2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化

2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化

一、选择题（共8小题）

1.（2021•河南）如图，口。记。的顶点0（0,0）,41,2）,点C在x轴的正半轴上，延长54

交y轴于点。.将AO/M绕点。顺时针旋转得到△OZ7A,当点。的对应点。落在。4上

时，。用的延长线恰好经过点C,则点C的坐标为（）

A.（2。0）B.（2石，0）C.（2百+1,0）D.（275+1,0）

2.（2021•河南）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）

A.SB.Ac©D.s

4.（2019•河南）如图，在AOAB中，顶点0（0,0）,A（—3,4）,8（3,4）,将AOAB与正方形ABC。

组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90。，则第70次旋转结束时，点。的坐标为（

)

————75

------------4^------------

0\

A.（10,3）B.（-3,10）C.（10,-3）D.（3,-10）

5.（2019•河南）如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体,将上层的小正方体平移后

得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下2则说法正确的是（）

/正面

图①图②

A.主视图相同B.左视图相同

C.俯视图相同D.三种视图都不相同

6.（2018•河南）将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置,下列说法正确的是（

）

二d

/正面

①②

A.图①的主视图和图②的主视图相同

B.图①的主视图与图②的左视图相同

C.图①的左视图与图②的左视图相同

D.图①的俯视图与图②的俯视图相同

7.（2017•河南）如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A,B,

C三点，则BC:AC等于（）

B.2:5C.3:4D.3:5

8.（2017•河南）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（）

左

视

图

A.1~~/B.

二、填空题（共6小题）

9.（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在RtAABC中，ZACB=90°,

ZB=3O°,AC=\.第一步，在他边上找一点将纸片沿C£＞折叠，点A落在A处，

如图2；第二步，将纸片沿C4'折叠，点。落在。处，如图3.当点。恰好落在原直角三

角形纸片的边上时，线段A77的长为—.

3

10.（2019•河南）如图，在矩形45CD中，AB=1,8C=a,点E在边8。上，且8石=二々.连

接AE,将A48E沿AE折叠，若点3的对应点Q落在矩形A88的边上，则a的值为

11.（2018•河南）如图，在矩形ABCD中，点E为他的中点，点F为射线4）上一动点,

△与A4EF关于EF所在直线对称，连接AC,分别交EV、EF于点M、N,AB=2>/3,

AD=2.若A£MV与AAE尸相似，则A尸的长为.

12.（2017•河南）如图，在RtAABC中，ZA=90°,AB=AC,8c=0+1,点/，N分

别是边BC,他上的动点，沿MN所在的直线折叠Nfi,使点3的对应点夕始终落在边

AC上，若为直角三角形，则比0的长为.

13.（2017•河南）如图，在等边三角形ABC中，A8=265,点M为边3c的中点，点N

为边河上的任意一点（不与点A,3重合），若点5关于直线MV的对称点B'恰好落在等

边三角形A8C的边上，则&V的长为cm.

14.（2017•河南）如图，在AABC中，AB=8,AC=12,D为■的中点，点上为8上

一点，若四边形AG灯为正方形（其中点尸，G分别在AC,A3上），则ABEC的面积

三、解答题（共10小题）

15.（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石

窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的

测量点A与佛像的底部。在同一水平线上.已知佛像头部为4〃?，在A处测得佛像

头顶部3的仰角为45。，头底部C的仰角为37.5。，求佛像班＞的高度（结果精确到0.1m.参

考数据：sin37.5。。0.61,cos37.5。a0.79,tan37.5。a0.77）.

16.（2020•河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世

界文化遗产之一.

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面

一条水平步道上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22。，然后沿

方向前进16m到达点N处，测得点A的仰角为45。.测角仪的高度为1.6m.

（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1/〃.参考数据：sin22°«0.37,

cos22°®0.93,tan22°«0.40,A/2=1.41）；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为126〃.请计算本次测量结果的误差，并提出一条

减小误差的合理化建议.

17.（2019•河南）在AABC中，CA=CB,NACB=a.点P是平面内不与点A,C重合的

任意一点.连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段DP,连接4）,BD,CP.

（1）观察猜想

如图1,当a=60。时，处的值是，直线皿与直线CP相交所成的较小角的度数是.

CP

（2）类比探究

如图2,当。=90。时，请写出好的值及直线皮）与直线CP相交所成的较小角的度数，并

CP

就图2的情形说明理由.

（3）解决问题

当&=90。时，若点E,尸分别是。，CB的中点，点P在直线防上，请直接写出点C,

P,力在同一直线上时空的值.

18.（2019•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如

图所示，炎帝塑像上在高55〃?的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34。，再沿

AC方向前进21,“到达5处，测得塑像顶部。的仰角为60。，求炎帝塑像DE的高度.

（精确到bn.参考数据：sin34°»0.56,cos34°«0.83,tan34°®0.67,6=1.73）

19.（2018•河南）探究

（1）如图①，在等腰直角三角形A8C中，ZACB=90°,作CM平分NAC8交AB于点M,

点。为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90。得到线段CE,连接

交射线C3于点/，连接比）、BE

填空：

①线段3£）、3E的数量关系为.

②线段BC、DE的位置关系为—.

推广：

（2）如图②，在等腰三角形ABC中，顶角Z4CB=a，作CM平分44cB交于点

点。为MBC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段€7）逆时针旋转a度得到线段

CE,连接DE、BD、3E请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由.

应用：

（3）如图③，在等边三角形ABC中，AB=4.作比0平分NABC交AC于点〃，点。为

射线上一点，以点8为旋转中心将线段BD逆时针旋转60。得到线段BE,连接£）E交射

线54于点尸，连接A。、AE.当以A、D、M为顶点的三角形与AAE厂全等时，请直接

写出小的值.

20.（2018•河南）2018年5月13日清晨，我国第一艘自主研制的001A型航空母舰从大连

造船厂码头启航，赴相关海域执行海上试验任务已知舰长应）约30&〃，航母前端点E到水

平甲板的距离1为6加，舰岛顶端A到切＞的距离是AC,经测量，Za4C=71.6°,

ZE4c=80.6。，请计算舰岛AC的高度.（结果精确到1e，参考数据：sin71.6。a0.95,

cos71.6°«0.32,tan71.6°®3.01,sin80.6°»0.99,cos80.6°«0.16,tan80.6°®6.04)

21.(2018•河南)“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平

行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间

的距离.某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答.

如图所示，底座上A,8两点间的距离为90cm.低杠上点C到直线的距离CE的长为

155cm,高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234c7〃，已知低杠的支架AC与直线AB

的夹角NC4E为82.4。，高杠的支架与直线43的夹角NDBF为80.3。.求高、低杠间

的水平距离CH的长.(结果精确到Ion,参考数据sin82.4。。0.991,cos82.4°。0.132,

tan82.4°®7.500,sin80.3°®0.983.cos80.3°®0.168,tan80.3°®5.850)

22.(2017•河南)如图1,在RtAABC中，ZA=90°,45=AC,点。，E分别在边43,

AC上，AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,3c的中点.

(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是一,位置关系是一；

(2)探究证明：把AADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判

断APMN的形状，并说明理由；

(3)拓展延伸：把A4DE绕点A在平面内自由旋转，若4)=4,AB=10,请直接写出APMV

面积的最大值.

E

BNCBNC

图1面2

23.（2017•河南）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普

遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑

角钢，太阳能电池板与支撑角钢45的长度相同，均为300c〃?，AB的倾斜角为30。，

BE=CA=50cm,支撑角钢8,所与底座地基台面接触点分别为。、F,CD垂直于地

面，至于点£.两个底座地基高度相同（即点O,尸到地面的垂直距离相同），均为

30加，点A到地面的垂直距离为50M，求支撑角钢CD和砂的长度各是多少抽（结果保

24.（2017•河南）如图所示，我国两艘海监船A,3在南海海域巡航，某一时刻，两船同

时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C,此时，3船在A船的正南方向5海里处,

A船测得渔船C在其南偏东45。方向，8船测得渔船C在其南偏东53。方向，已知A船

的航速为30海里/小时，8船的航速为25海里/小时，问C船至少要等待多长时间才能

得到救援？（参考数据：sin53°--,cos53°«-,tan530«-,&641）

553

2017-2021年河南中考数学真题分类汇编之图形的变化

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题）

1.（2021•河南）如图，口。48。的顶点0（0,0）,A（l,2）,点C在x轴的正半轴上，延长5A

交y轴于点£>.将△O2M绕点O顺时针旋转得到△O0A,当点。的对应点。落在。4上

时，Z7A的延长线恰好经过点C,则点C的坐标为（）

A.（2月，0）B.（2石，0）C.（2^+1,0）D.（2逐+1,0）

【答案】B

【考点】坐标与图形性质；旋转的性质；平行四边形的性质

【专题】运算能力；多边形与平行四边形

【分析】延长A77交y轴于点E,延长。A,由题意04的延长线经过点C,利用点A的

坐标可求得线段4）,OD,的长，由题意：△0477=404。，可得对应部分相等；利

用OZ7_LAE,04平分N4QE,可得△AOE为等腰三角形，可得OE=0V=75,

ED=AD=\；利用印SACEO,得到比例式可求线段OC,则点C坐标可得.

【解答】解：延长AZ7交y轴于点E,延长。A',由题意的延长线经过点C,如图，

:.AD=l,OD=2,

OA=yjAD2+OD2=Vl2+22=石.

由题意：△0477三AOLD,

:.AD=AD=\,。4，=。4=6，OD=OD=2,ZAiyO=ZADO=90°,ZA'Oiy=ZDOD.

则。7_LAE,Q4平分N/TOE,

.•.△AOE为等腰三角形.

:.OE=OA'=^,ED=AD=\.

-,-EOYOC,ODLEC,

.-.^OEiy^ACEO.

.ED'EO

"~oiy~~oc-

.L-JL

"2~~0C'

OC=245.

CQ也，0）.

故选：B.

【点评】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形相似

的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度和利用线段的长度表示相应点的坐标是

解题的关键.

2.（2021•河南）如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是（）

【答案】A

【考点】简单组合体的三视图

【专题】投影与视图；空间观念

【分析】将图形分成三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视图为两个正方

形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的.

【解答】解：该几何体的主视图有三层，从上而下第一层主视图为一个正方形，第二层主视

图为两个正方形，第三层主视图为三个正方形，且左边是对齐的.

故选：A.

【点评】本题主要考查三视图的定义，在理解三视图的基础上，还要有较强的空间想象能力.

3.（2020•河南）如图摆放的几何体中，主视图与左视图有可能不同的是（）

人国B.Ac.@D.s

【答案】D

【考点】简单几何体的三视图

【专题】投影与视图；几何直观

【分析】分别确定每个几何体的主视图和左视图即可作出判断.

【解答】解：A、主视图和左视图是长方形，一定相同，故本选项不合题意；

5、主视图和左视图都是等腰三角形，一定相同，故选项不符合题意；

C、主视图和左视图都是圆，一定相同，故选项不符合题意；

主视图是长方形，左视图是可能是正方形，也可能是长方形，故本选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了简单几何体的三视图，确定三视图是关键.

4.（2019•河南）如图，在AOAB中,顶点0（0,0）,A（-3,4）,3（3,4）,将（048与正方形ABCD

组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90。，则第70次旋转结束时，点。的坐标为（

）

(-3,10)C.(10,-3)D.(3,-10)

【考点】D2：规律型：点的坐标；R7：坐标与图形变化-旋转

【专题】558：平移、旋转与对称

【分析】先求出AB=6,再利用正方形的性质确定0(-3,10),由于70=4x17+2,所以第

70次旋转结束时，相当于与正方形组成的图形绕点。顺时针旋转2次，每次

旋转90。，此时旋转前后的点。关于原点对称，于是利用关于原点对称的点的坐标特征可出

旋转后的点。的坐标.

【解答】解：•••A(-3,4),8(3,4),

..AB=3+3=6，

■：四边形A88为正方形，

/.AD=AB=6，

£)(-3,10),

・.・70=4x17+2,

.•.每4次一个循环,第70次旋转结束时，相当于AOW与正方形438组成的图形绕点。顺

时针旋转2次，每次旋转90。，

.♦.点。的坐标为(3,-10).

故选：D.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的

特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30°,45°,60°,90°,180°.

5.(2019•河南)如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后

得到图②.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是()

图①图②

A.主视图相同B.左视图相同

C.俯视图相同D.三种视图都不相同

【答案】C

【考点】平移的性质；简单组合体的三视图

【专题】投影与视图

【分析】根据三视图解答即可.

主视图左视图俯视图

【解答】解：图①的三视图为:

【点评】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的

空间想象能力.

6.（2018•河南）将图①中的小正方体沿箭头方向平移到图②位置，下列说法正确的是（

)

A.图①的主视图和图②的主视图相同

B.图①的主视图与图②的左视图相同

C.图①的左视图与图②的左视图相同

D.图①的俯视图与图②的俯视图相同

【答案】B

【考点】简单组合体的三视图；平移的性质

【专题】投影与视图

【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，得

出图①、图②的三视图即可.

【解答】解：找到图①、图②从正面、侧面和上面看所得到的图形，

可知图①的主视图与图②的左视图相同，图①的左视图与图②的主视图相同.

故选：B.

【点评】本题主要是从比较图①、图②来考查物体的三视图，难度一般.

7.（2017•河南）如图，在横格作业纸（横线等距）上画一条直线，与横格线交于A,B,

C三点，则8CAC等于（）

【考点】54：平行线分线段成比例

【专题】551：线段、角、相交线与平行线

【分析】根据已知图形构造相似三角形，进而得出AABQ-A4CE,

【解答】解：如图所示：过点A作平行线的垂线，交点分别为O,E,

可得：AABD^AACE,

.ABAD

"AC-AE_4’

/.BC:AC=3:4,

故选：c.

【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，根据题意构造AA8D-AACE是解题关键.

8.（2017•河南）某几何体的左视图如图所示，则该几何体不可能是（）

C.D.

【考点】U3：由三视图判断几何体

【分析】左视图是从左边看到的，据此求解.

【解答】解：从左视图可以发现：该几何体共有两列，正方体的个数分别为2,1,

。不符合，

故选：D.

【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是了解该几何体的构成，难度不大.

二、填空题（共6小题）

9.（2021•河南）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1,在RtAABC中，ZACB=9O°,

ZB=3O°,AC=\.第一步，在43边上找一点O,将纸片沿8折叠，点A落在A处，

如图2；第二步，将纸片沿C4,折叠，点。落在。处，如图3.当点〃恰好落在原直角三

角形纸片的边上时，线段的长为-或2-百.

-2——

【考点】翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形

【专题】操作型：等腰三角形与直角三角形；运算能力

【分析】分两种情形解答：①点。’恰好落在直角三角形纸片的43边上时，由题意：AAZ）C=

△A7X7=△A77C,则"7TC=NZWC=NA=60°,4C=AC=1;A，C垂直平分线段

DD；禾IJ用=gAC-BC=gA3-CE,可求得CE,则AE=AC-CE,解直角三角形

A77E可求线段A。：②点。恰好落在直角三角形纸片的边上时，由题意：AADCSA

A'DC=△A!DC,则ZDA!C=ADAC=ZA=60°,A'C=AC=1,

ZACD=ZA'CD=ZA'Ciy=-Z>4CB=30°；在7c中，利用30。所对的直角边等于斜

3

边的一半可得结论.

【解答】解：①点〃恰好落在直角三角形纸片的池边上时，设交回边于点E,如图,

B

由题意：AADC=△ADC=/\A:DC,AC垂直平分线段D7.

则NZ7AC=ZZMC=NA=60。，4C=AC=1.

vZAC5=90°,々=30。，AC=],

/.BC=AC-tanA=1xtan60°=x/3.

AB=2AC=2,

•/SMRC=、ACBC=LABCE，

MBC22

:.CE=—.

2

h

:.A!E=A!C-CE=\~—.

2

在/?，△AOE中，

NE

・・・cosND'A'E=——,

AU

.A!E_1

/.A,D,=2A,E=2-y/3.

②点。恰好落在直角三角形纸片的3。边上时，如图,

B

由题意：MPC二△4DC=△AZ7C,ZAGD=ZA，8=Z/VS=』ZAC5=30。；

3

则NZ7AC=NZMC=ZA=60。，A!C=AC=}.

・・・NZ7A'C=60。，ZA'CrX=30°,

.•.NAJ7C=90。，

A,Df=-A,C=-xl=~.

综上，线段4。的长为：-或2-6.

2

故答案为：-或2-6.

2

【点评】本题主要考查了翻折问题，含30。角的直角三角形，直角三角形的边角关系，特殊

角的三角函数值，全等三角形的性质.翻折属于全等变换，对应部分相等，这是解题的关键,

当点。恰好落在直角三角形纸片的边上时，要注意分类讨论.

10.（2019•河南）如图，在矩形A88中，AB=1,8C=a,点E在边8c上，且连

5

接AE,将A48E沿AE折叠，若点5的对应点6落在矩形A88的边上，则°的值为°或

一3一

【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LB-.矩形的性质

【专题】558：平移、旋转与对称

【分析】分两种情况：①点夕落在4）边上，根据矩形与折叠的性质易得/$=防，即可求

出。的值；②点夕落在CD边上，证明A4Z）9S/XMCE,根据相似三角形对应边成比例即

可求出a的值.

【解答】解：分两种情况：

①当点？落在A£＞边上时，如图1.

•.•四边形43CD是矩形，

ZBAD=ZB=90°,

•.•将A4BE沿AE折叠，点8的对应点6落在4）边上，

ZBAE=ZB'AE=-ZBAD=45°,

2

AB=BE，

5

3

②当点夕落在CD边上时，如图2.

・・•四边形ABCD是矩形，

.\ZBAD=Z^=ZC=ZD=90o,AD=BC=a.

・・・将A4BE沿AE折叠，点区的对应点S落在8边上，

3

:.ZB=ZAB,E=90°,AB=A3f=1,EB=EB,=-a,

5

;.DB，=4BK—AD?=Jl—，2,EC=BC-BE=a--a=-a.

55

在AATM7与△笈CE中，

ZBfAD=NEBP=90°-/AB，D

ZD=ZC=90O'

:.Z^DBs丛RCE,

DB'AB1日口71-a21

・•.-=----,即--——=—,

CEB'E—2a-3a

55

解得4=4，a2=~~~（舍去）.

综上，所求a的值为*或好.

33

故答案为2或好.

33

图2

【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形

状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.也考查了矩形的性质，勾股定理，相似三

角形的判定与性质.进行分类讨论与数形结合是解题的关键.

11.（2018•河南）如图，在矩形438中，点E为他的中点，点下为射线4）上一动点,

△AEF与AA£F关于EF所在直线对称，连接AC，分别交EA、EF于点M、N,AB=2g，

AD=2.若AEMN与AA£F相似，则"的长为1或3

【考点】矩形的性质；相似三角形的性质；轴对称的性质

【专题】矩形菱形正方形

【分析】分两种情形①当EM_LAC时,，AEMNsAEAF.②当硒j_AC时,，AEW^AEAF,

分别求解.

【解答】解：①当EM_LAC时，AEMN^AEAF,

•.•四边形A8CD是矩形，

:.AD=BC=2,ZB=90°,

:.tanZCAB=—=—,

AB3

.•.NOW=30°,

,-.ZA£M=60°,

:.ZAEF=30°,

AF=AE.tan30°=也上=1,

3

②当£7V_LAC时，AENM^AEAF,

可得AF=AE“an60。=3,

故答案为1或3.

【点评】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基

本知识，属于中考常考题型.

12.（2017•河南）如图，在RtAABC中，ZA=90°,AB=AC,8c=0+1,点M,N分

别是边8C,AB上的动点，沿MN所在的直线折叠NB,使点3的对应点片始终落在边

【考点】AW：等腰直角三角形；PB-.翻折变换（折叠问题）

【分析】①如图1，当4MC=9O。，夕与A重合，"是BC的中点，于是得到结论；②如

图2,当40C=9O。，推出ACM8是等腰直角三角形，得到列方程即

可得到结论.

【解答】解：①如图1，

当N『MC=90。，£与A重合，A7是3c的中点，

101

+

:.BM=-BC=-221

2

②如图2,当4田。=90。，

•.•ZA=90°,AB=AC,

ZC=45°,

AC期是等腰直角三角形，

：.CM=42MB',

•.•沿MN所在的直线折叠Nfi,使点5的对应点

/.BM=,

;.CM=&M,

1,-BC=y/2+i,

CM+BM=及BM+BM=x/2+1,

综上所述，若△MB，C为直角三角形，则的长为1夜+1或1,

22

故答案为：！应+」或I.

22

【点评】本题考查了翻折变换-折叠问题，等腰直角三角形的性质，正确的作出图形是解题

的关键.

13.（2017•河南）如图，在等边三角形A5C中，A8=26cm，点M为边3c的中点，点N

为边4?上的任意一点（不与点A,8重合），若点3关于直线MN的对称点B'恰好落在等

边三角形ABC的边上，则3N的长为—乎或6_cvn.

【考点】P2-.轴对称的性质

【专题】558：平移、旋转与对称

【分析】如图1,当点B关于直线的对称点3'恰好落在等边三角形A8C的边45上时,

于是得到BN=BN，,根据等边三角形的性质得到=AC=8C,ZABC=60°,

根据线段中点的定义得到=如图2,当点B关于直线MN的对称点"恰好

22

落在等边三角形ABC的边A,C上时，则雨，四边形西N是菱形，根据线段中

点的定义即可得到结论.

【解答】解：如图1,当点5关于直线"N的对称点B'恰好落在等边三角形A8C的边AB上

时，

则MVJ.AB,BN=BN',

•.•AABC是等边三角形，

AB=AC=BC,ZABC=60°,

•.•点M为边BC的中点，

:.BM=-BC=-AB=y/3,

22

22

如图2,当点8关于直线MN的对称点8'恰好落在等边三角形ABC的边A,C上时,

则四边形是菱形，

vZABC=60°,点〃为边BC的中点，

：.BN=BM=-BC=-AB=^3,

22

故答案为：B或拒.

2

【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，分类讨论是解

题的关键.

14.（2017•河南）如图，在AABC中，AB=8,AC=12,。为45的中点，点E为C。上

一点，若四边形AG防为正方形（其中点尸，G分别在AC,A3上），则MEC的面积

【考点】LE-.正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质

【专题】556：矩形菱形正方形；550：图形的相似

【分析】由题意可得：EF//AG,AF=EF=EG^AG,A。==4,即可证△CEFSAC/M,

可得竺=0£,即竺J2-/IJ可求町=3,即可求的面积.

ADAC412

【解答】解：・・•四边形AG£F是正方形

:.EF//AG,AF=EF=EG=AG

・・•点。是AB中点

/.DB=AD=-AB=4

2

\EFIIAG

:.\CEF^\CDA

.EFCF

~AD~~AC

.AF\2-AF

,・丁一~vT~

:.AF=3

,*'S^CE=SMBC-SMCD-SgDE

S\RCF=­x8xl2--xl2x4--x4x3=18

222

故答案为：18

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，熟练运用这些性质解决问题

是本题的关键.

三、解答题（共10小题）

15.（2021•河南）开凿于北魏孝文帝年间的龙门石窟是中国石刻艺术瑰宝，卢舍那佛像是石

窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，他们选取的

测量点A与佛像血）的底部。在同一水平线上.已知佛像头部为4加，在A处测得佛像

头顶部8的仰角为45。，头底部C的仰角为37.5。，求佛像班）的高度（结果精确到0.%.参

考数据：sin37.5°»0.61.cos37.50七0.79,tan37.5°»0.77）.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】应用题；解直角三角形及其应用；推理能力；运算能力

【分析】根据tanND4C=——=tan37.5°~0.77,列出方程即可解决问题.

AD

【解答】解：根据题意可知：mu?=45。，

：.BD=AD,

在RtAADC中，DC=BD-BC=（AD-4）m,ZZMC=37.5°,

nr

•・•tanZDAC=—,

AD

AD-4

/.tan37.5=---------«0.77,

AD

解得A。=17.4/w,

答：佛像的高度约为17.4m.

【点评】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数等知识，解题的关键

是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题.

16.（2020•河南）位于河南省登封市境内的元代观星台，是中国现存最早的天文台，也是世

界文化遗产之一.

某校数学社团的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量观星台的高度.如图所示，他们在地面

一条水平步道上架设测角仪，先在点M处测得观星台最高点A的仰角为22。，然后沿

方向前进16"?到达点N处，测得点A的仰角为45。.测角仪的高度为1.6”.

（1）求观星台最高点A距离地面的高度（结果精确到0.1加.参考数据：sin22°«0.37,

cos22°«0.93,tan22°«0.40,N/2®1.41）；

（2）“景点简介”显示，观星台的高度为126明请计算本次测量结果的误差，并提出一条

减小误差的合理化建议.

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】解直角三角形及其应用；应用意识

【分析】（1）过A作于O,延长3c交4）于E,则四边形mWC,四边形8WDE

是矩形，于是得到3c=MN=16〃z,DE=CN=BM=\.6m,求得CE=A£：,i^AE=CE=x,

得到8E=16+x,解直角三角形即可得到结论；

(2)建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.

【解答】解：(1)过A作AOJLP/M于。，延长8c交AD于E,

则四边形3MNC,四边形5MDE是矩形，

:.BC=MN=\6m,DE=CN=BM=l.6m,

vZAEC=90°,ZACE=45°,

.•.AACE是等腰直角三角形，

CE=AE，

设AE=CE=x,

BE=\6+x>

-.-ZABE=22°,

.-.AE=BE»tan22o,B|Ix=(16+x)x0.40,

x«10.7(w),

AZ)=10.7+1.6=12.3(〃。，

答：观星台最高点A距离地面的高度约为12.3机；

(2)“景点简介”显示，观星台的高度为12.6”，

.•.本次测量结果的误差为12.6-12.3=0.3(〃?)，

减小误差的合理化建议为：为了减小误差可以通过多次测量取平均值的方法.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角

三角形并解直角三角形.

17.(2019•河南)在AA8c中，CA=CB,ZACB=a.点P是平面内不与点A,C重合的

任意一点.连接小，将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段DP,连接4),BD,CP.

(1)观察猜想

如图1,当c=60。时，处的值是1,直线瓦)与直线CP相交所成的较小角的度数

CP

是.

(2)类比探究

如图2,当c=90。时，请写出处的值及直线双)与直线CP相交所成的较小角的度数，并

CP

就图2的情形说明理由.

(3)解决问题

当a=90。时，若点E,尸分别是。，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C,

备用图

【专题】几何综合题

【分析】(1)如图1中，延长CP交的延长线于E,设A3交EC于点O.证明

AC4P=\BAD[SAS),即可解决问题.

(2)如图2中，设比＞交AC于点O,BD交PC于点E.证明SABSA/%。，即可解决问

题.

(3)分两种情形：①如图3-1中，当点。在线段PC上时，延长相)交8c的延长线于H.证

明AD=QC即可解决问题.

②如图3-2中，当点P在线段CD上时，同法可证：/M=OC解决问题.

【解答】解：(1)如图1中，延长CP交班)的延长线于E,设交EC于点O.

图1

•.・Z/W)=NC4B=60°,

,\ZCAP=ZBAD.

・・・C4=B4，PA=DA,

:.^CAP=ABAD(SAS)f

:.PC=BD,ZACP=ZABD,

・・・ZAOC=ZBOE,

.•.ZBEO=ZC4O=60°,

A—=1,直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60。,

PC

故答案为1,60°.

(2)如图2中，设班＞交AC于点O,BD交PC于点、E.

图2

vZ^4Z)=ZC4B=45o,

:.ZPAC=ZDAB,

丝=丝=血,

ACAP

...MJAB^APAC,

/n一4.BDABrr

/PCA—/DBA9==J2,

PCAC

\ZEOC=ZAOB,

ZCEO=ZOAB=45°,

.•・直线8。与直线CP相交所成的较小角的度数为45。.

(3)如图3-1中，当点O在线段PC上时，延长4)交3c的延长线于H.

H

•・・CE=E4，CF=FB,

:・EF!IAB,

/.ZEFC=ZABC=45°,

vZ^4O=45°,

:"PAO=NOFH,

ZPOA=ZFOH,

:.AH=ZAPO,

・・・ZAPC=90。，EA=EC,

:.PE=EA=EC,

:.ZEPA=ZEAP=ZBAH,

..ZH=ZBAH,

:.BH=BA,

\-ZADP=ABDC=45°.

.\ZADB=90°,

：.BDLAH,

.・./DBA=NDBC=22.5°，

•：ZADB=ZACB=90°,

・・.A,£),C,3四点共圆，

ZZMC=ZDBC=22.5°,ZDCA=ZABD=22.5°,

.・.ZDAC=ZDCA=22.5°,

五

：.DA=DC,设A£>=a,则DC=AD=a,PD=—a

2

AD

=2—^2.

~CP

解法二：在RtAPAD中，・・・石是AC的中点,

..PE=EA=EC,

:.ZEPC=ZECP,

・・•/CEF=45°=ZEPC+ZECP，

AEPC=ZECP=22.5°,

•・•ZPDA=45°=ZACD+NDAC，

/.ZmC=22.5°,

AD=DC，

设=^\AD=DC=y/2a,

如图3-2中，当点P在线段8上时，同法可证：DA=DC,设=则C£>=AD=a,

【点评】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的

性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找

全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

18.（2019•河南）数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如

图所示，炎帝塑像DE在高55加的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34。，再沿

AC方向前进21〃?到达8处，测得塑像顶部。的仰角为60。，求炎帝塑像的高度.

（精确到1加.参考数据：sin34°»0.56,cos34°»0.83,tan34°»0.67,G~1.73）

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【专题】55£：解直角三角形及其应用

【分析】由三角函数求出AC=---------»82.1m,得出8C=AC-AB=61.bn,在RtABCD中,

tan34°

由三角函数得出CD=y/3BCx105.777?,即可得出答案.

【解答】解：vZACE=90°,ZCAE=34°,CE=55m,

CE

tanZ.CAE------，

AC

AC=—0F="x82.L",

tan34°0.67

AB=2hn,

.\BC=AC-AB=61Am,

在RtABCD中，tan60°=C^=^,

BC

.-.CD=>/3BC«1.73x61.1»105.7w,

,-.DE=CD-EC=105.1-55^5lm,

答：炎帝塑像DE的高度约为51a.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角

形，利用三角函数的知识求解，难度适中.

19.(2018•河南)探究

(1)如图①，在等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,作CM平分NAC8交AB于点

点。为射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段CD逆时针旋转90。得到线段CE,连接

DE交射线C8于点下，连接应)、BE

填空：

①线段比＞、8E的数量关系为_8E＞=BE_.

②线段8C、DE的位置关系为—.

推广：

(2)如图②，在等腰三角形ABC中，顶角ZACB=a,作CM平分NACB交AB于点M,

点。为AABC外部射线CM上一点，以点C为旋转中心将线段S逆时针旋转a度得到线段

CE,连接DE、BD、跖请判断(1)中的结论是否成立，并说明理由.

应用：

(3)如图③，在等边三角形ABC中，/3=4.作8M平分NABC交AC于点点。为

射线8W上一点，以点5为旋转中心将线段瓦＞逆时针旋转60。得到线段的，连接DE交射

线3A于点F,连接AD、AE.当以A、D、M为顶点的三角形与AAEF全等时，请直接

写出DE的值.

【考点】几何变换综合题

【专题】几何综合题

【分析】(1)如图①中，只要证明△CB。三ACBE(&4S),即可解决问题.

(2)结论不变.如图②中，只要证明△C8£)wACBE(SAS),即可解决问题.

(3)分点。在线段比0上，点