高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题5 解析几何 第16讲 高考中的圆教师用书 理-人教版高三数学试题

第16讲高考中的圆题型一|直线与圆及圆与圆(2016·江苏高考)如图16－1，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．图16－1(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得eq\o(TA,\s\up14(→))＋eq\o(TP,\s\up14(→))＝eq\o(TQ,\s\up14(→))，求实数t的取值范围．[解题指导](1)设圆心N(6，y0)eq\o(→,\s\up15(圆N与圆M外切),\s\do15(圆N与x轴相切))求出y0→写出圆N的方程(2)l∥OA→设l的方程→弦心距、半弦长、半径间的关系→求l的方程(3)设P，Q的坐标建立P，Q坐标间的关系eq\o(→,\s\up15(等价转化))圆与圆的位置关系[解]圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0<y0<7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.3分因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.4分(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为eq\f(4－0,2－0)＝2.5分设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，则圆心M到直线l的距离d＝eq\f(|2×6－7＋m|,\r(5))＝eq\f(|m＋5|,\r(5)).7分因为BC＝OA＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，而MC2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,2)))2，所以25＝eq\f(m＋52,2)＋5，解得m＝5或m＝－15.9分故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.10分(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．因为A(2,4)，T(t,0)，eq\o(TA,\s\up14(→))＋eq\o(TP,\s\up14(→))＝eq\o(TQ,\s\up14(→))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝x1＋2－t，,y2＝y1＋4.))①11分因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②12分将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.13分于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，所以5－5≤eq\r([t＋4－6]2＋3－72)≤5＋5，14分解得2－2eq\r(21)≤t≤2＋2eq\r(21).因此，实数t的取值范围是[2－2eq\r(21)，2＋2eq\r(21)].16分【名师点评】本题涉及知识面较广，既考查了直线与直线的位置关系，也考查了直线与圆及圆与圆的位置关系，求解的关键是充分利用上述关系建立数量关系，注意等价转化思想的应用．1．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过点A(1,0)，B(3,0)，C(0,1)．(1)求圆M的方程；(2)若直线l：mx－2y－(2m＋1)＝0与圆M交于点P，Q，且eq\o(MP,\s\up14(→))·eq\o(MQ,\s\up14(→))＝0，求实数m的值．[解](1)法一：设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＋F＋1＝0，,3D＋F＋9＝0，,E＋F＋1＝0，))5分解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝－4，,F＝3.))所以圆M的方程x2＋y2－4x－4y＋3＝0.8分法二：线段AC的垂直平分线的方程为y＝x，线段AB的垂直平分线的方程为x＝2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＝2，))解得M(2,2).5分所以圆M的半径r＝AM＝eq\r(5)，所以圆M的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.8分(2)因为eq\o(MP,\s\up14(→))·eq\o(MQ,\s\up14(→))＝0，所以∠PMQ＝eq\f(π,2).又由(1)得MP＝MQ＝r＝eq\r(5)，所以点M到直线l的距离d＝eq\f(\r(10),2).14分由点到直线的距离公式可知，eq\f(|2m－4－2m－1|,\r(m2＋4))＝eq\f(\r(10),2)，解得m＝±eq\r(6).16分2．(2013·江苏高考)如图16－2，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上．图16－2(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．[解](1)由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在．设过A(0,3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3.3分由题意，得eq\f(|3k＋1|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝－eq\f(3,4)，故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.6分(2)因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.设点M(x，y)，因为MA＝2MO，10分所以eq\r(x2＋y－32)＝2eq\r(x2＋y2)，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤eq\r(a2＋2a－32)≤3.整理，得－8≤5a2－12a≤0.14分由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤eq\f(12,5).所以点C的横坐标a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(12,5))).16分题型二|与圆有关的函数建模问题(2014·江苏高考)如图16－3，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝eq\f(4,3).图16－3(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大？[解题指导](1)建立平面直角坐标系→求AB，BC的斜率→求点B及BC的长(2)设OM＝d，圆的半径为r→用d表示r→建立关于d的不等式组→求d的范围[解]法一：(1)如图(1)，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.(1)由条件知A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－eq\f(4,3).又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB＝eq\f(3,4).4分设点B的坐标为(a，b)，则kBC＝eq\f(b－0,a－170)＝－eq\f(4,3)，①kAB＝eq\f(b－60,a－0)＝eq\f(3,4).②联立①②解得a＝80，b＝120.6分所以BC＝eq\r(170－802＋0－1202)＝150.因此新桥BC的长是150m．8分(2)设保护区的边界圆M的半径为rm，OM＝dm(0≤d≤60)．由条件知，直线BC的方程为y＝－eq\f(4,3)(x－170)，即4x＋3y－680＝0.10分由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝eq\f(|3d－680|,\r(42＋32))＝eq\f(680－3d,5).12分因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r－d≥80，,r－60－d≥80，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(680－3d,5)－d≥80，,\f(680－3d,5)－60－d≥80.))解得10≤d≤35.14分故当d＝10时，r＝eq\f(680－3d,5)最大，即圆面积最大．所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大.16分法二：(2)(1)如图(2)，延长OA，CB交于点F.因为tan∠FCO＝eq\f(4,3)，所以sin∠FCO＝eq\f(4,5)，cos∠FCO＝eq\f(3,5).2分因为OA＝60，OC＝170，所以OF＝OCtan∠FCO＝eq\f(680,3)，CF＝eq\f(OC,cos∠FCO)＝eq\f(850,3)，从而AF＝OF－OA＝eq\f(500,3).6分因为OA⊥OC，所以cos∠AFB＝sin∠FCO＝eq\f(4,5).又因为AB⊥BC，所以BF＝AFcos∠AFB＝eq\f(400,3)，从而BC＝CF－BF＝150.因此新桥BC的长是150m．8分(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D，连结MD，则MD⊥BC，且MD是圆M的半径，并设MD＝rm，OM＝dm(0≤d≤60)．因为OA⊥OC，所以sin∠CFO＝cos∠FCO.故由(1)知sin∠CFO＝eq\f(MD,MF)＝eq\f(MD,OF－OM)＝eq\f(r,\f(680,3)－d)＝eq\f(3,5)，所以r＝eq\f(680－3d,5).12分因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r－d≥80，,r－60－d≥80，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(680－3d,5)－d≥80，,\f(680－3d,5)－60－d≥80，))解得10≤d≤35.14分故当d＝10时，r＝eq\f(680－3d,5)最大，即圆面积最大．所以当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大.16分【名师点评】本题以直线、圆的知识为载体，与实际生活问题相结合，重在考查建立数学模型及运用已知的数学知识解决实际问题的能力，求解的关键是如何把实际问题数学模型化．1．一条形如斜L型的铁路线MON在经过某城市O时转弯而改变方向，测得tan∠MON＝－3，因市内不准建站，故考虑在郊区A，B处分别建设东车站与北车站，其中东车站A建于铁路OM上，且OA＝6km，北车站B建于铁路ON上，同时在两站之间建设一条货运公路，使直线AB经过货物中转站Q，已知Q站与铁路线OM，ON的垂直距离分别为2km，eq\f(7\r(10),5)km.现以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图16－4所示的直角坐标系．图16－4(1)若一货运汽车以36eq\r(2)km/h的速度从车站A开往车站B，不计途中装卸货物时间，则需多长时间？(2)若在中转站Q的正北方向6km有一个工厂P，为了节省开支，产品不经中转站而运至公路上C处，让货车直接运走，试确定点C的最佳位置．[解](1)由已知得A(6,0)，直线ON的方程为y＝－3x，设Q(x0,2)(x0>0)，由eq\f(|3x0＋2|,\r(10))＝eq\f(7\r(10),5)及x0>0得x0＝4，∴Q(4,2).5分∴直线AQ的方程为y＝－(x－6)，即x＋y－6＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－3x，,x＋y－6＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝9，))即B(－3,9)，∴AB＝eq\r(－3－62＋92)＝9eq\r(2)，从而t＝eq\f(9\r(2),36\r(2))＝eq\f(1,4)h.即货运汽车需要15分钟时间.8分(2)点P到直线AB的垂直距离最近，则垂足为C.由(1)知直线AB的方程为x＋y－6＝0，12分∵P(4,8)，则直线PC的方程为x－y＋4＝0，联立上述两式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝5，))即点C的坐标为(1,5).16分2．(2016·南京盐城二模)如图16－5，某城市有一块半径为1(单位：百米)的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处(图中阴影部分)只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在