考向一三角恒等变形-牡丹江一中

2017届高三理科数学二轮学案（教师版）数列PAGEPAGE10考向二数列的应用讲高考【考纲要求】熟练掌握等差数列、等比数列的前项和公式；掌握非等差数列、等比数列的求和的常用方法；数列的综合应用。【命题规律】高考对本节内容的考查仍将以常用方法求和为主，尤其是错位相减法及裂项求和，题型延续解答题的形式．预测2017高考对数列求和仍是考查的重点．数列的应用以及数列与函数等的综合的命题趋势较强，复习时应予以关注．例1：(2012年湖北18题)已知等差数列前三项的和为，前三项的积为.（Ⅰ）求等差数列的通项公式；（Ⅱ）若，，成等比数列，求数列的前项和.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，则，，由题意得解得或所以由等差数列通项公式可得，或.故，或.（Ⅱ）当时，，，分别为，，，不成等比数列；当时，，，分别为，，，成等比数列，满足条件.故记数列的前项和为.当时，；当时，；当时，.当时，满足此式.综上，例2:已知，点在函数的图象上，其中（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列的前项和例3：【2015江苏高考，11】数列满足，且（），则数列的前10项和为【答案】回顾1：已知数列满足：，数列满足.（Ⅰ）证明数列是等差数列并求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.回顾2：已知数列前n项和为成等差数列.（I）求数列的通项公式；（II）数列满足，求证：.2、讲基础1．数列求和的方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和．(2)错位相减法这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．2．数列的综合问题(1)等差数列与等比数列的综合．(2)数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何等知识的综合．(3)增长率、分期付款、利润成本效益的增减等实际应用问题．数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决.【误区警示】1．应用错位相减法求和时，注意项的对应．2．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n项和．例1、(2016·山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)令cn＝eq\f(（an＋1）n＋1,（bn＋2）n)，求数列{cn}的前n项和Tn.【解析】：(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．∴an＝6n＋5.设数列{bn}的公差为d.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝b1＋b2，,a2＝b2＋b3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(11＝2b1＋d，,17＝2b1＋3d，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b1＝4，,d＝3.))∴bn＝3n＋1.(2)由(1)知cn＝eq\f(（6n＋6）n＋1,（3n＋3）n)＝3(n＋1)·2n＋1.又Tn＝c1＋c2＋…＋cn，得Tn＝3×2×22＋3×23＋…＋(n＋1)×2n＋1]，2Tn＝3×2×23＋3×24＋…＋(n＋1)×2n＋2]，两式作差，得－Tn＝3×2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×2n＋2]＝3×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4＋\f(4（1－2n）,1－2)－（n＋1）×2n＋2))＝－3n·2n＋2，∴Tn＝3n·2n＋2.3.讲典例例1：(2016·四川卷)已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.(1)若2a2，a3，a2＋2成等差数列，求数列{an}(2)设双曲线x2－eq\f(y2,aeq\o\al(2,n))＝1的离心率为en，且e2＝eq\f(5,3)，证明：e1＋e2＋…＋en>eq\f(4n－3n,3n－1).(2)证明：由(1)可知，an＝qn－1，∴双曲线x2－eq\f(y2,aeq\o\al(2,n))＝1的离心率en＝eq\r(1＋aeq\o\al(2,n))＝eq\r(1＋q2（n－1）).由e2＝eq\r(1＋q2)＝eq\f(5,3)解得q＝eq\f(4,3).∵1＋q2(k－1)>q2(k－1)，∴eq\r(1＋q2（k－1）)>qk－1(k∈N*)．于是e1＋e2＋…＋en>1＋q＋…＋qn－1＝eq\f(qn－1,q－1)，故e1＋e2＋…＋en>eq\f(4n－3n,3n－1).例2、已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为______.例3：数列的通项公式，其前项和为，则．例4、设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且对任意正整数n，点(an＋1，Sn)在直线3x＋2y－3＝0上．(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【趁热打铁1】.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋2n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若点(bn，an)在函数y＝log2x的图象上，求数列{bn}的前n项和Tn.【趁热打铁2】.数列的前项和为，．（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.（Ⅲ）若，，求不超过的最大的整数值．【趁热打铁3】已知数列{an}的各项均为正整数，Sn为其前n项和，对于n＝1，2，3，…，有an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3an＋5，an为奇数，,eq\f(an,2k)，其中k是使an＋1为奇数的正整数，an为偶数．))（Ⅰ）当a3＝5时，a1的最小值为；（Ⅱ）当a1＝1时，S1＋S2＋…＋S10＝．【趁热打铁4】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A．192里B．96里C．48里D．24里【答案】：B【解析】：【趁热打铁5】已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(x)＝f(x＋3)，f(－2)＝－3.若数列{an}中，a1＝－1，且前n项和Sn满足eq\f(Sn,n)＝2×eq\f(an,n)＋1，则f(a5)＋f(a6)＝________．【答案】：3【解析】：∵函数f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0.∵f(x)＝f(x＋3)，∴f(x)是以3为周期的周期函数．∵Sn＝2an＋n，∴Sn－1＝2an－1＋(n－1