高考数学二轮专题复习与策略 第1部分 专题4 立体几何 第13讲 空间几何体教师用书 理-人教版高三数学试题

专题4立体几何第13讲空间几何体题型一|空间几何体的表面积与体积(1)(2014·江苏高考)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________．(2)(2016·南京盐城二模)如图13－1，正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A－A1EF图13－1(1)eq\f(3,2)(2)8eq\r(3)[(1)设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πr\o\al(2,1),πr\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，则eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，则eq\f(h1,h2)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr\o\al(2,1)h1,πr\o\al(2,2)h2)＝eq\f(3,2)，(2)极限法，取E，F分别与B1，C1重合，则S三棱锥A－A1EF＝eq\f(1,3)S△A1B1C1·AA1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB2sin60°·AA1＝eq\f(1,6)×16×eq\f(\r(3),2)×6＝8eq\r(3).]【名师点评】求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．1．已知一个圆锥的底面圆的半径为1，体积为eq\f(2\r(2),3)π，则该圆锥的侧面积为________．【导学号：19592040】3π[设圆锥的母线长为l，高为h，则由V＝eq\f(1,3)πr2·h，得h＝eq\f(3V,πr2)＝eq\f(2\r(2)π,π)＝2eq\r(2).∴母线l＝eq\r(h2＋r2)＝3，故圆锥的侧面积为S＝eq\f(1,2)(2πr)l＝πrl＝π×1×3＝3π.]2．(2016·泰州期末)如图13－2，长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为BD1的中点，三棱锥O－ABD的体积为V1，四棱锥O－ADD1A1的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值为________．图13－2eq\f(1,2)[设AB＝a，AD＝b，A1A＝c，则V1＝eq\f(1,3)S△ABD·eq\f(1,2)A1A＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(abc,12).V2＝eq\f(1,3)S矩形ADD1A1·eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,3)×bc×eq\f(1,2)a＝eq\f(abc,6).∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,2).]3．如图13－3，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体P－BCE的体积为________．图13－3eq\f(\r(3),3)[显然PA⊥平面BCE，底面BCE的面积为eq\f(1,2)×1×2×sin120°＝eq\f(\r(3),2)，所以VP－BCE＝eq\f(1,3)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3).]题型二|线、面位置关系的判断(1)若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是________(填序号)．①l1⊥l4；②l1∥l4；③l1与l4既不垂直也不平行；④l1与l4的位置关系不确定．(2)已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下面四个命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．(1)④(2)①③[(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，记l1＝DD1，l2＝DC，l3＝DA，若l4＝AA1，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，此时l1∥l4，可以排除①和③.若l4＝DC1，也满足条件，可以排除②，故填④(2)直线l⊥平面α，α∥β⇒l⊥β⇒l⊥m，①对；α⊥β，l⊥α时，直线l与平面β可能平行，也可能在β内，直线l与直线m关系不确定，②错；l∥m，l⊥α⇒m⊥α⇒α⊥β，③对；由l⊥m，不能得出l⊥β，故也不能有α∥β，④错．]【名师点评】空间线面位置关系的判断方法1．公理法：借助空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；2．模型法：借助空间几何模型，如在长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，结合有关定理作出选择．1．给出下列命题：①若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；②若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；③若两条平行直线中的一条垂直于直线m，那么另一条直线也与直线m垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，所有真命题的序号为________．①③④[根据定理和一些常用结论知①③④正确．②中没有强调两条直线一定相交，否则就不一定平行．]2．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是________(填序号)．【导学号：19592041】①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，m⊥n，则n∥α；④若m∥α，m⊥n，则n⊥α.②[若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，①错；若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，②正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，③错；若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，④错．]题型三|多面体与球(1)如图13－4，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器厚度，则球的体积为________cm3.图13－4(2)已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O(1)eq\f(500π,3)(2)eq\f(13,2)[(1)如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．设球的半径为Rcm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，所以R＝5，所以V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π(cm3)．(2)因为直三棱柱中AB＝3，AC＝4，AA1＝12，AB⊥AC，所以BC＝5，且BC为过底面ABC的截面圆的直径．取BC中点D，则OD⊥底面ABC，则O在侧面BCC1B1内，矩形BCC1B1的对角线长即为球直径，所以2R＝eq\r(122＋52)＝13，即R＝eq\f(13,2).]【名师点评】多面体与球切、接问题的求解策略1．涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解；2．若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，得4R2＝a2＋b2＋c2求解．已知底面边长为1，侧棱长为eq\r(2)的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为_______