2022年中考数学一轮复习：《三角形》专项练习题（含答案）

【全国通用版】2022年中考数学一轮复习：《三角形》专项练习题

1、如图，在a'中，ZA=9Q°.AB=8cm,AC=6cm,若动点，从6出发，

沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B"重合的情况）,运动速度为2cmis,

过点〃作阳IBC交47于点E,连接BE,设动点〃运动的时间为x（s）,AE

的长为y（cm）.

（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，△叱的面积S有最大值？最大值为多少？

2、如图①，等腰直角三角形戚的直角顶点。为正方形/颇的中心，点。，D

分别在宏和0F上,现将△废尸绕点。逆时针旋转a角（0。<a<90°）,连

接力R朦（如图②）.

（1）在图②中，ZAOF=；（用含a的式子表示）

（2）在图②中猜想个与庞的数量关系，并证明你的结论.

3、已知：如图，在菱形A38中，点E、尸分别在边至、4）上，BE=DF,CE

的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

（1）求证：MECsMCH；

（2）如果求证：AG=DF.

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DB

E

A

HG

4、位BC中，点D在直线AB上.点E在平面内，点F在BC的延长线上，ZE=Z

BDC,AE=CD,ZEAB+ZDCF=180°.

(1)如图①，求证AD+BC=BE；

(2)如图②、图③，请分别写出线段AD,BC,BE之间的数量关系，不需要证明;

3

(3)若BEJLBC,tanZBCD=-,CD=10,则AD=

4

5、在等腰AA8C中，=点。，K在射线S4上，BD=DE,过点E作EF〃BC,

交射线C4于点F.请解答下列问题：

(1)当点E在线段加上，8是AACB的角平分线时，如图①，求证:

AE+BC^CF；(提示：延长8,FE交于点M.)

(2)当点E在线段丛的延长线上，8是AACB的角平分线时，如图②；当点E

在线段雨的延长线上，CD是A4C8的外角平分线时，如图③，请直接写出线段

AE,BC,CF之间的数量关系，不需要证明；

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(3)在(1)、(2)的条件下，若。£=2他=6,则CF=.

6、如图1,AABC和ADCE都是等边三角形.

探究发现

(1)MCD与AACE是否全等?若全等，加以证明；若不全等，请说明理由.

拓展运用

(2)若B、C^E三点不在一条直线上，ZADC=30°,AD=3,CD=2,求BD

的长.

(3)若3、C、E三点在一条直线上(如图2),且AABC和ADCE的边长分别为

1和2,求AAC3的面积及4)的长.

7、问题背景：如图(1),已知求证：△4?£)-AAC£；

尝试应用：如图(2),在AABC和中，N84C=NZME=90°，

ZABC=ZADE=30°,AC与。E相交于点F.点。在BC边上，工工=6,求二

BDCF

的值；

拓展创新：如图(3),。是AABC内一点，ABAD=ZCBD=30°,NB0C=9O",

AB=4,AC=2超,直接写出AZ)的长.

8、问题探究:

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小红遇到这样一个问题：如图1,AABC中，AB=6,AC=4,AD是中线，求4)

的取值范围.她的做法是：延长4)到E,使。£=4),连接证明

X3ED-CAD,经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：(1)小红证明=的判定定理是：;

(2)4)的取值范围是；

方法运用：

(3)如图2,4)是AA8C的中线，在4)上取一点尸，连结防并延长交AC于

点、E,使AE=EF,求证：BF=AC.

(4)如图3,在矩形438中，丝=工，在比)上取一点F,以防为斜边作RtABEF,

BC2

且空=L点6是。尸的中点，连接EG,CG,求证：EG=CG.

BE2

图1图2图3

9、如图，在用AABC中，ABAC=90°,=AC,点〃是8。边上一动点，连

接AD,把绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE.点尸是应的中点,

连接砒

(1)求证：CF^—AD；

2

(2)如图2所示，在点。运动的过程中，当时，分别延长必；BA,

相交于点G,猜想4G与a'存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

(3)在点〃运动的过程中，在线段4〃上存在一点产，使PA+PB+PC的值最小.当

PA+依+PC的值取得最小值时，力尸的长为加，请直接用含加的式子表示"的

长.

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DC

图1图2

10、如图，射线AB和射线C8相交于点3,ZABC=a(0°<«<180°),且

AB=CB.点。是射线CB上的动点(点。不与点。和点8重合).作射线

并在射线AO上取一点E,使ZA£C=a,连接CE,BE.

(1)如图①，当点。在线段CB上，a=90。时，请直接写出NAEB的度数；

图①

(2)如图②，当点。在线段CB上，。=120。时，请写出线段AE,BE,CE之

间的数量关系，并说明理由;

11、【基础巩固】

(1)如图1,在AABC中，。为他上一点，ZACD=ZB.求证：AC2=AD.AB.

【尝试应用】

(2)如图2,在口43a)中，E为BC上一点,F为8延长线上一点，ZBFE=ZA.若

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BF=4,BE=3,求4)的长.

【拓展提高】

(3)如图3,在菱形中，E是上一点，f■是AA8C内一点，EFHAC,

AC=2EF,NEDF=、NBAD,AE=2,DF=5,求菱形ABCD的边长.

2

12、(1)数学理解：如图①，△/8C是等腰直角三角形，过斜边的中点〃作

正方形DECF,分别交8C,力。于点反F,求力8,BE,4='之间的数量关系；

(2)问题解决：如图②，在任意直角△/比'内，找一点。，过点。作正方形

DECF,分别交比；AC于点、E,F,若AB=BE+AF,求N/座的度数；

(3)联系拓广：如图③，在(2)的条件下，分别延长龙，FD,交于点弘

N,求助V；AM,以,的数量关系.

13、如图，在RtZ\4a'中，ZC=90°,AC=20,a'=15.点户从点力出发，沿

力。向终点。运动，同时点0从点。出发，沿射线％运动，它们的速度均为每

秒5个单位长度，点P到达终点时，P、0同时停止运动.当点。不与点儿C

重合时，过点尸作054?于点N,连结PQ,以PN、尸0为邻边作口胤腑.设口PQMN

与△/回重叠部分图形的面积为S,点尸的运动时间为I秒.

(1)①45的长为;

②/W的长用含大的代数式表示为—.

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(2)当口尸QMV为矩形时，求£的值；

(3)当口尸QMV与△/回重叠部分图形为四边形时，求S与C之间的函数关系

式；

(4)当过点P且平行于肉的直线经过口。。欧一边中点时，直接写出大的值.

14、如图①，在RtAABC中，Z4CB=90°,AC=8C,点。、E分别在AC、BC边

上，DC=EC,连接£)E、AE.BD,点M、N、P分别是AE、BD、的中

点，连接PM、PN、MN.

(1)班与MN的数量关系是.

(2)将ADEC绕点C逆时针旋转到图②和图③的位置，判断8E与MN有怎样的

数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明.

15、如图1,已知NACB=N£Z)3=90。，点D在A3上，连接CO

并延长交AE于点F.

(1)猜想：线段AE与EF的数量关系为；

(2)探究：若将图1的△£»£＞绕点B顺时针方向旋转，当NCBE小于180。时，

得到图2,连接8并延长交AE于点F,则(1)中的结论是否还成立？若成立,

请证明；若不成立，请说明理由；

(3)拓展：图1中，过点E作EG_LCB,垂足为点G.当NA8C的大小发生变

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化，其它条件不变时，若NEBG=NBAE,BC=6,直接写出AB的长.

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参考答案

1、如图，在RtA/%中，N4=90°.AB=8cm,AC=6cm,若动点。从3出发，

沿线段BA运动到点A为止（不考虑D与B"重合的情况）,运动速度为2cmis,

过点〃作DE"BC交/C于点E,连接BE,设动点〃运动的时间为x（s）,AE

的长为y（cm）.

（1）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（2）当x为何值时，48庞的面积S有最大值？最大值为多少？

【解答】解：（1）动点〃运动x秒后，BD=2x.

又..38=8,：.AD=8-2%.

'：DE//BC,

•ADAE

,•屈太’

•〃6(8-2x)。3

,,AB=---g---=6下X，

••j关于x的函数关系式为y=-1x+6（0<x<4）.

⑵解：^flZ，f=y*BD*AE=yX2x（-^-x+6）=-|-x2+6x（。<*<4）.

当*=----=2时，宓硼最大，最大值为6c宫.

2X（《）

2、如图①，等腰直角三角形庞尸的直角顶点。为正方形力腼的中心，点C,D

分别在您和OF上,现将△戚绕点。逆时针旋转a角（0。<a<90°）,连

接“；龙（如图②）.

（1）在图②中，AAOF=90°-a；（用含a的式子表示）

（2）在图②中猜想4歹与力的数量关系，并证明你的结论.

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【解答】解：⑴如图2,

•.•△麻绕点。逆时针旋转a角，

：.ADOF=ACOE=a,

•••四边形/仇力为正方形，

；./加0=90°,

：.ZAOF=90°-a；

故答案为90°-a；

(2)AF=DE.

理由如下：

如图②，•.•四边形四切为正方形,

AZAOD=ZCOD=90°,OA=OD,

,：ADOF=ACOE=a,

:./AOF=/DOE,

•••△庞产为等腰直角三角形，

：.OF=OE,

在加和△戊应中

'AO=DO

-NAOF=/DOE，

OF=OE

:ZOF^XDOE(倒S),

：.AF=DE.

3、已知：如图，在菱形43co中，点E、尸分别在边AB、4)上，BE=DF,CE

的延长线交DA的延长线于点G,CF的延长线交BA的延长线于点H.

(1)求证：MECsMCH；

(2)如果求证：AG=DF.

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D■B

E

HG

【解答】(1)证明：・.・四边形ABC。是菱形,

:,CD=CB,Z£>=ZB,CDIIAB.

・.・DF=BE,

\CDF三CBE(SAS),

.\ZDCF=ZBCE,

•/CD//BH,

：.ZH=ZDCF,

:"BCE=NH,

・・・NB=ZB,

/.ABEC^ABO/.

2

(2)证明：-BE=AB.AE9

BEAE

-AB"EB'

/AG//BC,

AEAG

--=---，

BEBC

.BEAG

・.DF=BE,BC=AB,

1.BE=AG=DF,

B|JAG=DF.

4、A\BC中，点D在直线AB上.点E在平面内，点F在BC的延长线上，ZE=Z

BDC,AE=CD,ZEAB+ZDCF=180°.

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E

(1)如图①，求证AD+BC=BE；

(2)如图②、图③，请分别写出线段AD,BC,BE之间的数量关系，不需要证明;

3

(3)若BEJ_BC,tan/BCD=-，CD=10,则AD=.

【详解】(1)证明：VZEAB+ZDCF=180°,ZBCD+ZDCF=180°,/.ZEAB=ZBCD,

VZE=ZBDC,AE=CD,.,.△EAB^ADCB,.\BE=BD,AB=BC,

.-.AD+BC=AD+AB=BD=BE,

(2)图②结论：BC-AD=BE,

证明如下：VZEAB+ZDCF=180°,ZBCD+ZDCF=180°,/.ZEAB=ZBCD,

VZE=ZBDC,AE=CD,AAEAB^ADCB,.\BE=BD,AB=BC,

.,.BA-AD=BC-AD=BE,即BC-AD=BE

图③结论：AD-BC=BE.

证明如下：VZEAB+ZDCF=180°,ZBCD+ZDCF=180°,/.ZEAB=ZBCD,

VZE=ZBDC,AE=CD,.,.△EAB^ADCB,.\BE=BD,AB=BC,

.,.AD-AB=AD-BC=BD=BE,即AD-AB=BE

(3)如图②所示，作OG_L3C于G

由(2)知△EABgZSDCB,:.NEBA=ZABC

,：BEYBC

:.NEBA=ZABC=45°

在用ADCG中，CD=10,tanZBCD=—=-,ADG=6,GC=8,BC=14

GC4

在RaBDG中，BG—DG-6,BD-6^2

AAD=AB-BD=BC-BD=14-6叵

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图②

如图③所示，作。3c于H

|±|(2)知4EAB^aDCB,/.?DBC?EBA

：.QBE=ZCBA=4HBD

,：BEVBC

NHBD=NDBE=45°

r)fj3

在RfVOC”中，CD=10,tanNBCO=——=-,DH=6,HC=S

HC4

在用△3。“中，BH=DH=6,80=60

•*.AD=AB+BD=BC+BD=8-6+6应=2+6正

综上所述：AD的长度为14—6正或2+6夜.

5、在等腰A4BC中，M=BC,点。，£；在射线84上，BD=DE,过点E作EF//BC,

交射线C4于点F.请解答下列问题：

图①图②图③

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(1)当点E在线段A5上，CD是AACB的角平分线时，如图①，求证：

AE+BC=CF;(提示：延长CD,FE交于点、M.)

(2)当点E在线段丛的延长线上，8是AACB的角平分线时，如图②；当点E

在线段"的延长线上，8是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段

AE,BC,CF之间的数量关系，不需要证明；

(3)在(1)、(2)的条件下，若。£=2他=6,则CF=18或6.

【解答】解：(1)如图①，延长CD,FE交于点、M.

AB=BC,EF//BC,

:.ZA^ZBCA=ZEFA,

:.AE=EF,

:.MF//BC,

.-.ZMED=ZB,ZM=/BCD,

又YZFCMMZBCM,

：.ZM=ZFCM,

:.CF=MF,

又；BD=DE,

AMED=^CBD(AAS),

:.ME=BC,

：.CF=MF=ME+EF=BC+AE,

即AE+3C=CF；

图①

(2)当点E在线段5A的延长线上，CD是AACB的角平分线时，BC=AE+CF,

如图②，延长8,EF交于点M.

由①同理可证AM£E>=ACBD(AAS),

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:.ME=BC,

由①证明过程同理可得出MV=C/，AE=EF,

当点石在线段曲的延长线上，CD是AAC3的外角平分线时，AE=CF+BC.

如图③，延长8交£F于点M,

由上述证明过程易得AM互）二△C3D（A4S）,BC=EM,CF=FM,

又・.・AB=3C,

ZACB=ZCAB=ZFAE,

•.EF/IBC,

:.ZF=ZFCB,

••.EF=AE,

:.AE=FE=FM+ME=CF+BC;

（3）CF=18或6,

当。石=2AE=6时，图①中，由（1）得：AE=3,BC=AB=BD+DE+AE=15,

.\CF=AE+BC=3+15=18;

图②中，由（2）得：AE=AD=3,BC=AB=BD+AD=9,

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:.CF=BC-AE=9-3=6；

图③中，QE■小于AE,故不存在.

故答案为18或6.

6、如图1,A/WC和ADCE都是等边三角形.

探究发现

(1)ABCD与AACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由.

拓展运用

(2)若5、C、E三点不在一条直线上，ZA£)C=30。，4)=3,8=2,求8/)

的长.

(3)若3、C、E三点在一条直线上(如图2),且AABC和ADCE的边长分别为

AABC和ADCE都是等边三角形，

：.AC=BC,DC=EC,ZACB=ZDCE=Of,

ZACB+ZACD=ZDCE+ZACD,

即NBCD=ZACE,

在ABC£)和AACE中，

CD=CE

"NBCD=ZACE,

BC=AC

.AACE=ABCD(SAS)；

(2)如图3,由(1)得：/^CDsMCE,

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D

B

图3、/

E

:.BD=AE,

・・・ADCE都是等边三角形，

/.ZCDE=60°,CD=DE=2,

・・・Z4DC=30。，

.-.ZADE=ZAZX?+ZCDE=30o+60o=90o,

在RtAADE中，AD=3,DE=2,

・•.AE=JAD?+DE?=^/^T^二屈,

，BD=A；

(3)如图2,过A作A尸_LC。于尸，

・.・3、C、£三点在一条直线上，

/.ZBC4+ZACD+Z£>CE=180o,

e/Z\ABC和ADCE都是等边三角形，

/.ZBCA=ZDCE=6O°,

・・.ZACD=60。，

AZ7

在RtAACF中，sinZACF=—,

AC

AF=ACxsinZACF=ix—=—,

22

.1「八AF1cGg

..c=—xCDxA分=—x2x——=——,

MCD2222

/.CF=/4CxcosZ^CF=lxl=l,

22

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13

FD=CD-CF=2——=-，

22

在RtAAFD中,

；.AD=也.

7、问题背景：如图(1),已知△ABCS/XAPE,求证：AABD'ACE；

尝试应用：如图(2),在△ABC和~4£坦中，N84C=NZME=90°，

NABC=Z4OE=30°,AC与。E相交于点F.点。在BC边上，而=6，求方

的值；

拓展创新：如图(3),。是AABC内一点，ABAD=ZCBD=30°,NB0C=9O",

AB=4,AC=2日直接写出AZ)的长.

【详解】问题背景：•.•△ABCSAADE,

,ZBAD+ZDAC=CAE+ZDAC,

/.ZBAD=ZCAE,

^ABD^^ACE；

尝试应用：连接CE,

VZBAC=ZDAE=9Q>9ZABC=ZADE=3()9

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^BAC^^JDAE,

.ABAD

••就一瓦‘

ZBAD+ZDAC=CAE+ZDAC,

AZBAD=ZCAE,

•••^ABDS^ACE9

・BDAD

**CE-AE?

由于NAOE=30°,ND4E=90',

AE

330。

~AD~~

即义=丝=后

CEAE

..AD

=G，

,BD

.AD

3,

"CE

VZBAC=ZDAE=9(f,NABC=ZAOE=30°,

：.NC=NE=60°,

又,:ZAFE=ADFC,

：.AAFEs公DFC,

.AFEFAFDF

.•-------,即an---=---,

DFCFEFCF

又ZAFD=ZEFC

:./\ADFSAECF,

.DFAD

・•------==J;

CFCE

拓展创新：AD=y/5

如图，在AD的右侧作NDAE=NBAC,AE交BD延长线于E,连接CE,

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VZADE=ZBAD+ZABD,ZABC=ZABD+ZCBD,ZBAD=ZCBD=30),

：.ZADE=ZABC,

XVZDAE=ZBAC,

^DAE,

.ABACBC

••茄―瓦-

XVZDAE=ZBAC,

AZBAD=ZCAE,

^BAD^^CAE,

.BD_ABAD42G

••瓦―就一瓦-适一亍’

设CD=x,在直角三角形BCD中，由于NCBD=30°,

:.BD=A，BC=2X,

3

CE=-x,

ADDE

42x

：.~AD-75，

—X

2

/.AD=#>

8、问题探究：

小红遇到这样一个问题：如图1,AABC中，AB=6,AC=4,A。是中线，求4)

的取值范围.她的做法是：延长AD到E,使£>E=AD,连接3E,证明

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ABED^ACAD,经过推理和计算使问题得到解决.

请回答：（1）小红证明田三AC4D的判定定理是：_SAS_;

（2）4）的取值范围是；

方法运用：

（3）如图2,4）是AAfiC的中线，在4）上取一点F,连结班1并延长交AC于

点、E,使M=£F,求证：BF=AC.

（4）如图3,在矩形A5CD中，竺」，在比）上取一点F,以防为斜边作RlABEF,

BC2

且空」，点G是。尸的中点，连接£G,CG,求证：EG=CG.

BE2

图1图2图3

【解答】解：（1）•.•小＞是中线，

:.BD=CD,

又,；ZADC=ZBDE,AD=DE,

:.\BED^\CADiSAS),

故答案为：SAS;

(2)•;ABED三ACAD,

AC^BE=4,

在AASE中，AB-BE<AE<AB+BE,

：.2<2AD<\G,

「.1<AD<5,

故答案为：

(3)如图2,延长4)至77,使4)=£>“，连接3”,

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A

\::图2

'H

・.・AE＞是AABC的中线，

BD=CD,

又・.,ZADC=4BDH,AD=DH,

:.\ADC=\HDB{SAS),

/.AC=BH,4cAD=AH,

・；AE=EF,

:.ZEAF=ZAFE9

：.ZH=ZBFH9

:.BF=BH,

AC=BF;

(4)如图3,延长CG至N,使NG=CG,连接EN,CE,NF,

图3

・・•点G是。尸的中点，

:.DG=GF,

又•・ANGF=ZDGC,CG=NG,

.-.AJVGF=ACGD(SAS),

:.CD=NF,/CDB=ZNFG,

第22页共42页

ABABEF_1

*AD-BC-2，BE-2,

/.tanZADB=—,tanZ.EBF=—,

22

:.ZADB=ZEBF，

•;AD/IBC,

:.ZADB=/DBC,

:.ZEBF=ZDBC,

:.AEBC=2ZDBC,

・・・ZEBF+ZEFB=90°,/DBC+/BDC=90。,

:.ZEFB=/BDC=ZNFG,ZEBF+Z.EFB+ZDBC+ZBDC=180°,

.・.2ZDBC+/EFB+ZNFG=180°,

又・・・ZNFG+/BFE+/EFN=180°,

:.ZEFN=2ZDBC,

:2EBC=NEFN,

••丝空且但w

BCBC2BE

.BEEF

-1SC~~NF

:MECS.EN,

.\ZBEC=ZFEN,

."BEF=ZNEC=9Q。,

又・：CG=NG,

:.EG=>NC,

2

EG=GC.

9、如图，在R/AABC中，ZR4C=90。，AB^AC,点。是8C边上一动点，连

接AD,把/〃绕点A逆时针旋转90°,得到AE,连接CE,DE.点、厂是应的中点,

连接CF.

(1)求证：CF=­AD；

2

(2)如图2所示，在点〃运动的过程中，当3。=28时，分别延长CF,BA,

相交于点G,猜想/G与回存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

第23页共42页

(3)在点〃运动的过程中，在线段/〃上存在一点R使+总+PC的值最小.当

PA+PB+PC的值取得最小值时，的长为勿，请直接用含R的式子表示方的

长.

【详解】解：(1)证明如下：•.•NR4C=NZME=9()。，

:.ZBAD=ZCAE,

VAB^AC,AD=AE,

'/BAD=NCAE

.•.在△ABD和△ACE中，AB=AC,

AD=AE

：.M£D=MCE,

，ZABO=NACE=45。，

NDCE=ZACB+ZACE=90。,

在向VADE中，F为DE中点(同时A£)=AE),ZADE=ZAED=45。,

AF1DE,即Rt^ADF为等腰直角三角形，

““凡八

••A.F—DF='—_AD,

2

,:CF=DF,

：.CF=—AD；

2

(2)由(1)得AABOMAACE,CE=BD,ZACE=ZABD=45°,

：.ZDCB=ZBC4+ZACE=450+450=90。，

在Rt/\DCB中，DE=4CD-+CE2=VCD2+BD2=#)CD，

•••F为DE中点，

DE=EF=-DE=—CD,

22

第24页共42页

在四边形中，有NC4G=/DCE=90。，ZCZG+ZDCE=180°,

.•.点A,D,C,E四点共圆，

OF为DE中点,

...F为圆心，则Cb=AF,

在WAAGC中，

,:CF=AF,

.♦.F为CG中点,BPCG=2CF=V5CD>

AAG=>]CG2-AC2=.I5CD2-—CD2=—CD,

V42

即BC=3叵AG;

(3)设点P存在，由费马定理可得NAPB=NBPC=NCQ4=120。,

ZBPD=60°,

设PDa,

BD=咫>a,

又AD=BD=Ca，

，a+m=Ca，

m=(V3-l)a

m

又BD=CE

10、如图，射线AB和射线CB相交于点3,ZABC=a(0°<a<180°),且

AB=CB.点。是射线CB上的动点(点。不与点C和点8重合).作射线4。,

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并在射线AD上取一点E,使NAEC=a,连接CE,BE.

（1）如图①，当点。在线段CB上，口=90。时，请直接写出NAEB的度数;

（2）如图②，当点。在线段C3上，a=120。时，请写出线段AE,BE,CE之

间的数量关系，并说明理由；

【详解】（1）连接AC,如图:

VZABC=90°,AB=CB,

ZACB=ZCAB=45°,

'：ZAEC=90°,又NABC=90°,

:.A、B,E、C四点共圆，

根据圆周角定理：ZAEB=ZACB=45°；

(2)AE=y[3BE+CE,理由如下：

在AD上截取AF=CE,连接8尸，过点8作34，所于点

第26页共42页

D,E

H

,：ZABC=ZAEC,

:.A、B、E、C四点共圆，

根据圆周角定理：NA=NC,

在4ABF和ACBE中，

AF=CE

<NA=NC,

BA=BC

：.M5F^ACBE(SAS),

:.ZABF=NCBE,BF=BE,

：.ZABF+ZFBD=ZCBE+NFBD,

:.NFBE=ZABC,

'：ZABC=120°,

：.NFBE=120°,

'：BF=BE,

：.NBFE=ZBEF=；(180°-NFBE)=1(180°-120°)=30°,

•:BH±EF于点H,

,ZBHE=9O。,

...在RtAB/小中，

FH=EH=BEcosNBEH=BE，cos30°=@BE,

2

：.FE=FH+EH=—BE+—BE=y/3BE,

22

VAE^AF+FE,AF=CE,

：.AE=CE+^BE;

第27页共42页

(3)当D在线段CB上时，如图:

BH1

tanNDAB

AH-3

.".设BH=a,则AH=3a,

由(2)得：NBFE=NBEF=30。，

，BF=BE=2a,FH=EH=^a,

.,.AF=CE=AH-FH=(3-A/3)a,

•CE3-6

,,--=--------=-----»

BE2a2

当D在CB延长线上时，

在上截取AF=CE,连接BE,过点3作5”，石产于点如图:

C

同理：设BH=。，则AH=3a,

同理得：/BFE=ZBEF=30。,

.•.BF=BE=2a,FH=EH=&a,

；.AF=CE=AH+FH=(3+百)。，

第28页共42页

...CE_(3+@a3+G

额--2a-2

综上，费的值为：过二叵或士*.

BE22

11、【基础巩固】

(1)如图1,在AABC中，。为上一点，ZACD=ZB.求证：AC2=AD.AB.

【尝试应用】

(2)如图2,在口43a)中，E为BC上一点,F为C3延长线上一点，ZBFE=ZA.若

BF=4,BE=3,求4)的长.

【拓展提高】

⑶如图3,在菱形中，E是上一点，尸是AA8C内一点，EF//AC,

AC=2EF,NEDF=LNBAD,AE=2,DF=5,求菱形ABC。的边长.

2

ADAC

----=-----，

ACAB

AC2=AD.AB.

(2)•.•四边形/WCD是平行四边形,

:.AD=BC,ZA=NC,

又•.•ZBFE=ZA，

:.ZBFE=NC,

又・；ZFBE=NCBF,

,gFEs/sBCF,

第29页共42页

.BFBE

「BC-BF，

・•・BF2=BE.BC，

22

.Rr_^_4_16

BE33

AD=—.

3

（3）如图，分别延长EF,DC相交于点G,

•.•四边形MCD是菱形，

:.AB//DC,ABAC=-ABAD,

2

-,-AC//EF,

，四边形AEGC为平行四边形，

:.AC^EG,CG^AE,ZEAC=ZG,

ZEDF=-ZBAD,

2

：.ZEDF=ZBAC,

:.ZEDF=ZG,

又•；NDEF=NGED,

:.AEDF^AEGD,

,ED_EF

运一京'

DE2=EF-EG,

又；EG=AC=2EF,

DE2=2EF',

DE=桓EF,

又..史=”，

DFEF

:.DG=41DF=542,

第30页共42页

DC=DG-CG=5五-2.

12、(1)数学理解：如图①，△/8C是等腰直角三角形，过斜边的中点〃作

正方形DECF,分别交8C,4。于点反F,求BE,/6之间的数量关系；

(2)问题解决：如图②，在任意直角△/比'内，找一点。，过点〃作正方形

DECF,分别交8C,立于点2F,若AB=BE+AF,求//施的度数；

(3)联系拓广：如图③，在(2)的条件下，分别延长被FD,交于点弘

N,求/以AM,的数量关系.

数学理解：

(1)AB=a(A孙BE)

理由如下：•••△46。是等腰直角三角形

：.AC=BC,ZA=ZB=45°,

•••四边形。仇户是正方形

：.DE=DF=CE=CF,/勿。=/庞仁90°

：.ZA=ZADF=45°

：.AF=DF=CE

：.AF^BE=BC=AC

：.AB=42(A升BE)

问题解决：

(2)如图，延长凰使FQBE,连接"/,

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•.•四边形庞必是正方形

：.DF=DE,/DFC=/DEC=90°

'：BE=FM,/DFC=4DEB=9Q°,DF=ED

:ZFgXDEB(弘S)

：.DM=DB

'：AB=AF^BE,AM=AF+FM,FM=BE,

：.AM=AB,旦DM=DB,AD=AD

:ZDgXADB(SSS)

/.ADAC=NDAB=L/CAB

2

同理可得：ZABD=ZCBD=LZABC

2

ZACB=90°,

：.ZCAB+ZCBA=9Q°

:./DAm/ABD=L=45°

2

：.ZA/)B=180°-QDAB+/ABD)=135°

联系拓广：

(3)•.•四边形/TF是正方形

J.DE//AC,DF//BC

：.ZCAD=ZADM,/CBD=4NDB,/MDN=/AFD=9&

,：ZDAC=ZDAB,4ABD=4CBD

：.4DAB=NADM,4NDB=/ABD

：.AM=MD,DN=NB

在Rt4〃必V,中,MN=M!hDN,

第32页共42页

:.岷=阑+面,

13、如图，在RtZ\4a'中，NC=90°,AC=20,a'=15.点户从点力出发，沿

4c向终点。运动，同时点0从点C出发，沿射线"运动，它们的速度均为每

秒5个单位长度，点P到达终点时，P、0同时停止运动.当点。不与点儿C

重合时，过点尸作PN工AB千点、N,连结PQ,以PN、PQ为线近作QPQMN.设口PQMN

与△/回重叠部分图形的面积为S,点尸的运动时间为I秒.

(1)①47的长为25；

②/W的长用含大的代数式表示为.

(2)当。做眦为矩形时，求£的值；

(3)当口尸Q肝与重叠部分图形为四边形时，求S与£之间的函数关系

式；

(4)当过点尸且平行于回的直线经过口冏湖¥一边中点时，直接写出力的值.

【解答】解：(1)在RtZU比'中，ZC=9Q°,AC=2Q,叱=15.

^=VAC2+BC2=V202+152=25-

,,sinNCAB1，

5

由题可知AP=5t,

：.PN=AP*sinZCAB=5t.卷=3九

故答案为：①25；②3九

(2)当口国肱V,为矩形时，NA加=90°,

■:PN1AB,

J.PQ//AB,

••C•PiCQ，

CA-BC

由题意可知4-00=53。三20-53

••-2-0--5-t=--5t,

2015

第33页共42页

解得t=ll,

7

即当口尸0则为矩形时t=12.

7

（3）当口尸。蛆公46。重叠部分图形为四边形时，有两种情况，

I.如解图（3）1所示.。闻娜在三角形内部时.延长QV交48于G点，

由（1）题可知：cosZ=sin6=a,cos^=—,AP=5t,60=15-53PN=QM

55

=32.

・••力代力户cos4=4bBG=BQ*cosB=9-3£,QG=BQ9sinB=12-4力

V.口/初邠在三角形内部时.有OVQ代QG,

/.0<3t^l2-4t,

.•.Ovy牛.

:.NG=25-At-（9-3i）=16-t.

.•.当0<t4牛时，白尸Q%V与△/8C重叠部分图形为。尸QMV；5与£之间的函数

关系式为S=PN*NG=3t・C6-t）=-312+481.

II.如解图（3）2所示.当OCQGVQM,D尸Q%V与△力6。重叠部分图形为梯形

司布时，

即：0<12-4f<3t,解得：干<t<3，

°PQMN与△极重叠部分图形为梯形PQMG的面积5=1NG（PN+QG）=

1_1o

■^■（16-t）（3t+12-4t）—~t-14t+96,

综上所述:当OVy午时，S=-3/+48九当竿<t<3,5=lt2_14t+96.

（4）当过点。且平行于比'的直线经过口夕。机’一边中点时，有两种情况，

I.如解题图（4）1,PR//BC,分与46交于｛点，A为/肺中点，过A点作

RH1AB,

"PKN=/HKR=/B,

NK=PN*cotZPKN=3t.3=",

44

第34页共42页

YNR=MR,HR//PN//QM,

：-NH=掰=*16-t)，族=/M，

乙乙

GM=QM-0G=31-(12-4)=11~12.12),

.,.^=^cotZm=l(7t_12)x4=-|-(7t-12)»

Z4o

"：NK+KH=NH,

・931

・・彳1十（71：一12）二方（16_1），

4oZ

解得：t=122.,

43

II.如解题图（4）2,PR//BC,PR与AB交于K点,斤为的中点，过0点作

QH1PR,

：./HPN=4A=/QRH,四边形代◎/为矩形，

...他=gsin/07勺迎,W/1

25~10

‘：PC=20-5t,

/.20-5t=il,解得r=200.

1059

综上所述：当或侬时，点P且平行于力的直线经过口AQI邠一边中点

4359

时，

第35页共42页

14、如图①，在RtAABC中，Z4CB=90°,AC=BC,点、D、石分别在AC、3。边

上，DC=EC,连接。E、AE.BD,点、M、N、尸分别是AE、BD、的中

点，连接PM、PN、MN.

(1)BE与MN的数量关系是_BE=^NM

(2)将ADEC绕点。逆时针旋转到图②和图③的位置，判断虚与有怎样的

数量关系？写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明.

【解答】解：(1)如图①中,

:.PM//BE,PM=-BE,

2

・；BN=