2019年浙江高考数学试题（试卷版+详解版）

2019年浙江卷数学

试题版

解析版

2019年高考浙江卷数学试题

1.已知全集。={一1,0,123},集合A={(),1,2},B=,则2AB=

A.{-1}B.{0』『

C.{-1,2,3}D.{-1,0,1,3}

2.渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是

A.也B.1

2

C.42D.2

x-3y+4>0

3.若实数满足约束条件3x—y—4W0,贝Uz=3x+2p的最大值是

x+”0

A.-1B.1

C.10D.12

4.祖瞋是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的"幕势既同，则积不容易"称为祖烟原理，

利用该原理可以得到柱体体积公式卜柱体=S/7,其中S是柱体的底面积，力是柱体的高.

若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是

A.158B.162

C.182D.32

5.若a>0,6>0,贝广a+b“"是"如4"的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.在同一直角坐标系中，函数y=[,*log,(x+),(a>0且权0)的图像可能是

a

7.设0<a<1,则随机变量X的分布列是

X0a1

p工I

333

则当3在（0,1）内增大时

A.O（X）增大B.Z?（X）减小

C.。（X）先增大后减小D.。（X）先减小后增大

8.设三棱锥8c的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱M上的点（不含端点），

记直线外与直线2U所成角为a,直线P6与平面Z6C所成角为夕，二面角P-/G8的

平面角为，，则

A邛<丫，a<yB.0<a邛<y

C./3<a,y<aD.a</3,y</3

x,x<Q

9.已知加R，若函数y=w”恰

132

有三个零点，则

A.a<-l,b<0B.a<-l,b>G

C.8>-l,b>0D.a>-1,b<0

10.设d,beR,数列｛a〃｝中为=a,"+1=为2+6,〃金N*,则

A.当6=,团o>10B.当6=,aio>10

C.当b=-2,aio>lOD.当b=-4，力o>10

11.复数Z=-L（为虚数单位），则|z|=.

1+1

12.已知圆C的圆心坐标是（0,m）,半径长是.若直线2x-y+3=0与圆相切于点

A（-2,-l）,则加=,=.

13.在二项式（0+x）9的展开式中，常数项是_______系数为有理数的项的个数是______.

14.在八钻。中，ZABC=90°,AB=4,BC=3，点。在线段AC上若ZBDC=45。，

则BD=—,cosZABD=.

22

15.已知椭圆三+[=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在轴的上方,若线段PR的中点

在以原点。为圆心，|0目为半径的圆上，则直线尸尸的斜率是__.

?

16.已知aeR，函数/⑴=℃'-x，若存在“R，使得/«+2）二/•⑺区]，则实数

的最大靛_.

17.已知正方形越C。的边长为1,当每个4G=1，2,3,4,5,6）取遍±1时，

\\AB+^BC+^CD+\DA+^AC+\BD\的最小值是,最大值是

18.(本小题满分14分)设函数/(x)=sinx,xeR.

(1)已知0G[0,2兀),函数/(x+6)是偶函数，求的值；

(2)求函数y=[/(》+2)]2+[/(》+：)]2的值域.

19.(本小题满分15分)如图，已知三棱柱,平面4AG。，平面

ABC,ZABC=90°,N8AC=30°,4A=4。=AC,E,尸分别是4员的中点.

(1)证明：EF1BC;

(2)求直线)与平面48c所成角的余弦值.

20.(本小题满分15分)设等差数列｛4｝的前〃项和为S“，4=4,&=S3,数列｛b„｝满

足：对每个〃天年,5“+1，5/+2,5“+2+”成等比数列.

(1)求数列｛4｝,｛4｝的通项公式;

(2)fiC„=g-,neN,,证明：g+C2++£,<2册,〃GN*.

21.(本小题满分15分)如图，已知点F(LO)为抛物线V=2Px(p>0),点F为焦点，

过点尸的直线交抛物线于46两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴

上,直线ZC交x轴于点Q,且Q在点尸右侧.记XAFG,△CQG的面积为St,S2.

(1)求夕的值及抛物线的标准方程；

(2)求去的最小值及此时点G的坐标.

22.(本小题满分15分)

已知实数。。0,设区数fM=aInx+>/7+T,x>0.

3

(1)当a=_；时,求函数f(x)的单调区间；

4

(2)对任意xw［士,”)均有/(x)<g,求的取值范围.

e-2a

注：e=2.71828…为自然对数的底数

1.A2.C3.C4.B5.A

6.D7.D8,B9.C10.A

11.也112727V2

12.-2,A/513.16A/2,514yl.------,------

2510

15.V1516《17.0,275

18.本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力。满分14分。

(I)因为/(1+，)=sin(x+8)是偶函数，所以，对任意实数x都有

sin(x+6)=sin(-x+0),

即sinxcos0+cosxsin6=-sinxcos0+cosxsin9,

故2sinxcos6=0,

所以cosS=0.

Jr37r

又同。,2兀)，因此%或二

1—cos[2xH—I1—cosI2xH—

I23

—L^J+=1------c--o--s-2x——sin2x

222(227

、

c兀

cos2x-i■一

2I3J

因此，函数的值域是［1-

19.本题主要考查空间点、线、面位置关系，直线与平面所成的角等基础知识，同时考查

空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

方法一：

(I)连接4M因为44=4C,碍/侬中点，所以4UL/C.

又平面4ZCGJ•平面力比42=平面42CG,

平面4ZCGn平面力8仁AC,

所以，4£1平面力交，则4£1宏

又因为4向，8,N/a'=90°,故8cL4F

所以8c"平面4日：

因此£7」反.

第19题图

（n）取8冲点G,连接EG,GF,则8步41是平行四边形.

由于4£1平面Z8C,故/6_L£G,所以平行四边形软花41为矩形.

由（I）得8d平面£G£4i,则平面48UL平面£G"i,

所以£7在平面48Gz的射影在直线4G上.

连接4陵£7于。，则“。碍直线k与平面48。斤成的角（或其补角）.

不妨设40=4,则在坤，AiE=2也，纥=g.

由于g4G的中点，故EO=OG=4C=m5,

22

EO2+OG2-EG23

所CC以IMcosNE0G=----------------------=—.

2EOOG5

3

因此，直线与平面46。斤成角的余弦值是y.

方法二：

连接4£,因为辱/加中点，所以

又平面4ZCG1•平面4£u平面44CG,

平面4/CGn平面力80/U,所以，平面力8c

如图，以点明原点，分别以射线式，EAi%y,才由的正半轴，建立空间直角坐标系G

xyz.

不妨设心4,则

4(0,0,26),5(V3,1,0),5,(73,3,273),R(2^,1,2百)，,2,

0).

因此，EF=m，2#>)*BC=(-73,1,0).

由E/J6C=0得.

20.本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运

算求解能力和综合应用能力。满分15分。

(I)设数列｛%｝的公差为"，由题意得

q+2d=4,q+3d—3al+3d,

解得q=0,4=2.

从而=2n-2,neN".

由Sn+b0,Se+&s“+2+么成等比数列得

(s“x+2)2=(s,+d)(SN+2).

解得力=?珠一S'?

所以々=〃2+〃,〃€河’.

a2n-2

(n)c„=n।〃二1”N*.

2b.2〃(〃+l)n{n+1)

我们用数学归纳法证明.

(1)当〃=1时，Q=0<2,不等式成立；

（2）假设“=A:peN*）时不等式成立，即q+Cz++%<2尿.

那么，当〃=&+1时,

(k+i：k+2)(2g

+。2++/+。*+1<+

k+\

<2〃+-^^-产=24+2(Vm-4)=2VTR.

yjk+i+y/k

即当〃=k+1时不等式也成立.

根据（1）和（2），不等式q+C2++与<2«对任意〃62成立.

21.本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运

算求解能力和综合应用能力。满分15分。

（I）由题意得々=1,即0=2.

所以，抛物线的准线方程为x=-l.

（n）设4&,%）,5（4,%），。（乙,兄），重心G&,%）•令%=2，/#。，则

r2-l

由于直线/时，故直线Z防程为x=y+1,代入>2=4X，得

2t

匕迎刃…,

2

故2%=-4,即%=—-，所以8

又由于％，＞(力+)

=:(4+4+/)6=3%+入)及重心G在x轴上，故

»,+%=0W,,2(；，眄

3/,y

所以，直线/昉程为y—2r=2r(x—打，得(2(*-i,o).

由于Qi£焦点用勺右侧，故产＞2.从而

12/-2r+2…

「严|加|3产一1"“2/―/.r_2

2/一2产+2

23t't

令加二/一2,则/77>0,

S]cm小1一2一J=1+0

S)rrr+4m+3,3

2m+——F42m--+4

mVm

当根=6时，空取得最小值1+4

1-,此时G(2,0).

S22

33

22(I)当。=一二时，/(x)=--lnx+Vl+x,x>0.

44

(Jl+x-2)(2\Zl+-x4-1)

1

4x2＞/l+x4xVl+x

所以，函数f(x)的单调递减区间为(0,3)1,单调递增区间为(3,+8)

i历

(n)由/(i)〈丁，得.

2a4

当0＜a＜坐时，/。厅李等价于£—2yjl+X

------------2Inx>0.

42aa~a

令"’,则fN2二.

a

设g«)=产五-2r>/l+x-21n羽f22应,则

g⑺Ng(20)=84-40Jl+x-21n%.

(i)当xeg,+8)时，，贝［J

g(7)2g(20)=8«-4后Jl+x-21nx.

记p(x)=4a-20Jl+x-Inx,x>y，则

故

g,D1(1,+co)

7

p'(x)0+

极小值

p(x)「(J)单调递减单调递增

p(l)

所以，p(x)>p(l)=0.

因此，gQ)2g(20)=2p(x)2().

⑺当<昌M刎.《何卜当铲■

令q(x)—2\/xIn尤+(x+1),xG-z~,—,贝(jq'(九)=—1=—F1>0,

e-7Jx

故"）在上单调递增，所以心）/

2币(1V2币=八

由（i）得一--/91-)O

17J---PO-

所以，q(x)<0.

由(i)(ii)得对任意xw4，+刃)，re[272,+»),.?(?)..0,

即对任意XG「」7,+OO],均有/（X）,,g.

Le-）2a

（历一

综上所述，所求a的取值范围是0,—.

4

2019年高考浙江卷数学试题解析

L已知全集。={一1,0,1,2,3},集合A={0,l,2},B={T0,l},则即AB=()

A.{-1}B.{0,1}

C.{-1，2,3}D.{-1,0,1,3}

A

【解析】QA={-1,3},则(QA)B={-1}

2.渐近线方程为x土y=0的双曲线的离心率是()

A.—B,1

2

C.y[2D.2

C

【解析】因为双曲线的渐近线为x土y=0,所以「斗=1,则。="2+/=0,双曲线

的离心率0=£=血.

a

x-3y+4>0

3.若实数X，y满足约束条件<3x—y-4W0,贝!Jz=3x+2)的最大值是()

x+”0

A.-1B.1

C.10D.12

C

【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以GL1),(1,-D,(2,2)

为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z=3x+2)，经过平面区域的点(2,2)

时，z=3x+2）取最大值=3x2+2x2=10.

4.祖暄是我国南d微时代的伟大科学家.他提出的“幕势既同，则积不容易"称为祖暄原理,

利用该原理可以得到柱体体积公式/体=Sh,其中S是柱体的底面积，力是柱体的高，若

某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）

A.158B.162

C.182D.32

B

【解析】由三视图得该棱柱的高为6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一

个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为

^^x3+^^x3|x6=162

22

5.若”＞0,。＞0,贝!T'a+bV4"是"曲＜4"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

A

【解析】当。>0,。>0时，a+h>2\[ab，则当a+8V4时,2\[ah<a+b<4,解得

ab<4,充分性成立；当。=1,斤4时，满足"W4,但此时“+人=5>4,必要性不成立，

综上所述，"a+8W4"是"，心W4”的充分不必要条件.

6.在同一直角坐标系中，函数y=，r，y=iogjx+；卜。>0且。00）的图象可能是（）

D

【解析】当0<a<1时，函数y=优过定点(0,1)且单调递减，则函数y=5过定点(0,1)

且单调递增，函数y=log,[x+g)过定点(；,0)且单调递减，D选项符合；当。>1时，函

数过定点(。，】)且单调递增,则函数过定点(。」)且单调递减,函数

y=log“(x+g)过定点(；,0)且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.

7.设0<a<1,则随机变量X的分布列是：

X0a1

P工\

333

则当。在(0,1)内增大时()

A.O(X)增大B.O(X)减小

C.D(X)先增大后砌'D.D(X)先减小后增大

D

【解析】方法1：由分布列得七(乂)=号，则

1+a1+。\+a1

D(X)=x--------ax-----1x—+-,则当“在

"V-°)r3ir3J36

(0,1)内增大时，0(X)先减小后增大

方法2:则

Z)(X)=E(X2)_E(X)=0+9+g_"l)1=24-—；4+2=彳23

+—

94

故选D.

8.设三棱锥V-MC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱的上的点（不含端点），记

直线必与直线AC所成角为a，直线心与平面A3C所成角为£，二面角P—AC-B的

平面角为7,则（）

A.P<y,a<yB.p<a,（3<y

C.P<a,y<aD.a</7,/</?

B

【解析】方法1:如图G为AC1中点，V在底面ABC的投影为。，则P在底面投影。在

线段AO上，过。作DE垂直4E，易得PE//VG，过P作/）F〃AC交VG于P，过。作

DH//AC，交BG于H，贝（］a=/BPF,p=ZPBD,y=APED,则

PFEGDHBD„PDPD„

cosa=——==-----<=cosBo，即ana>/7,tanv=>=tanfiD,gnpny>p,

PBPBPBPBEDBD

综上所述,答案为B.

方法2:由最小角定理£<a，记V-AB-C的平面角为丫'(显然Y'=Y)

由最大角定理B<Y'=Y,故选B.

法2:(特殊位置)取为正四面体，P为丛中点，易得

cosa=—=>sina=—,sinp=—,siny=^，故选B.

6633

【迁移】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用"特殊位置

法"，寻求简便解法.

x,x<0

9.已知,函数f(x)=〈112,若函数y=/(x)—火一人恰

—x3—(a+l)x+ux,x0

[32

有三个零点，贝!1()

A.a<-l,b<0B.a<—\.b>0

C.a>—1,b>0D.a〉一1,。<0

D

【解析】原题可转化为.V，=f(X)与y=以+A,有三个交点.

当=时，/'0)=%2一(4+1)》+。=(》一0)(》一1),且/(0)=0,/'(0)=。，贝5]

(1)当aW—1时，如图y=/(x)与y=以+b不可能有三个交点(实际上有一个),排除A,

B

(2)当a>-1时，分三种情况，如图y=/⑴与y=奴+人若有三个交点，则。<0,答案

选D

下面证明：。>一1时，

1,1,

BC=X4P时E(x)=/(》)一以_8=gx--(a+l)x—b,

F(x)=x2-(a+l)x=x(x-(a+1))，则F(0)>0,F(a+l)<0，才能保证至少有两个零点,

即o〉b〉_二3+1)3,若另一零点在＜0

10股。力€/?,数列｛《,｝中，an=a,an+i=。：+匕，beN*,则(

A.当〃=万,410>10B.当/>=7，q(>>10

C.当6=-2,4O>1OD.当匹一从为＞10

A

本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从

确定不动点出发，通过研究选项得解.

【解析】选项B:不动点满足/一x+!=(x—_L)=0时，如图，若

4=。£

如图，若。为不动点:则

选项C:不动点满足d-x—2=(x—g]-■|=0,不动点为号1，令。=2,则

4=2<10,

排除

选项D:不动点满足f-x—4=--=0,不动点为彳=姮土，,令

L2)422

«=—±-，则%=姮±』<10，排除.

22"22

19119139117

选项A:证明：当人=7时，a2=a\+~—a3=+Z-T»%=。3+大之7721，

22224216

处理一：可依次迭代到％。；

处理二：当〃24时，a.+i=a；+1Na：N1,则小？%+i>210§12%=loSi74+i>2"'

2161616

则

(n>4),贝［I

1+处+64x631

X—+>1+4+7>10.

162162

故选A

11复数z=丁匚（，为虚数单位），则Iz|=_____.

1+Z

V2

本题先计算2,而后求其模.或直接利用模的性质计算.容易题，注重基础知识、运算求解能

力的考查.

［解析苗字

【迁移】本题考查了复数模的运算，属于简单题.

12.已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是L若直线2x-y+3=0与圆相切于点

A(-2,-l)，则r=.

(1).m=-2(2).r=V5

本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC的斜率，进一步得到

其方程，将(0,m)代入后求得必，计算得解.

【解析】可知须c=—g=4C：y+l=—；(x+2),把(0，相)代入得加=一2,此时

r=|AC|=A/4+1=A/5.

【迁移】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用

圆的几何性质.

13.在二项式(V2+x)<'的展开式中，常数项是；系数为有理数的项的个数是______.

(1).1672(2).5

本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二

项展开式的通项入手，根据要求，考察X的鬲指数，使问题得解.

【解析】（0+幻9的通项为却=。；（0产，（r=0,1,29）

可得常数项为4=《（起）9=1675,

因系数为有理数,「=135,7,9，有心却”,4,几共5个项

14.VABC中，幺3。=90°,AB=4,BC=3，点。在麒AC上，若ZB0C=45。，

贝！|比>=___；cosZABD=

⑴12>/2⑵7>/2

510

本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.

通过引入8=x,在MDC、AABD中应用正弦定理，建立方程，进而得解..

ABBD37r

【解析】在中，正弦定理有：而AB=4,NAQ8=」

sinZADB~sinABAC4

AC=JAB?+BC?=5,sinZBAC=-^=|,cosZBAC=^=-^，所以8D=应Z.

A3A35

71冗7V2

cos/ABD=cos(Z6DC-ABAC)=cos-cosABAC+sin—sinZ.BAC=

【迁移】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.

22

15.已知椭圆j+工=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点

95

在以原点。为圆心，|。尸|为半径的圆上,则直线PR的斜率是_____.

V15

结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆

方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.

【解析】方法1：由题意可知QFI=QM|=c=2,

由中位线定理可得|产用=2|。用|=4,设2（苍田可得（彳-2）2+尸=16,

x22

联立方程上+v上=1

95

321

可解得了=-5，1=万（舍），点夕在椭圆上且在九轴的上方，

方法2:焦半径公式应用

解析1:由题意可知I。产1=10M\=c=2,

由中雌定理可得|「制=2|。河|=4,即a—e%=4n5=—/

求得尸一］,所以人=彳一=

2

2

16.已知aeR，函数/(x)="Jx，若存在feR，使得|/。+2)-/⑺区§，则实数。

的最大值是—.

4

%稣=-

本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究

f(t+2)-/(/)=2a(3/+6/+4)-2入手，令机=3产+6,+4e[1,+8),从而使问题加以

转化，通过绘制函数图象，观察得解.

【解析】使得/Q+2)_/(f)=a(2・(f+2)2+r(f+2)+*))-2=2a(3/+6f+4)_2,

使得令根=3f2+6/+4w[1,+8),则原不等式转化为存在m>l,\am-l\<^,由折线函

数，如图

144

,即,即。的最大值是§

【迁移】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.

17.已知正方形ABCD的边长为1,当每个4"=1,2,3,4,5,6)取遍±1时，

\A,AB+A2BC+A3CD+A4DA+A5AC+AbBD\的最小值是_______;最大值是.

(1).0(2).275

本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入"基向量"入手，简化模的表现形式,

利用转化与化归思想将问题逐步简化.

解析1

34556？4+56

X）A.B+X2BC+九CD+入DA,+入AC+BD=（%—+入—九）A5+（入一入入+入）AO

要使儿A3+%3C+入3c。+九MA+%AC+居叫的最小，只需要

1%一九3+九5—九61=〔九2—九4+九5+入61=0，此时只需要取

N=1,九2二—1，九3=1，九4=L15=1，兀6=1

此时|九］A8+，BC+九3CD+左DA+九5AC+X。8。|—0

儿福+入西+入於+入〃+1而+人姐;=|（、-%+入3-1）而+伍—,+”而|

=-j+am+27（川+%1叭-i『+（hl+M+h+W

=（2+囚-1|"（2+„）’=8+4-

M8+4他・l|+h+l|）‘+2（V+什12+小「3+（L+LJ+2,:・入力

-12+4必儿2+儿?）+2*"：|=20

等号成立当且仅当一1均非负或者均非正，并且入2,一入4，九5+1均非负或者均

非正。

比如％=1，九2=1，入3=T九4=T九5=L九6二1

则,A3+九23C+%CZ)+九4OA+九5AC+入6=，20=2y.

迁移：对于此题需充分利用转化与化归思想，从〃基向量〃入手，最后求不等式最值，是一

道向量和不等式的综合题。

【迁移】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.

三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

18.设函数/(x)=sinx,xeR.

(1)已知。e[0,2兀)，函数/(x+0)是偶函数，求0的值;

(2)求函数y=++"(x+?)]2的值域.

124

7131G1垂＞

(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定0的值；

(2)首先整理函数的解析式为y=asin(3x+o)+。的形式，然后确定其值域即可.

【解析】(1)由题意结合函数的解析式可得：/(x+8)=sin(x+e),

jrjr

函数为偶函数，则当x=0时，x+0=k^+-(keZ),即。="+万(左€2)，结合

rr3

6e[0,2兀)可取左=0,1,相应的。值为万；万.

(2)由函数的解析式可得：y=sin2L+^-Usin2L+^j

22

cos2x+-+cosf2x+g

l6

cos2x--sin2x-sinlx

2

7

据此可得函数值域为：

【迁移】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式

的整理变形等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

19.如图，已知三棱柱ABC-A4G,平面4ACC，平面4BC,NABC=90。，

NBAC=30°,4A=4C=AC,E,F分别是AC,A,B,的中点.

EC

(1)证明：EFLBC]

(2)求直线与平面ABC所成角的余弦值.

3

(1)证明见解析；(2),

Q)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；

(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正

弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.

【解析】(1)如图所示，连结4旦用后,

等边△44,。中，4E=EC,则sinB*O,.-.sinA=—,

2

平面28d平面4ACG,且平面/8S平面AACG=AC,

由面面垂直的性质定理可得：4E平面A8C，故AEL2C,

由三棱柱的性质可知A用〃43,而A8L6C,故4月，6c,且4旦A,E=A,

由线面垂直的判定定理可得：BC，平面AAE,

结合EFU平面A/E,故ER_L8C.

（2）在底面/史内作EHVAC,以点£为坐标原点，出纥后4方向分别为从3轴正方向

建立空间直角坐标系E-xyz.

设硝=1,则AE=EC=6,A4,=G\=2V3,BC=V3,A5=3,

据此可得：A（0,—6,0）,6已卓（）］，4（0,0,3）1（0,百,0）,

（22J

由A8=A4可得点B,的坐标为,

利用中点坐标公式可得：,由于刈。，0,0）,

故直线炉的方向向量为：族=（：；75,3）

设平面AfC的法向量为团=（x,y,z）,贝:

323Q

加•AB=(x,y,z>,,J=—x+——y-3z=n0

22；22

3

mBC=(x,y,z)・二——x+——v=n0

「5亍'22

据此可得平面的一个法向量为m=(1,V3,1),£F=l-,-V3,3

EFm64

cos(EF,m

此时EF\xU5

设直线)与平面48c所成角为e,则sine=cos(EF,m)=:cose=|.

20股等差数列｛%｝的前"项和为S,,%=4,4=$3,数列也｝满足：对每

〃wN*,S"+2,S,用+b,„Sn+2+b„成等比数列.

(1)求数列｛叫，电｝的通项公式;

(2)记C"=后”N*,证明：G+G+,+G<26,〃eN*.

(l)a“=2(〃-1),2=〃(〃+1);(2)证明见解析.

Q)首先求得数列｛4｝的首项和公差确定数列｛4｝的通项公式，然后结合三项成等比数列的

充分必要条件整理计算即可确定数列｛2｝的通项公式；

(2)结合(1)的结果对数列｛%｝的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方

法即可证得题中的不等式.

4+2d=4(八

a]—0

【解析】⑴由题意可得：一，3x2一解得：。

4+3d=3q+------d[d=2

、2

则数列｛4｝的通项公式为.

—丁丁(0+2H-2)XH/、

其刖"项和s“---------~~--=〃(〃-1).

则〃(〃-1)+2,〃(〃+1)+勿,(〃+1)(〃+2)+2成等比数列，即：

[〃(〃+1)+2了=[〃(〃-l)+d]x[(〃+l)(〃+2)+2],

据此有：

n2(n+1)-++/?：=n(；2—1)(/2+1)(/1+2)+(/?+1)(/?+2)/?,,+n(n—1)Z?„+b：

n2(n+l)2-n(n—l)(H+l)(n+2)

(2)结合(1)中的通项公式可得:

=2(册-,

则C]+Cj+•--+C”<2(VT-0)+2—Vi")+—+-1)=2'JH.

21.如图，已知点F(L0)为抛物线y2=2Px(p>0),点/为焦点，过点F的直线交抛物线

于A8两点，点c在抛物线上，使得NABC的重心G在X轴上，直线AC交X轴于点。，

且。在点尸右侧.记△AEG,△CQG的面积为S,,S2.

(1)求P的值及抛物线的标准方程；

5,

(2)求寸的最小值及此时点G的坐标.

(1)1,X=—1;(2)1+手,G(2,0).

(1)由焦点坐标确定夕的值和准线方程即可；

(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结

S.

合均值不等式的结论即可求得寸的最小值和点G的坐标.

【解析】Q)由题意可得T=1，则〃=2,2“=4,抛物线方程为V=4%,准线方程为

X=-1.

(2)设4(%,凹),6(修，%)，

设直线28的方程为y=k(x-T),k>0,与抛物线方程V=4x联立可得：

攵2%2一(242+4卜+公4

=0，故：9+W=2+~j~2，X2X2=1

乂+%=%(办+为2-2)=3，X%=-(V^)X(7^)=-4,

K

设点c的坐标为c(w，%),由重心坐标公式可得：

_X]+工2+毛、，_%+%+%14

X