安徽省安庆市2023-2024学年高一上学期期末数学试题

安庆市2023-2024学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题（考试时间：120分钟，满分：150分）一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．已知集合，集合，则（）A． B． C． D．2．函数的零点所在区间为（）A． B． C． D，3．（）A．2 B．1 C． D．04．命题“”为真命题，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．5．第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江省杭州市举行，本届亚运会会徽“潮涌”的主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成，其中扇面造型反映江南人文意蕴．已知扇面呈扇环形，内环半径为1，外环半径为3，扇环所对圆心角为，则该扇面的面积为（）A． B． C． D．6．已知定义在R上的函数满足，则（）A． B．0 C．1 D．27．已知，则的大小关系为（）A． B． C． D．8．已知关于的不等式（其中）在R上恒成立，则有（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知实数满足，则（）A． B． C． D．10．已知函数的部分图象如图所示，则下列判断正确的是（）A． B．C．点是函数图象的一个对称中心 D．直线是函数图象的一条对称轴11．已知表示不超过的最大整数，则下列关于函数的判断，其中正确的是（）A．函数是以为周期的周期函数 B．函数的最大值为C．函数在上单调递减 D．当时，12．双曲函数是一类与三角函数类似的函数，双曲正弦函数，双曲余弦函数（其中为自然对数的底数），则下列判断正确的是（）A．为奇函数，为偶函数B．C．函数在上的最小值为1D．函数在R上只有一个零点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，则______．14．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为______．15．若函数在上有且仅有三个零点，则的取值范围是______．16．已知且，则的最大值为______，最小值为______．（第1空2分，第2空3分）四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．（本小题满分12分）已知，且．（1）求的值；（2）求的值．19．（本小题满分12分）已知幂函数是定义在R上的偶函数．（1）求函数的解析式；（2）当时，求函数的最值，并求对应的自变量的值．20．（本小题满分12分）将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，且使成立的的最小值为．（1）求函数的单调递减区间；（2）设函数，求函数的最大值．21．（本小题满分12分）茶是中华民族的举国之饮，发于神农，闻于鲁周公，始于唐朝，兴于宋代，中国茶文化起源久远，历史悠久，文化底蕴深厚，是我国文化中的一朵奇葩！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯，这充分反映出中华民族的文明和礼貌。立德中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》，小明同学用沸水泡了一杯茶，泡好后置于室内，开始时测得这杯茶的温度为100℃，经过1分钟测得其温度变为80℃，再经过1分钟测得其温度变为65℃．小明想利用上述数据建立这杯茶的温度y（单位：℃）随经过的时间t（单位：分钟）的函数关系式，选用了两种函数模型：①（为常数，且）；②（为常数，）．（1）请通过计算帮小明同学选出恰当的函数模型；（2）现代研究结果显示，饮茶温度不要超过60℃，请利用（1）中选出的模型该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待多长时间？（参考数据：）22．（本小题满分12分）已知函数且过点．（1）判断是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是，请说明理由；（2）若方程有两不等实数根，且，求实数的取值范围．安庆市2023-2024学年度第一学期期末教学质量监测高一数学试题参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1.C【解析】由题意可知，故选C.2.B【解析】由条件知函数在上单调递增，又，，根据零点存在定理知该函数零点所在区间为，故选B.3.C【解析】，故选C.4.A【解析】当时，，所以只需，故选A.5.B【解析】根据条件可知该扇面的面积为，故选B.6.A【解析】，解得：7.B【解析】由条件知，，因此，故选B.8.D【解析】由题意得原不等式可化为，因，所以在上恒成立，又函数在上单调递增，且，当时，；当时，.于是且，于是，，，故选D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.BC【解析】由条件可知实数的正负无法判断，所以A，D错误，B，C正确.10.ABD【解析】根据图象和题目条件可知，，所以，解得，A正确；将代入，可得，解得，B正确；所以，经检验，C错误，D正确，故选ABD.11.AD【解析】因，所以，于是函数是以为周期的周期函数，A正确；只需考虑当时，因，当时，，所以，，，所以B错误；当时，，所以，，此时函数是常数函数，所以C错误；根据周期性可知当时，，所以D正确.12.ACD【解析】容易验证A正确,容易验证,B错误；因为，当且仅当时，函数在上的最小值为1，C正确；令，则，于是，所以，解得或（舍去），于是，因此函数在上只有一个零点，D正确，故选ACD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.1【解析】因，所以，故填1.14.【解析】由已知，不等式的解集为，故，且，为方程的两根，所以，解得，故不等式为，即，解得或，故解集为.15.【解析】因，，所以，因函数在上有且仅有三个零点，所以，解得.16.【解析】由可得，当时取到等号；可得，当或时取到等号四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解：（1）当时，,…………2分,…………4分所以.…………5分（2）因“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集.…………6分当时，，所以只需，解得；…………8分当时，是集合的真子集，符合题意，…………9分综上所述，实数的取值范围是.…………10分18.解：由题意可知，，展开整理可得，…………2分即，解得，所以.…………4分（1）因为，所以.…………6分（2）…………9分.…………12分（其它解法参考给分）19.解：（1）根据题意可得，即，所以，解得，…………2分又函数是定义在上的偶函数，所以，即函数的解析式为.………4分（2）由（1）可知…………6分…………7分因，所以，…………8分所以当，即，函数的最小值为；…………10分当时，，函数的最大值为7.…………12分20.解：（1）由题意可知，………1分于是函数最大值为1，最小值为，根据使成立的的最小值为知函数的最小正周期满足，解得,…………3分所以，解得，所以，…………4分于是，解得，因此函数的单调递减区间.………6分（2）由（1）知，…………7分令，则，………8分于是…………10分，…………11分所以当且仅当，即时，函数的最大值为.………12分21.解：（1）若选用①，根据条件可得，解得，所以.…………2分若选用②，根据条件可得，解得，所以.…………4分对于，随着的增大而减小，符合题意；………5分对于，因，当时，随着的增大而增大，不符合题意，应舍去.…………6分所以该函数模型为.…………7分（2）由（1）知，…………8分于是，…………9分两边取常用对数得，……11分所以该杯茶泡好后到适宜饮用至少需要等待2.5分