2022年中考数学复习：二次函数与特殊的四边形 练习题汇编（含答案）

2022年中考数学专题复习：二次函数与特殊的四边形练习题汇编

1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=V-2x+c与直线y=x+l交于点4、C.且点

A的坐标为(-1,0).

图1图2

(1)求点C的坐标；

(2)若点P是直线AC下方的抛物线上一动点，求点P到直线AC距离的最大值；

(3)若点E是抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在点E使以A,C,E,

尸为项点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标：若不存在，请说明

理由.

2.抛物线)，=012_分+8交X轴于A,8两点(A在B的左边)，交y轴于C,直线y=-x+4

图1图2

(1)求抛物线的解析式;

⑵如图1,点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上，以点A、C、M、N为顶点,

AC为边的的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点N的坐标.

(3)如图2,P为直线上方的抛物线上一点，轴交8c于。点，过点。作

DELAC于E点.^m=PD+^DE,求加的最大值;

3.如图所示抛物线y=a/+/»+c由抛物线y=/-x+i沿对称轴向下平移3个单位得

到，与x轴交于A、B两点(A在8的左侧)，与y轴交于C,直线>=履+匕过8、C两

(1)写出平移后的新抛物线y—d+fcr+c的解析式；并写出〃/+法+。>履+6时x的取值

范围.

(2)点P是直线BC下方的抛物线上一动点，连接PO、PC,并把APOC沿CO翻折，得

到四边形POP'C,那么是否存在点尸，使四边形POP'C为菱形？若存在，请求出此时

点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)当点尸运动到什么位置时，aPBC的面积最大？求此时点P的坐标和APBC的最大面

积.

4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线以+c与x轴交于A(-l,0)、B(3,

(2)点尸为直线BC上方抛物线上一动点，当ABPC的面积最大时，求点P的坐标.

(3)在(2)的条件下，当A8PC的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点M,在BD

上有一动点N,且MN_L8£>,求PM+MN的最小值；

(4)点。是对称轴上一动点，点R是平面内任意一点，当以8、C、Q、R为顶点的四边

形为菱形时，直接写出点R的坐标.

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5.如图，抛物线yu^+fcr+c与x轴交于4(-1,0)、B(3,0)两点，直线/与抛物

线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.

(1)求抛物线的解析式及直线AC的解析式；

(2)P是线段AC上的一个动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于E点，求线段PE长度

的最大值；

(3)点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F,使A、C、F、G这样的四个点为顶

点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请

说明理由.

6.如图，抛物线》=⑪2+2皿-3与x轴交于A,B两点、(点A在点B的左侧)，与y轴

交于点C,且O4=OC,连接AC.

(1)求抛物线的解析式.

(2)若点尸是直线AC下方抛物线上一动点，求AACP面积的最大值及此时点P的坐标.

(3)若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F,使以A,B,E,尸为顶点的四

边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.

7.已知抛物线¥=/+法+。与x轴相交于点A(TO),8(3,0),与y轴相交于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)如图1,将直线BC间上平移，得到过原点0的直线MM点D是直线MN上任意一

点.

①当点O在抛物线的对称轴/上时，连接C。，关x轴相交于点E,水线段0E的长；

②如图2,在抛物线的对称轴/上是否存在点F,使得以B,C,D,尸为顶点的四边形

是平行四边形？若存在，求出点F与点。的坐标；若不存在，请说明理由.

8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=G2+法-2与x轴交于A(-1,O),B两点,

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)如图1,点尸为第四象限内的抛物线上一动点，连接PB,PC,CD,求四边形尸BOC

面积的最大值和此时点P的坐标；

(3)将该抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线y',平移后的抛物线与原抛物线的对称

轴相交于点E,点尸为抛物线了对称轴上的一点，M是原抛物线上的动点，直接写出所

有使得以点A,E,F,M为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一

个点M的坐标的过程写出来.

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9.已知，如图，抛物线与坐标轴相交于点A(-1,O),C(O,-3)两点，对称轴为直线x=l,

对称轴与x轴交于点》

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上的点，当NACP=45。时，求点尸的坐标；

(3)点尸为二次函数图像上与点C对称的点，点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴

上，是否存在以点F,A,M,N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，

若不存在，说明理由.

10.如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=依2+法+2G(awO)与x轴交于A(—2,0),

8两点(点A在点8的左侧)，与y轴交于点C,连接BC,ZABC=30°.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为直线8c上方抛物线上(不与8,C重合)一点，连接PC,PB,AC,当

9

PBC~WS&AOC，求点尸的坐标；

(3)将抛物线沿射线CB方向平移|6个单位，点F是平移后新抛物线的顶点，M是y

轴正半轴上一点，点N是平面内任意一点，当以A、尺M、N为顶点的四边形是菱形

时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标；并任选其中一个N点，写出求N点的坐

标的过程.

11.如图,抛物线y=加+6x+c交y轴于点A(0,Y),并经过点C(6,o),过点A作AB"

轴交抛物线于点8,抛物线的对称轴为直线x=2,。点的坐标为(4,0),连接A£>,BC,

.点E从A点出发，以每秒五个单位长度的速度沿着射线AO运动，设点E的运动

时间为〃?秒，过点E作E/_LAB于F,以EF为对角线作正方形EGF”.

(1)求抛物线的解析式：

(2)当点G随着£点运动到达8c上时，求此时m的值和点G的坐标；

(3)在运动的过程中，是否存在以B,G,C和平面内的另一点为顶点的四边形是矩形，

如果存在，直接写出点G的坐标，如果不存在，请说明理由.

12.如图，抛物线y=a^+2x+c的对称轴是直线》=1,与x轴交于点A,8(3,0),与

y轴交于点c,连接AC.

(1)求此抛物线的解析式;

(2)已知点。是第一象限内抛物线上的一个动点，过点。作轴，垂足为点用，

ZW交直线BC于点N,是否存在这样的点N,使得以A,C,N为顶点的三角形是

等腰三角形.若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；

(3)己知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F,使以点8、C、E、

产为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.

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13.如图，抛物线y=oy2+法与x轴交于点A(-2,0),与反比例函数y=［图象交于点8,

过点B作BQJ_y轴于点°,BQ^\.

(1)求抛物线的表达式；

(2)若点尸是抛物线对称轴上一点，当BP+OP的值最小时，求线段。户的长；

(3)若点〃是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线的对称轴上是否存在一点力，使得

以4,B,D,M为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，

请说明理由.

14.如图，抛物线y=o?+法+。与x轴交于A,8(7,0)两点，与，轴交于点C,直线

AC的解析式为y'=：2x-2.

备用图

(1)求抛物线的解析式：

(2)已知k为正数，当0<x41+Z时，V的最大值和最小值分别为〃?，〃，且%+〃=与,

求女的值；

(3)点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点。，使得以点A,C,P,Q

为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

15.如图，抛物线"d+bx+c与*轴交于43,0)、8(-1,0)两点，与)，轴交于点C(0,3),

(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点。的坐标；

(2)在抛物线的对称轴上取一点E,点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶

点、AC为边的四边形为平行四边形，求点尸的坐标；

(3)在(2)的条件下，将点。向下平移5个单位得到点点尸为抛物线的对称轴上一

3

动点，求尸尸+yPM的最小值.

16.已知抛物线yd+W+c与x轴交于点4(3,0)和点B(T,0),与y轴交于点C,点

。在抛物线上运动(不与点A,B,C重合).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,当点。在第一象限抛物线上运动时，过点。作OFLx轴，垂足为点F,直

线。F与直线AC交于点E,若DE=EA,求点。的坐标；

(3)如图2,直线30交直线AC于点H,点G在坐标平面内，在抛物线上是否存在点£>,

使以点A,D,H,G为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点。的坐标；若不

存在，请说明理由.

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17.如图，在平面直角坐标系.xOy中，直线y=x-4与x轴交于点A,与)，轴交于点2,

过A,8两点的抛物线交x轴于另一点C(-2,0).

(1)求抛物线解析式；

(2)如图1,点尸是直线AB下方抛物线上一动点，连接用，FB,求出四边形布0B面积

最大值及此时点尸的坐标.

(3)如图2,在(2)间的条件下，点Q为平面内y轴右侧的一点，是否存在点Q及平面

内任意一点”使得以A,F,Q,M为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点。

的坐标；若不存在，说明理由.

18.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+2r+c(辱0)与x轴交于点A、8,与y

轴交于点C,连接8C,0A=\,对称轴为直线x=2,点。为此抛物线的顶点.

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线上C,。两点之间的距离是；

(3)点P在抛物线对称轴上，平面内存在点。，使以点8、C、P、Q为顶点的四边形为

矩形，请直接写出点。的坐标.

19.如图1,平面直角坐标系xOy中，抛物线丫=④2+陵+。+(4<0>与;(:轴分贝11点4和

(1)直接写出抛物线的解析式；

(2)如图2,连接4C,当点P在直线4c上方时，求四边形以BC面积的最大值，并求出

此时P点的坐标：

(3)设M为抛物线对称轴上一动点，当P,M运动时，在坐标轴上是否存在点M使四

边形尸MCN为矩形？若存在，直接写出点P及其对应点N的坐标；若不存在，请说明

理由.

20.在平面直角坐标系中，抛物线广加+云+4(«#0)的图象经过点A(-2,0),B(4,

(2)如图1,连接BC,点尸为第一象限抛物线上一动点，过点P作尸轴交直线BC

于点M,过点尸作PN〃AC交x轴于点N,求上PN+PM的最大值及此时点尸的坐

5

标；

(3)如图2,把抛物线产加+灰+4向右平移2个单位长度，平移后的抛物线与原抛物线

相交于点。，点E是原抛物线对称轴上一动点，点尸是平移后抛物线上一动点，直接写

出所有使得以点4、Q、E、尸为顶点的四边形是平行四边形的点尸的坐标，并把求其中

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一个点尸的坐标的过程写出来.

参考答案：

1.(1)(4,5)

2)252/2

8

(3)存在，点E的坐标为(2,-3)或(6,21)或(-4,21)

【分析】(1)把点4的坐标代入＞=X2-2X+C,求出C的值，联立直线产X+1即可求解；

(2)过点尸作PMLx轴交AC于点M,当5凶6最大时，点尸到直线AC的距离最大，运用

待定系数法求直线AC解析式为y=x+5,设尸Cm,in2-2m-3)则M(WZ,

机+1),求得PM,再根据二次函数的性质可得5凶〃的最大值，根据勾股定理求出AC,利用

三角形的面积公式求解即可；

(3)分三种情况讨论：①当AC为平行四边形的对角线时，②当AF为平行四边形的对角线

时，③当AE为平行四边形的对角线时，根据平行四边形的性质分别求解即可.

(1)

解：•..点A(-1,0)在抛物线y=f-2x+c的图象上，

0=1+2+。，

c=-3,

.,.抛物线为y=f—2x-3,

y-x1-2x-3

联立直线产x+1得

y=x+\

x=-\

解得或

y=5y=0

...点C的坐标为(4,5)；

(2)

解：过点P作尸MJ_x轴交AC于点M,如图:

设P(加，"，一2加一3)(-1</w<5),则M(m,m+l),

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/.PM=m+\—(m2—2m-3)=-nV+3m+4,

.12々八53125

・・cS^CP=5x5(-+3m+4)=--(A?2--)+-^-,

3125

・•・当，椁彳时，Su”最大为宁，

2o

:点A(-1,0),点C(4,5),

AC=7(4+l)2+52=572,

设点P到直线AC的距离为近

,,SMCP=彳x5\/2x.h———,

Zo

.,2572

••h,―t

8

.•.点P到直线AC距离的最大值为竺囱；

8

（3）

解：存在，理由如下：

,/^=X2-2X-3=（X-1）2-4,

抛物线的对称轴为直线卡1,

设点下的坐标为（1,〃），点E的坐标为（x,x2-2x-3）,

分三种情况：

①当AC为平行四边形的对角线时，

-l+4=l+x,

解得广2,

...点E的坐标为（2,-3）；

②当AF为平行四边形的对角线时，

-l+l=x+4,

解得x=-4,

点E的坐标为（-4,21）；

③当AE为平行四边形的对角线时，

-1+1+1,

解得x=6,

.♦.点E的坐标为（6,21）；

综上，点E的坐标为（2,-3）或（-4,21）或（6,21）.

【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二

次函数的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质.熟知几何图形的性质利用数形结合是

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解题的关键.

2.(l)y=-^12+3^+4

⑵1，或Q

喔

【分析】(1)利用直线y=-x+4经过B、C两点，先求出点8、C的坐标，然后利用待定系

数法求出抛物线的解析式；

(2)分AN为平行四边形的边和对角线讨论即可得出答案

⑶根据表达式设出。点坐标亿T+4),P(r，T+$+4),用含r的代数

式分别表达出线段「。、DE,转化成机关于f的二次函数，再求〃，的最大值及尸点坐标；

(1)

解：当x=0时，y=4；

当y=。时，-x+4=0,x=4；

.•.3(4,0),C(0,4),

・・•点8,C在抛物线上，

116〃-4々+。=0a=~—

・•・L/，解得：3,

i[b=4

101d

/.y=一一x+-x+4；

33

(2)

当以AC为边时，点N的坐标为(g,-3)；当以AC为对角线时，点N的坐标为(：，y)；

•••抛物先线的函数表达式：・.・y=_gx2+gx+4=_g(x_；)2+^|,

.♦•抛物线的对称轴为：x=g,

当)，=0时，0=-$2+gx+4,解得：》=_3或44,

.•.点A(-3,0),

设点N(g,〃)，点+；机+4),

①当AN为平行四边形的边时，AM和CN为对角线，

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7

-3+m=—

7m=­

]j,解得：-2

35

0+(--/?22+-/n+4)=4+Hn=---

12

••・N4，

②当AM为平行四边形的边时，AN和CM为对角线,

、15

-3+-="7m=——

22

，解得：，

61

4+(--m2+—/??4-4)=/2n=---

3312

综上：点N的坐标为：（g,-）或（g,yy）.

（3）

如图1,连接AO,延长尸。交X轴于”，

•••PD〃y轴，

轴，

图1

设。(r,-r+4),尸亿-；”+?+4),

1,11,4

PD=--r+-/+4-(-f+4)=--1+-t,

3333

且A(-3,O)，8(4,0),C(0,4),

■■S&ABC=SMDC+S&ADB,

lx7x4=-AC-DE+-x7x(-r+4),

222

=5,

7

:.DE=-t,

'：m=PD+—DE,

21

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1.25

332153

12410712c1/c、2c

/.m=一一t+—，+——x-/=一一r+2t=一一(t-3)+3

3321533

525

.•.当时，m有最大值是

【点评】本题主要考查了二次函数的图像和性质以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数

的图像和性质，平行四边形的性质是解题的关键.

3.(l)y=x2-x-2

⑵存在，点尸的坐标为(印…

(3)P点的坐标为(1,-2),APBC的最大面积为1

【分析】(1)由图象平移的性质即可求解；

(2)当四边形POPC为菱形，则点P在OC的中垂线上，进而求解.

2

(3)过点尸作y轴的平行线与BC交于点£),设P(x,X-X-2),先求出B、C的坐标，根据

S.PBC=S梯形PCOD+S"-S“oc列出X的二次函数解析式，根据二次函数的性质求出满足

条件的P点坐标以及面积最大值.

(1)

解：由图象平移的性质得：y=x2-x+l-3=X2-X-2；

(2)

故点C的坐标为(0,-2),即OC=2,

当四边形POP'C为菱形，则点尸在0C的中垂线上，

则点P的纵坐标为《xOC=-l,

当产-1时，即产/学2=一1,解得广匕包或尸上毡(不符合题意，舍去),

22

则点P的坐标为(匕-1).

2

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(3)

解：过点尸作y轴的平行线与8C交于点D

・・•点P是直线BC下方的抛物线上一动点，

PD--x2+x+2,

对于抛物线尸W*2,

当y=0时，x2-x-2=0,

解得：%=T,%2=2,

.•.8(2,0),

由(2)知：C(0,-2),

S^PBC=S悌形PCOD+SdPBD~Sj)0c

=^x^-x2+x+2+2)+g(2-x)(-x2+x+2)-；x2x2

=-x2+2x

=—(x-1)+1

当x=l时，APBC的面积最大，最大面积为1,

把广1代入抛物线解析式，得产-2,

此时尸点的坐标为(1，-2).

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到抛物线的图象和性质，菱形的性质、中垂

线的性质、平移的性质等，有一定的综合性，难度不大.

171

4.⑴抛物线的解析式为y=-#+尹+1,直线跳)的解析式为产“-1；

35

(2)点尸的坐标为(万，—)；

(3)PM+MN的最小值为包叵；

8

(4)点R的坐标为(-2,1+点)或(-2,1_n)或(4,3)或(4,・3)或(2,2).

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【分析】(1)抛物线y=-gf+法+C与X轴交于A(T,0)、8(3,0)两点，由两点式即可得

到抛物线的解析式，求得点D的坐标，利用待定系数法即可求得直线BD的解析式；

(2)过点尸作PFLx轴于点尸，交直线BO于点E,求得直线BQ的解析式为尸

I21

设点P的坐标为(加，--/w2+-m+l),则点E的坐标为(m，--m+l),求得PE关于〃7的二

次函数，利用二次函数的性质即可求解；

(3)作点P关于直线的对称点P,求得点P，的坐标为(；，I),过点P作直线8。的

垂线P'N，垂足为N,交直线41于点M,则PM+MN的最小值为p'N的长，证明RIAPGN

-RtABDO,利用相似三角形的性质即可求解；

(4)分当BR为对角线，当CR为对角线，当CB为对角线时三种情况讨论，利用菱形的性

质以及平移的性质即可求解.

(1)

解：...抛物线y=-gf+bx+c与x轴交于A(T,0)、8(3,0)两点，

11o

•••抛物线的解析式为y=_：(x+l)(x_3)=_：x2+；x+l,

令x=0,则产1,

.•.点C(0,1),

:点。是点C关于x轴的对称点，

.•.点0(0,-1),

设直线BD的解析式为尸质-1,

；.0=3hl,

^=-,

3

・・・直线80的解析式为广;冗-1；

(2)

解：过点尸作轴于点F,交直线80于点E,

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13

△8PC的面积=-PExOB=—PE,

22

当PE取得最大值时，△8PC的面积有最大值，

同理求得直线BD的解析式为产-gx+1，

设点尸的坐标为(加，+则点七的坐标为(m，--w+1),

.122,1,11/3、23

.•PE-ITlHZ2?+1H—1=17214-/72=(1YL)H,

3333324

V--<0,

3

.•.当■时，PE有最大值，ABPC的面积有最大值，

此时点尸的坐标3为15)；

(3)

解：抛物线y=-；(x+l)(x-3)的对称轴为直线产?=1,

作点P关于直线X=1的对称点P',

・・•点P的坐标为(；3，15),

.•.点P'的坐标为(J,|),

过点P'作直线BD的垂线P'N，垂足为N,交直线x=\于点M,

此时PM+MN=PM+MN,根据垂线段最短知PM+MN的最小值为pR的长，

过点P'作P'G〃y轴交直线BD于点G,

VB(3,0),0(0,-1),

AOB=3fOD=\f

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；.BD73\12=W，

'：P'G〃y轴，

:・/PGN=/ODB,

，RsP'GNsRsBDO,

25

喘磊，即工”

回一3

亚,

8

PM+MN的最小值为生叵；

8

(4)

解：设对称轴直线Al与X轴交于点S,

VB(3,0),C(0,1),

・・・。3=3,OC=1,BS=2,

.,.BC=V32+12=710'

当BR、C。为对角线时,

"!

BQ=BC=4[0,

；.QS={(而卜22=瓜,

•••Qi的坐标为(1,76),0的坐标为(1，-76),

根据平移的性质，

点8(3,0)向左平移2个单位，再向上平移几个单位，得到点0(1,遥)，

...点C(0,1)向左平移2个单位，再向上平移逐个单位，得到点R(2,1+痛)；

同理：点4(-2,1-#)；

当CR为对角线时，

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0

3

I

:7^4

过点C作C7,对称轴直线41于点T,则CT=l,CQ=BC=M,

1.QT=J（由j-F=3,

••.R的坐标为（1，4）,Q2的坐标为（1,-2）,

同理，点氏3（4,3）,点&（4,-3）；

设点Q的坐标为(1,q),

CQ2=BQ2,EP(l-q)2+l=q2+22,

解得q=-l，

二点Q的坐标为(1,-1),

同理，点H的坐标为(2,2)：

综上，点R的坐标为(-2,1+向或(-2,1-府或(4,3)或(4,-3)或(2,2).

【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，菱形的性质，相似三角形的判定

和性质，平移的性质，综合性较强，涉及知识点多，难度大，对学生要求较高；必须熟练掌

握所学知识并能够灵活运用.

5.(l)y—x2—2x—3,y=—x—1

9

(2)PE的最大值=：

4

(3)存在4个这样的点F,分别是K(1,0),%(-3,0),F,(4+不，0),号(4-币,

第21页共66页

0)

【分析】(1)将4、B的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将C点横坐标代入抛

物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式：

(2)PE的长实际是直线AC与抛物线的函数值的差，可设P点的横坐标为x,用x分别表

示出P、E的纵坐标，即可得到关于PE的长、x的函数关系式，根据所得函数的性质即可求

得PE的最大值；

(3)此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线.确定平行四边形后，可直接利

用平行四边形的性质求出厂点的坐标.

(1)

解：将A(-1,0),B(3,0)代入yuf+bx+c,

JO=l—A»+c

]0=9+3。+c'

解得：b--2,c--3；

y—x~—2x—3.

将C点的横坐标x=2代入y=x2-2x-3,

得产-3,

：.C(2,-3)；

设直线4c的函数解析式是：y^kx+b,

Q=-k+b

则:

-3=2k+b

k=-l

解得:

b=-l

..•直线AC的函数解析式是y=-x-l.

(2)

解：设尸点的横坐标为x(-1M2),

则P、E的坐标分别为：P(x,-%-1),E(x,X2-2X-3)；

:尸点在E点的上方，PE=(-%-1)-(X2-2X-3)

，r("9

--x~+x+2=-\x——+一，

I2；4

■9

.•.当时，PE的最大值=：.

24

(3)

第22页共66页

解：存在4个这样的点居分别是6（1,0）,尼（-3,0）,吊（4+万，0）,尸,（4-万，

0）

①如图，连接C与抛物线和），轴的交点,

VC（2,-3）,G（0,-3）

二CG〃x轴，此时AF=CG=2,

二尸点的坐标是（-3,0）；

因此F点的坐标为（1,0）；

，G点的纵坐标为3,代入y=/-2x-3中得:

X2-2X-3=3,解得：X=l±y/1,

；.G点的坐标为（1土币，3）,

图中G点在第一象限，所以G（1+近，3）,

AC//GF

设直线GF的解析式为：y=-x+/7,

将G点代入得：3=7-近+h

第23页共66页

:•h=4+不

可得出直线的解析式为y=-x+4+S\

当），=0时：x=4+77

，尸的坐标为（4+出，0）；

综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点.

【点评】本题考查二次函数的综合应用，是中考中常见的压轴题，解题的关键是：正确的求

出函数解析式，利用二次函数的性质进行解题.对于二次函数中的存在性问题，要进行分类

讨论.

6.（I）y=x2+2x-3

3273

（2）当x=-彳时，ZVICP面积的最大值为工，此时点

284

⑶点尸的坐标为（-5,⑵或（3,12）或（-1,-4）

【分析】（1）利用抛物线的解析式令x=0时，y=-3求得点。的坐标，再利用OA=OC,

第24页共66页

求得点A的坐标，代入抛物线的解析式即可求解;

（2）过点尸作尸”〃y轴交AC于点H,利用LCP=S/〃A+SUWC即可求解;

（3）分AB是边、AB是对角线两种情况，利用图形平移的性质和中点公式，即可求解.

(1)

解：•.•抛物线的解析式为），=加+201-3,

.•.当x=0时，y=-3,

：.C(0,-3)

故0C=3=O4,

(-3,0),

将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a-6a-3=0,解得。=1,

故抛物线的表达式为y=V+2x-3；

(2)

设直线AC的表达式为》=区+》,

•.,直线AC过点C(0,-3),A(-3,0),

b=-3

-女+〃=。,解得

直线AC的表达式为y--x-3,

过点「作P”〃y轴交AC于点H,

设点P(x,X2+2X-3),则点，(x,-x-3),

/.P"=-%-3-(X2+21-3)=-/-31,

则S^ACP=SqPHA+S#HC

=；/W.(x+3)+"“O

=|p/7=-|(x2+3x)

2

_33|+27

X4—IT,

~22

第25页共66页

3327

V--<0,故△ACP面积有最大值，当1=时，△AC尸面积的最大值为彳,

22o

.•.当x=一|时，/+21-3=15）+2x（一■|）-3=一？

315

此时点尸（一；，一~二）；

24

（3）

对于丫=炉+2%-3,令y=0,

即y=x2+2x—3=0,

解得x=-3或1,

故点3（1,0）,

・・・抛物线的对称轴为直线为x=-1,

设点/（"2,〃），即〃=7712+2"-3①，点E（-1,力，

①当A8是边时，

点A向右平移4个单位得到点B,同样点F（E）向右平移4个单位得到点E（F）,

即m±4=-1(2),

m=-5m=3

联立①②并解得-2或

a二12

故点尸的坐标为（-5,12）或（3,12）；

②当A8是对角线时，4（-3,0）,8（1,0）,

-3+1

由中点公式得：二岁③，

2

联立①③并解得T，

故点F的坐标为（-1,-4）；

综上，点F的坐标为（-5,12）或（3,12）或（-1,-4）.

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、中

点坐标公式的运用、图形的平移等，其中（3）,要注意分类求解，避免遗漏.

7.(l)y=x2-2x-3

3

（2）①OE==：②在点尸，使得以8,C,D,尸为顶点的四边形是平行四边形.当点尸的坐

4

标为（1,1）时，点。的坐标：（4,4）或（—2,—2）；当点F的坐标为（1,-5）时，点D的坐标：（2,2）.

【分析】⑴把A（-l,0）,8（3,0）代入丫=/+法+。即可得出抛物线的表达式；

（2）①求出直线8C解析式：y=x-3,再由直线MN：y=x及抛物线的对称轴：x=l,

第26页共66页

即可得出0(1,1).进而得出直线C。的解析式为：y=4x-3,即可得出答案；②分以3c为

边时，BPoBCFD,口BCDF,以及分以5c为对角线时，进行讨论即可得出答案.

(1)

解：将点A(-LO),3(3,0)代入y=f+"得:

fl-b+c=0,

[9+3/?+c=0,

仿二一2,

解得，

[c=-3.

；•抛物线的表达式为y=x2-2x-3.

(2)

①由(1)可知：。(0,-3),

设直线BC：y=kx+b(k^O),将点8(3,0),C(0,—3)代入得：

j3k+b=0,

[h=-3.

解得]

=-3.

二直线BC：y=x-3,则直线MMy=x.

•••抛物线的对称轴：%=-^b-=---42=1,

la2x1

把x=l代入y=x,得y=l,

Z.

设直线CD：丫=帆+双勺工0),将点。(0,-3),代入得：

J%1+〃=1,

f年=-3.

fk.=4,

解得/a

也=-3.

直线CO：y=4x-3.

3

当y=。时，得无=二，

②存在点凡使得以8,C,。，尸为项点的四边形是平行四边形.

第27页共66页

理由如下：

(I)若平行四边形以为边时，由3C〃F£＞可知，尸。在直线MN上,

・・・点/是直线MN与对称轴/的交点，即/(1/).

由点。在直线MN上，设。(，/).

如图2-1,若四边形8。尸。是平行四边形，则。F=3C.

过点。作y轴的垂线交对称轴/于点G,则G(l").

BC//MN,

:.4OBC=4DOB,

VGD/7xtt,

/./GDF=/DOB,

：./OBC=NGDF.

XVABOC=ZDGF=90°,

:.△DGF"ABOC,

:・GD=OB,GF=OC,

,:GD=t—l,08=3,

/—1=3,解得r=4.

・・・0(4,4),

如图2・2,若四边形3CDF是平行四边形，则DF=CB.

同理可证：ADKF沿ACOB,

：.KD=OC,

•：KD="t,OC=3,

A1—/=3,解得7=—2.

。(-2,-2)

第28页共66页

(II)若平行四边形以BC为对角线时，由于点。在BC的上方，则点尸一定在BC的下方.

，如图2-3,存在一种平行四边形，即口8月8.

（图2-3）

设。F(ljn),同理可证：ADHC经4BPF,

:・DH=BP,HC=PF

—

*.*DH=tfBP=3—1=2,HC=t—(3)=/+3,PF=0—m=—m

\t+3=—m

t=2,

解得

m=-5.

.♦.0(2,2),F(l,-5).

综上所述，存在点凡使得以8,C,D,F为顶点的四边形是平行四边形.

当点尸的坐标为(1,1)时，点。的坐标：(4,4)或(—2,—2)；

当点尸的坐标为。,一5)时，点。的坐标：(2,2).

【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形

的性质，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键.

294

8・⑴y=一§工一2；

17as

⑵S西边形PBDC的最大值为—，此时点P的坐标为(；，--);

422

⑶点〃的坐标为(T⑷或M(0,-2)或(2,-2).

【分析】(1)运用待定系数法即可求得答案;

第29页共66页

2

(2)利用待定系数法求得直线3C的解析式为y=1X-2,过点。作尸H//y轴交3C于点”，

247

如图1,设P”,—z-2)(0</<3),则”(入不-2),得出

s四边形0皿=3廿牝、+“6=-『+3，+2=-(一卞a2+17:，再运用二次函数的性质即可得出答案；

(3)根据平移的性质可得y=|d+gx,新抛物线的对称轴为直线x=-2,设F(-2,"),

心若加+刎，可得改,学，又4T0),由以点A,E,F,〃为顶点的四边形是平行

四边形，分三种情况：①当AF、为对角线时，AF.EM的中点重合，②当AM、EF

为对角线时，AM、E尸的中点重合，③当AE、用尸为对角线时，AE.ME的中点重合,

分别画出图形，建立方程求解即可.

(1)

解:(1)•.•抛物线:=⑪2+版-2经过点4-1,0),其对称轴x=l,

a-b-2=0

・,,<b1,

----I

2a

2

a=—

3

解得：

74

•••该抛物线的函数表达式为y=|x2-^x-2；

(2)

解：如图，连接8C,作P"〃y轴，交BC于H,

・.•点4-1,0)与点8关于对称轴％=1对称，

「•8(3,0),

VC(0,-2),。(1,0),

ABD=3-1=2,

^ABCD=-X2X2=2,

设直线5c的解析式为y=+

则[3"Z2+d=0,

&=2

解得：3,

d=-2

2

・•・直线BC的解析式为y=|x-2,

第30页共66页

2c42

设P”,-r--r-2)(0<r<3),贝ij,

22,42,

:.PH=-t-2-(-t2——1-2)=——t2+2t,

3333

112,,

S^BC=-PHx(xB-xc)=—x(--r+2/)x3=-r~+3r,

23217

S四边形PGDC=Sf^Bc+S阪D=T+3f+2=—(t——)+—,

v-l<0,0<r<3,

(3)

解：将抛物线y=-日x-2向左平移3