初中数学圆形专题训练50题含参考答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页初中数学圆形专题训练50题含参考答案一、单选题1．下列说法错误的是（）A．等弧所对的圆心角相等B．弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数C．经过三点可以作一个圆D．三角形的外心到三角形各顶点距离相等【答案】C【分析】根据三角形的外心的性质，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系判定即可．【详解】解：A等弧所对的圆心角相等，故不符合题意；B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故不符合题意；C、经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故符合题意；D、三角形的外心到三角形各顶点距离相等，故不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，正确的理解题意是解题的关键．2．已知的半径是，线段的长为，则点P（

）A．在外 B．在上 C．在内 D．不能确定【答案】C【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．【详解】解：点P在内，故选：C．【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键．3．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？(

)A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：根据直径所对的圆周角为直角可得：B为正确答案．4．已知⊙O的半径是一元二次方程的一个根，点A与圆心O的距离为6，则下列说法正确在是（）A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．无法判断【答案】A【分析】先求方程的根，可得r的值，由点与圆的位置关系的判断方法可求解．【详解】解：∵，∴＝﹣1，＝4，∵⊙O的半径为一元二次方程的根，∴r＝4，∵6＞4，∴点A在⊙O外，故选：A．【点睛】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较点到圆心的距离d与圆半径大小关系完成判定．5．如图，是半圆O的直径，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，则直径所对的圆周角是直角可求得的度数，再由圆内接四边形的性质即可求得结果的度数．【详解】连接，如图所示，是直径，，，；故选：B．【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质等知识，掌握这两条性质是关键．6．如图，是的直径，是的弦．若，则的大小为（

）A．21° B．59° C．69° D．79°【答案】C【分析】先求出的度数，然后再根据圆周角定理的推论解答即可．【详解】解：∵是的直径∴，∵，∴，又∵，∴，故答案为：C．【点睛】本题主要考查了圆周角定理的推论，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等；直径所对圆周角等于90°．7．如图，圆与圆的位置关系没有（

）A．相交 B．相切 C．内含 D．外离【答案】A【分析】根据圆与圆的位置关系,寻找交点个数即可解题.【详解】解：圆与圆相交有两个交点,但是图像中没有两个交点的情况,所以圆与圆的位置关系没有相交,故选A.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系,属于简单题,熟悉位置关系的辨析方法是解题关键.8．已知在Rt中，，则Rt的外接圆的半径为（）A．4 B．2.4 C．5 D．2.5【答案】D【分析】根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，先求斜边长，再求半径．【详解】在中，根据勾股定理得，，∵直角三角形的外心为斜边中点，∴的外接圆的半径为2.5，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形的外心的性质，勾股定理的运用，关键是明确直角三角形的斜边为三角形外接圆的直径．9．如图，，则的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据圆周角与弧的关系即可求解．【详解】解：根据同圆或等圆，相等的弧所对的圆周角相等，只有C选项符合题意；∵，∴．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角与弧的关系，掌握同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等是解题的关键．10．中，，，若要剪一张圆形纸片盖住这个三角形，则圆形纸片的最小半径为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】作于，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，设圆形纸片的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【详解】解：如图，点点A作于，，，，，的外接圆的圆心在上，连接，在Rt△ABD中，，设圆形纸片的半径为，则，在中，，则，解得，，∴此时圆形纸片的半径为．故选：．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一、三角形外接圆的性质及勾股定理是解题的关键．11．如图所示，是半圆的直径，与半圆相切于点，是半圆上一动点，于，连接.设，，则下列函数图象能反映与之间关系的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，可得，设半圆的半径为，得到，整理得到，根据函数的解析式即可判断函数图象.【详解】连接，∵MN是直径，∴∠MRN=90°，∴∠RMN+∠MNR=90°，∵MP是半圆O的切线，∴∠NMP=90°，∴∠RME+∠RMN=90°，∴∠RME=∠MNR，∵RE⊥MP，∴∠MER=∠MRN=90°，∴，∴，设半圆的半径为值，可得，∴可得到是的二次函数，开口方向向下，对称轴.故选：D.【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，切线的性质，圆周角定理的推论，二次函数的性质.12．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC，反比例函数y=经过正方形AOBC对角线的交点，半径为的圆内切于△ABC，则k的值为（）.A． B．2 C．4 D．【答案】C【详解】试题分析：设正方形对角线交点为D，过点D作DM⊥AO于点M，DN⊥BO于点N；设圆心为Q，切点为H、E，连接QH、QE．∵在正方形AOBC中，反比例函数y=经过正方形AOBC对角线的交点，∴AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，QH⊥AC，QE⊥BC，∠ACB=90°，∴四边形HQEC是正方形，∵半径为（）的圆内切于△ABC，∴DO=CD，∵，∴=2×，∴=48﹣=，∴QC=，∴CD=+（）=，∴DO=，∵=8，∴2=8，∴=4，∴DN×NO=4，即：xy=k=4．故选C．考点：反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；三角形的内切圆与内心．13．若，作半径为的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能作（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个【答案】C【分析】先作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，4cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以4cm为半径作圆即可；【详解】解：这样的圆能画2个．如图：作AB的垂直平分线l，再以点A为圆心，4cm为半径作圆交l于O1和O2，然后分别以O1和O2为圆心，以4cm为半径作圆，则⊙O1和⊙O2为所求【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d=r；点P在圆内⇔d＜r．14．如图，在中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接，根据等边三角形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，图中阴影部分的面积，故选：D．【点睛】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，推出是等边三角形是解题的关键．15．如图，已知是的直径，弦，垂足为E，且，，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据垂径定理求出，解直角三角形求出，求出，，求出是等边三角形，求出，再求出答案即可．【详解】解：连接，∵，过，，∴，，∵，∴，，由勾股定理得：，即，解得：，∴，∵，，∴是等边三角形，∴，∴阴影部分的面积，故选：B．【点睛】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含角的直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．16．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（

）．A．3π B．4π C．5π D．6π【答案】B【详解】解：扇形的弧长为=4π．故选B．17．如图，四边形ABCD内接于，，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论；【详解】解：连接BD，∵ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A∵∴∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120°∵∴△CBE为等边三角形∴∠BCE＝∠A=60°，∵点C为的中点，∴∠CDB＝∠DBC=30°∴∠ABD=90°，∠ADB=30°∴AD为直径∵AB=2∴AD=2AB=4∴的面积是=故答案选：D【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．18．一个圆锥的侧面展开图是半径为8，圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的高为（）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】A【详解】试题分析：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得2πr=，解得r=，所以圆锥的高=．故选A．考点：圆锥的计算19．⊙O的半径为10cm,A是⊙O上一点,B是OA中点,C点和B点的距离等于5cm,则C点和⊙O的位置关系是（

）A．C在⊙O内 B．C在⊙O上 C．C在⊙O外 D．C在⊙O上或C在⊙O内【答案】D【详解】试题解析：因为⊙O的半径是10cm，A是圆上一点，所以OA=10cm，又B是OA的中点，所以BA=5cm．而BC=5cm，所以点C应在以B为圆心，5cm为半径的⊙B上．⊙B上的点除点A在⊙O上外，其它的点都在⊙O内．故选D．20．如图，在中，．，．是中线，点、同时从点出发，以相同的速度分别沿、方向移动，当点到达点时，运动停止，直线分别与、相交于、，则在点、移动过程中，点移动路线的长度为（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】试题解析：如图，∴CD⊥AB，∴∠ADE=∠CDF=，CD=AD=DB，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴∠DAE=∠DCF，∵∠AED=∠CEG，∴∠ADE=∠CGE=，∴A、C.

G、D四点共圆，∴点G的运动轨迹为弧CD，∵AB=4,

∴∴∵DA=DC，OA=OC，∴DO⊥AC，∴∴点G的运动轨迹的长为故选D.二、填空题21．如图，点为半圆的中点，是直径，点是半圆上一点，、交于点，若，，则________．【答案】5【分析】由题意得，AB是直径，则，根据勾股定理可得，，又根据点C为半圆的直径，得出，由勾股定理可得AC=5．【详解】解：如图所示，连接OC，∵AB是直径，∴，在中，AD=1，BD＝，∴，∴，∵点C为半圆的中点，∴，∠AOC=90°∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆周角的推论，勾股定理，解题的关键是掌握圆周角的推论．22．如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形．则________．【答案】4【分析】由题意求出扇形的弧长，然后根据扇形面积公式求出扇形面积即可．【详解】∵扇形周长等于铁丝的长为8cm，扇形的半径是2cm，∴扇形弧长是4cm，∴.故答案为：4．【点睛】此题考查了扇形弧长和面积的求法，解题的关键是熟练掌握扇形弧长和面积公式．23．如图，中，是边上的一个动点，过点作垂足为则长的最小值为_______________________．【答案】2【分析】取BC中点F，连接AE、EF．易得点E在以BC长为直径的圆周上上运动，当点A、E、F在同一直线上时，AE最短．据此计算即可．【详解】解：如图，取BC中点F，连接EF．∵CE⊥BD，∠BEC=90°，∴点E在以BC长为直径的圆周上上运动，当点A、E、F在同一直线上时，AE最短．∵CA=4，CB=6，∴BF=BF=EF=BC=3，∴AF==5，∴AE=AF-EF=5-3=2，即AE的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了线段最小值，正确理解圆外一点到圆上的最短距离等于点与圆心连线与圆的交点到点到这点的线段长是解题的关键．24．如图，⊙O内接正五边形ABCDE与等边三角形AFG，则∠FBC＝__________．【答案】12°【分析】连接OA，OB，OF，OC，分别求出正五边形ABCDE和正三角形AFG的中心角，结合图形计算即可．【详解】解：连接OA，OB，OF，OC．∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠AOB＝360°＝72°，∴∠AOC＝2×72°＝144°，∵△AFG是正三角形，∴∠AOF＝360°＝120°，∴∠COF＝∠AOC−∠AOF＝144°−120°＝24°，∴∠FBC＝∠COF＝×24°＝12°．故答案为：12°．【点睛】本题考查的是正多边形与圆的有关计算和圆周角定理，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．25．如图，点A、B在半径为3的⊙O上，劣弧长为，则∠AOB＝____．【答案】30°##30度【分析】根据弧长公式直接代入计算即可得出结果．【详解】解：，解得：n=30°，∴∠AOB=30°，故答案为：30°．【点睛】题目主要考查弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解题关键．26．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D，E分别是AB，AC边的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转60°到△A′BC′的位置，则整个旋转过程中线段DE所扫过部分的面积（即图中阴影部分面积）为_____．【答案】【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AB的长度，再根据勾股定理求出AC的长度，然后根据中点定义求出DB、CE的长度，再利用勾股定理求出BE的长度，然后根据旋转变换的性质可得阴影部分的面积等于以BE为半径的扇形面积减去以DB为半径的扇形的面积，然后列式进行计算即可得解．【详解】解：连接BE、BF，如右图所示，∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=2BC=12，∴AC=6，∵D，E分别是AB，AC边的中点，∴EC=AC=3，BD=BC=AB=6，在Rt△BCE中，根据勾股定理得：BE=3，∴图中阴影部分面积是：-=，故答案为．【点睛】本题考查了扇形的面积计算，直角三角形的性质，旋转变换的性质，观察出阴影部分的面积的表示是解题的关键．27．四边形是的内接四边形，，则的度数为___．【答案】120°##120度【分析】根据圆内接四边形对角互补，再结合已知条件求解即可．【详解】解：四边形是的内接四边形，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解答本题的关键．28．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，以点C为圆心r为半径作圆，如果⊙C与AB相切，则半径r的值是_______．【答案】##【分析】作CD⊥AB于D，如图，先利用勾股定理计算出BC＝12，再利用面积法计算出CD＝，然后根据切线的性质易得r＝CD＝．【详解】解：作CD⊥AB于D，如图，∵∠C＝90゜，AC＝5，AB=13，∴BC＝，∵CD•AB＝CB•CA，∴CD＝＝，∵以C为圆心，r为半径作圆与斜边AB相切，∴r＝CD＝．故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了勾股定理．29．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过AB的中点D，若⊙O的半径为，AB＝4，则BC的长是_____．【答案】3．【分析】连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，利用重径定理可得OD⊥AB，则AD=BD=AB,再根据勾股定理可得OD=1，又由折叠的性质可得＝所在的圆为等园，则根据圆周角定理得到AC=CD，所以AC=DC，利再根据等腰三角形的性质可得AE=DE=1，通过证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，最后通过计算CF，得到CE=BE=3，于是得到BC=3．.【详解】解：连接OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于E，OF⊥CE于F，如图，∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，∴AD＝BD＝AB＝2，在Rt△OBD中，OD＝=＝1，∵将弧沿沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．∴弧AC和弧CD所在的圆为等圆，∴＝，∴AC＝DC，∴AE＝DE＝1，易得四边形ODEF为正方形，∴OF＝EF＝1，在Rt△OCF中，CF＝＝＝2，∴CE＝CF+EF＝2+1＝3，而BE＝BD+DE＝2+1＝3，∴BC＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了折叠的性质，理解折叠前后图形的形状和大小不变、仅仅位置发生变化是解答本题的关键.30．如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为，则_________．【答案】60°．【详解】∵OA⊥BC，BC=2，∴根据垂径定理得：BD=BC=1．在Rt△ABD中，sin∠A=．∴∠A=30°．∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°．∴∠AOB=60°．31．如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过点．（1）若该圆弧所在圆的圆心为，则的长为__________．（2）该圆弧的长为___________．【答案】

【分析】（1）利用网格特点，作BC和AB的垂直平分线．它们的交点为D点，然后写出D点坐标，然后利用勾股定理计算AD的长即可；（2）先利用勾股定理的逆定理证明△ACD为等腰直角三角形，∠ADC=90°，利用弧长公式得到．【详解】解：（1）如图，易知点的坐标为，则．（2）由（1）知，即的半径为，∵，∴，∴为直角三角形，的度数为90°．根据题意得，即该圆弧的长为．【点睛】本题主要考查圆，扇形等知识的综合应用，掌握确定圆心的方法，即确定出点D的坐标是解题的关键．32．如图，已知是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点，若是中点，，则______．【答案】30°【分析】先判定AC垂直平分OD，进而可判定△OAD是等边三角形，再由三线合一即可求出∠CAD的度数．【详解】∵是半圆的直径，∴∠ACB=90°．∵，∴∠AED=90°．∵是中点，∴AC垂直平分OD，∴AD=OA，∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠OAD=60°，∴∠CAD=30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，线段垂直平分线的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质是解答本题的关键．33．如图，在半径为2cm的扇形纸片AOB中，∠AOB=90°，将其折叠使点B落在点O处，折痕为DE，则图中阴影部分的面积为________cm2【答案】【分析】连接OD，根据折叠的性质得到OE=OB，∠DEO=90°，求得∠ODE=30°，根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可得到结论．【详解】解：连接OD，由题意得：OE=OB=OD=1，∠OED=90°，∴∠ODE=30°，∠DOE=60°，∵OD=2，∴DE=，∴阴影部分的面积S===．故答案为：．【点睛】本题考查了扇形面积和三角形面积的计算、翻折变换，正确的作出辅助线确定阴影部分的面积是利用和或差解决问题是解题的关键．34．若点是等腰的外心，且底边则的边上的高为____________________．【答案】或【分析】作，连接OA，根据三线合一和垂径定理知A、O、H在同一直线上，再分为圆心在三角形内部和外部讨论计算．【详解】解：（1）当圆心在三角形内部时，作，连接OA，根据三线合一和垂径定理知A、O、H在同一直线上，如图：∵∴∴∴（2）当圆心在三角形外部时，作，连接HA,根据三线合一和垂径定理知A、H、O在同一直线上，如图：∵∴∴∴故答案为：或【点睛】本题考查三角形的外接圆，判断A、H、O共线和特殊角的应用是解题关键．35．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以B为圆心BC为半径画弧交AD于点E，如果点F是弧EC的中点，联结FB，那么tan∠FBC的值为．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质；圆心角、弧、弦的关系；解直角三角形．【答案】【详解】试题分析:连接CE交BF于H，连接BE，根据矩形的性质求出AB=CD=3，AD=BC=5=BE，∠A=∠D=90°，根据勾股定理求出AE=4，求出DE=1，根据勾股定理求出CE，求出CH，解直角三角形求出即可．解：连接CE交BF于H，连接BE，∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=5，∴AB=CD=3，AD=BC=5=BE，∠A=∠D=90°，由勾股定理得：AE==4，DE=5﹣4=1，由勾股定理得：CE==，由垂径定理得：CH=EH=CE=，在Rt△BFC中，由勾股定理得：BH==，所以tan∠FBC===．故答案为．36．是的外心，且，则________；若是的内心，且，则________．【答案】

【分析】根据三角形外心及内心的性质解答即可.【详解】是的外心，且，如图所示：∵∠BOC=140°，∴∠A=∠BOC=×140°=70°．是的内心，且，如图所示：∵I是△ABC的内心，∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-2(∠IBC+∠ICB)=180°-2（180°-140°）=100°．故答案为70°；100°．【点睛】本题考查了三角形内外心的性质，熟知三角形内外心的性质是解题的关键.37．冬天的雪是我们的乐园，一次下雪后，小伙伴们堆了一大雪人，准备给雪人制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为____________cm2．（结果保留）【答案】270π．【详解】试题分析：S=πrl=9×30π=270π().考点：圆锥的侧面积计算.38．已知的直径cm，CD是的弦，，垂足为点E，，垂足为点F，且cm，则的长为________cm．【答案】6【分析】如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．证明AE=FK，利用勾股定理求出OH，再利用三角形的中位线定理求出BK即可解决问题．【详解】解：如图，作OH⊥CD于H，连接AH，延长AH交BF于K，连接OC．∵OH⊥CD，∴CH=DH=4（cm），∠CHO=90°，∴OH==3（cm），∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OH∥BF，∵OA=OB，∴EH=FH，∵∠AEH=∠KFH=90°，∠AHE=∠FHK，∴△AEH≌△KFH（AAS），∴AH=HK，AE=FK，∵AO=OB，∴OH=BK，∴BK=6（cm），∴BF-AE=BF-FK=BK=6（cm）．故答案为6．【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．39．如图，是直角的内切圆，切点为D、E、F，若，，则的面积为_____．【答案】30【分析】根据切线长定理得出，，，设，根据勾股定理得出的值，再利用三角形的面积公式求得的面积即可．【详解】解：是直角的内切圆，且，，，，，，设，则，，在中，，即，解得或（不符题意，舍去），，，，的面积为，故答案为：30．【点睛】本题考查了切线长定理、勾股定理、一元二次方程的应用，熟记切线长定理是解题的关键．40．如图，正六边形ABCDEF内接于半径为1cm的⊙O，则图中阴影部分的面积为_____cm2（结果保留π）．【答案】【分析】根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转化为扇形面积求解即可．【详解】解：如图，连接BO，FO，OA．由题意得，△OFA，△AOB都是等边三角形，∴∠FOA=∠OAB=60°，∴OF∥AB，∴△OAB的面积=△FAB的面积，∴图中阴影部分的面积等于扇形OAB的面积=＝cm2．故答案为【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型．三、解答题41．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AD为直径作⊙O，以C为圆心，CD长为半径作⊙C，两圆交于正方形内一点E，连CE并延长交AB于F．（1）求证：CF与⊙O相切；（2）求△BCF和直角梯形ADCF的周长之比．【答案】（1）证明见详解；（2）6：7．【分析】（1）连接OE、DE，根据等腰三角形性质推出∠ODE＝∠OED，∠CDE＝∠CED，推出∠OED＋∠CED＝90°，根据切线的判定推出即可；（2）过F作FM⊥DC于M，得出四边形ADMF是矩形，推出AD＝FM＝4，AF＝DM，求出AF＝EF，设AF＝EF＝x，DM＝x，在Rt△FMC中，由勾股定理得出方程，求出x的值，即可求出△BCF的周长和直角梯形ADCF的周长．【详解】（1）证明：连接OE，DE，∵OD＝OE，CE＝CD，∴∠ODE＝∠OED，∠CDE＝∠CED，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ODE＋∠CDE＝90°，∴∠OED＋∠CED＝90°，即OE⊥CF，∵OE为半径，∴CF与⊙O相切．（2）解：如图：过F作FM⊥DC于M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝BC＝AB＝CE＝4，∠FAD＝∠ADM＝∠FMD＝∠FMC＝90°，∴四边形ADMF是矩形，∴AD＝FM＝4，AF＝DM∵∠OAF＝90°，OA为半径，∴AF切⊙O于A，CF切⊙O于E，∴AF＝EF，设AF＝EF＝x，DM＝x，在Rt△FMC中，由勾股定理得：，，解得：x＝1，∴AF＝EF＝DM＝1，∴CF＝4＋1＝5，∴△BCF的周长是BC＋CF＋BF＝4＋5＋4−1＝12，直角梯形ADCF的周长是AD＋DC＋CF＋AF＝4＋4＋5＋1＝14，∴△BCF和直角梯形ADCF的周长之比是12：14＝6：7．【点睛】本题考查了正方形性质，切线的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．42．已知ABC内接于，的平分线交于点D，连接DB，DC．（1）如图①，当时，请直接写出线段AB，AC，AD之间满足的等量关系式：；（2）如图②，当时，试探究线段AB，AC，AD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（3）如图③，若BC=5，BD=4，求的值．【答案】（1）AB+AC=AD；（2）；（3）【分析】（1）在AD上截取AE=AB，连接BE，由条件可知△ABE和△BCD都是等边三角形，可证明△BED≌△BAC，可得DE=AC，则AB+AC=AD；（2）延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，证明△MBD≌△ACD，可得MD=AD，证得AB+AC=；（3）延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，证明△NBD≌△ACD，可得ND=AD，∠N=∠CAD，证△NAD∽△CBD，可得，可由AN=AB+AC，求出的值.【详解】解：（1）如图①在AD上截取AE=AB，连接BE，∵∠BAC=120°，∠BAC的平分线交⊙O于点D，∴∠DBC=∠DAC=60°，∠DCB=∠BAD=60°，∴△ABE和△BCD都是等边三角形，∴∠DBE=∠ABC，AB=BE，BC=BD，∴△BED≌△BAC（SAS），∴DE=AC，∴AD=AE+DE=AB+AC；故答案为AB+AC=AD．（2）AB+AC=．理由如下：如图②，延长AB至点M，使BM=AC，连接DM，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠MBD=∠ACD，∵∠BAD=∠CAD=45°，∴BD=CD，∴△MBD≌△ACD（SAS），∴MD=AD，∠M=∠CAD=45°，∴MD⊥AD．∴AM=，即AB+BM=，∴AB+AC=；（3）如图③，延长AB至点N，使BN=AC，连接DN，∵四边形ABDC内接于⊙O，∴∠NBD=∠ACD，∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，∴△NBD≌△ACD（SAS），∴ND=AD，∠N=∠CAD，∴∠N=∠NAD=∠DBC=∠DCB，∴△NAD∽△CBD，∴，∴，又AN=AB+BN=AB+AC，BC=5，BD=4，∴．【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线解决问题．43．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB边上且DE⊥BE．（1）判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若AD=6，AE=6，求BC的长．【答案】（1）直线AC与△DBE外接圆相切．（2）BC=4．【分析】（1）取BD的中点O，连接OE，证明∠OEB=∠CBE后可得OE⊥AC；（2）设OD=OE=OB=x，利用勾股定理求出x的值，再证明△AOE∽△ABC，利用线段比求解．【详解】（1）直线AC与△DBE外接圆相切．理由：∵DE⊥BE∴BD为△DBE外接圆的直径取BD的中点O（即△DBE外接圆的圆心），连接OE∴OE=OB∴∠OEB=∠OBE∵BE平分∠ABC∴∠OBE=∠CBE∴∠OEB=∠CBE∵∠CBE+∠CEB=90°∴∠OEB+∠CEB=90°，即OE⊥AC∴直线AC与△DBE外接圆相切；（2）设OD=OE=OB=x∵OE⊥AC∴（x+6）2﹣（6）2=x2∴x=3∴AB=AD+OD+OB=12∵OE⊥AC∴△AOE∽△ABC∴,即∴BC=4．【点睛】本题考查了切线的判定以及勾股定理的有关知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．44．如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O交△ABE边AE于点D，点P在BA的延长线上，PD交BE于点C．现有3个选项：①AB=BE，②PC⊥BE，③PD是⊙O的切线．(1)请从3个选项中选择两个作为条件，余下一个作为结论，得到一个真命题，并证明；你选择的两个条件是，结论是（只要填写序号）；(2)在（1）的条件下，连接OC，如果PA=2，sin∠ABC=，求OC的长．【答案】(1)条件是：①②，结论是：③；证明见解析(2)【分析】（1）连接OD，由垂直的定义，得出，根据等边对等角得到，继而证明，根据平行线的性质得出，即可得出结论；（2）先根据锐角三角函数写出，再根据等角的锐角三角函数值相等的得出，继而求出半径长和PD，BP，CP，CD长，再由勾股定理求解即可．（1）条件是：①②，结论是：③；证明如下：连接OD，PC⊥BE，，，，，，PD是⊙O的切线；（2）在中，sin∠ABC=，，由（1）得，，在中，，，，由勾股定理得，，，，由（1）得，，．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，锐角三角函数，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．45．如图，BD是⊙O的直径，过点D的切线交⊙O的弦BC的延长线于点E，弦AC∥DE交BD于点G（1）求证：BD平分弦AC；（2）若弦AD＝5㎝，AC＝8㎝，求⊙O的半径.【答案】（1）证明：∵DE是⊙O的切线，且BD是直径，∴BD⊥DE又∵AC∥DE

∴BD⊥AC∴BD平分AC（2）连结AO；∵AG=GC，AC=8cm，∴AG=4cm在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=3cm设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2有：r2=(r-3)2+42解得∴⊙O的半径为cm【详解】（1）由DE是⊙O的切线，且BD过圆心O，可得DB⊥DE，又由AC∥DE，则BD⊥AC，根据垂径定理可知DF垂直平分AC；（2）连接AO可先求得AG=4cm，在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=3cm；设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，在Rt△AOG中，由勾股定理可求得.46．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，其中AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线PA．（1）求证：∠PAC＝∠ABC；（2）若∠PAC＝30°，AC＝3，求劣弧AC的长．【答案】（1）详见解析；（2）π.【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，根据切线的性质可得∠BAP＝90°，由此即可求得答案；(2)连接OC，证明△AOC是等边三角形，继而根据弧长公式进行求解即可.【详解】(1)∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵PA是⊙O切线，∴OA⊥PA，∴∠BAP＝90°，∴∠PAC+∠BAC＝90°，∠BAC+∠B＝90°，∴∠PAC＝∠B．(2)连接OC，∵∠PAC＝30°，∴∠B＝∠PAC＝30°，∴∠AOC＝2∠B＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝3，∴的长＝＝π.【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理的推论，弧长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键.47．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的半圆分别交AC，BC边于点D，E，连结BD，（1）求证：；（2）当AB=10，BD=8，求CD和BE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）CD=4；BE=．【分析】（1）如图，连接DE、AE，由AB是直径可得∠ADB=∠AEB=90°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得BE=CE，根据直角三角形斜边中线的性质可得DE=BE=CE，根据圆心角、弧、弦的关系可得；（2）利用勾股定理可求出AD的长，进而可求出CD的长；利用勾股定理可求出BC的长，根据BE=CE即可得出BE的长．【详解】（1）∵AB为直径，∴∠ADB=∠AEB=90°，∵AB=AC，∴BE=CE，∵DE为Rt△CDB斜边中线，∴DE=BE，∴．（2）∵∠ADB=90°，AB=10，BD=8，∴AD==6，∵AB=AC，∴CD=AC-AD=4；∴BC==，∴BE=BC=．【点睛】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质及勾股定理，直径所对的圆周角等于90°（直角）；在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两组弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；熟练掌握相关性质及定理是解题关键．48．在复习菱形的判定方法时，某同学进行了画图探究，其作法和图形如下：①画线段AB；②分别以点A，B为圆心，大于AB长的一半为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN交AB于点O；③在直线MN上取一点C（不与点O重合），连接AC、BC；④过点A作平行于BC的直线AD，交直线MN于点D，连接BD．（1）根据以上作法，证明四边形ADBC是菱形；（2）该同学在图形上继续探究，他以点O为圆心作四边形ADBC的内切圆，构成如图所示的阴影部分，若AB＝2，∠BAD＝30°，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据作法可得AC=BC，证明△ADO≌△BCO，根据对角线垂直平分的四边形ADBC是菱形即可证明结论；（2）结合（1）四边形ADBC是菱形，根据AB=2，∠BAD=30°，先求出圆O的半径，进而可以求图中阴影部分的面积．【详解】解：（1）证明：根据作法可知：直线MN是AB的垂直平分线，∴AC=BC，OA=OB，MN⊥AB，∵AD∥BC，∴∠ADO=∠BCO，在△ADO和△BCO中，，∴△ADO≌△BCO（AAS），∴OD=OC，∵OA=OB，MN⊥AB，∴四边形ADBC是菱形；（2