微积分教学课件1-5无穷大和无穷小

微积分教学课件1-5无穷大和无穷小2024-01-25目录引言无穷大的概念与性质无穷小的概念与性质无穷大与无穷小的比较无穷大与无穷小在微积分中的应用典型例题分析与解答01引言理解无穷大和无穷小的概念及其性质掌握无穷大与无穷小的比较方法了解无穷大与无穷小在微积分中的应用教学目标无穷大和无穷小的定义及性质无穷大与无穷小的比较无穷大与无穷小在微积分中的应用举例教学内容无穷大和无穷小的概念、性质及比较方法重点无穷大与无穷小在微积分中的应用及理解难点教学重点与难点02无穷大的概念与性质无穷大的定义010203无穷大是指在某个变化过程中，函数的绝对值无限增大的现象。无穷大分为正无穷大和负无穷大，分别表示函数值朝正方向和负方向无限增大。无穷大是一种特殊的极限状态，可以用符号“∞”来表示。无穷大满足加法运算的性质，即无穷大与有限数相加，结果仍是无穷大。无穷大满足乘法运算的性质，即无穷大与不为零的有限数相乘，结果仍是无穷大。无穷大不满足减法运算的性质，即两个无穷大相减，结果是不确定的。无穷大不满足除法运算的性质，即无穷大除以无穷大，结果是不确定的。无穷大的性质有界函数是指函数值的绝对值在某个区间内有上界和下界的函数。无穷大与有界函数的关系是：当自变量趋向某个值时，如果函数值趋向无穷大，则该函数在这个变化过程中不是有界函数。反之，如果函数在某个变化过程中是有界函数，则该函数值不会趋向无穷大。无穷大与有界函数的关系03无穷小的概念与性质无穷小量如果函数$f(x)$在自变量的某个变化过程中，其绝对值无限地趋于零，则称$f(x)$为这一变化过程中的无穷小量，简称无穷小。无穷小的符号表示通常用希腊字母$alpha$、$beta$、$gamma$等来表示无穷小，如$alpha(x)rightarrow0$表示$alpha(x)$是$xrightarrowx_0$时的无穷小。无穷小的定义要点三无穷小与零的关系无穷小量不是零，但在自变量的某个变化过程中，它的绝对值可以比任何正数都要小。要点一要点二无穷小的运算性质两个无穷小的和、差及乘积仍然是无穷小；有界函数与无穷小的乘积也是无穷小。无穷小的比较如果$limfrac{beta}{alpha}=0$，则称$beta$是比$alpha$更高阶的无穷小；如果$limfrac{beta}{alpha}=infty$，则称$beta$是比$alpha$更低阶的无穷小；如果$limfrac{beta}{alpha}=cneq0$，则称$beta$与$alpha$是同阶无穷小。要点三无穷小的性质有界函数与无穷小的乘积是无穷小如果函数$u(x)$在自变量的某个变化过程中为有界函数，而$alpha(x)$是这一变化过程中的无穷小，则$u(x)alpha(x)$也是这一变化过程中的无穷小。无穷小与有界函数的和、差无穷小与有界函数的和或差仍然是有界函数。无穷小与有界函数的关系04无穷大与无穷小的比较无穷大阶的比较无穷大阶的定义：设$f(x)$和$g(x)$在同一自变量的趋向过程中（如$xtox_0$，$xtoinfty$）都趋于无穷大，那么如果$limfrac{f(x)}{g(x)}=0$，则称$f(x)$是$g(x)$的高阶无穷大。如果$limfrac{f(x)}{g(x)}=infty$，则称$f(x)$是$g(x)$的低阶无穷大。如果$limfrac{f(x)}{g(x)}=cneq0$，则称$f(x)$与$g(x)$是同阶无穷大。例子：例如，当$xtoinfty$时，$x^2$是$x$的高阶无穷大，$x$是$lnx$的高阶无穷大。无穷小阶的定义：设$alpha$和$beta$是在同一个自变量的趋向过程中的两个无穷小，且$alphaneq0$，那么如果$limfrac{beta}{alpha}=0$，则称$beta$是比$alpha$高阶的无穷小，记作$beta=o(alpha)$。如果$limfrac{beta}{alpha}=infty$，则称$beta$是比$alpha$低阶的无穷小。如果$limfrac{beta}{alpha}=cneq0$，则称$beta$与$alpha$是同阶无穷小。例子：例如，当$xto0$时，$x^2$是$x$的高阶无穷小，$sinx$是$x$的同阶无穷小。无穷小阶的比较010203等价无穷大的定义设$f(x)$和$g(x)$在同一自变量的趋向过程中都趋于无穷大，如果$limfrac{f(x)}{g(x)}=1$，则称$f(x)$与$g(x)$是等价的无穷大。等价无穷小的定义设$alpha$和$beta$是在同一个自变量的趋向过程中的两个无穷小，如果$limfrac{alpha}{beta}=1$，则称$alpha$与$beta$是等价的无穷小，记作$alphasimbeta$。例子例如，当$xto0$时，$sinxsimx$，$tanxsimx$，$(1+x)^alpha-1simalphax$等。等价无穷大与等价无穷小05无穷大与无穷小在微积分中的应用描述函数在某点的极限行为01无穷大和无穷小可以用来描述函数在某一点附近的极限行为，例如当x趋近于无穷时，函数f(x)的极限可以是无穷大或无穷小。比较两个函数的极限02通过比较两个函数在某点的极限是无穷大还是无穷小，可以确定它们的相对增长速度。判断函数的敛散性03利用无穷大和无穷小的性质，可以判断某些数列或函数是否收敛或发散。在极限中的应用描述函数在某点的切线斜率导数表示函数在某一点处的切线斜率。当函数在某点的导数为无穷大或无穷小时，表示该点处的切线斜率不存在或为0。判断函数的单调性通过分析函数导数的正负以及是否为无穷大或无穷小，可以判断函数在某个区间上的单调性。寻找函数的极值点函数的极值点发生在导数为0或不存在的点。当导数为无穷大或无穷小时，这些点可能是函数的极值点。在导数中的应用反常积分涉及对无穷区间或被积函数在某点取无穷大或无穷小的积分。利用无穷大和无穷小的性质，可以对这些反常积分进行计算。计算反常积分通过将被积函数与某个已知敛散性的级数进行比较，可以利用无穷大和无穷小的性质来判断级数的敛散性。判断级数的敛散性在物理学中，许多问题涉及对无穷大或无穷小区间的积分，例如计算物体的质量、电荷等。利用无穷大和无穷小的概念，可以简化这些问题的求解过程。解决物理问题在积分中的应用06典型例题分析与解答

极限类问题极限的定义与性质通过具体例子解释极限的概念，包括数列极限和函数极限，强调极限的唯一性、有界性、保号性等性质。无穷大与无穷小的比较详细阐述正无穷大、负无穷大、无穷小等概念，并通过例题展示如何进行无穷大与无穷小的比较。极限的运算法则介绍极限的四则运算法则，包括极限的加法、减法、乘法、除法运算，以及复合函数的极限运算法则。03高阶导数阐述高阶导数的概念及计算法则，通过例题展示如何求高阶导数。01导数的定义与几何意义通过实例解释导数的概念，包括导数的定义、几何意义以及导数与微分的关系。02导数的计算法则详细介绍导数的计算法则，包括基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的