2022年中考数学：图形的变化（一）

2022年中考数学专题：图形的变化(一)

1.如图，^OABC的顶点。(0,0),4(1,2)，点C在x轴的正半轴上，延长

84交y轴于点。.将^ODA绕点。顺时针旋转得到△,当点D

的对应点D,落在。4上时，的延长线恰好经过点C,则点C的坐

标为()

A.(2V3,0)B.(2V5,0)C.(2V3+1,0)D.(2遮+1,0)

2.下列几何体的主视图既是轴对称图形又是中心对称图形的是()

3.如图，直线，，机相交于点。.P为这两直线外一点，且OP=2.8.若

点P关于直线I,m的对称点分别是点Pi,P2,则尸】，P2之间的

距离可能是()

4.在平面直角坐标系xOy中，点M(-4,2)关于%轴对称的点的坐标是(

)

A.(-4,2)B.(4,2)C.(-4,-2)D.(4,-2)

5.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是()

A.正三角形B.正方形C.正六边形D.圆

6.从背面朝上的分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆的四张形状、大

小相同的卡片中，随机抽取一张，则所抽得的图形既是中心对称图形又是轴

对称图形的概率为（）

113

A.-B.-C.-D.1

424

7.下列垃圾分类标识图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

△

XD.

8.在平面直角坐标系中，将点4（-3,-2）向右平移5个单位长度得到点B,则

点B关于y轴对称点B'的坐标为（）

A.(2,2)B.(-2,2)C.(—2,—2)D.(2,-2)

9.如图.将菱形ABCD绕点A逆时针旋转4a得到菱形AB'C'D',NB=

邛.当AC平分乙B'AC'时，4a与“满足的数量关系是（）

3za+2“

A.4a=240B.24a=34夕C.+40=180。D.

=180°

10.如图，在AAOB中，AO=1,B0=4B=|.将AAOB绕点。逆时针方

向旋转90°,得到△A'OB',连接AA,.则线段AA'的长为()

B'B

33

A.1B.V2C.-D.-V2

11.已知点A为直线了=-2久上一点，过点4作4B〃x轴，交双曲线y=：于点

B.若点4与点B关于y轴对称，则点A的坐标为—.

12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0.3),点B的坐标为(4.0),

连接AB,若将AABO绕点B顺时针旋转90°,得到△A'BO',则点4的

13.如图，将三角形纸片/回折叠，使点B、。都与点力重合，折痕分别为DE、

FG.已知乙4cB=15。，AE=EF,DE=遮，则8C的长为.

14.如图，冈中，区，回，将区1绕点□逆时针旋转□得到□,连

接区，则国的值是,

BA

15.在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶

点都在正方形边上.小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一

个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角形.则这两个正三角形的边

长分别是—.

16.已知菱形4BCD的面积为2次，点E是一边BC上的中点，点P是对角线BD

上的动点.连接AE,若4E平分乙BAC,则线段PE与PC的和的最小值

为,最大值为.

17.如图，在RPABC中，^BAC=90°，4B=2应，4C=6,点E在线段

4c上，且4E=1,D是线段BC上的一点，连接DE，把四边形ABDE

沿直线DE翻折，得到四边形FGDE,当点G恰好落在线段AC上时，

AF=.

18.如图，正方形纸片ABCD的边长为12,点F是力。上一点，将ACDF沿

CF折叠，点D落在点G处，连接DG并延长交AB于点E.若AE=5,

则GE的长为.

19.如图，在平面直角坐标系中，点。的坐标为(-1,0),点4的坐标为(-3,3),

将点4绕点C顺时针旋转90。得到点B,则点B的坐标为

C*<5

20.如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD>AB）,使AB落在AD上，AE为折

痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使

点B落在AE上的点G处，连接DE,若DE=EF,CE=2,则AD的

长为—.

21.综合与实践

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在^ABCD中，

BELAD,垂足为E,F为CD的中点，连接EF,BF,试猜想EF与

BF的数量关系，并加以证明.

图①图②图③

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将SABCD沿着BF（F为CD的

中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C-,连接DC并延长交

AB于点G,请判断AG与BG的数量关系，并加以证明.

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将SABCD沿过点B的直线折叠，如

图③，点4的对应点为A',使A'B1CD于点H,折痕交AD于点M,

连接A'M，交CD于点N.该小组提出一个问题：若此^ABCD的面积为

20,边长48=5,BC=2V5，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积.请

你思考此问题，直接写出结果.

22.如图，在平行四边形4BCD中，AB=3,点E为线段AB的三等分点（靠近

点4），点尸为线段CD的三等分点（靠近点C）,且CE1AB.将4BCE沿CE

对折，BC边与4。边交于点G,且DC=DG.

（1）证明：四边形AEC尸为矩形；

（2）求四边形4ECG的面积.

23.x轴交于A、B两点，与y轴交于

点C,直线y=-|x+2B,C两点，连接AC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求证：AAOC-AACB；

（3）点”（3,2）是抛物线上的一点，点D为抛物线上位于直线BC上方的

一点，过点D作DElx轴交直线BC于点E,点、P为抛物线对称轴上

一动点，当线段DE的长度最大时，求PO+PM的最小值.

24.在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，若身旁没有量角器或三角

尺，又需要作60。，30。，15。等大小的角，可以采用如下方法：

操作感知：

第一步：对折矩形纸片ABCD，使4。与BC重合，得到折痕EF，把纸

片展开(如图1).

第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B,得到

折痕BM,同时得到线段BN(如图2).

猜想论证：

(1)若延长MN交BC于点P,如图3所示，试判定ABMP的形状，并

证明你的结论.

拓展探究：

(2)在图3中，若4B=a,BC=b,当a,b满足什么关系时，才能

在矩形纸片ABCD中剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP?

图1图2图3

25.实践与探究

操作一：如图①，已知正方形纸片ABCD,将正方形纸片沿过点A的直线

折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M,折痕为

AE,再将纸片沿过点4的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF,

则^EAF=度.

操作二：如图②，将正方形纸片沿EF继续折叠，点C的对应点为点N.我

们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同.当点E在8C边的

某一位置时，点N恰好落在折痕AE上，则乙4EF=度.

在图②中，运用以上操作所得结论，解答下列问题：

(1)设AM与NF的交点为点P.求证：AANP三AFNE；

(2)若=,则线段AP的长为

D

尸

BEC

图①图②

26.学习了图形的旋转之后,小明知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一定

的角度a,能得到一个新的点P'经过进一步探究，小明发现，当上述点

P在某函数图象上运动时，点P'也随之运动，并且点P'的运动轨迹能形成

一个新的图形.

试根据下列各题中所给的定点A的坐标、角度a的大小来解决相关问题.

【初步感知】

如图1,设力(LI),a=90。，点P是一次函数y=kx+b图象上的动点，

已知该一次函数的图象经过点吕(-1,1).

(1)点Pi旋转后,得到的点的坐标为_(1,3)_；

(2)若点P'的运动轨迹经过点P/(2,l),求原一次函数的表达式.

【深入感悟】

如图2,设4(0,0),a=45。，点P是反比例函数y=-^(x<0)的图象上

的动点，过点P作二、四象限角平分线的垂线，垂足为M,求AOMP'的

面积.

【灵活运用】

如图3,设>1(1,-V3)，a=60。，点P是二次函数y=|X2+2V3X+7图

象上的动点，已知点B(2.0)、C(3,0)，试探究4BCP的面积是否有最小值?

若有，求出该最小值；若没有，请说明理由.

27.数学课上，有这样一道探究题.

如图，已知AABC中，AB=AC=m,BC=n,/.BAC=a(00<a<180°),

点P为平面内不与点A、C重合的任意一点，连接CP,将线段CP绕

点P顺时针旋转a,得线段PD,连接CD、2P点E、F分别为BC、

CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为。，探究器的值

和B的度数与小、n、a的关系.

请你参与学习小组的探究过程，并完成以下任务：

(1)填空：

【问题发现】

小明研究了a=60°时，如图1,求出了胃的值和0的度数分别为

小红研究了a=90。时，如图2,求出了胃的值和P的度数分别为

【类比探究】

他们又共同研究了a=120。时，如图3,也求出了胃的值和B的度数；

【归纳总结】

最后他们终于共同探究得出规律：*=—(用含m、n的式子表示)；

/?=—(用含a的式子表示).

(2)求出a=120。时M的值和B的度数.

cc

28.如图，在RtdABC中，〃CB=90。，NA=60。，点。为AB的中点，连

接CD,将线段CD绕点D顺时针旋转a(60°<a<120°)得到线段ED,

且ED交线段BC于点G,“DE的平分线DM交BC于点H.

(1)如图1,若a=90。，则线段ED与BD的数量关系是—，*=—

(2)如图2,在(1)的条件下，过点C作CF//DE交DM于点F,连接

EF,BE.

①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；

②求证：詈=手；

FH3

(3)如图3,若AC=2,tan(a-60°)=m,过点C作CF//DE交DM于

点F,连接EF,BE,请直接写出器的值(用含m的式子表示).

rn

29.如图，边长为1的正方形力BCD中，点E为AD的中点.连接BE,将4ABE沿

BE折叠得到AFBE,BF交ZC于点G,求CG的长.

DC

30.如图，点E为正方形ABCD外一点，乙4EB=90。，将Rt4ABE绕A点逆

时针方向旋转90。得到AADF,DF的延长线交BE于H点.

(1)试判定四边形AFHE的形状，并说明理由；

(2)已知BH=7,BC=13,求OH的长.

H

E

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参考答案

1.B

[※解析※]

延长4。交y轴于点E,延长D'A',由题意的延长线经过点C,如图,

:.AD=1,0D=2,

・•・0A=y/AD2+0D2=V12+22=V5.

由题意：△OA'D'^AOAD,

.-.A'D'=AD=1,OA'=0A=y[5,OD'=0D=2,^A'D'O=^ADO=90°,

/,A'OD'=乙DOD'.

则OD'LA'E,。4平分AA'OE,

A'OE为等腰三角形.

•••OE=OA'=V5,ED'=A'D'=1.

vEO1.OC,OD'1EC,

AOED'ACEO.

EDrEO

**ODi-OC*

•—1——V5

-2—OC'

oc=2V5.

C(2>/5,0).

2.B

[※解析※]

先看出每个几何体的主视图，再根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行

判断即可求解.

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解：力、主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题

忌；

民主视图是是矩形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；

a主视图是等腰梯形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；

D,主视图是等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；

3.B

[※解析※]

根据对称的性质得OPi=OP=2.8,OP=0P2=2.8,再由三角形任意两边之

和大于第三边，即可得出结果.

连接OP。0P2,P1P2，

•••点P关于直线I,m的对称点分别是点Pi，P2,

0Pt=OP=2.8,OP=0P2=2.8,

OP】+OP2>P1P2，

0<P1P2V5.6,

4.C

[※解析※]

根据关于X轴的对称点的坐标特点即可得出答案.

解：点M(-4,2)关于x轴对称的点的坐标是(-4,-2).

5.A

[※解析※]

结合轴对称图形和中心对称图形的概念逐项进行判断即可解决问题.

解：A.正三角形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意;

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B.正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；

C.正六边形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意;

D.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意.

6.B

[※解析※]

先判断四张卡片中有几个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，易得概率.

解：1•四张完全相同的卡片上分别画有等腰三角形、平行四边形、矩形、圆，

其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有矩形、圆，

•••现从中任意抽取一张，卡片上所画的图形既是轴对称图形又是中心对称图形

的概率为^=1,

7.C

[※解析※]

根据中心对称图形与轴对称图形的概念逐项进行判断即可.

解：人不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意;

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；

8.C

[※解析※]

根据点的平移规律左减右加可得点6的坐标，然后再根据关于6轴的对称点

的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案.

解：点久-3,-2)向右平移5个单位长度得到的B的坐标为(-3+5,-2),即

(2,-2),

则点B关于y轴的对称点的坐标是：(-2,-2).

9.C

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[※解析※]

根据菱形和旋转的性质可证：/-BAB'=Z.B'AC=LCAC=^DAC=za,再根据

AD//BC,即可得出za与4?之间的数量关系.

解:••・"平分4B'AC',

1•.Z.B'AC=/.C'AC,

•••菱形ABCD绕点4逆时针旋转“得到菱形AB'C'D',

・•・(BAB'=Z.CAC1=z.a,

•••4C平分上BAD,

・•・Z.BAC=Z.DAC,

:.乙BAB'=ZBMC=/-CAC=^DACf=za,

-AD//BC,

・•・44a+4?=180°,

10.8

[※解析※]

根据旋转性质判定4A04为等腰直角三角形，再用勾股定理求出"'的长.

解：由旋转性质可知，04=04=1,"。&=90。，

则4404为等腰直角三角形，

AA'=yj0A2+0A'2=V1TT=Ti­

ll.(V2,-2鱼)或(-V2,2鱼)

[※解析※]

根据点4为直线y=-2x上，可设A(a,-2a),由点4与点B关于y轴对称,

于是可得B(-a,-2a),再根据反比例函数图象上点的坐标关系得出答案.

解：因为点4为直线y=-2x上，因此可设4(a,-2a),

则点A关于y轴对称的点B(-a,-2a),

由点B在反比例函数y=：的图象上可得

2a2—4,

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解得a=±V2

所以A(\[2,-2夜)或(-&，2夜),

12.(7,4)

[※解析※]

作AC1x轴于点C,根据旋转的性质可得BC=A'O'=0A=3,A'C=O'B=

OB=4,进而求解.

解：作AC1x轴于点C,

由旋转可得N。'=90。，OBlx轴，

••・四边形0,8Cd为矩形，

BC=ArOr=OA=3,A'C=O'B=OB=4,

•••点4坐标为(7,4).

13.4+2V3

[※解析※]

根据折叠的性质得出BE=AE,AF=FC,NF4C="=15。，得出乙4FE=30。，

由等腰三角形的性质得出^EAF=^AFE=30°,证明△/应'是等边三角形，得

出NB4E=60。，求出AE=BE=2,证出^BAF=90°,用勾股定理求出"；即

CF,可得8C.

解：•••把三角形纸片折叠，使点6、点C都与点/重合，折痕分别为〃£,FG,

BE=AE,AF=FC,4尸4C=/C=15°,

.♦.乙4FE=30。，又AE=EF,

：■^EAF=^AFE=30°,

■■AAEB=60°,

，△?!庞是等边三角形，z.AED=^BED=3G°,

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・・・Z.BAE=60°,

・・•DE=V3,

：.AE=BE=AB=DE

cos30°

BF=BE+E尸=4,^BAF=60°+30°=90°,

FC=AF=y/BF2-AB2=2痘,

BC^BF+FC=4+2\[3,

14.0

[※解析※]

连接S,由旋转的性质可得叵],回，得到S为等边三角形，由□,

回，得出区垂直平分□，于是求出区，区，可得区，即可求解.

解：如图，连接区，设区与国交于点S，

国将国绕点S逆时针旋转□得到□，

□,S

a为等边三角形，

国，□；

凶，回，

s，

□,国，

□垂直平分□,

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区],国，

S

□，

故答案为s

本题考查了图形的变换S旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判

定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键.

15.2V6-2V2,2

16.V3;2+V7

[※解析※]

根据点E是一边BC上的中点及4E平分NBAC判定A4BC是等边三角形，根

据菱形ABCD的面积求出菱形的边长；求PE+PC的最小值，点E和点C是

定点，点P是线段8。上动点，由轴对称最值问题，可求出最小值；求和的

最大值，观察图形可知，当PE和PC的长度最大时，和最大，即点P和点D

重合时，PE+PC的值最大.

解：根据图形可画出图形，如图所示，

过点B作BF"AC交AE的延长线于点F,

:.Z.F=Z-CAE,Z-EBF=Z-ACE,

•・•点E是BC的中点,

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•.AACE^AFBE^AAS^

；・BF=AC,

・・・4E平分4BAC,

・•・Z.BAE=Z.CAE,

-Z.BAE=zF,

:.AB=BF=AC,

在菱形4BCD中，AB=BC,

.-.AB=BC=AC,即ZL4BC是等边三角形；

・•・Z.ABC=60°,

设AB=a,则BD=Wa,

二菱形4BCD的面积=\AC-BD=2V3,即J-a-V3a=2V3,

•••a=2,即AB=BC=CD=2；

•••四边形48CD是菱形，

二点A和点C关于BD对称，

：.PE+PC=AP+EP,

当点4P,E三点共线时，AP+EP的和最小，此时4E=K;

点P和点。重合时，PE+PC的值最大，此时PC=DC=2,

过点。作DGLBC交BC的延长线于点G,连接DE,

­•AB//CD,AABC=60°,

乙DCG=60°,

•••CG=1,DG=V3,

：•EG=2,

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22=心+

DE=y/EG+DG(V3)=-y/7，

此时PE+PC=2+>/7;

即线段PE与PC的和的最小值为V3;最大值为2+近.

[※解析※]

由折叠的性质可得4B=FG=2A/I,AE=EF=1,4BZC="FG=90。，在

RPEFG中，由勾股定理可求EG=3,由锐角三角函数可求EH,的长，在

Rt/AHF中，由勾股定理可求4凡

解：如图，过点尸作FH：C于H,

B

、、、。

,••把四边形4BDE沿直线CE翻折，得到四边形FGDE,

AB-FG-2A/2,AE=EF=1,Z.BAC=Z.EFG=90°,

EG=y/EF2+FG2=VTT8=3,

HF2V2

4

・・・4H=4E+EH=M,

・•・AF=7AH2+HF2=

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[※解析※]

用“4S4”判定ZL4DE三Z1DCF,可得力E=DF,根据锐角三角函数可求。。的

长，即可求解.

解：设CF与DE交于点0,

・••将4CDF沿CF折叠，点。落在点G处,

・•・G。=DO,CF1DG,

・・・四边形/BCD是正方形，

・•・AD=CD,Z,A=Z.ADC=90°=ZFOD,

・•・Z,CFD+乙FCD=90°=乙CFD+Z-ADE,

:.Z-ADE=Z-FCD,

在ZL4DE和4DCF中，

2LA=Z.ADC

AD=CD,

£.ADE=乙DCF

^AADE=ADCF(ASA)f

AE=DF=S9

・・・AE=5,AD=12,

・•・DE=yjAD2^rAE2=72s+144=13,

,ACLADD。

vcosZ-ADE=—=—,

DEDF

12_DO

••13-5,

DO=-=GO,

13

•••ELGC=13r—2Cx—60=一49,

1313

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19.(2,2)

[※解析※]

过点4作AElx轴于E,过点B作BFlx轴于F.根据全等三角形的判定

和性质解决问题即可.

解：如图，过点4作AElx轴于E,过点B作BFlx轴于F.

•:4AEC=4ACB=4CFB=90°,

Z.ACE+LBCF=90°,ABCF+Z.B=90°,

・•・Z,ACE=乙B,

在ZL4EC和4CFB中，

Z.AEC=乙CFB

Z-ACE=Z-B,

.AC=CB

•••ZL4EC会/CFB(4/S),

AAE=CF,EC=BF,

・・・做一3,3),C(-tO),

・•・AE=CF=3,OC=1,EC=BF=2,

：,OF=CF-OC=2,

・•・8(2,2),

20.4+2V2

[※解析※]

判定Rt4EBF-RtAEB，D(HL),推出BF=DB',再证明DB'=EC=BF=2,

想办法求出AB',可得结论.

解：由翻折的性质可知，EB=EB',乙B=KAB'E=4EB'D=90。,

在Rt」EBF和小EB'D中，

(EB=EB'

、EF=ED'

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RtdEBF-EB'D(HL),

：.BF=DB',

•••四边形ABCD是矩形，

ZC=乙CDB'=乙EB'D=90°,

二四边形ECDB堤矩形，

DB'=EC=2,

:.BF=EC=2,

由翻折的性质可知，BF=FG=2,Z.FAG=45°,/.EGF=zfi=^AGF=90°,

・•・AG=FG=2,

•••AF=2V2.

AB=AB'=2+2^2,

AD=AB'+DB'=4+2VL

21.(1)EF=BF；证明见解析；

(2)AG=BG；证明见解析；

(3)y

[※解析※]

(1)结论：EF=BF.如图1中，如图，作FH〃AD交BE于H.证明FH垂

直平分线段BE即可.

(2)结论：4G=BG.证明四边形BFDG是平行四边形，可得结论.

(3)如图③中，过点。作D/14B于J,过点M作MT14B于T.根据

S四边形BHNM—S4A，BM~SANHA，,求解即可.

解：(1)结论：EF=BF.

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理由：如图①中，作FH“AD交BE于H.

图①

・・•四边形4BCD是平行四边形,

•••AD//BC,

vFH//AD,

・•・DE//FH//CB,

・・・DF=CF,

EHDFa

・•・-=—=1,

HBFC

•••EH=HB,

.••BE14。，FH//AD,

FH1EB,

EF=BF.

(2)结论：AG=BG.

图②

21BFC'是由4BFC翻折得到,

•••BF1CC',FC=FC,

vDF=FC,

1•.DF=FC=FC,

：.乙CC'D=90°,

ACC'1GD,

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

・・・DG〃BF,

-DF//BG,

・・.四边形DF8G是平行四边形，

・•・DF=BG,

■：AB=CD,DF=^CD,

BG=^AB,

AG=GB.

(3)如图③中，过点。作D/14B于J,过点M作MT_LAB于T.

图③

,平行四边形ABCD=AB.DI，

••-0/=7=4,

•.•四边形4BCC是平行四边形，

AD^BC=2V5,AB"CD,

：.AJ=^AD2-DJ2=J(2有/一42=2,

■■■A'BLAB,DJ1AB,

/.DJB=々BH=4DHB=90°,

••・四边形O/BH是矩形，

BH=DJ=4,

:.A'H=A'B-BH=5-4=1,

vAtan/1A=——DJ=—MT=2Q,

A]AT'

设AT=x,贝ljMT=2X9

・・•乙ABM=Z-MBA1=45°,

・•・MT=TB=2x,

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**•3%—5,

・•・MT=y,

・

•,tan/1=tan4=ArH—=2,

・•・NH=2,

c_c_1-10_25

J^AABM==2X^XV=V

S四边形BHNM=SAA，BM-SAN“4=y_2X^X2=

22.(1)证明见解析；

(2)这

4

[※解析※]

(1)由已知可得4E="B,CF=\CD,能得到4E=CF,AE//CF,再由

CELAB,即可证明四边形AECF为矩形；

证明：rABCD是平行四边形，

•••AB//CD,AB=CD,

•・•点E为线段AB的三等分点(靠近点4),

：.AE=-AB,

3

•・•点尸为线段CD的三等分点(靠近点C),

CF=^CD,

■■■AE=CF,

又•1-AE//CF,

二四边形AEC尸为平行四边形，

•・•CE1ABf

四边形AECF为矩形；

(2)由折叠可知B'E=BE=2,求得AB'=1,先证明=AB'GA,能得到

AB'=AG=1,再由AB'"CD,得到薯=黑即岩7=j得到B'G=1,能得

CGDG4-B'G3

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到4AGB，是等边三角形，所求四边形AECG的面积等于直角三角形与等

边三角形4G反的和.

•：AB=3,

：.AE=CF=1,BE=2,

•••将21BCE沿CE对折得到AECB',

B'E=BE=2,

•••AB'=1,

DC=DG=3,

•••/.DGC=乙DCG,

vBB'//CD,

Z-DCG=乙B',

4B'=4B'GA,

•••AB'=AG=1,

DA=BC=B'C=4,

■：AB'//CD,

:.B'G—_—AG,

CGDG

.B'G_1

••4-B'G-3，

:.B'G=1,

.•"AG才是等边三角形，

在Rt^BCE中，BC=4,BE=2,

・•・EC=2A/3,

cc_1?Dpz1[V3_7V3

"'四边形AECG=S_XEB，C_3A4B，G=2XZX_2X1XT=

23.(1)y=--x2+-x+2；

(2)见解析；

(3)最小值为V5.

[※解析※]

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(1)根据条件求出B、C两点坐标，把B(4,0),C(0,2)分别代入y=-ix2+

bx+c,可得解析式.

(2)抛物线y=W/+|x+2与x轴交于点A,即y=0,可得点4的横坐

标，判定AAOC-AACB.

(3)设点D的坐标为(x,-1x2+|x+2),则点E的坐标为(x,-|x+2),由

坐标得DE=-i%2+2x,当x=2时，线段DE的长度最大，此时，点。的坐

标为(2,3),即点C和点M关于对称轴对称，连接CD交对称轴于点P,此时

PD+PM最小，连接CM交直线DE于点F,则^DFC=90°,由勾股定理得

CZ)=V5,根据PD+PM=PC+PD=CD,即可求解.

解：⑴•••直线、=-六+2过B、C两点，

当％=0时，代入y=-：x+2,得y=2,即C(0,2),

当y=0时，代入y=-^x+2,得x=4,即B(4,0),

把B(4,0),C(0,2)分别代入y=~lx2+bx+c,

彳导C-8+4b+c=0

Ic=2

解得\b=i

(c=2

・•・抛物线的解析式为y=-：/+|%+2；

(2),•・抛物线y=-*+|x+2与％轴交于点A9

・•・--X2+-x+2=0,

22

解得x1=-1,x2=4,

・,•点4的坐标为(-1,0),

・••AO=1,AB=5,

在Rt〃AOC中，4。=1,OC=2,

:.AC=V5,

i4£__J__Vs

•••就=忑=g'

..AC_痘

--=~~~9

AB5

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・•・一AO=—AC,

ACAB

又v/-OAC=Z.CAB,

・・・ZMOC〜/AC8；

(3)设点。的坐标为(%-*+|%+2),

则点E的坐标为(%,-7+2),

131

•*-DE=--x29+-%+2-(--%+2)

1731

=—7-X2+-X4-24--X—2

222

=—1%2+2%,

•・•一1<0,

二当x=2时，线段DE的长度最大，

此时，点。的坐标为(2,3),

"(0,2),"(3,2),

•・•点C和点M关于对称轴对称，

连接CD交对称轴于点P,此时PO+PM最小，

连接C"交直线DE于点F,则4%=90。，点尸的坐标为(2,2),

CD=y/CF2+DF2=V5,

■:PD+PM=PC+PD=CD,

・•.PD+PM的最小值为V5.

24.(1)见解析;

⑵V。

[※解析※]

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(1)由折叠的性质可得AE=BE,EFLAB,AB=BN,Z.ABM=乙NBM,

£.BAM=Z.BNM=90°,可证ZL4BN是等边三角形，可求/.ABM=Z.NBM=30°=

乙PBN,可得Z.BMN=/.BPM=60°,可得结论;

(2)由锐角三角函数可求BP=BM=竽a,由题意可得BC》BP,即可求解.

解：(1)48Mp是等边三角形,

理由如下：如图3,连接AN,

由折叠的性质可得4E=BE,EFLAB,AB=BN,乙ABM=cNBM,Z.BAM=

乙BNM=90°,

■■AN=BN,

：•AN=BN=AB,

.•"ABM是等边三角形,

乙ABN=60°,

・•・LABM=(NBM=30°=乙PBN,

・・・(BMN=乙BPM=60°,

.•"BMP是等边三角形;

(2)-AB=a,Z,ABM=30°,

..AB2V3

・•・BnM=------=—a，

cos3003

「4BMP是等边三角形,

・•在矩形纸片ABCD中剪出符合(1)中结论的三角形纸片BMP,

•二BC>BP,

b》—CL•

3

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25.操作一:45；

操作二：60；

(1)见解析；

(2)2V3-2

[※解析※]

操作一：由正方形的性质得乙BAD=90°,再由折叠的性质得：乙BAE=^MAE,

ADAF=AMAF,即可求解；

操作二：证44而是等腰直角三角形，得LAFN=45°,则AAFD=^AFM=

450+Z.NFE,求出£.NFE=LCFE=30°,即可求解；

(1)由等腰直角三角形的性质得AN=FN,再证4M4P=4NFE=30。，由4S2

即可得出结论；

(2)由全等三角形的性质得AP=FE,PN=EN,再证乙4EB=60。，然后

由含30。角的直角三角形的性质得BE=^4B=1,AE=2BE=2,AN=

痘PN=Ra,AP=2PN=2a,由4V+EN=4E得出方程，求解即可.

操作一：

解：••,四边形ABCD是正方形，

NC=4BAD=90°,

由折叠的性质得：^BAE=^MAE,^DAF=AMAF,

・"AE+4MAF=乙BAE+^DAF=^BAD=45。，

即LEAF=45°,

操作二：

解：；•四边形4BCD是正方形，

1•-4B="=90°,

由折叠的性质得：4NFE=LCFE,/.ENF=zC=90°,4AFD=4AFM,

：.4ANF=180°-90°=90°,

由操作一得：^EAF=45°,

・MAN尸是等腰直角三角形，

•••Z.AFN=45°,

4AFD="FM=45°4-4NFE,

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・•・2(45°+乙NFE)+Z,CFE=180°,

:.乙NFE=乙CFE=30°,

Zi4£,F=90°-30°=60°,

(1)证明：,・Y4VF是等腰直角三角形，

・・・AN=FN,

・•・Z.AMF=Z.ANF=90°,乙APN=乙FPM,

:.(NAP=乙NFE=30°,

在/L4NP和4FNE中，

乙ANP=乙FNE=90°

AN=FN,

乙NAP=乙NFE

・・・ZL4NP三"NE(4S4)；

(2)由(1)得：AANPMAFNE,

•.AP=FE,PN=EN,

・••乙NFE=Z.CFE=30°,乙ENF=Z.C=90°,

・・・乙NEF=Z.CEF=60°,

・•・Z,AEB=60°,

・・•乙B=90°,

・•・Z.BAE=30°,

•••BE=—AB=1,

3

・•・AE=2BE=2,

设PN=EN=a,

・・•乙ANP=90°,乙NAP=30°,

・・.AN=V3P/V=V3a,AP=2PN=2a,

・・・AN+EN=AE,

・•・V3a+Q=2,

解得：a=V3—1,

・•・AP=2a=2V3—2,

26.(1)(1,3)；

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(2)y=|x+|；

(3)i；

(4)存在最小值，?

O

[※解析※]

【初步感知】(1)根据旋转的旋转即可得出答案；

(2)运用待定系数法即可求出答案；

【深入感悟】设双曲线与二、四象限平分线交于N点，通过联立方程组求出

点N的坐标，再分两种情况：①当工<-1时，作PQ_Lx轴于Q,证明

APQA=△P'M4(44S),再运用三角形面积公式即可求出答案；②当-l<x<0

时，作PH_Ly轴于点H,同理可得到答案；

【灵活运用】连接AB,AC,将B,C绕点力逆时针旋转60。得B',C,

作AHlx轴于点H,证明△CAO=ACAB{SAS},根据待定系数法求出OC'的

函数表达式为：y=V5x,设过P且与平行的直线I解析式为y=V5%+b,

由于SABCP，=S«B，c，p，当直线，与抛物线相切时取最小值，再根据一元二次方

程根的判别式求解即可.

解：【初步感知】

(1)如图1,4(1,1),

二P1A//X轴，PiA=2,

由旋转可得：P2〃y轴，Pi'A=2,

•••Pi'(l,3)；

故答案为：(L3);

(2)•••P2'(2.1),

由题意得02(1,2),

-PiC-l(l),P2Q2)在原一次函数图象上,

二设原一次函数解析式为y="b,

则「片厂;

I/c+b=2

(k=-

解得：\=1,

参考答案由系统自动生成，请仔细校对后酌情使用

・•.原一次函数解析式为y="+|；

【深入感悟】

设双曲线与二、四象限平分线交于N点，则:

(y=f

&=一久%<o)，

解得：］。盘1，

•••N(-l,l),

①当x<-1时，

作PQ1x轴于Q,

v/.QAM=Z.POP'=45°,

•••"4Q=乙P'AN,

1•,PM1AM,

•••Z-P'MA=Z.PQA=90°,

.♦.在“(?4和4中，

APQA=4P'MA

乙PAQ=LP'AM,

AP=AP'

•••APQA=△P'MA{AAS},

.C__闿_1

*,