高考二轮复习文科数学试题（老高考旧教材）考点突破练6空间几何体的结构表面积与体积

考点突破练6空间几何体的结构、表面积与体积一、选择题1.(2023广西梧州一模)如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为()A.6 B.8 C.10 D.122.(2023辽宁名校联考二)已知某圆锥的高为22cm,体积为22π3cm3,则该圆锥的侧面积为A.3π2cm2 B.3πC.6πcm2 D.12πcm23.如图所示是某几何体的三视图,则这个几何体的侧面积等于()A.10+26 B.6+2(3+C.6+2(2+6D.10+2(2+4.(2023河南郑州二模)设一个正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°,则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为()A.34 B.3C.32 D.5.(2023四川广安二模)一个四棱台的三视图如图所示,其中正视图和侧视图均为上底长为2,下底长为4,腰长为2的等腰梯形,则该四棱台的体积为()A.2833 B.C.283 D.566.(2022新高考Ⅰ,4)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为140.0km2;水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,增加的水量约为(7≈2.65)()A.1.0×109m3 B.1.2×109m3C.1.4×109m3 D.1.6×109m37.(2023河南郑州二模)如图,网格纸上绘制的是一个几何体的三视图,网格上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为()A.23 B.43 C.838.设半径为R的球面上有A,B,C,D四点,且AB,AC,AD两两垂直,设△ABC,△ACD,△ABD的面积分别是S△ABC,S△ACD,S△ABD,若S△ABC+S△ACD+S△ABD=8,则球半径R的最小值是()A.2 B.2 C.22 D.49.已知圆锥的顶点和底面圆周均在球O的球面上.若该圆锥的底面半径为23,高为6,则球O的表面积为()A.32π B.48π C.64π D.80π10.(2023贵州统考模拟)在正三棱锥PABC中,侧棱PA=PB=PC=1,在等边三角形ABC中,AB=2,该三棱锥的外接球球心O到侧面的距离为h1,到底面的距离为h2,则h1h2=A.22 B.3C.3 D.411.(2023全国甲,文10)在三棱锥PABC中,△ABC是边长为2的等边三角形,PA=PB=2,PC=6,则该棱锥的体积为()A.1 B.3 C.2 D.312.在三棱锥PABC中,△PAC是等边三角形,平面PAC⊥平面ABC,AB=3,AC=23,∠CAB=60°,则三棱锥PABC的外接球体积为()A.4π3 B.C.32π3 D13.(2023四川成都二模)若正三棱锥PABC的高PD为2,点D是点P在平面ABC上的射影,底面正三角形的边长AB=26,其各顶点都在同一球面上,则该球的半径为()A.5 B.6 C.22 D.3二、填空题14.(2023山东济南一模)已知圆锥侧面展开图的周长为4+2π,面积为2π,则该圆锥的体积为.

15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为.

16.已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为2,则以点A为球心、2为半径的球与正三棱柱各个面的交线的长度之和为.

17.(2023新高考Ⅰ,14)在正四棱台ABCDA1B1C1D1中,AB=2,A1B1=1,AA1=2,则该棱台的体积为.

18.一个圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形,在该圆锥内放置一个棱长为m的正四面体,并且正四面体可以在该圆锥内任意转动,则实数m的最大值为.

19.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB的中点,现将△DAP绕直线DP翻转至△DA'P处,使得平面A'PD⊥平面PDCB,则三棱锥A'DPB的外接球的表面积是.

20.(2023全国甲,文16)在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=4,O为AC1的中点,若该正方体的棱与球O的球面有公共点,则球O的半径的取值范围是.

考点突破练6空间几何体的结构、表面积与体积1.C解析由三视图知该几何体是底面为梯形的直棱柱,其体积为2+32×2×2=10.故选C2.B解析设该圆锥的底面半径与母线长分别为r,l,由πr23×22=22π3,得r=1,所以l=12+(23.C解析由三视图可知,这个几何体是底面为直角梯形的棱锥(如图所示),因为PB=25,BC=22,PC=23,所以PC⊥BC,所以其侧面积为12×(2×2+2×22+22×23+4×2)=6+22+26故选C.4.D解析设底面正方形边长为2a(a>0).因为正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为60°,所以侧面为等边三角形,则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为34(2a5.A解析由三视图可知该四棱台为正四棱台,且侧面的高为2,则该棱台的高为22-1=3,所以四棱台的体积V=13×(4+16+4×6.C解析由题意可得,此棱台的高h=157.5148.5=9(m).设水库水位为海拔148.5m时,相应水面的面积为S1,水库水位为海拔157.5m时,相应水面的面积为S2,则S1=140.0km2=1.4×108m2,S2=180.0km2=1.8×108m2,故该棱台的体积V棱台=13h(S1+S2+S1·S2)=13×9×(1.4×108+1.8×108+1.4×10即增加的水量约为1.4×109m3.故选C.7.B解析如图所示,题中三视图对应的几何体为图中棱长为2的正方体中的三棱锥CABD,其体积V=13×12×2×2×2=48.A解析设AB=a,AC=b,AD=c.∵AB,AC,AD两两垂直,∴a2+b2+c2=4R2.∴S△ABC+S△ACD+S△ABD=12(ab+ac+bc)≤12(a2+b2+c2)=2R2,当且仅当a=b=c时,等号成立,即8≤2R2,∴R≥2.故选9.C解析当球心在圆锥外部时,设球的半径为R,则(R6)2+(23)2=R2,解得R=4,不符合题意.故球心在圆锥的内部且在高上,设球心到圆锥底面的距离为d,则有(6d)2d2=(23)2,解得d=2,则球的半径R=6d=4,所以球的表面积S=4πR2=64π10.C解析由题意,PA2+PB2=AB2,所以PA⊥PB,同理可得PA⊥PC,PB⊥PC,即PA,PB,PC两两垂直,可把该三棱锥补成一个正方体,则该三棱锥的外接球就是正方体的外接球,球心O为正方体的体对角线的中点,直径2R=3,所以球心O到侧面的距离为h1=12.OP=R=32,球心O到底面的距离为h2=32-33=11.A解析(方法一)如图,作AO⊥平面PBC,设AO=h,连接OP,OB,OC,由AP=AB=AC=2,可得OP=OB=OC,即O为△PBC的外心.在△PBC中,cos∠PBC=PB2+BC2-PC22PB·BC=4+4-62×2×2=14,则sin∠PBC=1-cos2∠PBC=154.设△PBC的外接圆半径为R,6sin∠PBC=2R,解得R=2105.在Rt△AOP中,∵AO2+PO2=AP2,∴h=AO=22-(方法二)如图,过点P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO并延长交AB于点D,连接PD.∵PA=PB=AB,∴D为AB的中点.∴CD=3,PD=3.由PO⊥CD,设OD=x,0≤x<3.由PD2OD2=PC2OC2,得(3)2x2=6(3x)2,解得x=0或x=3(舍去),∴PD⊥平面ABC.则VPABC=13·S△ABC·PD=13×34×22×3=12.C解析在△ABC中,BC=AC2所以AC2=AB2+BC2,则∠ABC=90°,设点D是AC的中点,则点D是△ABC的外心,又△PAC是等边三角形,所以PD⊥AC,而平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PD⊂平面PAC,所以PD⊥平面ABC,设△PAC的外心是点O,则点O到点P,A,C的距离都是23×32×23=2,连接OB,则OB=OD2+BD2=12+(3)2=2,所以△PAC的外心O为三棱锥P13.D解析依题意,设三棱锥PABC的外接球的球心为O.若球心O在正三棱锥PABC内部,如图所示.其中点P在底面ABC的射影为点D,所以高为PD=2.延长AD交BC于点E,由题意知,△ABC为正三角形,点D为△ABC的重心,AE为△ABC的高,所以AE=32AB=32×26=32,AD=23AE=23×32=22.设外接球的半径为R在△ADO中,AO2=OD2+AD2,即R2=(2R)2+(22)2,解得R=3.若球心O在正三棱锥PABC外部,如图所示.当球心O在PD的延长线上时,在△ADO中,AO2=OD2+AD2,即R2=(R2)2+(22)2,解得R=3.故选D.14.3π3或4π4-43π2解析设圆锥的母线长为l,底面圆半径为r,由题意得2l+2πr=4+2π,12×2πr×l=2π,即2l+2πr=4+2π,r×l=2,消去l,得2πr2(4+2π)r+4=0,解得r=115.30解析该几何体为一个被切去一个角的三棱柱,体积为V=3×4×12×613×3×4×12×316.3π解析由图知,球与△ABC和△A1B1C1没有交线;与四边形AA1B1B和四边形AA1C1C的交线分别是以点A为圆心、2为半径的14圆弧,长度分别为π;与四边形BB1C1C的交线是以BC长为直径的半圆,故长为π.因此,交线的长度之和为3π17.76解析(方法一直接法)如图所示,正四棱台中四边形AA1C1C为等腰梯形.连接AC,A1C1,过点A1作A1G⊥AC,交AC于点G,则A1G为棱台的高.在正四棱台中,∵AC=22,A1C1=2,∴AG=AC-A1C12=22.在Rt△A则棱台体积V=13(S四边形A1B1C1D1+S四边形A1B(方法二补形法)如图,延长各侧棱交于点O,连接AC,A1C1,过O作OG⊥AC,交AC于点G,交平面A1B1C1D1于点H,且点H恰为A1C1的中点,解得OA1=2,A1H=22,AG=2,OA=22.在Rt△A1OH中,OH=(2)2-(22)

则棱台体积V=V四棱锥OABCDV四棱锥O-A1B1C1D1=13(S四边形ABCD·OGS四边形A118.22解析如图所示,设点O为该圆锥的底面圆心,顶点是S,则其高为SO=62-32则该圆锥的内切球的圆心在圆锥的高SO上,设为点O1,设内切球的半径为r,设该圆锥的内切球与圆锥的母线SA相切于点H,连接HO1,则在Rt△SHO1中,∠O1SH=30°,则sin∠O1SH=HO1O1S=r33-r=12,解得r=3.由题意知,当m最大时,正四面体为该球的内接正四面体,将正四面体补成正方体,设正方体的棱长为a,则3a=219.40π解析由题可知△DPA为等腰直角三角形,取PD的中点为O1,则点O1为△DPA'的外接圆的圆心.在平面PDCB中,过O1作PD的垂线l,因为平面A'PD⊥平面PDCB,平面A'PD∩平面PDCB=PD,所以直线l⊥平面PDA'.设△DPB的外接圆圆心为点O2,由题意可知,直线l在平面PBCD内,且经过O2,则点O2也是三棱锥A'DPB的外接球球心,设外接球的半径为R,则△DBP的外接圆半径也为R,因为在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,P为边AB