2023-2024学年浙江省宁波市江北区八年级（上）期末数学试卷

2023-2024学年浙江省宁波市江北区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分.

1.下列四个图形中，不是轴对称图形的为(

)A. B.

C. D.2.下列各组线段，不能组成三角形的是(

)A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，4，5 D.5，12，133.由x<y能得到mx>my，则(

)A.m>0 B.m≥0 C.m<0 D.m≤04.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE=5，EC=2，则BC的长是(

)

A.6 B.7 C.8 D.95.能说明命题：“若a>b，则ac≥bc”是假命题的反例是(

)A.c=−1 B.c=0

C.c=2 D.c=m26.在下面四个命题中，真命题的个数有(

)

(1)互相垂直的两条线段一定相交；

(2)有且只有一条直线垂直于已知直线；

(3)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

(4)从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．A.3个 B.2个 C.1个 D.0个7.对于任意实数p、q，定义一种运算：p@q=p−q+pq，例如2@3=2−3+2×3.请根据上述定义解决问题：若关于x的不等式组2@x<4x@2≥m有3个整数解，则m的取值范围是(

)A.−8≤m<−5 B.−8<m≤−5 C.−8≤m≤−5 D.−8<m<−58.一条直线y=kx+b，其中k+b=−2022，kb=2021，那么该直线经过(

)A.第二、四象限 B.第一、二、三象限 C.第一、三象限 D.第二、三、四象限9.某人骑自行车t(小时)走了s(km)，若步行s(km)，则比骑自行车多用3(小时)，那么骑自行车每小时比步行多走(km)．(

)A.st−3−st B.st−10.如图，把一个大矩形分割成5小块，其中⑤号是正方形，其余都是矩形，且①号和④号全等，⑤号的周长是①号的2倍，已知大矩形的面积，可以求出下列哪一个图形的面积(

)A.①

B.②

C.③

D.⑤

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.如图，活动衣架可以伸缩自如，是利用了四边形的______性质．

12.如图，直角坐标系中，已知A(−2,−1)，B(3,−1)，C(1,2)，请你在y轴上找一点P.使△ABP和△ABC全等，则点P的坐标是______.(写出一个即可)

13.如图，正比例函数y1=k1x和一次函数y2=k2x+b的图象相交于点A(2,1)，当x<2时，y1______

14.Rt△ABC的斜边AB的长为10cm，则AB边上的中线长为______cm．15.如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点B1，与y轴交点于D，且OB1=1，∠ODB1=60°，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A16.如图1，在△ABC中，∠C=90°，M为AB中点.将△ACM沿CM翻折，得到DCM(如图2)，P为CD上一点，再将△DMP沿MP翻折，使得D与B重合(如图3)，给出下列四个命题：①BP//AC；②△PBC≌△PMC；③PC⊥BM；④∠BPC=∠BMC.其中说法正确的是______．

三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

解方程(不等式)组

(1)解方程组：5x−4y=33x−y=2

(2)解不等式组：x−3(x−2)≥41+2x18.(本小题6分)

如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别是D，E．

(1)求证：△ADC≌△CEB；

(2)猜想线段AD，BE，DE之间具有怎样的数量关系，并说明理由．19.(本小题6分)

如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段AB，其中点A、B均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画出以BC为底的钝角等腰三角形ABC，且点C在小正方形的顶点上；

(2)将(1)中的△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△DEC(点A的对应点是点D，点B的对应点是点E)，画出△CDE；

(3)在(2)的条件下，连接BE，请直接写出△BCE的面积．20.(本小题8分)

如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的面积等于4，长方形OADE的面积等于8，其中点C、E在x轴上，点A在y轴上．

(1)请直接写出点A，点B，点D的坐标；

(2)如图2，将正方形OABC沿x轴向右平移，移动后得到正方形O′A′B′C′，设移动后的正方形O′A′B′C′与长方形OADE重叠部分(图中阴影部分)的面积为S；

①当AA′=1时，S=______；当AA′=3时，S=______；当AA′=5时，S=______；

②当S=1时，请直接写出AA′的值．

21.(本小题8分)

某文具店准备购进A、B两种品牌的文具袋进行销售，若购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋各4个共花费88元．

(1)求购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；

(2)若该文具店购进了A，B两种品牌的文具袋共100个，其中A品牌文具袋售价为12元，B品牌文具袋售价为23元，设购进A品牌文具袋x个，获得总利润为w元．

①求w关于x的函数关系式；

②要使销售文具袋的利润最大，且所获利润不低于进货价格的45%，请你帮该文具店设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．22.(本小题9分)

如图，两个形状，大小完全相同的含有30°，60°的三角板如图①放置，PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC与三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．

(1)试说明：∠DPC=90°；

(2)如图②，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定度数，PF平分∠APD，PE平分∠CPD，求∠EPF．

(3)如图③，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/s.同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/s，在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM重合时，三角板都停止转运)，问∠CPD∠BPN的值是否变化？若不变，求出其值，若变化，说明理由．23.(本小题9分)

如图，在平面直角坐标系中，直线y=−1mx+4(m>0)分别与x轴，y轴交于A，B两点，把线段AB绕点B顺时针旋转90°后得到线段BC，连结AC，OC．

(1)当m=54时，求点C的坐标；

(2)当m值发生变化时，△BOC的面积是否保持不变？若不变，计算其大小；若变化，请说明理由；

(3)当S△AOB=2S△BOC时，在x轴上找一点P答案和解析1.【答案】B

解：A，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

B选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

故选：B．

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】A

解：A、∵1+2=3，∴1，2，3不能组成三角形，故本选项正确；

B、∵2+3=5>4，∴2，3，4能组成三角形，故本选项错误；

C、∵3+4=7>5，∴3，4，5能组成三角形，故本选项错误；

D、∵5+12=17>13，∴5，12，13能组成三角形，故本选项错误．

故选：A．

根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．

本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键．3.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查不等式得性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以(或除以)含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．

根据不等式得基本性质3求解可得．

【解答】

解：∵x<y，

∴当m<0时，mx>my，

故选：C．4.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到EB=EA=5，结合图形计算，得到答案．

【解答】

解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=5，

∴EB=EA=5，

∴BC=EB+EC=5+2=7，

故选B．5.【答案】A

解：∵当c=−1时，−a<−b，

∴c=−1是“若a>b，则ac≥bc”是假命题的反例．

故选：A．

据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．

此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．6.【答案】D

解：(1)互相垂直的两条线段不一定相交，故本小题错误；

(2)应为在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故本小题错误；

(3)应为，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本小题错误；

(4)应为从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故本小题错误；

综上所述，真命题的个数是0．

故选：D．

根据相交的定义，垂线的性质，平行线的性质，点到直线的距离的定义对各小题分析判断即可得解．

本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7.【答案】B

解：根据题中的新定义化简不等式组得：

2−x+2x<4①x−2+2x≥m②，

化简得：x<2x≥m+23，

解得：m+23≤x<2，

∵不等式组有3个整数解，即整数解为−1，0，1，

∴−2<m+23≤−1，

解得：−8<m≤−5．

故选：B8.【答案】D

解：∵k+b=−2022，kb=2021，

∴k<0，b<0

∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，

故选：D．

首先根据k+b=−5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限即可．

本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限；b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．9.【答案】B

解：由题意得：st−st+3，

故选：B．

根据速度=路程10.【答案】B

解：设①号的长为a，宽为b，①和④的面积为ab；

由题意可知⑤号的边长为a+b，面积为(a+b)2；

②号的长为a+b，宽为a，面积为a(a+b)；

③号的长为2a+b，宽为a−b，面积为(2a+b)(a−b)；

大长方形的长为2(a+b)，宽为2a，面积为4a(a+b)．

又因为4a(a+b)已知，所以a(a+b)可求．

故选：B．

首先设①号的长和宽，再根据题意表示⑤号的边长，进而得出②号和③号的边长，然后表示出面积，最后比较各图形的面积与大长方形面积可得答案．11.【答案】不稳定

解：活动衣架可以伸缩自如，是利用了四边形的不稳定性质，

故答案为：不稳定．

根据四边形的不稳定性解答即可．

此题考查三角形的稳定性，关键是根据四边形的不稳定性解答．12.【答案】(0,2)或(0,−4)

解：设点P的坐标为(0,m)，

①当点P在y轴正半轴上时，

∵△ABP1≌△BAC，

∴AP1=BC，

又∵A(−2,−1)，B(3,−1)，C(1,2)，

∴m+1=2+1，

解得：m=2，

此时P点坐标为(0,2)；

②点P在y轴负半轴时，P2与点P1(0,2)关于直线y=−1对称，

∴2+1=−1−m，

解得：m=−4，

此时P点坐标为P(0,−4)．

综上，点P的坐标为(0,2)或(0,−4)．

故答案为(0,2)或(0,−4)．

分点13.【答案】<

解：由图象知，当x<2时，y2的图象在y1上方，

∴y1<y2．

故答案为：<14.【答案】5

解：∵Rt△ABC的斜边AB的长为10cm，

∴AB边上的中线长=12×10=5cm．

故答案为：5．

15.【答案】31.5

解：∵OB1=1，∠ODB1=60°，

∴OD=OB1tan∠ODB1=33，B1(1,0)，∠OB1D=30°，

∴D(0,−33)，

如图所示，过A1作A1A⊥OB1于A，则OA=12OB1=12，

即A1的横坐标为12=21−12，

由题可得∠A1B2B1=∠OB1D=30°，∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，

∴∠A1B16.【答案】①④

解：∵将△ACM沿CM翻折，得到△DCM，

∴∠D=∠A，

∵再将△DMP沿MP翻折，使得D与B重合，

∴∠D=∠PBA，

∴∠PBA=∠A，

∴BP//AC；故①正确；

假设△PBC≌△PMC，BC=CM，

∵在△ABC中，∠C=90°，M为AB中点，

∴BM=CM，

∴BC=BM=CM，

∴∠B=60°，

而∠B不一定等于60°，

∴△PBC与△PMC不一定全等；故②错误；

假设PC⊥BM，则∠BCP=∠A，

∵在△ABC中，∠C=90°，M为AB中点，

∴AM=CM，

∴∠A=∠ACM，

∵∠ACM=∠DCM，

∴∠BCP=∠DCM=∠ACM=30°，

∴∠A=30°，

而∠A不一定等于30°，

∴PC不一定垂直于BM；故③错误；

∵CM=AM，

∴CM=DM，

∴∠D=∠DCM，

∵∠D=∠PBA，

∴∠BPC=∠BMC，故④正确．

故答案为：①④．

根据折叠的性质得到∠D=∠A，∠D=∠PBA，等量代换得到∠PBA=∠A，求得BP/​/AC；故①正确；假设△PBC≌△PMC，根据全等三角形的性质得到BC=CM，由直角三角形的性质得到BM=CM，于是得到△PBC与△PMC不一定全等；故②错误；假设PC⊥BM，得到∠BCP=∠A由直角三角形的性质得到AM=CM，得到∠A=∠ACM，推出∠A不一定等于30°，得到PC不一定垂直于BM；故③错误；根据等腰三角形的性质得到CM=DM，得到∠D=∠PBA，根据三角形的内角和得到∠BPC=∠BMC，故④正确．

本题考查命题与定理，正确进行推理是解题关键．17.【答案】解：(1)5x−4y=3①3x−y=2②，

①−②×4得−7x=−5，

解得x=57，

把x=57代入②得157−y=2，解得y=17，

所以方程组的解为x=57y=17；

(2)x−3(x−2)≥4①1+2x3<x−1②，【解析】(1)利用加减消元法解方程组；

(2)分别解两个不等式得到x≤1和x>4，然后根据大大小小找不到确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集．

本题考查了解二元一次方程组及解一元一次不等式组，解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．18.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，

∵BE⊥MN，

∴∠CBE+∠BCE=90°，

∴∠ACD=∠CBE，

在△ADC和△CEB中，

∠ACD=∠CBE∠ADC=∠CEBAC=CB，

∴△ADC≌△CEB(AAS)；

(2)解：AD=BE+DE，

理由如下：∵△ADC≌△CEB，

∴AD=CE，BE=CD，

∴AD=CE=CD+DE=BE+DE【解析】(1)根据同角的余角相等得到∠ACD=∠CBE，利用AAS定理证明△ADC≌△CEB；

(2)根据全等三角形的性质得到AD=CE，BE=CD，结合图形解答即可．

本题考查的是三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19.【答案】解：(1)如图所示，等腰三角形ABC即为所求；

(2)如图所示，△DEC即为所求；

(3)如图，连接BE，△BCE的面积为8×12−12×4×8×2−【解析】(1)依据BC为等腰三角形的底边，AB的长为5，即可得到点C的位置，进而得出钝角等腰三角形ABC；

(2)依据△ABC绕点C逆时针旋转90°，即可得到△DEC；

(3)连接BE，运用割补法即可得出△BCE的面积．

本题考查了在网格中画旋转图形以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．20.【答案】2

4

2

解：(1)∵正方形OABC的面积等于4，

∴OA=OC=2，

∵长方形OADE的面积等于8，

∴OE=4，

∴A(0,2)，B(−2,2)，D(4,2)．

(2)①当AA′=1时，重叠部分是长方形OAA′O′，S=2×1=2，

当AA′=3时，重叠部分是正方形A′B′C′O′，S=4，

当AA′=5时，重叠部分的面积=2×1=2，

故答案为：2，4，2．

②当重叠部分的面积为1时，AA′×2=1或(AA′−4)×2=1，

∴AA′=0.5或4.5．

(1)利用正方形的面积，长方形的面积分别求出OA，OE，可得结论．

(2)①判断出重叠部分的长方形的长，宽的值，可得结论．

②根据重叠部分的面积为1，构建方程求解即可．

本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，长方形的性质，平面直角坐标系等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．21.【答案】解：(1)设购进A品牌文具袋的单价为x元，B品牌文具袋的单价为y元，

5x+5y=1203x+4y=88，得x=8y=16

答：购进A品牌文具袋的单价为8元，B品牌文具袋的单价为16元；

(2)①由题意可得，

w=(12−8)x+(23−16)(100−x)=−3x+700，

即w关于x的函数关系式为w=−3x+700；

②∵所获利润不低于进货价格的45%，

∴−3x+700≥[8x+16(100−x)]×45%，

解得，x≥3313，

∵x为整数，w=−3x+700，

∴当x=34时，w取得最大值，此时w=598，100−x=66，

答：购进A品牌文具袋34个，B品牌文具袋66【解析】(1)根据购进A品牌文具袋和B品牌文具袋各5个共花费120元，购进A品牌文具袋3个和B品牌文具袋各4个共花费88元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得购进A品牌文具袋和B品牌文具袋的单价；

(2)①根据题意，可以写出w关于x的函数关系式；

②根据所获利润不低于进货价格的45%，可以得到−3x+700≥[8x+16(100−x)]×45%，从而可以求得x的取值范围，然后根据一次函数的性质，即可解答本题．

本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．22.【答案】解：(1)因为∠DPC=180°−∠CPA−∠DPB，∠CPA=60°，∠DPB=30°，

所以∠DPC=180°−30°−60°=90°；

(2)设∠CPE=∠DPE=x°，∠CPF=y°，

则∠APF=∠DPF=(2x+y)°，

因为∠CPA=60°，

所以y+2x+y=60，

所以x+y=30

所以∠EPF=∠CPE+∠CPF=(x+y)°=30°

(3)不变．

设运动时间为t秒，则∠BPM=(2t)°，

所以∠BPN=180°−(2t)°，∠D