第十六章二次根式教学测试练习题

第十六章二次根式16．1二次根式第1课时二次根式的概念和性质1．二次根式的概念和应用．2．二次根式的非负性．重点二次根式的概念．难点二次根式的非负性．一、情景导入师:(多媒体展示)请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔．电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r＝eq\r(2Rh)(R为地球半径)．如果两个电视塔的高分别为h1km，h2km，那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？由学生计算、讨论后得出结果，并提问．生:半径之比为eq\f(\r(2Rh1),\r(2Rh2))，暂时我们还不会对它进行化简．师:那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容．二、新课教授活动1:知识迁移，归纳概念(多媒体演示)用含根号的式子填空．(1)17的算术平方根是________；(2)如图，要做一个两条直角边长分别为7cm和4cm的三角形，斜边长应为________cm；(3)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m；(4)面积为3的正方形的边长为________，面积为a的正方形的边长为____________；(5)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时的高度h(单位:m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，则t＝________．【答案】(1)eq\r(17)(2)eq\r(65)(3)eq\r(65)(4)eq\r(3)eq\r(a)(5)eq\r(\f(h,5))活动2:二次根式的非负性(多媒体展示)(1)式子eq\r(a)表示的实际意义是什么？被开方数a满足什么条件时，式子eq\r(a)才有意义？(2)当a＞0时，eq\r(a)________0；当a＝0时，eq\r(a)________0；二次根式是一个________．【答案】(1)a的算术平方根，被开方数a必须是非负数(2)＞＝非负数老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性．当a＞0时，eq\r(a)表示a的算术平方根，因此eq\r(a)＞0；当a＝0时，eq\r(a)表示0的算术平方根，因此eq\r(a)＝0.也就是说，当a≥0时，eq\r(a)≥0.三、例题讲解【例】当x是怎样的实数时，eq\r(x－2)在实数范围内有意义？解:由x－2≥0，得x≥2.所以当x≥2时，eq\r(x－2)在实数范围内有意义．四、巩固练习1．已知eq\r(a－2)＋eq\r(b＋\f(1,2))＝0，求－a2b的值．【答案】eq\r(a－2)≥0，eq\r(b＋\f(1,2))≥0，又∵它们的和为0，∴a－2＝0且b＋eq\f(1,2)＝0，解得a＝2，b＝－eq\f(1,2).∴－a2b＝－22×(－eq\f(1,2))＝2.2．若x，y使eq\r(x－1)＋eq\r(1－x)－y＝3有意义，求2x＋y的值．【答案】－1五、课堂小结1．本节课主要学习了二次根式的概念．形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式，“eq\r()”称为二次根号．2．二次根式的被开方数必须是什么数才有意义？eq\r(a)(a≥0)又是什么数？1．本节课的教学过程中，通过创设情境，给出实例，学生积极主动探索，教师引导与启发，师生互动，体现教师的组织者、引导者与合作者地位．2．注重知识之间的衔接，在温故知新的过程中引出新知，讲练结合旨在巩固学生对新知的理解．第2课时二次根式的化简1．理解(eq\r(a))2＝a(a≥0)，并能利用它进行计算和化简．2．通过具体数据的解答，探究eq\r(a2)＝a(a≥0)，并利用这个结论解决具体问题．重点理解并掌握(eq\r(a))2＝a(a≥0)，eq\r(a2)＝a(a≥0)以及它们的运用．难点探究结论．一、复习导入教师复习口述上节课的重要内容，并板书:1．形如eq\r(a)(a≥0)的式子叫做二次根式．2.eq\r(a)(a≥0)是一个非负数．那么，当a≥0时，(eq\r(a))2等于什么呢？下面我们一起来探究这个问题．二、新课教授活动1:(多媒体演示)根据算术平方根的意义填空:(eq\r(4))2＝________；(eq\r(2))2＝________；(eq\r(\f(1,3)))2＝________；(eq\r(\f(5,2)))2＝________；(eq\r(0.01))2＝________；(eq\r(0))2＝________．由学生计算、讨论得出结果，并提问部分过程，教师进行点评．老师点评:eq\r(4)是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，eq\r(4)是一个平方等于4的非负数，因此(eq\r(4))2＝4.同理:(eq\r(2))2＝2；(eq\r(\f(1,3)))2＝eq\f(1,3)；(eq\r(\f(5,2)))2＝eq\f(5,2)；(eq\r(0.01))2＝0.01；(eq\r(0))2＝0.所以归纳出:(eq\r(a))2＝a(a≥0)．【例1】教材第3页例2活动2:(多媒体展示)填空:eq\r(22)＝________；eq\r(0.12)＝________；eq\r(（\f(1,3)）2)＝________；eq\r(（\f(3,7)）2)＝________；eq\r(（2\f(1,2)）2)＝________；eq\r(02)＝________．教师点评:根据算术平方根的意义，我们可以得到:eq\r(22)＝2；eq\r(0.12)＝0.1；eq\r(（\f(1,3)）2)＝eq\f(1,3)；eq\r(（\f(3,7)）2)＝eq\f(3,7)；eq\r(（2\f(1,2)）2)＝2eq\f(1,2)；eq\r(02)＝0.所以归纳出:eq\r(a2)＝a(a≥0)．【例2】教材第4页例3教师点评:当a≥0时，eq\r(a2)＝a；当a≤0时，eq\r(a2)＝－a.三、课堂小结本节课应理解并掌握(eq\r(a))2＝a(a≥0)和eq\r(a2)＝a(a≥0)及其运用，同时应理解eq\r(a2)＝－a(a≤0)．1．注意前后知识之间的联系，在复习旧知的过程中导入本节课的教学内容．按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．2．在总结二次根式性质的过程中，由学生经过观察、分析的过程，让学生在交流活动中体会成功．16.2二次根式的乘除第1课时二次根式的乘法理解并掌握eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，eq\r(a·b)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)，会利用它们进行计算和化简．重点eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，eq\r(a·b)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)及它们的运用．难点利用逆向思维，导出eq\r(a·b)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)．一、创设情境，导入新课活动1:发现探究(多媒体展示)填空:(1)eq\r(4)×eq\r(9)＝________________________________________________________________________，eq\r(4×9)＝________________________________________________________________________；(2)eq\r(25)×eq\r(16)＝________________________________________________________________________，eq\r(25×16)＝________________________________________________________________________；(3)eq\r(\f(1,9))×eq\r(36)＝________________________________________________________________________，eq\r(\f(1,9)×36)＝________________________________________________________________________；(4)eq\r(100)×eq\r(0)＝________________________________________________________________________，eq\r(100×0)＝________________________________________________________________________.生:(1)eq\r(4)×eq\r(9)＝6，eq\r(4×9)＝6；(2)eq\r(25)×eq\r(16)＝20，eq\r(25×16)＝20；(3)eq\r(\f(1,9))×eq\r(36)＝2，eq\r(\f(1,9)×36)＝2；(4)eq\r(100)×eq\r(0)＝0，eq\r(100×0)＝0.试一试，参考上面的结果，比较四组等式的大小关系．生:上面各组中两个算式的结果相等．二、新课教授活动2:总结规律结合刚才的计算，学生分组讨论，教师提问部分学生，最后教师综合学生的答案，加以点评，归纳出二次根式的乘法法则．教师点评:1．被开方数都是非负数．2．两个非负数算术平方根的积等于它们积的算术平方根．一般地，二次根式的乘法法则为:eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)由等式的对称性，反过来:eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)活动3:讲练结合教材第6～7页例题三、巩固练习完成课本第7页的练习．【答案】课本练习第1题:(1)eq\r(10)；(2)6；(3)2eq\r(3)；(4)2.第2题:(1)77；(2)15；(3)2eq\r(y)；(4)4bceq\r(ac).第3题:4eq\r(5).四、课堂小结本节课应掌握:eq\r(a)·eq\r(b)＝eq\r(ab)(a≥0，b≥0)，eq\r(ab)＝eq\r(a)·eq\r(b)(a≥0，b≥0)及其应用．1．创设情境，给出实例．学生积极主动探索，教师引导启发，按照由特殊到一般的规律，降低学生理解的难度．2．在二次根式乘法法则的形成过程中，由学生大胆猜测，经过思考、分析、讨论的过程，让学生在交流中体会成功．第2课时二次根式的除法理解eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)和eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)，会利用它们进行计算和化简．重点理解并掌握eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)，eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)，利用它们进行计算和化简．难点归纳二次根式的除法法则．一、复习导入活动1:1．由学生回答二次根式的乘法法则及逆向等式．2．填空(多媒体展示)．(1)eq\f(\r(9),\r(25))＝________，eq\r(\f(9,25))＝________；(2)eq\f(\r(16),\r(4))＝________，eq\r(\f(16,4))＝________；(3)eq\f(\r(81),\r(49))＝________，eq\r(\f(81,49))＝________；(4)eq\f(\r(36),\r(64))＝________，eq\r(\f(36,64))＝________．二、新课教授活动2:先由学生对上面的结果进行比较，观察每组两个算式结果的大小关系，并总结规律．教师点评:一个非负数的算术平方根除以一个正数的算术平方根，等于它们商的算术平方根．一般地，二次根式的除法法则是:eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)由等式的对称性，反过来:eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)【例】教材第8～9页例题三、巩固练习课本第10页练习第1题．【答案】(1)3(2)2eq\r(3)(3)eq\f(\r(3),3)(4)2a四、课堂小结本节课应掌握eq\r(\f(a,b))＝eq\f(\r(a),\r(b))(a≥0，b＞0)和eq\f(\r(a),\r(b))＝eq\r(\f(a,b))(a≥0，b＞0)及其应用．1．创设情境，复习二次根式的乘法，旨在类比学习二次根式的除法，培养学生继续探究的兴趣．2．二次根式除法的学习过程，按照由特殊到一般的规律，由学生经历思考、讨论、分析的过程，让学生大胆猜测，使学生在交流中体会成功．第3课时最简二次根式最简二次根式的概念、利用最简二次根式的概念和性质进行二次根式的化简和运算．重点最简二次根式的运用．难点会判断这个二次根式是否是最简二次根式．一、复习导入(学习活动)请同学们完成下列各题．(请四位同学上台板书)计算:(1)eq\f(\r(2),\r(3))；(2)eq\f(2\r(6),\r(18))；(3)eq\f(\r(8),\r(2a))；(4)eq\f(\r(x3),\r(x2y)).教师点评:(1)eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3)；(2)eq\f(2\r(6),\r(18))＝eq\f(2\r(3),3)；(3)eq\f(\r(8),\r(2a))＝eq\f(2\r(a),a)；(4)eq\f(\r(x3),\r(x2y))＝eq\f(\r(xy),y).二、新课教授教师点评:上面这些式子的结果具有如下两个特点:1．被开方数不含分母．2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．师:我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(教师板书)教师强调:在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式．【例1】判断下列式子是不是最简二次根式，为什么？(1)3xyeq\r(\f(1,2)x)；(2)25aeq\r(3a3)；(3)eq\r(\f(1,x))；(4)eq\r(0.2a).解:(1)被开方数中有因数eq\f(1,2)，因此它不是最简二次根式；(2)被开方数中有开得尽方的因式a2，因此它不是最简二次根式；(3)被开方数中有分母，因此它不是最简二次根式；(4)被开方数中有因数0.2，它不是整数，所以它不是最简二次根式．【例2】化简:(1)eq\r(\f(27,8))；(2)eq\r(12x2y3)(x≥0)；(3)eq\r(a2b4＋a4b2)(ab≥0)．解:(1)eq\r(\f(27,8))＝eq\r(\f(27×2,8×2))＝eq\r(\f(9,16)×6)＝eq\f(3,4)eq\r(6)；(2)eq\r(12x2y3)＝eq\r(4x2y2·3y)＝2xyeq\r(3y)；(3)eq\r(a2b4＋a4b2)＝eq\r(a2b2（b2＋a2）)＝abeq\r(a2＋b2).【例3】教材第9页例7三、课堂小结1．本节课应掌握最简二次根式的特点及其运用．2．二次根式的运算结果要化为最简二次根式．1．注重知识的前后联系，温故而知新．让学生积极主动地探索，教师引导和启发，使学生在经过思考、讨论和分析的过程后，获得新知，体会学习的乐趣．2．前两个例题旨在加强对最简二次根式的理解，第三个例题让学生灵活运用二次根式解决实际问题．

16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减理解并掌握二次根式加减的方法，并能用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算．重点理解并掌握二次根式加减计算的方法．难点二次根式的化简、合并被开方数相同的最简二次根式．一、复习导入(学生活动)1．计算:(1)x＋2x；(2)3a－2a＋4a；(3)2x2－3x2＋5x2；(4)2a2－4a2＋3a.2．教师点评:上面的运算实际上就是以前所学习的合并同类项，合并同类项就是字母连同指数不变，系数相加减．二、新课教授(学生活动)1．类比计算，说明理由．(1)eq\r(2)＋2eq\r(2)；(2)3eq\r(8)－2eq\r(8)＋4eq\r(8)；(3)3eq\r(2)＋eq\r(8)；(4)2eq\r(3)－3eq\r(3)＋eq\r(12).2．教师点评:(1)eq\r(2)＋2eq\r(2)＝(1＋2)eq\r(2)＝3eq\r(2)；(2)3eq\r(8)－2eq\r(8)＋4eq\r(8)＝(3－2＋4)eq\r(8)＝5eq\r(8)＝10eq\r(2)；(3)虽然表面上eq\r(2)与eq\r(8)的被开方数不同，不能当作被开方数相同，但eq\r(8)可化为2eq\r(2)，3eq\r(2)＋eq\r(8)＝3eq\r(2)＋2eq\r(2)＝(3＋2)eq\r(2)＝5eq\r(2)；(4)同样eq\r(12)可化为2eq\r(3)，2eq\r(3)－3eq\r(3)＋eq\r(12)＝2eq\r(3)－3eq\r(3)＋2eq\r(3)＝(2－3＋2)eq\r(3)＝eq\r(3).所以在用二次根式进行加减运算时，如果被开方数相同则可以进行合并，因此可将二次根式先化为最简二次根式，比较被开方数是否相同．因此可得:二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【例1】教材第13页例1【例2】教材第13页例2三、巩固练习教材第13页练习第1，2题．【答案】第1题:(1)不正确，两边不相等；(2)不正确，两边不相等；(3)正确．第2题:(1)－4eq\r(7)；(2)3eq\r(5)；(3)10eq\r(2)－3eq\r(3)；(4)3eq\r(6)＋eq\f(1,4)eq\r(2).四、课堂小结本节课应掌握进行二次根式加减运算时，先把不是最简二次根式的化成最简二次根式，再把相同被开方数的最简二次根式进行合并．1．创设情境，给出实例．由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则．2．两个例题，旨在帮助学生理解并掌握二次根式的加减运算法则．尤其是例2，要按照两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神．第2课时二次根式的加减乘除混合运算含有二次根式的式子进行加减乘除混合运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用．重点二次根式的加减乘除混合运算．难点由整式运算知识迁移到含二次根式的运算．一、复习导入(学生活动):请同学们完成下列各题．计算:(1)(3x2＋2x＋2)·4x；(2)(4x2－2xy)÷(－2xy)；(3)(3a＋2b)(3a－2b)；(4)(2x＋1)2＋(2x－1)2.二、新课教授由于整式运算中的x，y，a，b是字母，它的意义十分广泛，可以代表一切，当然也可以代表二次根式，因此整式中的运算规律也适用于二次根式，下面我们就使用这些规律来进行计算．【例1】计算:(1)(eq\r(8)＋eq\r(3))×eq\r(6)；(2)(4eq\r(2)－3eq\r(6))÷2eq\r(2).分析:二次根式仍然满足整式的运算规律，所以可直接用整式的运算规律．解:(1)(eq\r(8)＋eq\r(3))×eq\r(6)＝eq\r(8)×eq\r(6)＋eq\r(3)×eq\r(6)＝eq\r(48)＋eq\r(18)＝4eq\r(3)＋3eq\r(2)；(2)(4eq\r(2)－3eq\r(6))÷2eq\r(2)＝4eq\r(2)÷2eq\r(2)－3eq\r(6)÷2eq\r(2)＝2－eq\f(3,2)eq\r(3).【例2】计算:(1)(eq\r(2)＋3)(eq\r(2)－5)；(2)(eq\r(5)＋eq\r(3))(eq\r(5)－eq\r(3))；(3)(eq\r(3)－eq\r(2))2.分析:第(1)题可类比多项式乘以多项式法则来计算，第(2)题把eq\r(5)当作a，eq\r(3)当作b，就可以类比(a＋b)(a－b)＝a2－b2，第(3)题可类比(a－b)2＝a2－2ab＋b2来计算．解:(1)(eq\r(2)＋3)(eq\r(2)－5)＝(eq\r(2))2＋3eq\r(2)－5eq\r(2)－15＝2＋3eq\r(2)－5eq\r(2)－15＝－13－2eq\r(2)；(2)(eq\r(5)＋eq\r(3))(eq\r(5)－eq\r(3))＝(eq\r(5))2－(eq\r(3))2＝5－3＝2；(3)(eq\r(3)－eq\r(2))2＝(eq\r(3))2－2×eq\r(3)×eq\r(2)＋(eq\r(2))2＝5－2eq\r(6).三、巩固练习教材第14页练习第1，2题．【答案】第1题:(1)eq\r(6)＋eq\r(10)；(2)4＋2eq\r(2)；(3)11＋5eq\r(5)；(4)4.第2题:(1)9；(2)a－b；(3)7＋4eq\r(3)；(4)22－4eq\r(10).四、课堂小结本节课应掌握利用整式运算的规律进行二次根式的乘除、乘方等运算．1．情境引入，复习整式运算的知识，旨在迁移到利用乘法公式进行含二次根式算式的运算，培养学生继续探究的兴趣．2．例题的设计，旨在帮助学生理解乘法公式在二次根式运算中的应用．第十七章勾股定理17．1勾股定理第1课时勾股定理(1)了解勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理，能应用勾股定理进行简单的计算．重点勾股定理的内容和证明及简单应用．难点勾股定理的证明．一、创设情境，引入新课让学生画一个直角边分别为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．再画一个两直角边分别为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出斜边的长．你是否发现了32＋42与52的关系，52＋122与132的关系，即32＋42＝52，52＋122＝132，那么就有勾2＋股2＝弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？由一学生朗读“毕达哥拉斯观察地面图案发现勾股定理”的传说，引导学生观察身边的地面图形，猜想毕达哥拉斯发现了什么？拼图实验，探求新知1．多媒体课件演示教材第22～23页图17.1－2和图17.1－3，引导学生观察思考．2．组织学生小组合作学习．问题:每组的三个正方形之间有什么关系？试说一说你的想法．引导学生用拼图法初步体验结论．生:这两组图形中，每组的大正方形的面积都等于两个小正方形的面积和．师:这只是猜想，一个数学命题的成立，还要经过我们的证明．归纳验证，得出定理(1)猜想:命题1:如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.(2)是不是所有的直角三角形都有这样的特点呢？这就需要对一个一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明已有几百种之多，下面我们就看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个定理的．①用多媒体课件演示．②小组合作探究:a．以直角三角形ABC的两条直角边a，b为边作两个正方形，你能通过剪、拼把它拼成弦图的样子吗？b．它们的面积分别怎样表示？它们有什么关系？c．利用学生自己准备的纸张拼一拼，摆一摆，体验古人赵爽的证法．想一想还有什么方法？师:通过拼摆，我们证实了命题1的正确性，命题1与直角三角形的边有关，我国把它称为勾股定理．即在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．二、例题讲解【例1】填空题．(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，则c＝________；(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝________；(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝10，a∶b＝3∶4，则a＝________，b＝________；(4)一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为________；(5)已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为________cm，面积为________cm2.【答案】(1)17(2)eq\r(7)(3)68(4)6，8，10(5)eq\r(3)eq\r(3)【例2】已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边．分析:已知两边中，较大边12可能是直角边，也可能是斜边，因此应分两种情况分别进行计算．让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想．【答案】eq\r(119)或13三、巩固练习填空题．在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)如果a＝7，c＝25，则b＝________；(2)如果∠A＝30°，a＝4，则b＝________；(3)如果∠A＝45°，a＝3，则c＝________；(4)如果c＝10，a－b＝2，则b＝________；(5)如果a，b，c是连续整数，则a＋b＋c＝________；(6)如果b＝8，a∶c＝3∶5，则c＝________．【答案】(1)24(2)4eq\r(3)(3)3eq\r(2)(4)6(5)12(6)10四、课堂小结1．本节课学到了什么数学知识？2．你了解了勾股定理的发现和验证方法了吗？3．你还有什么困惑？本节课的设计关注学生是否积极参与探索勾股定理的活动，关注学生能否在活动中积极思考、能够探索出解决问题的方法，能否进行积极的联想(数形结合)以及学生能否有条理地表达活动过程和所获得的结论等．关注学生的拼图过程，鼓励学生结合自己所拼得的正方形验证勾股定理．第2课时勾股定理(2)能将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．重点将实际问题转化为直角三角形模型．难点如何用解直角三角形的知识和勾股定理来解决实际问题．一、复习导入问题1:欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？师生行为:学生分小组讨论，建立直角三角形的数学模型．教师深入到小组活动中，倾听学生的想法．生:根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC＝12m，BC＝5m，AB是梯子的长度，所以在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2＝122＋52＝132，则AB＝13m.所以至少需13m长的梯子．师:很好！由勾股定理可知，已知两直角边的长分别为a，b，就可以求出斜边c的长．由勾股定理可得a2＝c2－b2或b2＝c2－a2，由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条直角边的长，也就是说，在直角三角形中，已知两边就可求出第三边的长．问题2:一个门框的尺寸如图所示，一块长3m、宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？学生分组讨论、交流，教师深入到学生的数学活动中，引导他们发现问题，寻找解决问题的途径．生1:从题意可以看出，木板横着进，竖着进，都不能从门框内通过，只能试试斜着能否通过．生2:在长方形ABCD中，对角线AC是斜着能通过的最大长度，求出AC，再与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．师生共析:解:在Rt△ABC中，根据勾股定理AC2＝AB2＋BC2＝12＋22＝5.因此AC＝eq\r(5)≈2.236.因为AC>木板的宽，所以木板可以从门框内通过．二、例题讲解【例1】如图，山坡上两棵树之间的坡面距离是4eq\r(3)米，则这两棵树之间的垂直距离是________米，水平距离是________米．分析:由∠CAB＝30°易知垂直距离为2eq\r(3)米，水平距离是6米．【答案】2eq\r(3)6【例2】教材第25页例2三、巩固练习1．如图，欲测量松花江的宽度，沿江岸取B，C两点，在江对岸取一点A，使AC垂直江岸，测得BC＝50米，∠B＝60°，则江面的宽度为________．【答案】50eq\r(3)米2．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达地点B200米，结果他在水中实际游了520米，求该河流的宽度．【答案】约480m四、课堂小结1．谈谈自己在这节课的收获有哪些？会用勾股定理解决简单的应用题；会构造直角三角形．2．本节是从实验问题出发，转化为直角三角形问题，并用勾股定理完成解答．这是一节实际应用课，过程中要充分发挥学生的主导性，鼓励学生动手、动脑，经历将实际问题转化为直角三角形的数学模型的过程，激发了学生的学习兴趣，锻炼了学生独立思考的能力．第3课时勾股定理(3)1．利用勾股定理证明:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．2．利用勾股定理，能在数轴上找到表示无理数的点．3．进一步学习将实际问题转化为直角三角形的数学模型，并能用勾股定理解决简单的实际问题．重点在数轴上寻找表示eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)，…这样的表示无理数的点．难点利用勾股定理寻找直角三角形中长度为无理数的线段．一、复习导入复习勾股定理的内容．本节课探究勾股定理的综合应用．师:在八年级上册，我们曾经通过画图得到结论:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．你们能用勾股定理证明这一结论吗？学生思考并独立完成，教师巡视指导，并总结．先画出图形，再写出已知、求证如下:已知:如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证:△ABC≌△A′B′C′.证明:在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，根据勾股定理，得BC＝eq\r(AB2－AC2)，B′C′＝eq\r(A′B′2－A′C′2).又AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．师:我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上表示出eq\r(13)所对应的点吗？教师可指导学生寻找像长度为eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)，…这样的包含在直角三角形中的线段．师:由于要在数轴上表示点到原点的距离为eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)，…，所以只需画出长为eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)，…的线段即可，我们不妨先来画出长为eq\r(2)，eq\r(3)，eq\r(5)，…的线段．生:长为eq\r(2)的线段是直角边都为1的直角三角形的斜边，而长为eq\r(5)的线段是直角边为1和2的直角三角形的斜边．师:长为eq\r(13)的线段能否是直角边为正整数的直角三角形的斜边呢？生:设c＝eq\r(13)，两直角边长分别为a，b，根据勾股定理a2＋b2＝c2，即a2＋b2＝13.若a，b为正整数，则13必须分解为两个平方数的和，即13＝4＋9，a2＝4，b2＝9，则a＝2，b＝3，所以长为eq\r(13)的线段是直角边长分别为2，3的直角三角形的斜边．师:下面就请同学们在数轴上画出表示eq\r(13)的点．生:步骤如下:1．在数轴上找到点A，使OA＝3.2．作直线l垂直于OA，在l上取一点B，使AB＝2.3．以原点O为圆心、以OB为半径作弧，弧与数轴交于点C，则点C即为表示eq\r(13)的点．二、例题讲解【例1】飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？分析:根据题意，可以画出如图所示的图形，A点表示男孩头顶的位置，C，B点是两个时刻飞机的位置，∠C是直角，可以用勾股定理来解决这个问题．解:根据题意，得在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5000米，AC＝4800米．由勾股定理，得AB2＝AC2＋BC2，即50002＝BC2＋48002，所以BC＝1400米．飞机飞行1400米用了10秒，那么它1小时飞行的距离为1400×6×60＝504000(米)＝504(千米)，即飞机飞行的速度为504千米/时．【例2】在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少？解:根据题意，得到上图，其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，CD＝3分米，CB＝6分米，AD＝AB，BC⊥AD，所以在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋3)2＝AC2＋62，AC2＋6AC＋9＝AC2＋36，∴6AC＝27，AC＝4.5，所以这里的水深为4.5分米．【例3】在数轴上作出表示eq\r(17)的点．解:以eq\r(17)为长的边可看作两直角边分别为4和1的直角三角形的斜边，因此，在数轴上画出表示eq\r(17)的点，如下图:师生行为:由学生独立思考完成，教师巡视指导．此活动中，教师应重点关注以下两个方面:①学生能否积极主动地思考问题；②能否找到斜边为eq\r(17)，另外两条直角边为整数的直角三角形．三、课堂小结1．进一步巩固、掌握并熟练运用勾股定理解决直角三角形问题．2．你对本节内容有哪些认识？会利用勾股定理得到一些无理数，并理解数轴上的点与实数一一对应．本节课的教学中，在培养逻辑推理的能力方面，做了认真的考虑和精心的设计，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续，注重数学与生活的联系，从学生的认知规律和接受水平出发，这些理念贯彻到课堂教学当中，很好地激发了学生学习数学的兴趣，培养了学生善于提出问题、敢于提出问题、解决问题的能力．17.2勾股定理的逆定理第1课时勾股定理的逆定理(1)1．掌握直角三角形的判别条件．2．熟记一些勾股数．3．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．重点探究勾股定理的逆定理，理解并掌握互逆命题、原命题、逆命题的有关概念及关系．难点归纳猜想出命题2的结论．一、复习导入活动探究(1)总结直角三角形有哪些性质；(2)一个三角形满足什么条件时才能是直角三角形？生:直角三角形有如下性质:(1)有一个角是直角；(2)两个锐角互余；(3)两直角边的平方和等于斜边的平方；(4)在含30°角的直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．师:那么一个三角形满足什么条件时，才能是直角三角形呢？生1:如果三角形有一个内角是90°，那么这个三角形就为直角三角形．生2:如果一个三角形，有两个角的和是90°，那么这个三角形也是直角三角形．师:前面我们刚学习了勾股定理，知道一个直角三角形的两直角边a，b与斜边c具有一定的数量关系即a2＋b2＝c2，我们是否可以不用角，而用三角形三边的关系来判定它是否为直角三角形呢？我们来看一下古埃及人是如何做的？问题:据说古埃及人用下图的方法画直角:把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．这个问题意味着，如果围成的三角形的三边长分别为3，4，5，有下面的关系:32＋42＝52，那么围成的三角形是直角三角形．画画看，如果三角形的三边长分别为2.5cm，6cm，6.5cm，有下面的关系:2.52＋62＝6.52，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边分别为4cm，7.5cm，8.5cm，再试一试．生1:我们不难发现上图中，第1个结到第4个结是3个单位长度即AC＝3；同理BC＝4，AB＝5.因为32＋42＝52，所以我们围成的三角形是直角三角形．生2:如果三角形的三边长分别是2.5cm，6cm，6.5cm.我们用尺规作图的方法作此三角形，经过测量后，发现6.5cm的边所对的角是直角，并且2.52＋62＝6.52.再换成三边长分别为4cm，7.5cm，8.5cm的三角形，可以发现8.5cm的边所对的角是直角，且有42＋7.52＝8.52.师:很好！我们通过实际操作，猜想结论．命题2如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．再看下面的命题:命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.它们的题设和结论各有何关系？师:我们可以看到命题2与命题1的题设、结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．例如把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题．二、例题讲解【例1】说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？(1)同旁内角互补，两条直线平行；(2)如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等；(3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；(4)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．分析:(1)每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注意语言的运用；(2)理顺它们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，也可能一真一假，还可能都假．解略．三、巩固练习教材第33页练习第2题．四、课堂小结师:通过这节课的学习，你对本节内容有哪些认识？学生发言，教师点评．本节课的教学设计中，将教学内容精简化，实行分层教学．根据学生原有的认知结构，让学生更好地体会分割的思想．设计的题型前后呼应，使知识有序推进，有助于学生理解和掌握；让学生通过合作、交流、反思、感悟的过程，激发学生探究新知的兴趣，感受探索、合作的乐趣，并从中获得成功的体验，真正体现学生是学习的主人．将目标分层后，满足不同层次学生的做题要求，达到巩固课堂知识的目的．第2课时勾股定理的逆定理(2)1．理解并掌握证明勾股定理的逆定理的方法．2．理解逆定理、互逆定理的概念．重点勾股定理的逆定理的证明及互逆定理的概念．难点理解互逆定理的概念．一、复习导入师:我们学过的勾股定理的内容是什么？生:如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.师:根据上节课学过的内容，我们得到了勾股定理逆命题的内容:如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．师:命题2是命题1的逆命题，命题1我们已证明过它的正确性，命题2正确吗？如何证明呢？师生行为:让学生试着寻找解题思路，教师可引导学生理清证明的思路．师:△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2.如果△ABC是直角三角形，它应与直角边是a，b的直角三角形全等，实际情况是这样吗？我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′＝a，A′C′＝b，∠C′＝90°(如图)，把画好的△A′B′C′剪下，放在△ABC上，它们重合吗？生:我们所画的Rt△A′B′C′，(A′B′)2＝a2＋b2，又因为c2＝a2＋b2，所以(A′B′)2＝c2，即A′B′＝c.△ABC和△A′B′C′三边对应相等，所以两个三角形全等，∠C＝∠C′＝90°，所以△ABC为直角三角形．即命题2是正确的．师:很好！我们证明了命题2是正确的，那么命题2就成为一个定理．由于命题1证明正确以后称为勾股定理，命题2又是命题1的逆命题，在此，我们就称定理2是勾股定理的逆定理，勾股定理和勾股定理的逆定理称为互逆定理．师:但是不是原命题成立，逆命题一定成立呢？生:不一定，如命题“对顶角相等”成立，它的逆命题“如果两个角相等，那么它们是对顶角”不成立．师:你还能举出类似的例子吗？生:例如原命题:如果两个实数相等，那么它们的绝对值也相等．逆命题:如果两个数的绝对值相等，那么这两个实数相等．显然原命题成立，而逆命题不一定成立．二、新课教授【例1】教材第32页例1【例2】教材第33页例2【例3】一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边的尺寸，那么这个零件符合要求吗？分析:这是一个利用直角三角形的判定条件解决实际问题的例子．解:在△ABD中，AB2＋AD2＝9＋16＝25＝BD2，所以△ABD是直角三角形，∠A是直角．在△BCD中，BD2＋BC2＝25＋144＝169＝132＝CD2，所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角．因此这个零件符合要求．三、巩固练习1．小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地．小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是________．【答案】向正南或正北2．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A，B两个基地前去拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西40°，求甲巡逻艇的航向．【答案】解:由题意可知:AC＝120×6×eq\f(1,60)＝12，BC＝50×6×eq\f(1,60)＝5，122＋52＝132.又AB＝13，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠CAB＝40°，航向为北偏东50°.四、课堂小结1．同学们对本节的内容有哪些认识？2．勾股定理的逆定理及其应用，熟记几组勾股数．本节课我采用以学生为主体，引导发现、操作探究的教学设计，符合学生的认知规律和认知水平，最大限度地调动了学生学习的积极性，有利于培养学生动手、观察、分析、猜想、验证、推理的能力，切实使学生在获取知识的过程中得到能力的培养．第十八章平行四边形18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的性质(1)理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．重点平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质以及性质的应用．难点运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．一、复习导入1．师:我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象．生:平行四边形．师:平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？生:自动伸缩门、挂衣服的简易衣钩等．师:你能总结出平行四边形的定义吗？(小组讨论，教师总结)(1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示:平行四边形用符号“▱”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB∥DC，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(判定)；②∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC(性质)．2．探究．师:平行四边形是一种特殊的四边形，它除了具有四边形的性质和两组对边分别平行的性质外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．(1)由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．(2)猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．如图，已知:▱ABCD.求证:AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD.分析:作四边形ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．证明:连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(ASA)．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D.由上面的证明可知:∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD.由此得到:平行四边形的性质1平行四边形的对边相等．平行四边形的性质2平行四边形的对角相等．二、新课教授【例】教材第42页例1师:距离是几何中的重要度量之一，前面我们已经学习了点与点之间的距离、点到直线的距离．在此基础上，我们结合平行四边形的概念和性质，介绍平行线之间的距离．如图1，a∥b，c∥d，c，d与a，b分别相交于A，B，C，D四点．由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB＝CD.也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等．从上面的结论可以知道，如果两条直线平行，那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都相等．两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．如图2，a∥b，A是a上的任意一点，AB⊥b，B是垂足，线段AB的长就是a，b之间的距离．三、巩固练习1．▱ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C的度数为()A．60°B．80°C．100°D．120°【答案】C2．在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是()A．对角相等B．对角互补C．邻角互补D．内角和是360°【答案】B3．在▱ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交于点O，那么图中的平行四边形一共有()A．4个B．6个C．8个D．9个【答案】D四、课堂小结1．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．2．平行四边形的性质:对边平行；对边相等；对角相等我在设计本节课时先让学生看图形，体会到平行四边形在日常生活中的广泛应用，给出平行四边形的定义，从定义出发得到第一个性质，再由学生动手操作和教师演示旋转得到其他性质．因为本章课标明确要求学生能够规范地写出说理过程，所以我在得出平行四边形性质的同时加上几何语言的描述，在练习中也注意规范学生的说理过程．

第2课时平行四边形的性质(2)理解并掌握平行四边形对角线互相平分的性质．重点平行四边形对角线互相平分的性质以及性质的应用．难点综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．一、复习导入1．复习提问:(1)什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是:(2)平行四边形的性质:①具有一般四边形的性质(内角和是360°)；②角:平行四边形的对角相等，邻角互补．边:平行四边形的对边相等．2．探究:请学生在纸上画两个全等的平行四边形ABCD和平行四边形EFGH，并连接对角线AC，BD和EG，HF，设它们分别交于点O.把这两个平行四边形摞在一起，在点O处钉一个图钉，将四边形ABCD绕点O旋转180°，观察它是否还是和四边形EFGH重合．你能从中看出前面所提到的平行四边形的边、角关系吗？你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论:(1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；(2)平行四边形的对角线互相平分．二、新课教授【例1】已知:如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F.求证:OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF.证明:在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF，AE＝CF(全等三角形的对应边相等)．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD(平行四边形的对边相等)．∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝FD.引申:若例1中的条件都不变，将EF转动到图①的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两边延长与平行四边形的两条对边的延长线分别相交(图②和图③)，例1的结论是否成立？说明你的理由．解略．【例2】教材第44页例2三、巩固练习1．▱ABCD中，∠A的余角与∠B的和是120°，则∠A＝________，∠B＝________．分析:平行四边形的邻角互补．【答案】75°105°2．平行四边形的周长等于56cm，两邻边的长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为________．分析:平行四边形的对边相等．【答案】21cm3．▱ABCD的周长为60cm，对角线交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，则AB，BC的长分别是________．分析:平行四边形的对边相等，对角线互相平分．【答案】19cm，11cm4．▱ABCD的周长为50cm，AB＝15cm，∠A＝30°，则此平行四边形的面积为________．分析:平行四边形的对边相等，面积等于边与该边上的高的乘积．【答案】75cm2四、课堂小结定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形．性质:(1)边的性质:对边平行且相等；(2)角的性质:对角相等，邻角互补；(3)对角线的性质:对角线互相平分．课堂中，我通过让学生说一说、找一找等多种活动，在同桌合作、小组合作等活动交流中，让学生充分感知四边形的特征，培养了学生的合作意识、交流的能力和动手操作的能力．在作业方面，让学生以小组为单位，在校园中寻找我们身边的四边形，让学生感受数学在生活中的应用，感受数学真正就在我们身边．18.1.2第1课时平行四边形的判定(1)使学生掌握用平行四边形的定义判定一个四边形是否是平行四边形的方法．重点平行四边形的判定方法及应用．难点平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．一、复习导入1．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？(学生口答，教师板书)2．将以上的性质定理分别用命题的形式叙述出来．(即用“如果……那么……”的形式)根据平行四边形的定义，我们研究了平行四边形的其他性质，那么如何判定一个四边形是否是平行四边形呢？除了定义，还有什么方法？平行四边形性质定理的逆命题是否成立？可以证明，这些逆命题都成立，于是得到平行四边形的判定定理:平行四边形的判定方法1两组对边分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形的判定方法2两组对角分别相等的四边形是平行四边形．平行四边形的判定方法3对角线互相平分的四边形是平行四边形．下面我们以“对角线互相平分的四边形是平行四边形”为例，通过三角形全等进行证明．如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD，求证:四边形ABCD是平行四边形．证明:∵OA＝OC，OB＝OD，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB，∴∠OAD＝∠OCB，∴AD∥BC，同理AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．二、新课教授【例1】教材第46页例3【例2】已知:如图，E，F分别为平行四边形ABCD的两边AD，BC的中点，连接BE，DF.求证:∠1＝∠2.证明:在△ABE和△CDF中，∠A＝∠C，AB＝CD，AE＝CF，∴△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.又∵DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形，∴∠1＝∠2.三、巩固练习1．下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是()A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相垂直且相等D．对角线互相平分【答案】D2．已知:如图，▱ABCD中，点E，F分别在CD，AB上，DF∥BE，EF交BD于点O.求证:EO＝OF.【答案】证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴DE∥BF.又DF∥BE，∴四边形DEBF为平行四边形，∴EO＝OF.四、课堂小结1．平行四边形的三个判定定理．2．会用四边形的三个判定定理解决简单的问题．在教学过程中教师应积极转变传统的“传道、授业、解惑”的角色，在教学中应把握教材的精神，在设计、安排和组织教学过程的每一个环节都应当有意识地体现探索的内容和方法，避免教学内容的过分抽象和形式化，使学生通过直观感受去理解和把握，体验数学学习的乐趣，积累数学活动经验，体会数学推理的意义，让学生在做中学，逐步形成创新意识．第2课时平行四边形的判定(2)理解并掌握平行四边形的判定定理．重点理解并掌握平行四边形的判定定理，做到熟练应用．难点理解并掌握平行四边形的判定定理，体会几何推理的思维方法．一、复习导入1．平行四边形的定义是什么？2．平行四边形具有哪些性质？3．平行四边形是如何判定的？教师板书，并画出一个平行四边形，如图．(帮助理解)学生活动:踊跃发言，相互讨论，回顾平行四边形的性质与判定定理．二、讲授新课师:通过前面的学习，我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．那么反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？下面我们就来证明这个结论是否正确．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD.求证:四边形ABCD是平行四边形．证明:连接AC.∵AB∥CD，∴∠1＝∠2.又AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA，∴BC＝DA，∴四边形ABCD的两组对边分别相等，它是平行四边形．于是我们又得到平行四边形的一个判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．三、例题讲解【例1】教材第47页例4【例2】已知:如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线．求证:四边形AFCE是平行四边形．证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD.∵AE，CF分别平分∠DAB，∠BCD，∴∠DAE＝∠BCF.又∵∠D＝∠B，AD＝BC，∴△DAE≌△BCF，∴DE＝BF，AE＝FC，∴EC＝AF，∴四边形AFCE是平行四边形．【例3】已知:如图，▱ABCD中，E，F分别是AC上两点，且BE⊥AC于E，DF⊥AC于F.求证:四边形BEDF是平行四边形．证明:∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF.∵BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，∴BE∥DF，且∠BEA＝∠DFC＝90°.∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴BE＝DF.∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．四、巩固练习1．判断题:(1)相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形．()(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形．()(3)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．()(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．()(5)对角线相等的四边形是平行四边形．()(6)对角线互相平分的四边形是平行四边形．()【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√(5)×(6)√2．在四边形ABCD中，(1)AB∥CD；(2)AD∥BC；(3)AD＝BC；(4)AO＝OC；(5)DO＝BO；(6)AB＝CD.选择两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的共有________对．【答案】略五、课堂小结eq\a\vs4\al(平行,四边形)eq\o(,\s\up7(性质),\s\do5(判定))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(两组对边分别平行,两组对边分别相等,一组对边平行且相等)),角——两组对角分别相等,对角线——两条对角线互相平分))经过这两节课的学习，学生基本掌握了几何证明题的解题方法，能应用平行四边形的性质和判定方法解决问题．在以后的学习过程中最主要的任务是让学生落实到笔头上，要让学生学会反思做完的每一道题．

第3课时平行四边形的判定(3)1．理解并掌握三角形中位线的概念，掌握它的性质．2．能较熟练地应用三角形中位线的性质进行有关的证明和计算．重点掌握并运用三角形中位线的性质解决问题．难点三角形中位线性质的证明．(辅助线的添加方法)一、复习导入创设情境:请同学们思考:将任意一个三角形分成四个全等的三角形，你是如何切割的？(答案如图)图中有几个平行四边形？你是如何判断的？二、讲授新课师:在前面学习平行四边形时，常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题．下面我们利用平行四边形来研究三角形的有关问题．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，像DE这样，连接三角形两边中点的线段，我们称之为三角形的中位线，我们猜想，DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC.下面我们对它进行证明．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．求证:DE∥BC，且DE＝eq\f(1,2)BC.分析:本题既要证明两条线段所在的直线平行，又要证明其中一条线段的长等于另一条线段长的一半，将DE延长一倍后，可以将证明DE＝eq\f(1,2)BC转化为证明延长后的线段与BC相等．又由于E是AC的中点，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形构造一个平行四边形，利用平行四边形的性质进行证明．证明:如图，延长DE到点F，使EF＝DE，连接FC，DC，AF.∵AE＝EC，DE＝EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∴CF綊DA.∴CF綊BD∴四边形DBCF是平行四边形，∴DF綊BC.又DE＝eq\f(1,2)DF，∴DE∥BC，且DE＝eq\f(1,2)BC.通过上述证明，我们可以得到三角形的中位线定理:三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．三、例题讲解【例】已知:如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证:四边形EFGH是平行四边形．证明:连接AC，在△DAC中，∵AH＝HD，CG＝GD，∴HG∥AC，HG＝eq\f(1,2)AC(三角形中位线的性质)．同理EF∥AC，EF＝eq\f(1,2)AC.∴HG∥EF，且HG＝EF.∴四边形EFGH是平行四边形．此题可得结论:顺次连接四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形．四、巩固练习1．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M，N.如果测得MN＝20m，那么A，B两点的距离是________m，理由是________________________．【答案】40MN是△ABC的中位线2．如图，△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．(1)若EF＝5cm，则AB＝________cm；若BC＝9cm，则DE＝________cm；(2)中线AF与中位线DE有什么特殊的关系？证明你的猜想．【答案】(1)104.5(2)AF与DE互相平分，证明略五、课堂小结三角形中位线定理:三角形两边中点的连线是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形的中位线是三角形中一条重要的线段，三角形中位线定理在许多计算及证明中都要用到．在课堂导入中，我以创设问题情景的形式，激起学生探索的欲望，激发学习的兴趣．在问题情境中引出三角形的中位线，导入本节学习的课题；同时，为证明三角形的中位线定理埋下伏笔，也是有助于用运动的思想来思考数学问题．此时教学体现的是人人都能获得必需的数学．三角形的中位线的性质定理的简单应用，学生都能掌握，这个定理在实际生活中的应用是非常广泛的．18.2特殊的平行四边形18．2.1矩形第1课时矩形(1)掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．重点矩形的性质．难点矩形的性质的灵活应用．一、复习导入1．思考:拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？(动画演示拉动的过程，如图)2．再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？(小学学过的长方形)引出本节课题及矩形的定义．矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．矩形是我们最常见的图形之一，例如门窗框、书桌面、教科书的封面、地砖等都有矩形的形象．探究:在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质:矩形的性质1矩形的四个角都是直角．矩形的性质2矩形的对角线相等．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，由性质2有AO＝BO＝CO＝DO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)BD.因此可以得到直角三角形的一个性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．二、新课教授【例1】教材第53页例1【例2】已知:如图，矩形ABCD中，AB长8cm，对角线比AD边长4cm.求AD的长及点A到BD的距离AE的长．分析:因为矩形的四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法．解:设AD＝xcm，则对角线长(x＋4)cm，在Rt△ABD中，由勾股定理，得x2＋82＝(x＋4)2，解得x＝6，即AD＝6cm.由AE·DB＝AD·AB，解得AE＝4.8cm.三、巩固练习1．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线的长为15cm，较短边的长为()A．12cmB．10cmC．7.5cmD．5cm【答案】C2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝2AC，求∠A，∠B的度数．【答案】∠A＝60°，∠B＝30°四、课堂小结1．掌握矩形的定义及性质．2．会用矩形的性质求相关的角的度数．本节课主要在学生已有的认知水平上，在实际问题情景中，由学生自主探索发现矩形的性质定理，使学生经历实践、推理、交流等数学活动过程，亲身体验数学思想方法，培养学生的学习能力及运用所学知识解决问题的能力，促进学生发展．第2课时矩形(2)通过探索与交流，逐渐得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的探究过程，掌握矩形的三种判定方法，并会运用它们解决相关问题．重点矩形的判定．难点矩形的判定定理及性质的综合应用．一、复习提问，引入新课师:什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？生:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．师:矩形有哪些性质？生:矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．师:矩形是有一个角是直角的平行四边形，判定一个四边形是不是矩形，首先要看这个四边形是不是平行四边形，再看它两边的夹角是不是直角，这种用“定义”来判定是最重要和最基本的判定方法．除此之外，还有其他几种判定矩形的方法，下面我们就来研究这些方法．二、提出疑问，引导探索师:小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来了两根长度相同的长木条和两根长度相同的短木条制作．你有什么方法可以检测他做的相框是否为矩形？生:可以用量角器量一下它的一个内角，若是90°，则这个相框为矩形．师:对，这是根据矩形的定义得到的，定义法突出是在平行四边形的基础上添加了一个条件(有一个角是直角)，观察矩形和平行四边形，除了角的特性外，边和对角线还有特性吗？生:“边”没有特性，“对角线”是相等的．师:我们是否可以利用这一特性来判定四边形是不是矩形呢？请把这个判定用命题的形式写出来．生:对角线相等的平行四边形是矩形．师:这个命题是否正确？(分析命题的题设和结论，写出已知和结论，分析证明过程)证明过程由学生板书完成．师(归纳板书):定理:对角线相等的平行四边形是矩形．师:对角线相等的四边形是矩形吗？生:不一定是矩形．师:画出反例，如下图所示的四边形，对角线相等，但它不是矩形(先画两条相等但不互相平分的相交线段，再顺次连接各端点得四边形)．师生讨论，归纳矩形的判定方法:定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形．定理:对角线相等的平行四边形是矩形．有三个角是直角的四边形是矩形．(除教材中所举的门框或矩形零件外，还可以结合生产生活实际说明判定矩形的实用价值．)三、例题讲解【例1】教材第54页例2【例2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC的中点，AE∥BC，过点D作直线EF∥AB，分别交AE，BC于E，F.求证:四边形AECF是矩形．证明:∵点D是AC的中点，∴AD＝CD.∵AE∥BC，∴∠EAD＝∠DCF.∴△ADE≌△CDF，∴AE＝FC.∵AE∥BF，AB∥EF.∴四边形ABFE和四边形AFCE是平行四边形，∴AB＝EF，又∵AB＝AC，∴EF＝AC，∴平行四边形AFCE是矩形．四、课堂练习已知:O是矩形ABCD的对角线的交点，E，F，G，H分别是OA，OB，OC，OD上的点，AE＝BF＝CG＝DH.求证:四边形EFGH为矩形．【答案】证明:∵四边形ABCD为矩形，∴AC＝BD.∵AC，BD互相平分于O，∴AO＝BO＝CO＝DO.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴EO＝FO＝GO＝HO.∴四边形EFGH是平行四边形且HF＝EG，∴四边形EFGH为矩形．五、课堂小结eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(一个角是直角的平行四边形,对角线相等的平行四边形,有三个角是直角的四边形))是矩形本节课在引入时，我先提出一个实际生活问题，激发学生的求知欲望，再引导学生逆向思考问题，从而让学生提出“对角线相等的平行四边形是矩形”这一结论，最后通过逻辑推理证明命题的正确性，为以后学习其他特殊的四边形的判定打下了基础．