高考数学之2021高考仿真模拟卷3

2021高考仿真模拟卷(三)

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.(2020.山东潍坊一模)设集合A={2,4},B={xCN|x_3W0},贝ljAUB=

()

A.{123,4}B.{0,1,2,34)

C.{2}D.{x|xW4}

答案B

解析••・集合B={X€N|X—3W0}={0,1,2,3},集合A={2,4},AU8=

(0,1,2,3,41.故选B.

2.(2020.辽宁沈阳东北育才学校第八次模拟)若复数z满足(2+i)z=5,则在

复平面内与复数z对应的点Z位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

55(2-i)10-5i

解析由(2+i)z=5得2=亍匚=左1胡~~~=-7—=2-i,所以复数z对应

N+1+1八N-J

的点z的坐标为(2,-1),其位于第四象限.故选D.

3.(2020•山东青岛三模)如图是一个2X2列联表，则表中”,人的值分别为()

总计

XIb21e

X2c2533

总计ad106

A.96,94

B.60,52

C.52,54

D.50,52

答案B

解析由表格中的数据可得c=33-25=8,d=21+25=46,.”=106-46

=60,人=60-8=52.故选8.

Y

4.（2020.海南中学高三摸底）函数./U）=而质的图象大致是（）

答案D

解析因为八-x）=-/U）,所以函数7U）是奇函数，排除A,C,又当04<1

Y

时，於）=而7<0,排除B,故选D.

5.已知。+1）6（依-1）2的展开式中，V的系数为56,则实数。的值为（）

A.6或-1B.一1或4

C.6或5D.4或5

答案A

解析因为(x+l)6(ar-l)2=(x+1)6(//一2办+1),所以(x+1户(办-的展

开式中x3的系数是以+CZ(-2a)+Cki2=6a1-30a+20,所以6a2-30a+20=56,

解得a=6或-1.故选A.

6.(2020•山东青岛高三上学期期末)在△ABC中，AJB+AC=2AD,AE+2DE

=0,^EB=xAB+yAC,则()

A.y=2xB.y=-2x

C.x=2yD.x=-2y

答案D

解析如图所示，・巍+/=2最)，.•.点。为边的中点.・危+2成=

-►-►-►[-►]>>-►]-►]-►-►

0,,".AE=—2DE,DE=—~^AD=-j(AA+AC).又=]C8=/G48-AC),

—A—►—A1—►—►1―►—A2~»1-►-►―»―A2

EB-DB-DE-手加-AC)+£A8+AC)--耳AC.又由=xAB+yAC,「.x=§,

y=-J,即x=-2y.故选D.

7.（2020.全国卷III）已知函数兀r）=sinx+熹，贝女）

A../U）的最小值为2

B.7U）的图象关于y轴对称

c.#x）的图象关于直线X=7T对称

D.段）的图象关于直线光若对称

答案D

解析当-兀vxvO时，sinxvO,«x）=sinx+熹v0,故A错误；於）的定

义域为{xlxWE,k£Z},艮—x）=-siiu-4-=.\/U）是奇函数，其图象关

于原点对称，故B错误;-x）=-situ-6:壬Ax），火兀-x）=sior+去:=段）,

.\/U）的图象关于直线x=T对称，故C错误，D正确.故选D.

8.（2020•济南一模）已知直线y=ox+贴＞0）与曲线＞=/有且只有两个公共

点A（xi,yi）,8（x2,yi）,其中xi＜x2,贝1]2XI+X2=（）

A.-1B.0

C.1D.a

答案B

解析根据题意，直线y=以+匕S>0）一定是曲线y=炉的切线，不妨设Ag,

V）为切点，则切线方程可表示为y-N=3X（x-尤I）,与y=V联立得％3-H=3x?（x

-xi）.整理得（x-xi）（f+xix-2x?）=0,即（%一%1）2（》+2尢1）=0.所以％=尢1或%=一

2xi,所以X2=-2XI,所以2XI+及=0.故选B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得3分.

9.（2020.海口市高考模拟演练）小张上班从家到公司开车有两条线路，所需时

间（分钟）随交通堵塞状况有所变化，其概率分布如下表所示：

所需时间（分钟）30405060

线路一0.50.20.20.1

线路二0.30.50.10.1

则下列说法正确的是（）

A.任选一条线路，“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是

对立事件

B.从所需的平均时间看，线路一比线路二更节省时间

C.如果要求在45分钟以内从家赶到公司，小张应该走线路一

D.若小张上、下班走不同线路，则所需时间之和大于100分钟的概率为0.04

答案BD

解析“所需时间小于50分钟”与“所需时间为60分钟”是互斥事件而不

是对立事件，A错误；线路一所需的平均时间为30X0.5+40X0.2+50X0.2+

60X0.1=39分钟,线路二所需的平均时间为30X0.3+40X0.5+50X0.1+60X0.1

=40分钟，所以线路一比线路二更节省时间，B正确；线路一所需时间小于45

分钟的概率为0.7,线路二所需时间小于45分钟的概率为0.8,小张应该选线路二,

C错误;所需时间之和大于100分钟，则线路一、线路二所需的时间可以为（50,60）,

（60,50）和（60,60）三种情况，故所需时间之和大于100分钟的概率为0.2X0.1+

0.1X0.1+0.1X0.1=0.04,D正确.

10.（2020.益阳调研）下面的结论中，正确的是（）

A.若aCR,贝3+/2小

B.若Q>0,b>0,〃+〃贝Ija+/?N2

a+ma

C.若b>a>0,m>0,贝lj.+/卫

D.若a>b>0,且|lna\=|lnb\,贝ljah=1

答案BCD

33

解析对于A,若a<0时，贝IJa+7<0,不等式小不成立，故A错

误；对于B,若。>0,/?>0,贝IJa+b=Z+]=H，故"=1.所以。+〃>2两=

a+mnab+bm-ab-amm（b-a）

2,故B正确；对于C,若”>a>0,加>0,则京-]=―诉而一=而工而>°，

a+ma

所以订故C正确；对于D,若a>b>0,且|lna\=|lnb\,则Ina>lnb,且

a>1,0<b<1,In«+In/?=0,所以"=1,故D正确.

li.（2021.长沙一中高三月考）如图，在正方体ABC。-中，点P在

线段BG上运动，则下列判断中正确的有（）

A.平面PBi£）_L平面ACDi

B.AiP//平面AC。1

C.异面直线4P与A*所成角的取值范围是（0,1

D.三棱锥D-APC的体积不变

答案ABD

解析对于A,易知。B_L平面AC）,08在平面PB。内，从而平面PB。

1平面ACOi,A正确；对于B,易知平面84。//平面AC。，4P在平面84。

内，所以4P//平面AC。，故B正确；对于C,4P与AOi所成的角即为4P与

8G所成的角，AIB=BCI=/1ICI,当P与线段BG的两端点重合时，AiP与A"

TTTT

所成角取最小值？当P与线段BCx的中点重合时，AiP与ADi所成角取最大值十

故4P与Q所成角的范围是岳升故C不正确；对于D,由选项B得3G//

平面ADC,故8。上任意一点到平面AOC的距离均相等，所以以P为顶点，

△ADC为底面，则三棱锥尸-AOC的体积不变，又犯一APC=VP_RC,所以三

棱锥OLAPC的体积不变，故D正确.故选ABD.

12.(2020.山东德州二模)抛物线C：/=分的焦点为F,P为抛物线。上一

动点，设直线I与抛物线。相交于A,8两点，点M(2,2),下列结论正确的是()

A.|PM+|PF|的最小值为3

B.抛物线C上的动点到点”(0,3)的距离的最小值为3

C.存在直线/,使得A,8两点关于直线x+y-3=0对称

D.若过A,B的抛物线的两条切线交准线于点T,则A,8两点的纵坐标之

和的最小值为2

答案AD

解析对于A,设/'是抛物线的准线，过P作PN1/'于N,则1PM+IPQ

=\PM\+\PN]^3,当且仅当P,M,N三点共线时等号成立.所以IPM+FW的最

小值是3,A正确；

对于B,设P(x,y)是抛物线上任一点，即/=4y,|PH|=/+(y-3>=

[4—)2="_1)2+8,当y=l时，|P”|min=m=2啦，B错误；对于C,

假设存在直线/,使得A,3两点关于直线x+y-3=0对称，设直线/的方程为x

卜2=4y,

一y+〃z=O,由j得/一©-4m=0,所以/=16+16"2>O,m>-1,

x-y+m=0

X\+X2

设A(xi,yi),8(X2,yi),45的中点为。(xo,yo),贝Ijxi+X2=4,则xo=—3—=2,

yo=xo+m=2+加，点Q必在直线x+y-3=0上,所以2+2+〃？-3=0,机=-1,

这与直线/与抛物线。相交于两点矛盾，故不存在直线/,使得A,8两点关于直

线尤+y—3=0对称，C错误；对于D,设A(xi,yi),Bg"),由f=4y,得y

=*,所以y'=%,则切线AT的方程为y-yi=%i(x-xi),即

卜="一犷’

同理，切线8T的方程为y=2尔-4制，由j][解得

卜二中次一科，

X=2(^1+X2),

]由题意T在准线y=-1上，所以干应=-1,x\xi=-4,所以

{产种总，

yi+*=:(X+£)=([(X1+X2)2-ZriX2]=F(X1+X2)2+2,所以当XI+九2=0时，y\+

>2=2为最小值.D正确.故选AD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

log3(x+1)-2,x20,

13.(2020.山东泰安四模)已知函数/(x)=".、则1-2020)

伏x+3),x<n0,

答案-1

解析根据题意，当％<0时，段)=/+3),所以犬-2020)=火2-3X674)=

.*2),当x20时，於)=log3(x+l)-2,所以>2)=1。83(2+1)-2=-1.

14.(2020.山东临沂一模)已知双曲线最-方=1(4>0,比>0)的一条渐近线方程

为y=&x,左、右焦点分别为尸2,点A在双曲线上，且AF21FF2,则该双

曲线的离心率为sin/ABB=.

答案小3

解析一条渐近线方程为y=故人=也见。=小凡故

b1

不妨取A（c,9,故sin/”而=紫=庐J=

一+。

a2

15.（2020.辽宁沈阳东北育才学校第八次模拟）圆锥S。（其中S为顶点，。为

底面圆心）的侧面积与底面积的比是2:1,若圆锥的底面半径为3,则圆锥S。的

内切球的表面积为.

答案12兀

解析设圆锥的底面半径为「，母线长为/,内切球的半径为R.依题意，圆锥

（其中S为顶点，。为底面圆心）的侧面积与底面积的比是2：1,所以（兀〃）：（+）

=2：1,因为/'=3,所以/=6.利用轴截面，根据等面积可得gx6><m^=；X（6

+6+6）R,:.R=小,

「•该圆锥内切球的表面积为4兀X（小>=12兀

16.（2020.山东潍坊一模）定义函数=其中国表示不超过x的最大

整数，例如：0.3]=1,[-1.5]=-2,⑵=2.当x€[0,"）5€N*）时，/）的值域

20201

为4,记集合4中元素的个数为如，则产，一的值为.

Cli-L

“22019

口木1010

。x€[0,1),

1,x€fl,2),

解析由题意可得，田=<…

-1,X€1,江

。x€[0,1),

X,xe[1,2),

印二j…田]在各区间中的元素个数是

<(n-l)x,x€[n-1,ri),

n(n-1)n(n-1)

1,1,2,3，…，〃-1,.\an=1+1+2+3+…+(〃-1)=1+2,・•・〃〃-1=,

,_1_____^

••斯-1一〃(〃-1)一名〃-1

20201111

丁・.21~~~+…+~=

，力ai-1a2-1Q3-1672020-1

riiiii、ri)2019

2X(1-2+2-3+,"+2OT9-2O2OJ=2X11-2O2OJ=1OT()-

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.(2020・全国卷。)(本小题满分10分)设等比数列｛斯｝满足0+欧=4,.

-ci\—8.

(1)求他"｝的通项公式;

(2)记Sn为数列｛10g34"｝的前〃项和.若Sm+Sm+1=Sm+3,求m.

解(1)设等比数列仅"｝的公比为4,根据题意，有

a\+a\q=4,a\=\,

解得°3分

a\(f--«i=8,匕=3,

所以&=3"「5分

(2)令bn=log3«n=log33"-l=〃一1,

〃(0+n-1)n(n-1)

则s2=-2-8分

根据Sm+Sm+1=Sm+3,可得

m(tn-1)m(m+1)[m+2)(???+3)

2+~"2-=2'

整理得加2一5/〃-6=0,因为〃？＞0,所以〃？=6.10分

18.(2020.山东日照二模)体小题满分12分)在①辰+比=/+洛②^acosB

=bsinA,③小sinB+cosB=2,这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，

并解决该问题.

已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a",c,,A=l，b=y/2.

⑴求角W

⑵求△ABC的面积.

解若选择①/r+ac=tr+c2,

221

-

(1)由余弦定理，得cosB==2

7T

因为8€(0,兀)，所以8=14分

(2)由F核定理*--一＞得”.姆达-上上后

(2)田止弦/E埋灯必一足小可”sinB一近一3，

2

L.7,兀c兀L一、，一兀兀5兀I八

因为A=W，B=31所以。=兀_区_w=行.7分

5兀，兀兀、71717171^6+yfl.]

所以sinC=sin丘=sinQ+制=sin^cos^+cos^sin^=----,所以S^ABC=5

,-r(2,历1+啦3+Vj

若选择②小acosB=bsinA,

(1)由正弦定理，得、「sinAcosB二sinBsinA,

因为sinAWO,所以M§cos3=sin3,tanB=y(3,

7T

因为86(0,7i),所以B=54分

(2)同选择①.12分

若选择③小sinB+cosB=2,

⑴由和角公式得2sin(B+野=2,所以sin,+^=1.

因为36(0,it),所以8+注仁，肾)，所以3+5=],

7?

所以3=14分

⑵同选择①.12分

19.(2020.山东德州二模)(本小题满分12分)如图，已知平面EBC1平面ABC,

直线。Al平面ABC,S.DA=AB=AC.

I)

⑴求证：DA"平面EBC；

TT

(2)若=OE1平面BCE,求二面角A-BD-E的余弦值.

解(1)证明：过点E作9/1BC于点”，

因为平面E8CJ_平面ABC,又平面ESCH平面ABC=BC,E”U平面EBC,

所以平面ABC,3分

又因为D41平面ABC,所以DAIIEH,因为E"U平面EBC,D4a平面EBC,

所以DA//平面EBC.5分

TT

(2)因为。E1平面EBC,所以/OEC=5，

由AB=AC可知08=OC,又DE=DE,所以&RtZ\OEC,

贝ljBE=CE,

所以点”是BC的中点，连接则

所以平面EBC,则DE"AH,AHLEH,

所以四边形D4”E是矩形.

以”为坐标原点，分别以"8,HA,HE所在直线为x,y,z轴建立如图所示

的空间直角坐标系，

设D4=2a,则E(0,0,2a),

A(0,小a,0),B(a,O,O),£)(0,y[3a,2a).

设平面A3。的法向量为机=(xi,yi,zi),

又AB=(〃，—y[3af0),A。=(0,0,2a).

m-AB=0,\ax\-y[3ay\=0,

得。J

{tn-AD=Q12azi-0,

取yi=i,得帆=(小,i,o).8分

设平面BOE的法向量为〃=(九2,yi,Z2),

因为80=(-a,事a,2a),BE=(-a,0,2a).

n-BD=Q,ax2-4ay2-2az2=0,

得,

axi-2az2=0,

由L砺=()

取Z2=1,得〃=(2,0,1).10分

设二面角A-BD-E的平面角为0,

.“八，,\m-n\—15

贝IJIcosq=|cos<in,n>|=^^=5,

由题知二面角A-BD-E是钝角，

则二面角A-BD-E的余弦值为一平.12分

20.(2020•山东省第一次仿真联考)(本小题满分12分)某公司采购了一批零件，

为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个零件的长度(单位：分米)，按

数据分成[1.2』.3],(1.3,1.4],(1.4,1.5],(1.5,1.6],(1.6,1.7],(1.7,1.8]这6组，得到

如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于L59分米的零件有20个，其

长度分别为

1.59,1.59,1.61,1.61,1.62,1.63,1.63,1.64,1.65,1.65,1.65,1.65,1.66,1.67,1.68,1.69,1.69,1.

71,1.72,1.74,以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概

率.

(1)求这批零件的长度大于L60分米的频率，并求频率分布直方图中，％〃，/

的值；

(2)若从这批零件中随机选取3个，记X为抽取的零件长度在(1.4,1.6］的个数，

求X的分布列和数学期望；

(3)若变量S满足|Pa—o<SW〃+<7)-0.68261W0.05且|尸@一2<r<SW〃+2。)一

0.9544|^0.05,则称变量S满足近似于正态分布N@,/)的概率分布.如果这批

零件的长度K单位：分米)满足近似于正态分布ML5,0.01)的概率分布，则认为这

批零件是合格的，将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批零件能否

被签收？

解(1)由题意可知120个样本零件中长度大于1.60分米的共有18个，

1Q

则这批零件的长度大于1.60分米的频率为两=0.15.2分

记丫为零件的长度，

3

则P(1.2W收1.3)=尸(1.7<YW1.8)=血=0.025,

尸(1.3<YW1.4)=P(1.6<YW1.7)=需=0.125,

尸(1.4<yW1.5)=P(1.5<yW1.6)=gx(l—2X0.025—2X0.125)=0.35.4分

u0.025…0.125…0.35一,八

故"'=0]=0,25,"=°]=1.25,，=吊了=3.5.5分

(2)由(1)可知从这批零件中随机选取1件,

长度在(1.4,1.6]的概率P=2X0.35=0.7.

且随机变量X服从二项分布X〜8(3,0.7),6分

则P(X=0)=C9X(1-0.7)3=0.027,

P(X=l)=CiX(l-0.7)2X0.7=0.189,

P(x=2)=c4x(l-0.7)X0.72=0.441,

P(X=3)=C]X0.73=0,343,7分

故随机变量X的分布列为

X0123

p0.0270.1890.4410.343

E(X)=0X0.027+1X0.189+2X0.441+3X0.343=2.1(或E(X)=3X0.7=

2.1).8分

(3)由题意可知"=1.5,<7=0.1,9分

则Pg+a)=尸(1.4<YW1.6)=0.7;

P(/i-2。〈收〃+2a)=P(1.3<YW1.7)=0.125+0.35+0.35+0.125=0.95.11分

因为|0.7-0.6826|=0.0174<0.05,|0.95-0.9544|=0.0044<0.05,所以这批零件

的长度满足近似于正态分布ML5,0.01)的概率分布，应认为这批零件是合格的，

将顺利被该公司签收.12分

21.(2020•河北石家庄高三五月模拟)(本小题满分12分)已知函数於)=e'-(x

+l)ln(x+1)+(1-a)x,aWR,e=2.718…为自然对数的底数.

(1)若凡r)为单调递增函数，求实数。的取值范围；

(2)当爪x)存在极小值时，设极小值点为次，求证：/(xo)>(l-a)e。.

解(1)由题意知/'a)=e'—ln(x+l)-a,

令g(x)=e，—ln(x+1)-a,g'(x)=e•'-,

显然g'(x)在(-1,+8)上单调递增，且短(0)=0,

故当xC(-l,0)时，g'(x)<0,-(x)单调递减;

当x€(0,+8)时，g，(x)>0,#(幻单调递增,

所以(x)2f(0)=1—a.

若於)为增函数，则/'㈤》。恒成立，即1-心0,即aWL

经检验，当aWl时，满足题意.4分

(2)证明：由⑴知“W1时，/)为增函数,不存在极小值；

当a>l时，/(0)<0,f(-1+e-a)=e-|+e-fl>0,—l<—l+e”<0,

故存在xiW(-1+e—O)使得便(xi)=0;5分

f(a)=e"-In(a+1)-a,

令/?(a)=e"-In(a+1)-a,h'(a)=e"—.]1-1,

显然〃(a)在(1,+8)上单调递增，

3

故/(a)>〃⑴=e-2>0,故人⑷在(1,+8)上单调递增,

故/z(a)>/z(l)=e—ln2—1>0,故/'(a)>0,

因此存在X26(0,4)使得了'(X2)=O.

因此人)在(-1,幻)上单调递增，(幻，X2)上单调递减，(X2,+8)上单调递增.7

分

xo=%2€(0,a),fixo)=exo-(xo+l)ln(xo+1)+(1-a)xo,

由evo-ln(xo+1)-a=0代入消去a得/(xo)=(1-xo)^-In(xo+1)+xo,

令F(x)=(1-x)e-In(x+1)+x,F'(x)=7卜一1+J，

当x〉0时，e'>l,0<^-<l,

故x€(0,+8)时，F'(x)<0,F(x)单调递减，

即儿w)在(0,a)上单调递减，

故加o)/a)=(1-a)ea-In(a+1)+a,

故要证於0)>(1-a)e",只需证a-In(a+1)>0,10分

令G(a)=a-ln(a+1),G'(a)="；1,

当a>0时,G'(a)>0,G⑷单调递增,

故当a>l时,G(a)>G(l)=l-ln2>0.

综上，#xo)>(l-a)e"成立.12分

?2

22.(2020•山东淄博二模)体小题满分12分)已知椭圆E：，+方=1(。»〉0)

的左、右焦点分别为尸2,离心率是由，P为椭圆上的动点.当取