微积分基础(国家开放大学)-极限的概念和计算

微积分基础(国家开放大学)---------极限的概念和计算2024-01-25目录极限的基本概念极限的计算方法无穷小量与无穷大量极限的应用举例01极限的基本概念对于数列{an}，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n>N时，|an-A|<ε恒成立，则称数列{an}的极限为A，记作limn→∞an=A。数列极限的定义对于函数f(x)，当x趋近于某个值x0（或无穷大）时，如果函数值f(x)无限接近于某个常数A，则称A为函数f(x)当x趋近于x0（或无穷大）时的极限，记作limx→x0f(x)=A（或limx→∞f(x)=A）。函数极限的定义极限的定义010203唯一性如果数列{an}或函数f(x)的极限存在，那么该极限是唯一的。有界性如果数列{an}收敛于A，那么数列{an}是有界的。保号性如果limx→x0f(x)=A>0（或<0），那么在x0的某个去心邻域内，f(x)>0（或<0）。极限的性质数列极限的几何意义数列{an}的极限为A，意味着当n无限增大时，数列的项an无限接近于A。在数轴上，这表现为点an逐渐靠近点A。函数极限的几何意义函数f(x)在x趋近于x0（或无穷大）时的极限为A，意味着当x无限趋近于x0（或无穷大）时，函数值f(x)无限接近于A。在函数图像上，这表现为曲线逐渐靠近直线y=A。极限的几何意义02极限的计算方法直接代入法01直接代入法是指将自变量直接代入函数表达式中计算函数值的方法。02该方法适用于函数在自变量取值的点处连续的情况。在使用直接代入法时，需要注意自变量的取值范围以及函数表达式的定义域。03010203消去法是指通过消去分母或分子中的某些项，从而简化函数表达式的方法。该方法适用于分式函数或含有根式的函数极限的计算。在使用消去法时，需要注意消去后函数表达式的等价性，以及消去过程中可能出现的错误。消去法洛必达法则010203洛必达法则是指在一定条件下，通过求导数的方式计算函数极限的方法。该方法适用于函数在自变量取值的点处不连续或不可导的情况。在使用洛必达法则时，需要注意满足洛必达法则的条件，以及求导的正确性和计算的准确性。03在使用泰勒公式法时，需要注意泰勒公式的展开项数以及展开的精度要求，同时需要注意计算的准确性和收敛性。01泰勒公式法是指利用泰勒公式将函数展开成多项式，从而计算函数极限的方法。02该方法适用于函数在自变量取值的点处可导且导数存在的情况。泰勒公式法03无穷小量与无穷大量性质无穷小量不是一个具体的数，而是一个变量，其绝对值可以小于任何正数。无穷小量与有界函数的乘积仍然是无穷小量。无穷小量之间可以进行比较，例如高阶无穷小量和低阶无穷小量。定义：如果函数$f(x)$在自变量的某个变化过程中，其绝对值无限趋近于0，则称$f(x)$是这个变化过程中的无穷小量。无穷小量的定义与性质无穷大量与有界函数的乘积仍然是无穷大量。正无穷大量和负无穷大量统称为无穷大量。无穷大量也不是一个具体的数，而是一个变量，其绝对值可以大于任何正数。定义：如果函数$f(x)$在自变量的某个变化过程中，其绝对值无限增大，则称$f(x)$是这个变化过程中的无穷大量。性质无穷大量的定义与性质无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。02在自变量的某个变化过程中，如果函数$f(x)$是无穷小量，则$frac{1}{f(x)}$是无穷大量；反之亦然。03无穷小量与无穷大量在分析函数的性质和进行函数运算时具有重要的作用，例如在求极限、判断函数的增减性、研究函数的连续性等方面都会用到这两个概念。0104极限的应用举例若函数在某区间内每一点都连续，则称该函数在此区间内连续。连续函数定义连续函数具有局部有界性、局部保号性、四则运算性质等。连续函数的性质连续函数的图形是一条不间断的曲线。连续函数的图形特点连续函数的概念及性质导数的定义函数在某一点处的导数描述了该函数在该点处的切线斜率。导数的计算通过求极限的方式计算导数，常见的方法有定义法、公式法、运算法则等。导数的应用导数在几何上表示曲线的切线斜率，在物理上表示速度、加速度等，在经济上表示边际效应等。导数的概念及计算定积分的计算通过求原函数或利用定积分的性质进行计算，常见的方法有换元法、分部积分法等。定积分的应用定积分在几何上表示面积、体积等，在物理上表示功、能等，在经济上表示总收益、总成本等。定积分的定义定积分是函数在某个区间上的积分，表示函数图像与x轴围成的面积。定积分的概念及计算微分方程的定义微分方程是含有未知函数的导数或微分的方程。微分方程的解法通过对方程进行