2022届旧高考数学（理）开学摸底测试卷9

2022届旧高考数学（理）开学摸底测试卷9

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合M={止1<y<3},N={xk（2x-9）<。},则（）

4+3z

2.复数z=±W的虚部为（）

I—2

A.2iB.-2iC,2D.-2

3.记等差数列｛4｝的公差为d,前〃项和为S”.若几=40,4=5,则（）

A.d=3B.«10=12C.S2Q=280D.4=-4

4.射线测厚技术原理公式为/=/。"加，其中/。，/分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数,

f为被测物厚度，P为被测物的密度，〃是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用锢241（2也4加）低能/

射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为

（）

（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln240.6931,结果精确到0.001）

A.0.110B,0.112C,0.114D,0.116

5.函数），=年匚一的图像大致为（）•

|x|-cosx

6.某高中高三(1)班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小

王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败“，为了弄清“天

道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：

小王说：“入班即静”是我写的；

小董说：“天道酬勤''不是小王写的，就是我写的；

小李说：“细节决定成败”不是我写.

若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静''的书写者是()

A小王或小李B.小王C.小董D.小李

7.△A6C中，点Z)在边A3上，CD平分NACB,若=a,。4=方，,卜2,卜1=1,则C£>=()

2-1-1-2-3-4-4-3-

A.-aH—bB.-ciH—bC.-ciH—bD.—ciH—b

33335555

8.己知F为抛物线y2=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则-的值等

于()

A.872B.8C.472D.4

9.已知函数/(x)=cos(0x+o)(3>O,O<°<m)的最小正周期为左，且满足/(x+0)=f[(p-x),则

要得到函数/(x)的图像，可将函数g(x)=sin0r的图像()

A.向左平移三个单位长度B.向右平移三个单位长度

1212

C.向左平移2个单位长度D.向右平移一个单位长度

1212

10.设a=ln3,则6=lg3,则()

A.a+b>a—b>ahB.a+h>ab>a—bC.a—b>a+h>abD.a-b>ab>a+b

11.在四面体产一ABC中，AABC为正三角形，边长为6,PA=6,PB=S,PC=10,则四面体产一ABC

的体积为(

A.8而B.8710D.1673

12.设一个正三棱柱ABC-。跖，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面A3C的某顶点出发，每次只沿着

棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上

底面的概率为％,则几为()

A.-

4

D.---

2(3

第n卷(非选择题共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.

13.(3x-l)-f--l"|的展开式中的常数项为.

x+2y<l

14.设x,>满足条件｛2x+yN—l,则z=2x-3y的最大值为.

x-y<0

7

左，右两支分别交于A，B两点,若|AB|=|AE|,COSZBAF=-,则双曲线C的离心率为.

2O

16.不等式+对于定义域内的任意x恒成立，则"的取值范围为.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知数列｛4｝满足％=1,=2a,,_1+2〃-1(〃22),数列也,｝满足2=。“+2〃+3.

(I)求证数列也｝是等比数列；

(II)求数列｛《,｝的前〃项和S“.

18.如图，三棱柱ABC-AB©的所有棱长均相等，用在底面A3C上的投影。在棱上，且平

面AOG

(I)证明：平面ADC，平面8CC4；

(II)求直线AB与平面ADC,所成角余弦值.

19.如图，已知椭圆£的右焦点为尸式1，0),P，。为椭圆上的两个动点，APQE周长的最大值为8.

(I)求椭圆E的标准方程；

(II)直线/经过尸2,交椭圆E于点A，B,直线力与直线/的倾斜角互补，且交椭圆E于点”，N,

|MN「=4|AB|,求证：直线加与直线/的交点T在定直线上.

20.某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数X的分

布列为：

X234

P0.4ab

其中0＜。＜1,0＜。＜1

(I)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；

(1【)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润100元，若顾客选择分3期付款，则

商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记

为丫(单位：元)

(i)求y的分布列；

(ii)若P(YW3(X))»0.8,求y的数学期望E(y)的最大值.

21.已知函数=,<g(x)=x-cosx-sinx.

(I)判断函数g(x)在区间((),3万)上零点的个数，并证明；

(II)函数/(x)在区间(0,34)上极值点从小到大分别为用,马，证明："9)+区(切<0

请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第

一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

选修4-4：坐标系与参数方程

22.［选修4-4：极坐标与参数方程］

x=6+近cosa

在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为《厂(a是参数)，以坐标原点。为极点，%

y=sina

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线。2的极坐标方程为P=4sin0.

(1)求曲线G的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；

(2)若射线e=与曲线G交于。，A两点，与曲线交于。，B两点，求|。4|+|。8|

取最大值时tan)的值

选修4-5：不等式选讲

23.已知函数/(x)=|x-机|-|x+2|(msR),不等式/(x-2)N0的解集为(f,4］.

(1)求的值；

(2)若a>0,b>0>C>3,S.a+2b+c=2m)求(a+l)(b+l)(c-3)最大值.

2022届旧高考数学（理）开学摸底测试卷9

第I卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.己知集合M={止1<y<3},N={xk（2x-9）<0},则（）

A.(0,3)D.0

【答案】C

【解析】

【分析】

求出集合N,与集合M取并集即得.

/Q

【详解】解不等式x（2x-9）<（）,得0<X<5，;.N=

又M={止I<y<3}=(—1,3),

99

.♦.MuN=(-l,3)u0.

2

故选：C.

【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.

，

2.复数z=-4土+3的虚部为（）

z-2

B.-2i

【答案】D

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算，化简出z,即可得出虚部.

故虚部为-2.

故选：D.

【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的概念.

3.记等差数列｛。,,｝的公差为d,前〃项和为S..若$0=40,&=5,则（）

A.1=3B.40=12C.§20=280D.q=-4

【答案】C

【解析】

【分析】

由So=七号上刊=5（%+4,）=40,和4=5,可求得%=3,从而求得。和外,再验证选项.

【详解】因为&0=（4+；°）」0=5（=+4）=40,4=5，

所以解得%=3，

所以d=a6-a5=2,

所以4o=4+4"=5+8=13,«,=tz5-4J=3-8=-5,S20=20at+190J=-100+380=280,

故选：C.

【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前〃项和公式，还考查运算求解能力，属于中档题.

4.射线测厚技术原理公式为/=/4加，其中小/分别为射线穿过被测物前后的强度，e是自然对数的底数,

/为被测物厚度，P为被测物的密度，〃是被测物对射线的吸收系数.工业上通常用锢241（2川A,*）低能/

射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8,钢的密度为7.6,则这种射线的吸收系数为

（）

（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，ln2*0.6931,结果精确到0.001）

A.0.110B.0.112C.0.114D.0.116

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意知,f=0-8,p=7.6,；=|，代入公式/=,求出〃即可.

I。Z

［详解】由题意可得,，=0.8,p=7.6,y=不因为/=",

0.6931

所以，="7.6"。物“即=In2®0.114.

27.6x0.86.08

所以这种射线的吸收系数为0.114.

故选:C

【点睛】本题主要考查知识的迁移能力，把数学知识与物理知识相融合;重点考查指数型函数，利用指数的相关

性质来研究指数型函数的性质,以及解指数型方程；属于中档题.

2*_2T

5.函数y=的图像大致为().

|.v|-cosx

【答案】A

【解析】

【分析】

本题采用排除法:

根据特殊值/>0排除选项C；

由x>(),且X无限接近于0时，/(x)<0排除选项B；

2^_y~x

【详解】对于选项D:由题意可得，令函数/（%）=丫=市

IcosX

5”5开5兀57c

2不-2彳

⑴一~亘

5万

T2

Src_54

（5%）2T-2-T

对于选项C：因为/［了）=—五一＞°,故选项C排除；

T

对于选项B:当X＞（）,且X无限接近于0时,N-cosx接近于一1＜0,2*—2-*＞0，此时/（X）＜0.故选项B

排除；

故选项:A

【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐

一排除是解题的关键;属于中档题.

6.某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小

王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败“，为了弄清“天

道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：

小王说：“入班即静''是我写的；

小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；

小李说：“细节决定成败”不是我写的.

若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静''的书写者是（）

A.小王或小李B.小王C.小董D.小李

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论.

【详解】解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”，

而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾；

若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”，

否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”，

所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾；

若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的，

则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，

所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意.

所以“入班即静”的书写者是：小李.

故选：D.

【点睛】本题考查推理证明的实际应用.

7.AABC中，点。在边AB上，CO平分NACB,若屈=£,CA=b<|«|=2,|^|=1,则前=()

2-1r1-23-4-4-3-

A.—a+—bB.-a+—brC.-ci-\—bD.—a+—b

33335555

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角形内角平分线定理可得富啜，再根据平面向量的加减法运算即得答案.

由8平分ZACB,

【详解】平分乙4CB,根据三角形内角平分线定理可得丝=笑

DACA

又CB=a,CA=b»|"|二2‘W=1,

—=2,:.BD=2DA.

DA

__,__,22,—1-2-

..CD=CB+BD=CB+-BA=a+-b-a]=—a+—b.

33)33

故选：B.

【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题.

8.已知F为抛物线/=4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点，则HFA「：FB||的值等

于（）

A.872B.8C.472D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

将直线方程y=x-l代入抛物线方程，根据根与系数的关系和抛物线的定义即可得出的值.

y2-

【详解】F(l,0),故直线AB的方程为y=x-1,联立方程组一，可得X2-6X+1=0,

y=x-\

设A(xi,yi),B(x2,y2),由根与系数的关系可知x1+x2=6,XiX2=l.

由抛物线的定义可知：|FA|=Xl+l,|FB|=X2+1,

Al|FA|-|FB||=|x「X21=，(石+々)2—4/々=：36—4=4忘.

故选C.

点睛】本题考查了抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.

9.已知函数/(x)=cos(0x+e)[3〉O,O<e<^)的最小正周期为不，且满足/(x+0)=/(0-x),则

要得到函数“X)的图像，可将函数g(x)=sin@x的图像()

A.向左平移三个单位长度B.向右平移展个单位长度

12

5万5万

C.向左平移二个单位长度D.向右平移兰•个单位长度

12

【答案】C

【解析】

【分析】

依题意可得0=2,且x是/(x)的一条对称轴，即可求出。的值，再根据三角函数的平移规则计算可

得;

7T

【详解】解：由已知得0=2,%是f(x)的一条对称轴，且使/(x)取得最值，则3。=桁，<p=~,

兀71

/(X\)=cosIOcos2\x+—g(x)=sin2x=cos12x-5

_I12；2

故选：C.

【点睛】本题考查三角函数的性质以及三角函数的变换规则，属于基础题.

10.设a=ln3,则力=lg3,则()

A.a+b>a-b>abB.a+b>ab>a-bC.a-h>a+b>abD.a-b>ab>a+b

【答案】A

【解析】

【分析】

根据换底公式可得人=工匠，再化简比较ln3,lnlO-I,lnIO+l的大小，即得答案.

In10

【详解】•."Z?=lg3=log103=-^1-,

...a+Mn3+U配2型ln3_ln3（ln10-l）

,u—b—In3一

•.•ln3>0,lnl0>0,显然。+人>。一/?.

3e<10,...In（3e）<In10即In3+1<In10,，In3<In10—1,

In3xln3ln3（lnl0-l）

-------------<——---------------,B|Jah<a-h.

综上，a+b>a-b>ab.

故选：A-

【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.

11.在四面体尸—ABC中，△A3C为正三角形，边长为6,PA=6,PB^S,PC=10,则四面体尸―ABC

的体积为()

A.8而B.8V10C.24D.16百

【答案】A

【解析】

【分析】

推导出P8_L8C,分别取BC,PC的中点。，邑连结AZ),AE,0E,则AO,3C,AE，PC,Z)E_L3C,

推导出A£，D£,从而A£J_平面PBC,进而四面体P—ABC的体积为匕-8C=%""=；・S/BC-AE，

由此能求出结果.

【详解】解：•••在四面体P—ABC中，AAHC为等边三角形，边长为6,

PA=6,PB=S,PC=\0,

PB2+BC2=PC2，

:.PB±BC,

分别取BC,PC的中点2E,连结AO,AE,DE,

则AD±BC,AE±PC,DE1BC,

且AD=^^=3g，DE=4,AE=j36-25=VH，

AE12+DE2=AD2'

：.AEA.DE,

\PCC\DE=E,PCu平面PBC,O£u平面PBC,

AE_L平面P3C,

，四面体产一ABC的体积为：

%-ABC=匕-PBC=q-S/Be，AE

=-x—xFBxJSCxA£,=-x—x8x6xVil=8V1T.

3232

故答案为：8VFT.

【点睛】本题考查四面体体积的求法，考查空间中线线，线面，面面间的位置关系等基础知识，考查运算

求解能力.

12.设一个正三棱柱A5C-D即，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面4BC的某顶点出发，每次只沿着

棱爬行并爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行10次，仍然在上

底面的概率为片。，则/为()

1

B.+—

2

1

D.

⑶22

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为与.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条

2

路，其概率为§夕1；②若上一步在下面，则第〃-1步不在上面的概率是1-e-.如果爬上来，其概率是

121

](1—4_J，两种事件又是互斥的，可得6=561+3(1—6T)，根据求数列的通项知识可得选项.

【详解】由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为A.

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为§£T(〃22)；

②若上一步在下面，则第〃-1步不在上面的概率是1-月_1,（"之2）.如果爬上来，其概率是

两种事件又是互斥的,匕=|%+g（i—£”），即匕1%+；，六匕4=?小一£|,

‘数列是以;为公比的等比数列，而片=|,所以+;,

...当“=10时，6o=g（；）+}

故选：D.

【点睛】本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方

法，属于难度题.

第n卷（非选择题共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填在答题卡上的相应位置.

展开式中的常数项为.

【答案】31

【解析】

【分析】

由二项式定理及其展开式得通项公式得：因为（2一］的展开式得通项为工句=（-1）"25T-GxT,则

（3x—I）（"0的展开式中的常数项为：3x（—1）4仁+（—1丫以=14,得解.

［详解］解:&=（/）'•25T.q洋-5,

则（3%-1）"2一1］的展开式中的常数项为:

3x(-l)，2y『2。.以=31.

故答案为：31.

【点睛】本题考查二项式定理及其展开式的通项公式，求某项的导数，考查计算能力.

x+2y<l

14.设x,>满足条件<2x+y2-l,则z=2x-3y的最大值为.

x-y<0

【答案】

3

【解析】

【分析】

2z2z

作出可行域，由z=2x-3y得y=—平移直线y=—数形结合可求z的最大值.

【详解】作出可行域如图所示

由z=2x-3y得y=—则-（是直线在>轴上的截距.

平移直线y=当直线经过可行域内的点〃时，最小，此时z最大.

x=-

2元+y=-13

解方程组<得.

x-y=O

y=-I)

3

故答案为：—.

3

【点睛】本题考查简单的线性规划，属于基础题.

X2

15.已知双曲线C:彳y

=1(a>0,Z?>0)左，右焦点分别为片，F2,过点片的直线与双曲线的

a'

7

左，右两支分别交于A，8两点，若|AB|=|AE|,cosZBAF2则双曲线。的离心率为

【答案】2西

3

【解析】

【分析】

设忸用=〃,M闾=〃7,由双曲线的定义得出：|明|=2«+^M|=zn-2a,由|AB|=|整|得AAB"为

等腰三角形，设NAB居=/468=6,根据cosNBAE=1,可求出功/J_5怛用=5〃，得出

8

4\AF2\m

m=2n,再结合焦点三角形ABKK，利用余弦定理：求出。和c的关系，即可得出离心率.

【详解】解：设忸闾=〃,恒闾=加，

由双曲线的定义得出：

忸周一忸玛|=2,则忸耳|=2+〃,

|:|一|七|=2",贝卜机一2a,

由图可知：|A同=忸耳|一|4用=皿+〃一加，

又•.•圈=|初,

即4a+n—m=mf

则2m=4Q+〃，

・・.\ABF2为等腰三角形，

7

,/cos/BAR=—,

28

设ZABF2=ZAF2B=0,

20+ZBAF2=7i,则26="一ZBAF2,

7

/.cos20-cos(7T-ZBAF)=-cosBAF-——,

228

71

gpcos20=2cos~90-1-——,解得：cos6=—,

84

,2_2=£,解得：m=2n,

m4

4

.・.4雇=4。+〃,即3几=4。，解得：n--a,

3

8

/.m--a,

3

在片鸟中，由余弦定理得：

忸用2+忸用2T月用

cosZ/^B/s=cos0-

2|明|飓|4

(2…)2+(〃j2=1=净)+(¥)一府)

即:

2(2〃+〃)•几41044

\72x——ax—a

33

解得：/哈度,即e+半

故答案为：宜5

3

【点睛】本题考查双曲线的定义的应用,以及余弦定理的应用，求双曲线离心率.

16.不等式依+l+/nx〈x"对于定义域内的任意x恒成立，则。的取值范围为.

【答案】（一8,1]

【解析】

【分析】

根据题意，分离参数，转化为aw上上^「只对于（0,+8）内任意X恒成立，令

X

“_/nr_1^x+\nx_11

...g(x)=^—rn—,则只需在定义域内aWg(x)1rtli即可，利用放缩法e'Nx+1，

得出e'+Mx^x+lnx+l，化简后得出g（x*n，即可得出a的取值范围.

【详解】解：已知冰+1+/加〈泥、对于定义域（0,+8）内的任意》恒成立，

即a4"二/…!对于（0,+。）内的任意x恒成立,

X

xex-Inx-1

令g(x)则只需在定义域内aWg（x）讪即可,

X

/、xex-lnx-\e'nx-ex-\nx-\ex+'nx-\nx-\

g(x)=--------------=-------------------=------------------，

XXX

•.•e'Nx+l，当x=0时取等号，

由e'Nx+l可知，ei^x+lnx+l，当x+Inx=O时取等号,

e-—Inx—lx+lnx+l-lnx-1

，g(x)=>=1,

Xx

当x+lnx=O有解时，

令/z(x)=x+lnx(x>0),则〃'(x)=1+』>0,

•・・/1(X)在(0,+8)上单调递增，

又1<0,/?(1)=1>0,

.•.玉0€((),中»)使得〃(/)=0,

•■•^(XLn=1>

则。w1,

所以。的取值范围为(，》』].

故答案为：(—co/].

【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法,

考查转化能力和计算能力.

三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

亿已知数列｛4｝满足q=1,an=2an_x+2n-l(n>2),数列也｝满足a=a“+2〃+3.

(I)求证数列也｝是等比数列；

(II)求数列｛4｝的前〃项和S,.

【答案】(1)见证明；(H)S„=3x2n+I-/?2-4/1-6

【解析】

【分析】

(I)利用等比数列的定义结合凡一1=2a,-+2〃-1(“22)得出数列也｝是等比数列

(II)数列｛4｝是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前〃项和S..

【详解】解：(I)当〃=1时，q=1,故4=6.

当〃22时，%=24_]+2〃-1,

则伉,=%+2〃+3=2a“_]+2〃-1+2〃+3=2(%+2〃+l)=2[a“_]+2(〃-1)+3],

b“=2b,

数列｛2｝是首项为6,公比为2的等比数列.

(II)由(I)得勿=3x2",:.aH^btl-2n-3=3x2"-2n-3)

.,.S“=3(2+2?+…+2")-2(1+2+.-+〃)-3〃=3-2^^-H(H+1)-3H;

S“=3x2-i-〃2-4"-6.

b

【点睛】(I)证明数列｛2｝是等比数列可利用定义法/~=%(4?0)得出

2-1

(II)采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

18.如图，三棱柱ABC-4MG的所有棱长均相等，用在底面ABC上的投影。在棱8。上，且人8〃平

面AOC

(I)证明：平面AOG工平面BCC4；

(II)求直线AB与平面AOG所成角的余弦值.

【答案】(I)见解析(II)上互

14

【解析】

【分析】

(I)连接4。交AG于点O,连接OD,由于AB"平面AOG，得出AIII。。，根据线线位置关系得

出ADL8C,利用线面垂直的判定和性质得出与。，结合条件以及面面垂直的判定，即可证出平面

ADC}_L平面8CGA；

（H）根据题意，建立空间直角坐标系，利用空间向量法分别求出丽=0,6,0）和平面AOq的法向量

n=（-V3,0,2）,利用空间向量线面角公式，即可求出直线A3与平面AOG所成角的余弦值.

【详解】解：（I）证明：连接4c交AG于点O,连接8,

则平面AyBCA平面AOG=OD,

•.•48〃平面4。。］,」.48〃（©,

•.•0为4。的中点，二。为的中点，:.AD±BC

•.•8Q_L平面ABC，ADLB.D

♦.•8。八4。=。，.•.AD,平面BCC4，

QADu平面AOG，，平面ADG，平面8。。百

（II）建立如图所示空间直角坐标系。-型，设43=2

则B（T,0,0）,A仅,6,0）,瓦（0,0,@,C,（2,0,73）

.•.丽=（1,6,0）,DA=（0,V3,0）,DCi=（2,0,73）

设平面ADG的法向量为7=(x,y,z),则

=0

取x=—6得3=(-6,0,2卜

设直线AB与平面ADC,所成角为。

sin。

14

直线AB与平面ADG所成角的余弦值为—.

14

【点睛】本题考查面面垂直的判定以及利用空间向量法求线面角的余弦值，考查空间想象能力和推理能力.

19.如图，已知椭圆£的右焦点为6(L0),P,。为椭圆上的两个动点，APQF?周长的最大值为8.

(I)求椭圆E的标准方程；

(II)直线/经过入，交椭圆E于点A，B,直线机与直线/的倾斜角互补，且交椭圆E于点M，N,

\MNf=4\AB\,求证：直线加与直线/的交点T在定直线上.

22

【答案】(I)—+^-=1;(II)详见解析.

43

【解析】

【分析】

（I）由椭圆的定义可得，APQK周长取最大值时，线段P。过点耳，可求出。，从而求出椭圆E的标准

方程；

（II）设直线/:y=&（x-l）（左HO）,直线m:y=-&（x+f）,A（x,,y1）,3K,%），”（&,%），

N（天,”）.把直线m与直线/的方程分别代入椭圆E的方程，利用韦达定理和弦长公式求出|MN「和|,

根据=4|AB|求出f的值.最后直线加与直线/的方程联立，求两直线的交点即得结论.

【详解】（I）设AP。居的周长为

则/=|「用+|眄|+|尸@=之一|「制+20-|0周+|尸叱=40-（|尸制+|明|）+|尸0

<4。一|尸。|+|尸。=4。，当且仅当线段P。过点月时“=”成立.

/.4c/=8»:.a=2,又•」c=l,=^3-

22

•••椭圆E的标准方程为三+二=1.

43

（II）若直线/的斜率不存在，则直线加的斜率也不存在，这与直线机与直线/相交于点丁矛盾，所以直

线/的斜率存在.

设/：3=左（兀-1）（�）,m:y=-k（x+t）,A（3,y）,5（孙必），M（七,%），Nk,%）-

将直线加的方程代入椭圆方程得：（3+4公卜2+8公b+4（公/-3）=0.

8k2t4（k2r-3）

同…m得"

由|MN「=4|A却得f=0，此时△=64公产-16（3+4巧俨/_3）>0.

直线机：y=一近，

联立直线m与直线/的方程得女

即点T在定直线彳='.

2

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，

属于难题.

20.某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数X的分

布列为：

X234

P0.4ab

其中0<a<l,0</><1

(I)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；

(H)商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润100元，若顾客选择分3期付款，则

商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记

为y(单位：元)

(i)求y的分布列；

(ii)若p(y43oo)20.8,求y的数学期望E(y)的最大值.

【答案】(I)0.288(II)(i)见解析(ii)数学期望E(y)的最大值为280

【解析】

【分析】

(I)根据题意，设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为〃，由独立重复事件的特点得出

77-5(3,0.4),利用二项分布的概率公式，即可求出结果；

(II)(i)依题意，y的取值为200,250,300,350,400,根据离散型分布求出概率和丫的分布列；(ii)

由题意知0.4+。+人=1,P(X<300)=0.16+0.48+«2>0.8,解得。<().6,根据V的分布列，得出V

的数学期望七(丫)，结合。70.4,0.6),即可算出七(丫)的最大值.

【详解】解：(I)设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为〃，则〃〜6(3,0.4),

贝ij=2)=《x(1—0.4)x0.42=0.288,

故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.

(II)(i)依题意，丫的取值为200,250,300,350,400,

P(y=2(X))=0.4X0.4=0.16,P(y=250)=2x0.4a=0.8a,

P(Y=300)=2x0.48+/=o.助+/,p(y=35())=2a〃，P(Y=4(X))=b2

.•.y的分布列为：

Y200250300350400

P0.160.8a0.8/?+«22abb2

(ii)尸(y<300)=尸(y=200)+尸(y=250)+P(y=300)=0.16+0.8(a+b)+a2,

由题意知().4+a+Z?=l,人=0.6,.,.Z?=0.6—a,

P(y<300)=0.16+0.48+«2>0.8,

.-.a>0.4,又•.•/?>(),即0.6—a>0,解得a<().6,

.,.aG[0.4,0.6),

=320-100。,

当a=0.4时，E(Y)的最大值为280,

所以y的数学期望E(y)的最大值为280.

【点睛】本题考查独立重复事件和二项分布的应用，以及离散型分布列和数学期望，考查计算能力.

21.已知函数/(》)=空^,g(x)=x-cosx-sinx.

(I)判断函数g(x)在区间(0,3»)上零点的个数，并证明；

(H)函数“X)在区间(0,3〃)上的极值点从小到大分别为再，”,证明：/(x,)+/(x2)<0

【答案】(I)函数g(x)在区间(0,3〃)上有两个零点.见解析(II)见解析

【解析】

【分析】

(I)根据题意，g'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,利用导函数研究函数的单调性，分类讨论g(x)

在区间(0,3")的单调区间和极值，进而研究零点个数问题;

(II)求导，/'(%)=''c°s：；smx,由于〃力在区间((),3")上的极值点从小到大分别为西，%,求

L

出了(玉)+/(々)=——+——-=cosx,+cosx2,利用导数结合单调性和极值点，即可证明出

%X2

/(^)+/(x2)<0.

【详解】解：(I)•.,g(x)=x-osx-sinx,

/.g'(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx,

当xe(O,»)时，；sinx>0,...g'(x)<0,

g(x)在区间(0,4)上单调递减，g(x)<g(0)=0,

・•.g(x)在区间(0,乃)上无零点;

当xe(兀,2兀)时，vsinx<0,.*.g,(x)>0

；.g(x)在区间(%,2%)上单调递增，g(%)=-〃<0,g(2万)=2%>0

二g(x)在区间(»,2%)上唯一零点；

当xw(2肛3乃)时，♦.♦sinx>0,

二g(x)在区间(2兀,3兀)上单调递减，g(2%)=2万>0,g(3〃)=-3乃<0；

二g(x)在区间(2兀,3兀)上唯一零点；

综上可知，函数g(x)在区间(0,3〃)上有两个零点.

(II).・.〃尤)=『

由(I)知在(0,句无极值点；

在(万,2可有极小值点,即为X”在(2乃,3句有极大值点,即为诙,

由x“cosx“一sinx“=0,即%=tanx“，〃=1,2...

•/x2>xt,tanw>tan(%1+