＝8．∴S梯形ABCD＝EF•HG＝8×8＝64．7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF与对角线AC，BD交于M，N两点，若EF＝18cm，MN＝8cm，则AB的长等于26cm．解：∵EF为梯形的中位线，且EF＝18cm，∴AB+CD＝2×18＝36cm，EF∥AB∥CD．∴AM＝CM，BN＝DN．∴EM＝NF＝CD＝＝5．∴CD＝10∴AB＝2EF﹣CD＝36﹣10＝26（cm）．8．如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB＝CD，下列结论：①EG⊥FH；②四边形EFGH是矩形；③HF平分∠EHG；④EG＝；⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的是①③⑤．解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，∵AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四边形EFGH是菱形，∴①EG⊥FH，正确；②四边形EFGH是矩形，错误；③HF平分∠EHG，正确；④当AD∥BC，如图所示：E，G分别为BD，AC中点，∴连接CD，延长EG到CD上一点N，∴EN＝BC，GN＝AD，∴EG＝（BC﹣AD），只有AD∥BC时才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；⑤四边形EFGH是菱形，正确．综上所述，①③⑤共3个正确．故答案为：①③⑤9．如图，在四边形ABCD中，M、N、P、Q分别是AD、AB、BC、CD的中点，且对角线AC⊥BD，AC：BD＝4：3，AC+BD＝28，则MQ：QP＝4：3，四边形MNPQ的面积是48．解：①∵AC：BD＝4：3，AC+BD＝28，∴AC＝16，BD＝12．如图，∵M、Q分别是AD、CD的中点，∴MQ是△ADC的中位线，∴MQ＝AC＝8．同理，QP＝BD＝6．∴MQ：QP＝8：6＝4：3．故填：4：3；②∵AC：BD＝4：3，AC+BD＝28，∴AC＝16，BD＝12．∵点M、N分别为四边形ABCD的边AD、AB的中点，∴MN∥BD．同理，PQ∥BD，MQ∥AC，NP∥AC，且∴MN∥PQ，MQ∥NP，∴四边形MNPQ是平行四边形．又∵AC⊥BD，MQ⊥MN，∴平行四边形MNPQ是矩形．∴四边形MNPQ的面积是：MQ•PQ＝8×6＝48，即四边形MNPQ的面积是48．故填：48．10．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD＝3，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2＝9．解：如右图，连接EF，FG，GH，EH，∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线，∴EH＝BD＝，同理可得EF，FG，GH分别是△ABC，△BCD，△ACD的中位线，∴EF＝GH＝AC＝，FG＝BD＝，∴EH＝EF＝GH＝FG＝，∴四边形EFGH为菱形，∴EG⊥HF，且垂足为O，∴EG＝2OE，FH＝2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝，等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝×4＝9，∴（2OE）2+（2OH）2＝9，即EG2+FH2＝9．故答案为：9．11．由四边形四条边的中点组成的四边形叫做原四边形的中点四边形．如图，四边形ABCD是矩形，取矩形ABCD四条边的中点得到中点四边形A1B1C1D1，再取四边形A1B1C1D1四条边的中点得到中点四边形A2B2C2D2，…，按此规律继续下去，若矩形ABCD的面积为1，则得到的中点四边形AnBn∁nDn的面积为．解：顺次连接矩形ABCD四边的中点得到四边形A1B1C1D1，则四边形A1B1C1D1的面积为矩形ABCD面积的，顺次连接四边形A1B1C1D1四边的中点得到四边形A2B2C2D2，则四边形A2B2C2D2的面积为四边形A1B1C1D1面积的一半，即为矩形ABCD面积的，顺次连接四边形A2B2C2D2四边的中点得四边形A3B3C3D3，则四边形A3B3C3D3的面积为四边形A2B2C2D2面积的一半，即为矩形ABCD面积的，故中点四边形的面积等于原四边形的面积的一半，则四边形AnBn∁nDn面积为矩形ABCD面积的，又∵矩形ABCD的面积为1，∴四边形AnBn∁nDn的面积＝1×＝，故答案为：．12．如图，梯形中ABCD中，∠DBC＝30°，，，EF为梯形的中位线．求梯形的面积及EF的长．解：过D作DM∥AC，DM与BC的延长线交于点M，作DG⊥BM于G∵四边形ACMD为平行四边形∴AD＝CM，AC＝DM在Rt△DBG中，∠DBG＝30°，∴，BG＝18在Rt△DGM中，＝∴BM＝BG+GM＝26，又BM＝BC+CM＝BC+AD∴BC）＝＝13，S梯形ABCD＝+BC）×DG＝×26×6＝78．13．如图：在梯形ABCD中，CD∥AB，点F在AB上．CF＝BF，且CE⊥BC交AD于E，连接EF．已知EF⊥CE，（1）若CF＝10，CE＝8，求BC的长．（2）若点E是AD的中点，求证：AF+DC＝BF．解：（1）过点F作FH⊥BC于点H，∵CE⊥BC，EF⊥CE，∴四边形CEFH是矩形，∴CH＝EF，在Rt△CEF中，CF＝10，CE＝8，∴EF＝6，∴CH＝6，∵CF＝BF，∴BC＝2CH＝12；（2）连接EH，交CF于点G，∵四边形CEFH是矩形，∴CG＝GF，EG＝GH，∴EG是梯形ADCF的中位线，GH是△BCF的中位线，∴EG＝（AF+DC），GH＝BF，∴AF+DC＝BF．14．如图，在四边形ABCD中，AC＝BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH是菱形；（2）若AC＝8，求EG2+FH2的值．（1）解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，又∵AC＝BD，∴EH＝FG＝EF＝HG，∴四边形EFGH是菱形；（2）如图，设EG与HF交于点O．由（1）知，四边形EFGH是菱形，则EG⊥FH，EG＝2OE，FH＝2OH，在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2＝EH2＝16，等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2＝16×4＝64，∴（2OE）2+（2OH）2＝64，即EG2+FH2＝64．15．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点D、E、F、G分别为边OA、AB、BC、CO的中点，连结DE、EF、FG、GD．（1）若点C在y轴的正半轴上，当点B的坐标为（4，2）时，判断四边形DEFG的形状，并说明理由．（2）若点C在第一象限运动，且四边形DEFG为菱形时，求四边形OABC对角线OB长度的取值范围．（3）若在点C运动过程中，四边形DEFG始终为正方形，当点C从x轴负半轴经过y轴正半轴，运动至x轴正半轴时，直接写出点B的运动路径长．解：（1）四边形DEFG是菱形.理由如下：如图1，连接AC，∵D是OA的中点，G是OC的中点，∴DG是△OAC的中位线，∴DG∥AC，DG＝AC，同理可得：EF∥AC，EF＝AC，∴DG∥EF，DG＝EF，∴四边形DEFG是平行四边形，∵OA＝4，OC＝2，A在x轴的正半轴上，C在y轴的正半轴上，∴A（4，0），C（0，2），又O（0，0），B（4，2），∵D、E、G分别是OA、AB、OC的中点，∴OD＝AD＝2，AE＝OG＝1，∵∠DOG＝∠DAE＝90°，∴△DOG≌△DAE（SAS），∴DG＝DE，∴▱DEFG是菱形．（2）如图2，∵四边形DEFG为菱形，∴DG＝DE，∵D、E、G分别是OA、AB、OC的中点，∴DE＝OB，DG＝AC，∴OB＝AC，当点C在y轴上时，AC＝＝＝2，当点C在x轴上时，AC＝2，∴2＜AC＜2，∴2＜OB＜2．（3）如图3，当四边形DEFG是正方形时，OB⊥AC，OB＝AC，在y轴上取一点N，使ON＝OA＝4，连接BN，∵∠BON+∠AOM＝∠AOM+∠CAO＝90°，∴∠BON＝∠CAO，∴△OBN≌△ACO（SAS），∴BN＝OC＝2，∴当点C从x轴负半轴经过y轴正半轴，运动至x轴正半轴时，点B的运动路径是：以N（0，4）为圆心，2为半径的半圆，∴点B的运动路径长为2π．16．已知：在△ABC中，AB＝10．（1）如图（1）所示，若点D，E分别是AC，CB的中点，则DE的长为5；（2）如图（2）所示，若点A1，A2把AC三等分，B1，B2把BC三等分，则A1B1+A2B2＝10；（3）如图（3）所示，若点A1，A2，…A10把AC边十一等分，B1，B2，…，B10把BC边十一等分，分别交BC边于点B1，B2，…，B10．根据你发现的规律，写出A1B1+A2B2+…+A10B10的结果为50．解：（1）DE＝AB＝5．故填5．（2）设A1B1＝x，则A2B2＝2x．∵A1，A2是AC的三等分点，B1，B2是BC的三等分点，故由梯形中位线定理，有x+10＝4x，解得x＝．这时A1B1+A2B2＝10．故填10．（3）同理可求出A1B1+A2B2+A3B3＝15．A1B1+A2B2+A3B3+A4B4＝20，…从而A1B1+A2B2+…+A10B10＝50．故填50．17．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b．若E1、F1分别是AB、DC的中点，则E1F1＝（AD+BC）＝（a+b）；若E2，F2分别是E1B，F1C的中点，则E2F2＝（E1F1+BC）＝[（a+b）+b]＝（a+3b）；当E3，F3分别是E2B，F2C的中点，则E3F3＝（E2F2+BC）＝（a+7b）；若EnFn分别是En﹣1，Fn﹣1的中点，根据上述规律猜想EnFn＝．（n≥1，n为整数）解：根据题意，得在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝a，BC＝b．若E1、F1分别是AB、DC的中点，则E1F1＝（AD+BC）＝（a+b）；若E2，F2分别是E1B，F1C的中点，则E2F2＝（E1F1+BC）＝[（a+b）+b]＝（a+3b）；根据梯形中位线定理，推导可得EnFn＝[a+（2n﹣1）b]＝[a﹣b+2nb]．18．请阅读下面知识：梯形中位线的定义：梯形两腰中点的连线，叫做梯形的中位线．如图，E，F是梯形ABCD两腰AB，CD的中点，则EF是梯形的中位线梯形中位线与两底长度的关系：梯形中位线长度等于两底长的和的一半如图：EF＝（AD+BC）利用上面的知识，完成下面题目的解答已知：直线l与抛物线M交于点A，B两点，抛物线M的对称轴为y轴，过点A，B作x轴的垂线段，垂足分别为D，C，已知A（﹣1，3），B（）（1）求梯形ABCD中位线的长度；（2）求抛物线M的解析式；（3）把抛物线M向下平移k个单位，得抛物线M1（抛物线M1的顶点保持在x轴的上方），与直线l的交点为A1，B1，同样作x轴的垂线段，垂足为D1，C1，问此时梯形A1B1C1D1的中位线的长度（设为h）与原来相比是否发生变化？若不变，说明理由．若有改变，求出h与k的函数关系式．解：（1）∵A（﹣1，3），B（）∴AD＝3，BC＝，∴梯形ABCD中位线＝（AD+BC）＝×（3+）＝；（2）设抛物线的解析式为y＝ax2+b（a≠0），∵点A（﹣1，3），B（）在抛物线上，∴，解得，∴抛物线的解析式为：y＝2x2+1；（3）∵抛物线M向下平移k个单位得抛物线M1，∴抛物线M1的解