2020-2021学年北师大版九年级数学下册第三章 圆 训练（四）

九年级数学下册第三章圆压轴题

过关强化专题训练(四)

1.如图，已知48是。。的弦，点C是弧的中点，〃是弦48上一动点，且不与48重合，

办的延长线交于。。点£,连接雨、BE,过点4作为垂足为尸，NABC=30；

(1)求证：4尸是。。的切线；

(2)若8c=6,加3,则打的长为；

(3)当点。在弦48上运动时，/右的值是否发生变化？如果变化，请写出其变化范

AE+BE

围；如果不变，请求出其值.

2.如图，已知丝是圆。的直径，AC.8c是圆。的弦，OMHAC交扇。于■M、交宓于£过

点8作圆。的切线交加的延长线于点D,连接0C并延长交BA的延长线于点F.

(1)求证：0C是圆。的切线；

(2)当ZBAX时，四边形08波?为菱形.

3.如图，矩形)8c顶点4在x轴上，顶点C在y轴上，点8的坐标为(8,6),点。是

宓边上一点，且。为8c中点，必与力。相交于点£,动点户从点。沿y轴向点C运动，

运动速度为1单位长/秒，过点户的直线与x轴平行分别交必、力248于点欣N、0,设

点户的运动时间为2秒.

(1)求点。的坐标和直线力。的解析式；

(2)设线段枢的长度为/,求/与t的函数关系式，写出力的取值范围；

(3)若点G为过三点0、M、〃的圆的圆心(当佩/V重合时，规定点G在过"点且与y

轴平行的直线上)，当动点户从点。运动到点C,点G也随之运动，求点G的运动路径长.

4.如图，以△48C的边48为直径的。。与边AC相交于点。，8c是。。的切线，£为的中

点，连接劭、DE.

(1)求纸是。。的切线；

(2)设△好的面积为百，四边形4眄的面积为若&=56,求tanN&lC的值；

(3)在(2)的条件下，连接若。。的半径为2,求的长.

CEB

5.如图，在。。中，熊是。。的直径，勿工/IC于点2延长勿交。。于点£,连接欧EB.

(1)若AC=6,勿=被，求。。的直径;

(2)证明：S^ABC—7.C.

6.如图，48是。。的直径，AC1.AB,宓交。。于点。，点£在劣弧劭上，处的延长线交

的延长线于点F,连接AE交劭于点G.

(1)求证：/AED=NCAD：

(2)若点£是劣弧勿的中点，求证：E==EG・EA；

(3)在(2)的条件下，若BMBF,DE=y.5,求标的长.

7.如图，在平面直角坐标系x勿中，已知点4(0,4),点8是x轴正半轴上一点，连接

AB,过点A作ACLAB,交x轴于点C,点。是点C关于点A的对称点，连接BD,以AD

为直径作。。交劭于点£连接并延长交x轴于点尸，连接〃尸.

(1)求线段的长；

(2)若AB-B0=2、求tanN"Z?的值；

(3)若△属尸与△女»相似，求)的值.

8.如图，。。为等边△/!&?的外接圆，AD//BC,4ADC=90°、CD交。0于点£

(1)求证：是。。的切线；

(2)若DE=2,求阴影部分的面积.

9.如图，△/(比内接于。0,48为。。的直径，直线)切。。于点。，宣EF"AB、连接映

BD.

(1)求证：切平分N478；

(2)若N4a？=30°,BD=2舵,求3的长.

ED

10.如图，48是。。的直径，C为。。上一点，户是半径如上一动点(不与0,8重合)，

过点"作射线/•L48,分别交弦8C,前于。，£两点，过点C的切线交射线/于点尸.

(1)求证：FXFD.

(2)当F是它的中点时，

①若N比1^60°,判断以0,B,£,C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由;

②若3="|,且48=30,贝1J0-.

参考答案

1.(1)证明：如图1中，连接47,OC,0A.

...△40C是等边三角形，

：.AGA0=6Q°,

•BC=AC，

：.ABLOC.

：.^0AD=—^0AC=3G0,

2

VAABC=30°,

ABg/OAD、

：.0A//BF.

・：AF1BF,

\OAA-AF.

「J尸是。。的切线.

（2）解：:黄=孩,

:・/CBD=Z.BEC,

■:/BCD=/BCE、

:•△BCD^AECB、

,BC=CD

」而一CB,

._6_=3

"EC-

:.EC=\2,

：.DE=EC-CZ?=12-3=9.

故答案为9.

CE,V3

(3)解：结论:CE的值不变.

AE+BE?-AE+BE

理由：如图2中，连接/IC,OC,0C交AB干H,作/W〃&7交跖的延长线于M

图2

BC=AC.

：.OCLAB,CB=CA,

:.B4A4^AB,

■：CE//AN,

；.NgZCEB=3N,ZEAg/AEC=NABC=3Q°,

；.NCEA=NABX3Q。,2EAN=2N,

：.44ZAEC、AE=EN,

,/NACE=NABN,

：.4ACES/\ABN,

•CE_AC_V3

••丽一而一丁’

CE_V3

AE+BE-3"

CE

的值不变.

AE+BE

2.(1)证明：OM//AC,

ZOEB=NACB,

.28是圆。的直径，

：.ZOEB=NACB=qQ",

ODA.BC,由垂径定理得必垂直平分BC,

：.DB=DC,

：.NDBE=NDCE,

又,：OC=OB,

：.ZOBE=ZOCE,

或NDBO=NOCD,

.「OS为圆。的切线，仍是半径，

：.ZDB0=9Q°,

：.^0CD=^DB0=9Qa,

即OCrDC,

是圆。的半径，

•••0C是圆。的切线；

(2)当284X60°时，四边形。硼C为菱形;

理由：：N847=60°,

:./B0C=、20°,

・加。垂直平分8C,0X0B,

：.^C0M=ZB0M=60°,

△COM和△BOM是等边三角形，

：.0C=0B=CM=BM,

..•四边形0BMC为菱形.

故答案为：60。.

D

3.解：(1)点。(4,6),点4(8,0),

(3

将点/。的坐标代入一次函数表达式尸依^得：(6=4k+b,解得：k="y,

10=8k+b]b=12

故直线力。的表达式为：y=--|xH2,

同理直线如的表达式为：y=2x,

4

联立上述两式并解得：*=学，

O

即点£(学，4)；

O

(2)①当点£在淑上方时，即0<tW4时，

■-PM//CD,则詈养，即：5罂，则*事，此时点〃(如，t),

OCBC6833

同理点”(8-1t),

O

24

/=8-—t-—1=8-2t,

33

②当点£在仰上方时，即4W6时，

点欣〃的坐标不变；

42

/=—t-8+—t=2t-8,

33

(8~2t,0<t44

即：/=4”,；

2t-8>4<t46

(3))①当点£在椒上方时，即0<tW4时，

线段触的中垂线为x=4+A■四

0、"中点的坐标为(务，今)，掰中垂线的火值为-暂，

则0〃中垂线的表达式为：y=-言妙彳

318

*1-_17,16

当x—4+不亡日寸，y——

oloo

即点G(4+：t,导-学，

oloo

在点G所在的直线表达式为：y=^-x-黑，

63

t=Q时，点G(4,-¥•),

o

t=4时，点G(4+言，-善)，

39

点G运动的路径为直线即为两点间的距离=J)2+管)2=.浮,

②当点£在触上方时，即4Vt《6时，

点G所在的直线表达式不变，

同理可得在此时间段点G运动的距离为：2逗，

9_

故：点G的运动路径长=卫逗+同亘=旦旦.

993

4.(1)证明：连接办，

：,OD=OB

・•・NODB=NOBD.

,.Y8是直径，

・・・N4?8=90°,

008=90°.

・・・E为8c的中点，

:、DE=BE、

/.，EDB=4EBD,

・•・NODmZEDB=ZOB步ZEBD,

段4EDO=NEB0.

•・•宓是以48为直径的。。的切线，

：.AB±BC,

：.ZEBO=90°,

：.Z0DE=9Q°,

・・・，E是。。的切线；

(2)解：.♦6=4兄

,AD=2

DC-?'

,:△BDC^XADB、

・AD=DB

"DB"DC'

:.D?=AADC,

.DB=V2

"ADV

：.tan

AD2

(3)解：.:tanN附0=些=乂2,

_AD2

...区=返,得於=返止=2&,

AB22

・・・£为8c的中点，

：,BE=三BC=y，

22=

-'-AE=VAB+BE742+(V2)2=3&•

AD=3,

•：OD=S，

.0.24=4,

\。0的直径=8；

(2)作EFL第的延长线于点F

...四为直径,

/.^ACB=ZCDE=Zflff=90°,

..•四边形CDEF为矩形,

:.EF=Cg^AC,

■1-SAABC^C^C=^C'2^=2SABEC-

6.(1)证明：•.Mb是。。的直径，

:.NADB=9Q°,

'：ACLAB,

J.N勿8=90°,

NABD=NCAD,

俞=AD>

NAED=/ABD,

:./AEg/CAD；

(2)证明：..•点£是劣弧劭的中点，

VE=BE>

ZEDB=NDAE,

■：ADEG=^AED,

:、XEDGSMEAD、

.EDEA

"EG"ED'

:.EG=EG，EA、

(3)解：连接如，

:点E是劣弧做的中点,

/.，DAE=4EAB,

'：OA=OE,

：.40AE=/AEO、

/.NAEO=/DAE,

：.0E//AD.

.OF_EF

"OA"DE1

3

•：BO=BF=OA,DE=—,

2

2JF

7

：・EF=3.

7.解：(1)7点4(0,4),

・・・47=4,

.・・4?是。。的直径，

：.NAEB=NAED=9G,

AEB=NA0B=9G,

丁班垂直平分CD,

:,BC=BD

:・NABg/ABE

<ZAEB=ZA0B

在和△480中，ZABE=ZAB0,

AB=AB

:.△ABEQRABO(44S)

：.AE=AO=^\

(2)设B0=x,贝1]48=/2,

在RtZ\/480中，由因=44得：42+X2=(/2)2,

解得：x=3,

：.OB=BE=3,AB=5,

'：/EA%/ABE=9C,/AC吩/ABgqy,

：,4EAB=4ACB,

;/BFA=/AFC、

:.△BFASXAFC

,BF=BE=2

.下一而一了

设EF=x、则4Q4+X,BF=—(4+x),

4

;在Rt△弼中，B户+E/=BP,

/.32+X2=[—(4+X)]2,

4

缶力[日72日口匚匚72

解得：X=—,即EF=—,

3

BE7

AtanZ/IFC^—=72=—;

EFg24

(3)①当△阳”△4砥时，/BAE=/FDE、

・•・4ADE=NFDE,

.二8。垂直平分〃；

:・EF=AE=*

②当△阳时，ZABE=ZFDE,

:.AB//DF、

:・/ADF=/CAB=9N,

•••。厂相切。。，

NDAE=NFDE,

设。。交y轴于点G,连接。G,柞FH1DG千H,如图所示:

则Na?〃=N"G,四边形0G伤是矩形，

：,OG=FH,

'：XABE空XABO、

：・/OAB=/EAB、

'：ABLAD.

/.4DAE=NCAO,

':乙CAg乙DAE、

/.NDAE=4DAE,

/.NDAE=ZDAG=NFDE=NFDH,

：.AG=AE=4,

/.EF=FH=0G=A(hAG=4+4=8,

综上所述，若△际与相似，白7的值为4或8.

8.(1)证明：连接彳。并延长交8c于尸，如图所示：

则彳。8Q

：.ZAFC=90°,

'：AD//BG.ZADC=90°,

・・・N8C，=180°-NADC=90°,

二四边形AFCD是矩形,

DAF=9G,AF//CD.

・・・4LLOA,

「J。是。0的切线；

(2)解：连接0E,如图2所示：

由(1)得：AF//CD,

ZACD^ZCAF=—ZBAC=30°,

2

:.NAOE=2NACD=60°,

■：OA=OE,

如是等边三角形，

：.OA=AE,NOAE=6Q°,

.../"£=30°,

ZADC=9Q°,

：.OA=AE=2DE=4,Ag^DE=2疵,

阴影部分的面积=梯形以蛇的面积一扇形盘的面积=微(2+4)义2«-..器4

=6«-"兀.

图2

图1

9.解：(1)证明：如图，连接勿,

...直线)切。。于点。，

0D±