高考数学一轮复习 第四章 解三角形讲义-人教版高三数学试题

第四章解三角形命题探究(1)因为cosB=45,0<B<π,所以sinB=1-cos2由正弦定理ACsinB=ABsinC,得AB=AC·(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cosB+π4=-cosBcosπ又cosB=45,sinB=35,故cosA=-45×22+35因为0<A<π,所以sinA=1-cos因此,cosA-π6=cosAcosπ6+sinAsinπ6=-210×32考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度201320142015201620171.正弦、余弦定理1.在三角形中求边或角2.判断三角形的形状B14题5分15题14分填空题解答题★★★2.解三角形及其应用1.求解实际问题中的边、角2.解三角形与三角函数的综合应用B18题16分18题16分18题16分填空题解答题★★★分析解读江苏高考对本部分的内容是每年必考,所以这部分内容是高考热点,试题类型主要是解答题,偶考填空题.(1)考小题,重在能力:主要和其他知识相综合,体现知识的交汇性,一般和平面向量、不等式、函数等知识相结合,对能力要求较高.(2)考大题,重在本质:和三角函数相关知识相融合,考查正、余弦定理与三角变换的熟练运用.(3)考应用,融入三角形之中:以实际问题为背景,通过建立数学模型解决问题,主要考查运用三角公式进行恒等变换的能力.五年高考考点一正弦、余弦定理1.(2016课标全国Ⅰ改编,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=5,c=2,cosA=23,则b=答案32.(2016山东改编,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA).则A=.

答案π3.(2016天津理改编,3,5分)在△ABC中,若AB=13,BC=3,∠C=120°,则AC=.

答案14.(2016北京,13,5分)在△ABC中,∠A=2π3,a=3c,则bc答案15.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则sin2AsinC答案16.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为315,b-c=2,cosA=-14,则a的值为答案87.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=2,A的角平分线AD=3,则AC=.

答案68.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为103,且AB=5,AC=8,则BC等于.

答案79.(2014江苏,14,5分)若△ABC的内角满足sinA+2sinB=2sinC,则cosC的最小值是.

答案610.(2016四川,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且cosAa+cosB(1)证明:sinAsinB=sinC;(2)若b2+c2-a2=65解析(1)证明:根据正弦定理,可设asinA=bsin则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入cosAa+cosBcosAksinA+sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,得sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.(2)由已知,b2+c2-a2=65根据余弦定理的推论,有cosA=b2+c所以sinA=1-cos由(1),sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以45sinB=45cosB+故tanB=sinB教师用书专用(11—18)11.(2017课标全国Ⅱ文,16,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.

答案60°12.(2017课标全国Ⅰ文改编,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=2,则C=.

答案π13.(2017山东理改编,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是.

①a=2b;②b=2a;③A=2B;④B=2A.答案①14.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=14a,2sinB=3sinC,则cosA的值为答案-115.(2014课标Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,则△ABC面积的最大值为.

答案316.(2013浙江理,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=13,则sin∠BAC=答案617.(2014湖南,18,12分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=-714,sin∠CBA=21解析(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC2+AD(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD.因为cos∠CAD=277,cos∠BAD=-所以sin∠CAD=1-cos2∠sin∠BAD=1-cos2∠于是sinα=sin(∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD=32114×277--7在△ABC中,由正弦定理,得BCsinα=故BC=AC·sinα18.(2014辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知BA·BC=2,cosB=13(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由BA·BC=2得c·acosB=2,又cosB=13由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解ac=6因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sinB=1-cos2B由正弦定理,得sinC=cbsinB=23×22因为a=b>c,所以C为锐角.因此cosC=1-sin2C于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=13×79+223×考点二解三角形及其应用1.(2017浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连结CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.

答案152;2.(2016课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=45,cosC=513,a=1,则b=答案213.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.

答案10064.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为107cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=107,AM=40,所以MC=402-(记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=P1答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=62-142=24,从而GG1=设∠EGG1=α,∠ENG=β,则sinα=sinπ2+∠KGG1因为π2<α<π,所以cosα=-3在△ENG中,由正弦定理可得40sinα=14sin因为0<β<π2,所以cosβ=24于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=45×2425+-35×记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,交EG的延长线于Q2,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=P2答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)5.(2014江苏,18,16分)如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tan∠BCO=43(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?解析解法一:(1)如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60),C(170,0),直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-43因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率kAB=34设点B的坐标为(a,b),则kBC=b-0a-170=-43,k解得a=80,b=120.所以BC=(170因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M的半径为rm,OM=dm(0≤d≤60).由条件知,直线BC的方程为y=-43由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,即r=|3d-因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以r-d解得10≤d≤35.故当d=10时,r=680-所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图,延长OA,CB交于点F.因为tan∠FCO=43所以sin∠FCO=45,cos∠FCO=3因为OA=60m,OC=170m,所以OF=OCtan∠FCO=6803m,CF=OCcos∠FCO=850因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO=45又因为AB⊥BC,所以BF=AFcos∠AFB=4003m,从而BC=CF-BF=150m因此新桥BC的长是150m.(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连结MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半径,设MD=rm,OM=dm(0≤d≤60).因为OA⊥OC,所以sin∠CFO=cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO=MDMF=MDOF-OM=r680因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m,所以r-d解得10≤d≤35.故当d=10时,r=680-所以当OM=10m时,圆形保护区的面积最大.6.(2013江苏,18,16分)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA=1213,cosC=3(1)求索道AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解析(1)在△ABC中,因为cosA=1213,cosC=3所以sinA=513,sinC=4从而sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=513×35+1213×4由ABsinC=ACAB=ACsinB×sinC=1所以索道AB的长为1040m.(2)设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为dm,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130tm,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×1213=200(37t2因0≤t≤1故当t=3537(3)由BCsinA=ACsinB,得BC=ACsin乙从B出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m才能到达C.设乙步行的速度为vm/min,由题意得-3≤500v-710解得125043≤v≤625教师用书专用(7—16)7.(2013福建理,13,4分)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=223,AB=32,AD=3,则BD的长为答案38.(2016天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin2B=3bsinA.(1)求B;(2)若cosA=13解析(1)在△ABC中,由asinA=bsinB,可得asinB=bsinA,又由asin2B=3bsinA,得2asinBcosB=3bsinA=3asinB,所以cosB=(2)由cosA=13,可得sinA=2则sinC=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sinA=32sinA+12cosA=9.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若cosB=23,求cosC的值解析(1)证明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由cosB=23得sinB=5cos2B=2cos2B-1=-19故cosA=-19,sinA=4cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=222710.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sinA+sinC=2sinB.∵sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sinA+sinC=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cosB=a2+c2-b2当且仅当a=c时等号成立.∴cosB的最小值为1211.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求sin∠B(2)若∠BAC=60°,求∠B.解析(1)由正弦定理得ADsin∠B=BDsin∠BAD,因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以sin∠Bsin∠C=DC(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=32cos∠B+1由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=3312.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=π4,b2-a2=12c(1)求tanC的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=12c2及正弦定理得sin2B-12=12sin2由A=π4,即B+C=34π,得-cos2B=sin所以2sinCcosC=sin2C解得tanC=2.(2)由tanC=2,C∈(0,π)得sinC=255,cosC=又因为sinB=sin(A+C)=sinπ4+C,所以由正弦定理得c=22又因为A=π4,12bcsinA=3,所以bc=62,13.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,3b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asinB-3bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-3sinBcosA=0,又sinB≠0,从而tanA=3,由于0<A<π,所以A=π3(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及a=7,b=2,A=π3得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为12bcsinA=3解法二:由正弦定理,得7sinπ3从而sinB=217又由a>b,知A>B,所以cosB=27故sinC=sin(A+B)=sinB=sinBcosπ3+cosBsinπ3=所以△ABC的面积为12absinC=314.(2015湖南,17,12分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=btanA,且B为钝角.(1)证明:B-A=π2(2)求sinA+sinC的取值范围.解析(1)证明:由a=btanA及正弦定理,得sinAcosA=ab=sinAsinB又B为钝角,因此π2+A∈π2,π,故B=π2(2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-2A+π2所以A∈0,于是sinA+sinC=sinA+sinπ=sinA+cos2A=-2sin2A=-2sinA-1因为0<A<π4,所以0<sinA<2因此22<-2sinA-142由此可知sinA+sinC的取值范围是2215.(2013课标全国Ⅰ理,17,12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=12,求(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.解析(1)由已知得,∠PBC=60°,所以∠PBA=30°.在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+14-2×3×12cos30°=74(2)设∠PBA=α,由已知得PB=sinα.在△PBA中,由正弦定理得3sin150°=化简得3cosα=4sinα.所以tanα=34,即tan∠PBA=316.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=3,cos2A-cos2B=3sinAcosA-3sinBcosB.(1)求角C的大小;(2)若sinA=45解析(1)由题意得1+cos2A2-1+cos2B2=32即32sin2A-12cos2A=32sin2A-π由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得2A-π6+2B-π6=即A+B=2π所以C=π3(2)由(1)及c=3,sinA=45,asinA=csinC由a<c,得A<C.从而cosA=35故sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=4+33所以,△ABC的面积为S=12acsinB=8三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一正弦、余弦定理1.(苏教必5,一,1,变式)若△ABC的面积为3,BC=2,C=60°,则边AB的长度等于.

答案22.(2017江苏苏州期中,8)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=2bc,sinC=3sinB,则A=.

答案60°3.(2017江苏南京高淳质检,6)在△ABC中,已知A=45°,C=105°,BC=2,则AC=.

答案14.(2017江苏徐州沛县中学质检,9)在△ABC中,已知BC=2,AC=7,B=2π3,那么△ABC的面积是答案35.(2017江苏泰州姜堰期中,16)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=1,b=2,cosC=14(1)求△ABC的周长;(2)求cos(A-C)的值.解析(1)由余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=1+4-2×1×2×14所以c=2,所以△ABC的周长为5.(2)在△ABC中,因为cosC=14,所以sinC=15由asinA=csin由余弦定理得cosA=b2+c所以cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=1116考点二解三角形及其应用6.(2018江苏姜堰中学期中)分别从地面上距离旗杆底端10米、20米、30米的A,B,C处测得杆顶的仰角为α,β,γ,且α+β+γ=90°,则旗杆高米.

答案107.(2016江苏南通、扬州、泰州调研,15)在斜三角形ABC中,tanA+tanB+tanAtanB=1.(1)求角C的大小;(2)若A=15°,AB=2,求△ABC的周长.解析(1)因为tanA+tanB+tanAtanB=1,即tanA+tanB=1-tanAtanB.因为在斜三角形ABC中,1-tanAtanB≠0,所以tan(A+B)=tanA即tan(180°-C)=1,亦即tanC=-1.因为0°<C<180°,所以C=135°.(2)在△ABC中,A=15°,C=135°,则B=180°-A-C=30°.△ABC中,由正弦定理得BCsin15°=CAsin30故BC=2sin15°=2sin(45°-30°)=2(sin45°cos30°-cos45°sin30°)=6-CA=2sin30°=1.所以△ABC的周长为AB+CA+BC=2+1+6-22B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:100分时间:50分钟)一、填空题(每小题5分,共25分)1.(2018江苏东台安丰高级中学月考)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=b+1=a+2,C=2A,则△ABC的面积等于.

答案152.(2018江苏海安中学阶段测试)在△ABC中,已知AB=5,BC=3,B=2A,则边AC的长为.

答案263.(2018江苏南通中学高三阶段测试)在△ABC中,角A、B、C的对边依次为a、b、c,若△ABC为锐角三角形,且满足c2-b2=ab,则1tanB-1tan答案54.(2018江苏盐城高三(上)期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=π3,a=47,角A的平分线交边BC于点D,其中AD=33,则S△ABC=答案1235.(苏教必5,一,2,变式)在△ABC中,已知AB=463,cos∠ABC=66,AC边上的中线BD=5答案70二、解答题(共75分)6.(2018江苏徐州铜山中学期中)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+2c=2bcosA.(1)求角B的大小;(2)若b=23,a+c=4,求△ABC的面积.解析(1)因为a+2c=2bcosA,所以sinA+2sinC=2sinBcosA,因为C=π-(A+B),所以sinA+2sin(A+B)=2sinBcosA.即sinA+2sinAcosB+2cosAsinB=2sinBcosA,所以sinA·(1+2cosB)=0.因为sinA≠0,所以cosB=-12又因为0<B<π,所以B=2π(2)由余弦定理得,a2+c2+ac=12,即(a+c)2-ac=12.又因为a+c=4,所以ac=4,所以S△ABC=12acsinB=12×4×327.(2017江苏无锡期中,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsinA=3acosB.(1)求B的值;(2)若cosAsinC=3-解析(1)因为asinA=又bsinA=3acosB,所以3acosB=asinB,所以tanB=3,所以B=π3(2)因为cosAsinC=3-14,所以cosAsin2所以cosA32cosA+12sin=32·1+cos2A2+14sin所以sin2A+π因为0<A<2π3,所以2A+π3所以2A+π3=7π68.(2017江苏苏北四市摸底,15)在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且tanB=2,tanC=3.(1)求角A的大小;(2)若c=3,求b的长.解析(1)因为tanB=2,tanC=3,A+B+C=π,所以tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)=-tan=-2+31又A∈(0,π),所以A=π4(2)因为tanB=sinBcosB=2,且sin2所以sinB=25同理可得,sinC=310由正弦定理,得b=csinBsinC=9.(2017江苏南通中学期中,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=b(sinC+cosC).(1)求B;(2)若A=π2解析(1)在△ABC中,∵a=b(sinC+cosC),∴sinA=sinB(sinC+cosC),∴sin(π-B-C)=sinB(sinC+cosC),∴sin(B+C)=sinB(sinC+cosC),∴sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC+sinBcosC,∴cosBsinC=sinBsinC,又∵C∈(0,π),故sinC≠0,∴cosB=sinB,即tanB=1.又B∈(0,π),∴B=π4(2)在△BCD中,DB=2,DC=1,BC2=12+22-2×1×2×cosD=5-4cosD.由(1)可知∠ABC=π4,又A=π∴△ABC为等腰直角三角形,S△ABC=14BC2=5又S△BDC=12∴S四边形ABDC=54-cosD+sinD=54+2sin∴当D=3π4时,四边形ABDC的面积取得最大值,最大值为5410.(2017江苏南京、盐城一模)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且bsin2C=csinB.(1)求角C;(2)若sinB-π3解析(1)由bsin2C=csinB,得2sinBsinCcosC=sinCsinB,因为sinB>0,sinC>0,所以cosC=12又C∈(0,π),所以C=π3(2)因为C=π3,所以B∈0,2π3,所以又sinB-π3=35,所以cosB-又A+B=2π3,即A=所以sinA=sin2π3=sinπ3cosB-π3=32×45-12×3C组2016—2018年模拟·方法题组方法1三角形中的几何计算1.(2016江苏清江中学周练,17)如图,△ABC为一直角三角形草坪,其中∠C=90°,BC=2米,AB=4米,为了重建草坪,设计师准备了两套方案:方案一:扩大为一个直角三角形,其中斜边DE过点B,且与AC平行,DF过点A,EF过点C.方案二:扩大为一个等边三角形,其中DE过点B,DF过点A,EF过点C.(1)求方案一中三角形DEF的面积S1的最小值;(2)求方案二中三角形DEF的面积S2的最大值.解析(1)设∠ACF=α,α∈0,则AF=23sinα,FC=23cosα,因为DE∥AC,所以∠E=α,∠CBE=∠ACB=90°,且FAAD=FCCE,所以EC=2sinα,23所以S1=1223sinα所以当且仅当sin2α=1,即α=π4时,S1取最小值7+43(2)在三角形DBA中,设∠DBA=β,β∈0,2π3,则解得DB=83sin2在三角形CBE中,易知∠BCE=β,则由EBsinβ=CBsin则等边三角形DEF的边长为83sin2π3-β+4所以边长的最大值为473,所以面积S2的最大值为34×4方法2利用正、余弦定理判断三角形的形状2.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,试判断△ABC的形状.解析解法一:∵2b=a+c,∴2sinB=sinA+sinC.∵B=60°,∴A+C=120°.∴2sin60°=sin(120°-C)+sinC.展开整理得32sinC+1∴sin(C+30°)=1.∵0°<C<120°,∴C+30°=90°.∴C=60°.故A=60°.∴△ABC为等边三角形.解法二:由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB.∵B=60°,b=a+∴a+c22=a2+c2-2acc