2021年中考数学压轴题讲次07 平行四边形的存在性问题（教师版）

专题07平行四边形的存在性问题

在几何中，平行四边形的判定方法有如下几条：①两组对边互相平行；②两组对边分别

相等；③一组对边平行且相等；④对角线互相平分；⑤两组对角相等。在压轴题中，往往与

函数（坐标轴）结合在一起，运用到④⑤的情况较少，更多的是从边的平行、相等角度来得

到平行四边形.

典例剖析

L▲

模块一：已知三点的平行四边形问题

知识精讲

1、知识内容：

已知三点后，其实已经固定了一个三角形（平行四边形的一半），如图AA8C.第四个

点材则有3种取法，过3个顶点作对边的平行线且取相等长度即可（如图中3个物点）.

2、解题思路:

(1)根据题目条件，求出已知3个点的坐标；

(2)用一点及其对边两点的关系，求出一个可能点；

(3)更换顶点，求出所有可能的点；

(4)根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答.

例题解析

例1.如图，抛物线y=Y+法-。经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点/、B,此抛物线与

x轴的另一个交点为G抛物线的顶点为〃

(1)求此抛物线的解析式；

(2)点。为抛物线上的一个动点，求使5凶1c:SMS=5：4的点？的坐标；

(3)点"为平面直角坐标系上一点，写出使点收4、B、〃为平行四边形的点M的坐标.

【解析】解：(1)易得,从万坐标分别为(0,-3)和(3,0),

代入抛物线解析式得，b=-2,c=3.

•••抛物线解析式为：y=f-2x-3；

(2)♦.•顶点〃为(1,-4),(点为(-1,0),

5MCD=^DO=8.

•*,Swc=1。,

：.P点纵坐标的绝对值为位心=5，

4

即〃点纵坐标为±5(抛物线上最小为-4,负舍).

〃点纵坐标为5,

代入抛物线解析式，解得：x=4或x=-2,

尸点为(4,5)或(-2,5)；

(3)过4、B、，分别作如、/〃、团的平行线，

所得的三个交点即为满足条件的V的位置，

分别为(~2,-7)、(4,T)、(2,1).

【总结】本题主要考查函数背景下的面积问题及点的存在性，注意此题中已知三点求第四个

点构造平行四边形时，利用平移的方法求解即可.

例2.如图，已知抛物线丫=以2+3or+c与y轴交于点G与x轴交于/、8两点(点4在点

6的左侧)，点8的坐标为(1,0),tanAOBC=3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点£在入轴上，点尸在抛物线上，是否存在以力、C、E、产为顶点且以为一边的平

行四边形，若存在，写出点尸的坐标；

(3)抛物线的对称轴与交于点0,说明以。为圆心，以酸为半径的圆与直线比1的关系.

【解析】解：（1）点坐标为（1,0）,tanZOBC^3.

：.Ot=3,0点坐标为（0,-3）.将6、C两点代入了=ax+3ax+c,

抛物线的解析式为y=[x2+\x-3：

（2）/点坐标为（-4,0）,C点为（0,-3）,平行四边形以/C为一边,

则它的对边为两边平行且相等.

设£,点的坐标为（e,0）分情况讨论，

①〃在£的右下方，则一点坐标为（资4,-3）.

将P点代入抛物线方程，可以解得：k7.

②〃在£的左上方，则P点坐标为（匕4,3）.

将。点代入抛物线方程，解得：1=坐叵，

.•，点为（-3,-3）或卜n+a,3]或（二卫二四，31：

（3）直线4。的解析式为y=——3,抛物线得对称轴为》=-3,

42

.•.0点坐标为，],-"],...圆0的半径为3标.

k2878

长度为丝，0庆。。，...圆。与6C相交.

8

【总结】本题主要考查函数背景下的平行四边形的存在性问题，另外考查了直线与圆的位置

关系，注意利用相应的数量关系去判定.

例3.如图，在平面直角坐标系中，直线y=履+6分别与x轴负半轴交于点4与y轴正

半轴交于点8,口P经过点4点3(圆心户在x轴负半轴上)，已知48=10,AP=—.

(1)求点户到直线的距离；

(2)求直线y=kx+3的解析式；

(3)在口尸上是否存在点0,使以4只B、。为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点

。的坐标；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)过点，作尸。，相，垂足为〃，由垂径定理，得4〃=DB=5；

7515

在Rt\APD'\',由4〃=5,”=—,得PD=—

44

(2)由ZADP=ZAOB,NPAD=NBAO,得：APAD(八\BAO,

：.OA=8,OB=6,：.A(-8,0),B(0,6)

易得直线解析式为：y=-x+6

(3)在口尸上不存在点0,使以/、P、B、。为顶点的四边形是菱形.

"：PA=PB,AB^PA,

以求P、B、。为顶点的是菱形的顶点。只能在阳的延长线上.

延长加至点0,使如=DQ,AD=DB,且尸£>_L4?得菱形

但PQ=2PD='大于半径PA,

4

...点。在口P外，

即在口P上不存在点0,使以4P、B、。为顶点的四边形是菱形.

【总结】本题主要考查函数背景下与圆相结合的问题，注意利用圆的有关定理解决相应问题,

第（3）问中注意利用菱形性质去判定.

模块二：存在动边的平行四边形问题

知识精讲

1、知识内容：

在此类问题中，往往是已知一条边，而它的对边为动边，需要利用这组对边平行且相等

列出方程，进而解出相关数值.更复杂的有，一组对边的两条边长均为变量，需要分别表示

后才可列出方程进行求解.

2、解题思路：

（1）找到或设出一定平行的两条边（一组对边）；

（2）分别求出这组对边的值或函数表达式；

（3）列出方程并求解；

（4）返回题面，验证求得结果.

例题解析

例4.（2020宝山二模）如图6,在平面直角坐标系中，抛物线丁=℃2_2以-3ag<0）

与x轴交于A、B两点（点A在点8的左侧），经过点A的直线/:y=fcc+b与y轴负半轴

交于点C,与抛物线的另一个交点为。，且CO=4AC

（1）直接写出点A的坐标，并求直线/的函数表达式（其中晨沙用含a的式子表示）

（2）点E是直线/上方的抛物线上的动点，若A4CE的面积的最大值为工，求a的值；

4

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点。在抛物线上，当以点A、。、P、Q为顶点的

四边形为矩形时，请直接写出点P的坐标.

【分析】（1）令y=0,即办2一2"一3a=0，解出x的值即可得出A点的坐标;根据CO=4AC

表示出D点的坐标（4,5a）,结合A点坐标利用待定系数法即可算出直线解析式；

（2）设点E的坐标（加，。（加+1）（加-3））,然后结合A点坐标利用待定系数法求出

%£・=&（加-3）x+a（加-3）,再利用割补法表示出三角形ACE的面积，根据配方法求最值

即可算出a的值；

（3）分别以AD为对角线或AD为边进行分类讨论，再结合矩形的对边平行和一个内角是

90°,利用勾股定理计算出a的值，进而确定P点坐标.

【详解】（1）令y=0,则以2-2以一3a=0,解得x=l或3,

I点A在点8的左侧，.•.A（-l,0）；

如图1,作DFJ_x轴于F点,

OAAC

CD^4AC,OA=1,

.,.0F=4,即D点坐标为（4,5a）,将A点和D点坐标代入y=kx+b,得

—%+Z?=0k=a

n

4k+b=5ab=a

，直线/：y=ar+a

（2）如图1,作ENJ_y轴于点N,设点E（桃。（加+1）（加-3））,

yAE=k}x+bi,可得

=tz(m-3)x+tz(m-3)

设AE与y轴交点为M,则M(0,々(机-3)),

MC=a^m-3)-a,NE=m,

-s口ACE=S口AC"+S"M=-3)-a]+(m-3)-a]/〃,

3?25

n即nScnACE=Wa(一-

VAACE的面积的最大值为2,

4

2552

即----a=-,解得a=—

845

(3)由y=依2-2以一3a,可得对称轴为x=l,设P点坐标为(1,m),

①若AD为矩形一条边，如图2,

则号一Xp=4一々，即4—1=一1一4，可得Q点横坐标为-4,代入抛物线方程，

可得Q点坐标(-4,21a),.•.»='"+%=5a+21a=26”，

；.P点坐标(1,26a),

•.,四边形ADPQ为矩形,□NADP=90°,

AD2+PD2=AP2.

AD?=[4-(-1)了+(5〃)2=25+25/,pp2=(4-1)2+(5«-26a)2=9+441«2,

6=(-1)?+(26«)2=4+676/,

25+254+9+441/=4+676/na=±立，

7

I—//—、

«<0,."=一业，；.P点坐标为1,———,

7I7)

②若AD为矩形的一条对角线，如图3,则AD的中点坐标为

••.Q点坐标为(2,—3a),进而可得P点坐标为(1,8a),

:四边形ADPQ为矩形,□NAPD=90°,

•*-AP2+PD2=AD2，

人尸=(-1-呼+(8a丫=4+64/,吁=(4_1J+伽_8a『=9+9a2,

AD2=[4-(-l)]2+(5«)2=25+25a2,

：.4+64o2+9+9a2=25+25/=>a-±-,

2

a<0,a=—5,；.P点坐标为(1,—4)

26日'

综上可得，P点坐标为1，-或（1，-4）.

7

7

【点睛】本题考查二次函数与几何面积及矩形存在性的综合问题，解题关键是利用割补法把

面积表示出来，通过配方法求面积最值，及结合矩形的性质求解点的坐标.

例5.（2020崇明二模）已知抛物线y=or2+加—4经过点A（-1,0）,3（4,0）,与）’轴交于

点C,点。是该抛物线上一点，且在第四象限内，连接AC、BC、CD、BD.

（1）求抛物线的函数解析式，并写出对称轴；

（2）当5.“=45w七时，求点。的坐标；

（3）在（2）的条件下，如果点E是X轴上一点，点尸是抛物线上一点，当以点A、D、E、F

为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点E的坐标.

【整体分析】

(1)根据点A,B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式，即可写出对称轴；

(2)连接。,求出C点坐标，根据A、B、C点坐标求出5^=8,设D(X,X2-3X-4),

根据四边形列出关于的方程,解方程即可求出

S0c08=SR0cD+S^OBD=SAO8c+tsBCD=16,X

D点坐标；

(3)分两种情形：如图2中，当AE为平行四边形的边时，根据DF=AE=1,求解即可.如

图3中，当AE,DF是平行四边形的对角线时，根据点F的纵坐标为6,求出点F的坐标,

再根据中点坐标公式求解即可.

【满分解答】

(1)y=ax2+bx-4经过点4(-1,0),5(4,0),

a-b-4=0fa=1

[16a+4b-4^0'"[^=-3'

3

y=x2-3x-4,对称轴为直线x=一.

2

(2)连接。。,

y=f-3x—4经过点C，，C(0,-4),

A(-LO),3(4,0),/.OA=1,03=OC=4,

又•••ZAOC=NBOC=90°,/.S堤加=-xlx4=2,S.BOC='x4x4=8,

***SgcD=4sA40c,「.SgcD=8,

设D(x,x2—3x-4),

2

O在第四象限，.♦.x>0,X-3X-4<0，

一S|四边形OCD8=S、ocD+S&OBD

11

=—x4x+—x4(-x9+3x+4)

=-2x2+8x4-8，

,**S四边形ocw=S^OBC+S^cz)=8+8=16,

2

/.-2x+8x+8=16»Xj=x2=2,/.D(2,-6).

（3）如图2中，当AE为平行四边形的边时,

V

图2

VDF/7AE,D(2,-6)：.F(1,-6),ADF=1,AAE=1,

・・・E(0,0),或E'(-2,0).

如图3中，当AE,DF是平行四边形的对角线时,

•..点D与点F到x轴的距离相等，.•.点F的纵坐标为6,

当y=6时，6=X2-3X-4,

解得x=-2或5,；.F(-2,6)或(5,6),

,—\+n—2+2—1+n5+2

设E(n,0),则有------=------或------=-----,

2222

解得n=l或8,AE(1,0)或(8,0),

综上所述，满足条件的点E的坐标为(0,0)或(1,0)或(8,0)或(-2,0).

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质，三角形

的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会川分类讨论的思想思考

问题，属于中考压轴题.

例6.如图，抛物线＞=-』/+法+0与/轴交于点水0,1）,过点4的直线与抛物线交于另

4

一点8（3,|）,过点8作8dx轴，垂足为C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点尸是x轴正半轴上的一动点，过点P作月Ux轴，交直线于点M,交抛物线于点N,

设0的长度为勿.

①当点。在线段8上（不与点。、，重合）时，试用含勿的代数式表示线段AM的长度；

②联结CMBN,当而为何值时，四边形宽断为平行四边形？

【解析】（1）将从6代入抛物线，可解得抛物线的解析式为卜=-（必+12%+1

（2）由题目中条件，易得直线4?的解析式为y=gx+l.

①,"点坐标为（加，0）,〃点坐标为（h，-m+\）,

2

/.PM=-m+1;

2

②•：BC//MN,：.只需要MN=%1即能使秘州为平行四边形.

当点P在线段0C上时,

T7・・D个5....517.1.515

乂•£>C=—,MN=—tn2H---机+1—in—\——m2~\-----m,

244244

——nr+—m=—♦解得：加=1或〃z=2；

442

当点P在线段OC的延长线上时，

*,521552155

MN=—m----m,艮|J一祖~---m=一，

44442

解得：叫=土乎(不合题意，舍去)，吗=电叵，

综上所述，当用的值为1或2或士匚叵时，四边形式祕V为平行四边形.

2

【总结】本题主要考查了二次函数的综合，在解题时要注意解析式的确定，并且注意分类讨

论的数学思想.

例7.如图，已知抛物线了=一/+区+。经过4(0,1)、8(4,3)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求tan/4?。的值；

(3)过点8作比工”轴，垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段4?于点N,

交抛物线于点M若四边形松◎为平行四边形，求点"的坐标.

【解析】解：(1)将46两点代入抛物线，可得抛物线解析式为)，=-丁+2》+1；

2

(2)过力作力必加于〃，可得5aAz口国=2.

又丁8O=，42+32=5,AAH=-.

5

又•:AO=。4?+22=2卮：.£?//=J(2A/5)2-PJ=y

2

tanZ.ABO=——：

11

(3)9：BC//y轴，J加〃p轴，：.BC//MN.

要使拗④为平行四边形，只需要除业V即可.

直线"的解析式为y=”l.

9

设"点为（〃,〃+1）,则"点为（〃,++

2-

2

又:给3,A/?/=-n24--n4-l--n-l=3.

22

解得：〃=1或〃=3（与材在对称轴左侧矛盾，舍）.

Q

，照点坐标为（1,-）,

2

【总结】本题主要考查了二次函数的综合，注意锐角三角比的运用及平行四边形的存在性的

讨论.

例8.如图，在用A4BC中，Zf=90°,AC=6,BC=8,动点夕从点/开始沿边/C向点

C以每秒1个单位长度的速度运动，动点0从点C开始沿边"向点6以每秒2个单位长度

的速度运动，过点、P作.PDUBC,交四于点。，联结国•点只0分别从点4、C同时出发,

当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为/秒（合0）.

（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=,PD=；

（2）是否存在力的值，使四边形/W为菱形？若存在，求出力的值；若不存在，说明理由，

并探究如何改变点0的速度（匀速运动），使四边形如8。在某一时刻为菱形，求点0的速度.

4

【解析】（1）Q8=8-2r,=

（2）不存在.要使/W为菱形，首先它应该是平行四边形,

419

:.PFBQ,即8-2/=4.解得：r=—.

35

此时P£>=3,ITOBD=10-AZ）=10--r=6.

53

・・・此时不为菱形，不存在r使得功制为菱形.

设。的速度为p时，存在「使得必制为菱形，

45

・・・QB=8-讨，PD=-t,BD=W一一t.

33

:・PD=BD，即3=10-3,解得：t=—,

333

PD=QB,即，=8-，丫，解得：v=—.

9315

即当点0的速度为每秒3个单位长度时，经过3秒，四边形/w是菱形.

153

【总结】本题主要考查几何图形背景下的动点问题，一方面要注意动点的运动轨迹，另一方

面要注意对动点的存在性进行讨论.

压轴精练

1.已知平面直角坐标系xfiy（如图），一次函数y=』x+3的图像与y轴交于点4点,〃在正

-4

比例函数y=gx的图像上，且柳9=物.二次函数y=x?+fer+c的图像经过点4、M

（1）求线段4"的长；

（2）求这个二次函数的解析式：

（3）如果点8在y轴上，且位于点/下方，点C在上述二次函数的图像上，点〃在一次函

数y=28+3的图像上，且四边形/版是菱形，求点。的坐标.

4

y“

1-

IIII______iiiiii.

。1x

【解析】（1）〃点应在切的垂直平分线上，力点坐标为（0,3）,在直线y=T上，

又点"在正比例函数y=gx的图像上，点为（11），••.4"的长为孚；

（2）将4、"分别代入二次函数解析式y=d+法+c,

解得解析式为：y=x2--x+3;

2

（3）根据四边形48"四个顶点的顺序可知，〃点在/点右上方，C在右下方,

且如/4?(即平行于y轴)，...设〃点为卜,《肛+3),则C点为(〃,〃2-g-+3

；4BCD为菱形,CD-AD.

；.1〃+3-/72+g〃—3=/。+(?〃)>解得:n=0(舍)或“=2.

；.C点坐标为(2,2).

【总结】本题主要考查二次函数的图像与性质以及菱形的存在性，注意利用性质确定点的坐

标.

2.在平面直角坐标系x行中，经过点4(T,0)的抛物线旷=-丁+云+3与y轴交于点G

点8与点4点。与点C分别关于该抛物线的对称轴对称.

(1)求6的值以及直线49与x轴正方向的夹角；

(2)如果点£是抛物线上的一动点，过6作跖平行于*轴交直线/〃于点区且b在后的

右边，过点/作用，/〃于点C,设〃的横坐标为w,AE/P的周长为/,试用加表示人

(3)点"是该抛物线的顶点，点尸是y轴上一点，0是坐标平面内一点，如果以/、〃、P、

0为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点。的坐标.

y=-d+2x+3,对称轴直线*=1;：.C(0,3),D(2,3),A(-1,0),

二直线加解析式为：y=x+1,与x轴正方向的夹角为45°；

(2)''E(m,-m2+2m+3),F(-nr+2m+2,-nr+2m+3),

：.EF=-m2+m+2

'：AEFG为等腰直角三角形，/=EF+FG+EG=EF+4£F+*EF=(及+1)EF,

A/=(V2+1)(-m2+/九+2)=-(夜+1)病+(夜+[)机+2夜+2.

(3)4(—1,0),.)/(1,4),设⑷/的中点为M则\(0,2)

①当阳/为对角线时，

•.*ZAPM=90°,:.PN=AN=MN=1AM=后,

2

:.QN=PN=50在y轴上，,Q(0,2+75),Q2(0,2-^5)；

②当加为边时，

cosZPW=^-,MV=5

5

59

RN=_,P、(0,-)

3232

AP3KM丝XQ'HA,(-2,1)

7

同理(2,—)

【总结】本题综合性较强,解题时要运用几何图形的相关性质，并且注意对方法的归纳总结.

2.

3.如图，在平面直角坐标系X。中，直线y=-4m与x轴、y轴分别交于点力、B,点、

。在线段四上，且九°8=25.”.

(1)求点C的坐标(用含有加的代数式表示)；

(2)将&4OC沿X轴翻折，当点。的对应点C恰好落在抛物线y=立V+2〃a+〃?上时，

183

求该抛物线的表达式；

(3)设点"为(2)中所求抛物线上一点，当以/、0、G”为顶点的四边形为平行四边形

时，清直接写出所有满足条件的点M的坐标.

【解析】解：(1)将*=0代入直线解析式，可得占点为(0,-4加.

将尸=0代入后，可得力点为(6,0).

过，作CDLOB于D,作区L出于E.

■:S^OB=2stMc,:.BC=AC.易证，△BCD^ACAE-

BD=CE,CD=AE....C点坐标为(3,-2加；

(2)由题意,C点为(3,2m).

，将「点代入y+2㈤（•+机，解得：机=-9.

■1832

，抛物线的解析式为：丫=@》2一@工一且.

■1832

（3）由题意，使得从0、C、M构成平行四边