第4章 参数估计

第四章参数估计4.1

参数估计的一般问题4.2一个总体参数的区间估计4.3两个总体参数的区间估计4.4样本容量的确定学习目标估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准一个总体参数的区间估计方法两个总体参数的区间估计方法样本容量的确定方法

参数估计（parameterestimation)就是在抽样及抽样分布的基础上，根据样本统计量来推断我们所关心的总体参数。统计推断的过程样本总体样本统计量如：样本均值、比率、方差总体均值、比率、方差等非参数统计是统计学的一个重要分支，它在实践中有着广泛的应用。所谓统计推断就是由样本观察值去了解总体，它是统计学的基本任务之一。若根据经验或某种理论我们能在推断之前就对总体作一些假设，则这些假设无疑有助于提高统计推断的效率。这种情况下的统计方法称为参数统计。如果我们所知很少，以致于在推断之前不能对总体作任何假设，或仅能作一些非常一般性(例如连续分布、对称分布等)的假设，这时如果仍然使用参数统计方法，其统计推断的结果显然是不可信的，甚至有可能是错的。在对总体的分布不作假设或仅作非常一般性假设条件下的统计方法称为非参数统计。

参数估计在统计方法中的地位参数估计假设检验统计方法描述统计推断统计第一节参数估计的一般问题估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比率、样本方差等例如:样本均值就是总体均值

的一个估计量参数用

表示，估计量用表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值如果样本均值

x

=80，则80就是

的估计值一、估计量与估计值

(estimator&estimatedvalue)参数估计的方法估计方法点估计区间估计点估计

(pointestimate)用样本的估计量直接作为总体参数的估计值例如：用样本均值直接作为总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值之差的估计没有给出估计值接近总体参数程度的信息点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、最大似然法、最小二乘法等区间估计(intervalestimate)区间估计就是根据样本估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间范围。分别称为置信下限和置信上限，通称为置信限。为显著性水平则称为置信度。在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%

样本统计量

(点估计)置信区间置信下限置信上限区间估计的图示

x95%的样本

-1.96

x

+1.96

x99%的样本

-2.58

x

+2.58

x90%的样本

-1.65

x

+1.65

x将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的比率称为置信水平表示为(1-

为是总体参数未在区间内的比率常用的置信水平值有

99%,95%,90%相应的

为0.01，0.05，0.10置信水平

由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间

用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个置信区间

(confidenceinterval)置信区间与置信水平

样本均值的抽样分布(1-

)%区间包含了

%的区间未包含

1–aa/2a/2影响区间宽度的因素1.总体数据的离散程度，用

来测度样本容量，3. 置信水平(1-

)，影响

z的大小评价估计量的标准无偏性

(unbiasedness)无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数P(

)BA无偏有偏有效性

(efficiency)有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计量，有更小标准差的估计量更有效

AB的抽样分布的抽样分布P(

)一致性

(consistency)一致性：随着样本容量的增大，估计量的值越来越接近被估计的总体参数AB较小的样本容量较大的样本容量P(

)充分性充分利用信息5.2一个总体参数的区间估计一、总体均值的区间估计二、总体比率的区间估计三、总体方差的区间估计

-分位点的概念：68.26%180%1.2890%1.64595%1.9695.45%299%2.5899.73%3（一）正态总体、方差已知（大、小)样本一、总体均值的区间估计抽样极限(允许)误差：【例】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95%25袋食品的重量112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5

95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6

95.4

97.8108.6105.0136.8102.8101.5

98.4

93.3解：已知Ｘ~N(

，102)，n=25,1-

=95%，z

/2=1.96。根据样本数据计算得：该食品平均重量的置信区间为101.44g~109.28g

例题6：某企业从长期实践得知，其产品直径X是一随机变量，服从标准差为0.05的正态分布。从某日产品中随机抽取6个，测得其直径分别为14.8,15.3,15.1,15,14.7,15.1(单位:厘米)。在0.95的置信度下,试求该产品直径的均值的置信区间。P110~5.9（二）大样本

1、方差已知

2、方差未知【例】一家保险公司收集到由36投保个人组成的随机样本，得到每个投保人的年龄(周岁)数据如下表。试建立投保人年龄90%的置信区间36个投保人年龄的数据233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532解：已知n=36,1-

=90%，z

/2=1.645。根据样本数据计算得：

总体均值

在1-

置信水平下的置信区间为投保人平均年龄的置信区间为37.37岁~41.63岁

例题7:某企业生产某种产品的工人有1000人，某日采用非重复抽样抽取100人调查他们的当日产量，样本人均产量为35件，产量的样本标准差为4.5件,试以95.45%的置信度估计平均产量的抽样极限误差和置信区间。

习题6：某药厂在生产过程中改换了一种新的酵素，测定了36批的产出率与理论产出率的比值：

1.281.311.481.100.991.251.221.651.400.951.251.321.231.431.241.731.351.310.921.101.051.391.161.191.410.980.821.220.911.261.321.711.291.171.741.51要求:(1)计算这一比值95%的置信区间;

(2)得出上述结论时作了什么假设;

(3)能否以95%的置信水平说明新酵素的产出率提高了。（2）假设36批的样本是随机的。

（3）（1.194,1.342)>1,说明新酵素的产出率提高了。P109~5.7

习题7：某汽车轮胎厂欲估计其轮胎的平均行驶里程，由于轮胎行驶里程受汽车型号、行驶的路面以及汽车前后轮位置等影响，因此使用了大样本进行随机配置，试验结果公里，标准差为6000公里。要求估计总体均值的置信区间，置信系数为95%。

习题8：某企业购进一批部件，这批部件的质量取决于平均每件的缺陷数。根据以往的经验，平均每件产品的缺陷数为1，标准差为0.2，如果缺陷数超过1就应该拒收。现随机抽取64件，其平均缺陷数为1.1，要求以95%的置信系数构造缺陷数的置信界限，并决定是否拒收。（三）正态总体、方差未知、小样本（）

例题7：某商场从一批袋装食品中随机抽取10袋，测得每袋重量（单位：克）分别为789、780、794、762、802、813、770、785、810、806，要求以95%的把握程度，估计这批食品的平均每袋重量的区间范围及其允许误差。P110~5.10

习题7：为管理的需要，银行要测定在业务柜台上每笔业务平均所需的时间。假设每笔业务所需时间服从正态分布，现随机抽取样本量为16，测得平均时间为13分钟，标准差为5.6分钟，要求以99%的置信系数确定置信界限。若置信系数改为90%，其置信界限有什么区别？

习题9：某出租汽车公司欲测定该公司汽车的每公升汽油能行驶的里程，随机抽取8辆车测定得数据如下：11.95,14.28,17.90,15.94,11.73,15.64,16.58,12.50。要求估计该公司所有汽车每公升汽油平均行驶里程的置信区间，置信系数为95%。

习题10:随机地从一批钉子中抽取16枚，测得它们的直径（单位：厘米），并求得其样本均值为2.125,方差为0.01713.设钉的直径服从正态分布,试求总体均值的置信系数为0.90的置信区间(已知)

（二）总体比例的区间估计

重复抽样

不重复抽样

例题9：某厂对一批产品的质量进行抽样检验，采用重复抽样抽取样品200只，样本优质品率为85%，试计算把握程度为90%时优质品率的区间范围。

习题10：某地区调查下岗工人中女性的比例，随机抽取了36个下岗工人，其中20人为女性。要求估计（1）下岗工人中女性比例的点估计；（2）以95%的置信系数估计该地区下岗工人中女性比例的置信区间；（3）能否结论下岗工人中女性超过男性。在参数估计中要回答六个问题：

1、参数估计的基本公式是什么？

2、何时用Z，何时用t?

3、何时用，何时用s?

4、何时乘何时不用乘?

5、适用范围：简单随机抽样。

6、若推广到比例，公式怎样？

习题：用简单随机重复抽样方法抽取样本单位，如果要使抽样平均误差降低50%，则样本容量需要扩大到原来的（）A、2倍

B、3倍

C、4倍

D、5倍

（三）总体方差的区间估计

大样本：

小样本：三、抽样容量的确定所谓必要的抽样数目，也就是指为了使抽样误差不超过给定的允许范围至少应抽取的样本单位数目。重复抽样不重复抽样估计总体均值时样本容量n为样本容量n与总体方差

2、允许误差E、可靠性系数Z或t之间的关系为与总体方差成正比与允许误差成反比与可靠性系数成正比估计总体均值时样本容量的确定其中：【例】拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要估计年薪95%的置信区间，希望允许误差为400元，应抽取多大的样本容量？解:已知

=2000，E=400,1-

=95%，z/2=1.96

应抽取的样本容量为即应抽取97人作为样本

例题10：某食品厂要检验本月生产的10000袋产品的重量，根据上月资料，这种产品每袋重量的标准差为25克。要求在95.45%的概率保证程度下,平均每袋重量的误差范围不超过5克,应抽查多少袋产品?不重复抽样：

习题10:某超级市场欲估计每个顾客平均每次购物的金额，根据过去的经验，标准差大约为160元，现要求以95%的置信度估计每个顾客的购物金额，并要求允许误差不超过20元，应抽多少顾客作样本？

习题11:某养鸡专业户养了1000只小鸡，一个月后欲估计这批小鸡的总重量，要求估计误差不超过2公斤（2000克），而每只鸡重量的方差约为49，要求置信度为95%应抽多少只鸡作样本？总体比例抽样容量的确定根据比率区间估计公式可得样本容量n为

E的取值一般小于0.1

未知时，可取最大值0.5其中：估计总体比率时样本容量的确定

(例题分析)【例】根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求允许误差为5%，在求95%的置信区间时，应抽取多少个产品作为样本？

解:已知

=90%，

=0.05，z/2=1.96，E=5%

应抽取的样本容量为

应抽取139个产品作为样本

例题10：某企业对一批产品进行质量检查，这批产品的总数为5000件，过去几次同类调查所得的产品合格率为93%、95%、和96%，为了使合格率的允许误差不超过3%，在99.73%的概率下应抽查多少件产品?

若对值一无所知，通常采用较稳妥的做法是=0.5,0.5!!

例11:为估计某城市全社会劳动者中集体所有制的劳动者所占比率,进行了一次抽样调查．问为使对的估计的绝对误差以95％的概率不大于4%。至少需要抽查多少名劳动者?分别考虑如下两种情形：

(1)关于没有任何信息；(2)假设已知不大于30%影响抽样容量的因素：（1）总体方差σ2（或总体标准差σ）。其他条件不变的条件下，总体单位的差异程度大，则应多抽，反之可少抽一些。（2）允许误差范围E。（3）置信度（）。

（4）抽样方法（是否重复抽样）。

（5）抽样组织方式。

习题12：某果园有1000株果树，在采摘前欲估计果园的总产量，随机抽选了10株，产量分别为161，68，45，102，38，87，100，92，76，90公斤。假设果树的产量服从正态分布，试以95%的置信水平估计该果园的总产量，若要求置信区间缩小一半，应抽多少株果树作样本？补：两个总体均值或比例之差的区间估计

（一）两个总体为正态总体，方差已知或大样本

例题11：某罐头食品厂有两条装罐头的生产线，有一条生产线已老化，装的数量偏多而差异较大，现欲测定两条生产线上所装数量的差别。于是在每条生产线上各抽100个罐头，一条生产线上罐头的平均重量为103.02克，方差为0.64，另一条生产线的平均重量为102.83克,方差为0.36。试构造两条生产线平均重量之差90%的置信区间。

习题13：一农业研究机构测试两种肥料对产量差别的影响。随机抽取了80块试验田，其中40块用肥料甲，40块用肥料乙，经过试种，使用肥料甲的平均产量为27.08,方差为14.21,使用肥料乙的平均产量为25.74