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文档简介

2021年山西省太原市高考数学三模试卷(文科)一、选择题:共12小题,每题5分,共60分.1.已知复数z满足,则在复平面内与复数z对应的点的坐标为()A.(1,﹣1) B.(1,1) C.(﹣1,1) D.(﹣1,﹣1)2.已知全集U=R,集合A={0,1,2,3},B={﹣1,0,1},则图中阴影部分表示的集合是()A.{﹣1} B.{0,1} C.{2,3} D.{﹣1,2,3}3.设m∈R,则“m>1”是“m2>1”()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.2020年初,新型冠状病毒(COVID﹣19)引起的肺炎疫情爆发以来,各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某医疗机构开始使用中西医结合方法后,每周治愈的患者人数如表所示:第x周12345治愈人数y(单位:十人)38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为,则此回归模型第5周的残差(实际值减去预报值)为()A.﹣1 B.0 C.1 D.25.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列正确的结论是()A.若m∥n,m∥α,n∥β,则α∥β B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n C.若m⊥n,m⊥α,则n∥α D.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β6.古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界,画出相同的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有阴眼,阴鱼的头部有阳眼,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2(正八边形ABCDEFGH)是由图1(八卦模型图)抽象而得到,并建立如图2的平面直角坐标系,设OA=1.则下列错误的结论是()A. B.以射线OF为终边的角的集合可以表示为 C.在以点O为圆心、OA为半径的圆中,弦AB所对的劣弧弧长为 D.正八边形ABCDEFGH的面积为7.已知实数a,b满足3×2a﹣2b+1=0,,则下列正确的结论是()A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a8.执行如图所示的程序框图,若N=2021,则输出的p=()A. B. C. D.9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C.3 D.210.已知锐角α,β满足,则的最小值为()A.4 B. C.8 D.11.已知三棱台ABC﹣A1B1C1中,三棱锥A﹣A1B1C1的体积为4,三棱锥A1﹣ABC的体积为8,则该三棱台的体积为()A. B. C. D.12.已知点F是双曲线的左焦点,过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A,B,则的取值范围是()A.[﹣1,0) B. C. D.[﹣1,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,规定0,1,2表示没有击中目标,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:60113661959769471417469803716233261680457424761042817527029371409857034743738636根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为.14.若命题“任意的x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,则实数a的取值范围是.15.已知实数x,y满足,则的取值范围是.16.已知函数f(x)=lnx﹣x,g(x)=ex﹣x,若存在实数m,n,使得f(m)﹣g(n)≥﹣2成立,则实数m﹣n=.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.如图,A,B,C为山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得这三点的俯角分别为α=30°,β=60°,γ=45°,现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE,经测量AD=100m,BE=34m,BC=85m.(Ⅰ)求PB的长;(Ⅱ)求隧道DE的长(精确到1m).附:;.18.为进一步保护环境,加强治理空气污染,某市环保监测部门对市区空气质量进行调研,随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度(单位:μg/m3),整理数据得到如表:SO2的浓度空气质量等级[0,50](50,150](150,475]1(优)28622(良)5783(轻度污染)3894(中度污染)11211若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”,根据上述数据,回答以下问题.(Ⅰ)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(Ⅱ)完成下面的2×2列联表,SO2的浓度空气质量[0,150](150,475]空气质量好空气质量不好(Ⅲ)根据(Ⅱ)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关?附:.P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.82819.如图,O1,O2分别是圆台上、下底面的圆心,AB是下底面圆的直径,AB=2O1O2,点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点(点P不在AO2上).(Ⅰ)求证:平面APO1⊥平面PO1O2;(Ⅱ)若AB=2,当三棱锥O1﹣APO2体积最大时,求点B到平面APO1的距离.20.已知面积为16的等腰直角△AOB(O为坐标原点)内接于抛物线y2=2px(p>0),OA⊥OB,过抛物线的焦点F且斜率为2的直线l与该抛物线相交于P,Q两点,点M是PQ的中点.(Ⅰ)求此抛物线的方程和焦点F的坐标;(Ⅱ)若焦点在y轴上的椭圆C经过点M,其离心率,求椭圆C的标准方程.21.已知函数f(x)=alnx﹣+1﹣ln2在点(2,f(2))处的切线方程为y=﹣x+1.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)=f(x)﹣m的两个零点,求证:x2﹣x1<﹣4m.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修44:坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求曲线C的极坐标方程;(Ⅱ)设点A的极坐标为,点B(异于点O和点A)在曲线C上,求△AOB面积的最大值.[选修45:不等式选讲]23.已知函数f(x)=|2x+1|﹣|mx﹣1|(m>0).(1)当m=2时,解不等式f(x)<2;(2)若f(x)有最小值,且关于x的方程f(x)=有两个不相等的实数根,求实数m的取值范围.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z满足,则在复平面内与复数z对应的点的坐标为()A.(1,﹣1) B.(1,1) C.(﹣1,1) D.(﹣1,﹣1)解:∵=,∴在复平面内与复数z对应的点的坐标为(1,1),故选:B.2.已知全集U=R,集合A={0,1,2,3},B={﹣1,0,1},则图中阴影部分表示的集合是()A.{﹣1} B.{0,1} C.{2,3} D.{﹣1,2,3}解:由题意可得:A∩B={0,1},∴阴影部分表示的集合为:{2,3},故选:C.3.设m∈R,则“m>1”是“m2>1”()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解:解二次不等式m2>1,得m<﹣1或m>1,∴“m>1”是“m2>1”的充分不必要条件,故选:A.4.2020年初,新型冠状病毒(COVID﹣19)引起的肺炎疫情爆发以来,各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法,取得了不错的成效,某医疗机构开始使用中西医结合方法后,每周治愈的患者人数如表所示:第x周12345治愈人数y(单位:十人)38101415由上表可得y关于x的线性回归方程为,则此回归模型第5周的残差(实际值减去预报值)为()A.﹣1 B.0 C.1 D.2解:,,即样本点的中心坐标为(3,10),代入,可得10=,解得,∴线性回归方程为,取x=5,得,∴此回归模型第5周的残差为15﹣16=﹣1.故选:A.5.已知α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,则下列正确的结论是()A.若m∥n,m∥α,n∥β,则α∥β B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n C.若m⊥n,m⊥α,则n∥α D.若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β解:若m∥n,m∥α,n∥β,则α∥β或α与β相交,故A错误;若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n或m与n异面,故B错误;若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α,故C错误;若m⊥n,m⊥α,则n∥α或n⊂α,又n⊥β,所以α⊥β,故D正确.故选:D.6.古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界,画出相同的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有阴眼,阴鱼的头部有阳眼,表示万物都在相互转化,互相渗透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2(正八边形ABCDEFGH)是由图1(八卦模型图)抽象而得到,并建立如图2的平面直角坐标系,设OA=1.则下列错误的结论是()A. B.以射线OF为终边的角的集合可以表示为 C.在以点O为圆心、OA为半径的圆中,弦AB所对的劣弧弧长为 D.正八边形ABCDEFGH的面积为解:如图所示:对于A:,故A正确;对于B:以射线OF为终边的角的集合可以表示,故B正确;对于C:在以点O为圆心、OA为半径的圆中,弦AB所对的劣弧弧长为,故C正确;对于D:正八边形ABCDEFGH的面积为,故D错误.故选:D.7.已知实数a,b满足3×2a﹣2b+1=0,,则下列正确的结论是()A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a解:∵3×2a﹣2b+1=0,∴3×2a=2b+1,∵3×2a>2×2a=2a+1,∴2b+1>2a+1,∴b>a,又∵≥c+1,∴a>c,故选:B.8.执行如图所示的程序框图,若N=2021,则输出的p=()A. B. C. D.解:模拟程序的运行,可得程序框图的功能是计算并输出p=1+()1+()2+....+()2021的值,由于p=1+()1+()2+....+()2021=1+=2﹣.故选:C.9.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C.3 D.2解:根据几何体的三视图转换为几何体为:该几何体为底面为等腰直角三角形,高为3的直棱柱ABC﹣DEF,切去一个四棱锥体C﹣ABGH;如图所示:所以=.故选:A.10.已知锐角α,β满足,则的最小值为()A.4 B. C.8 D.解:因为锐角α,β满足,所以cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ=,令x=cosαcosβ,y=sinαsinβ,则x+y=,由题意得x>0,y>0,则==2(x+y)()=2(2+)=8,当且仅当x=y时取等号,此时的最小值8.故选:C.11.已知三棱台ABC﹣A1B1C1中,三棱锥A﹣A1B1C1的体积为4,三棱锥A1﹣ABC的体积为8,则该三棱台的体积为()A. B. C. D.解:设S△ABC=S1,,棱台的高为h,由已知,得,得,,则,∴三棱台ABC﹣A1B1C1的体积V===.故选:B.12.已知点F是双曲线的左焦点,过原点的直线l与该双曲线的左、右两支分别相交于点A,B,则的取值范围是()A.[﹣1,0) B. C. D.[﹣1,+∞)解:∵双曲线,∴a2=4,b2=5,c2=a2+b2=5+4=9,即a=2,b=,c=3,∵双曲线与过原点的直线l都关于原点对称,∴|FA|=|F2B|,∵由双曲线的定义,可知|FB|﹣|F2B|=2a=4,∴|FA|=|FB|﹣4,设|FB|=d,d≥a+c=5,∴=,设f(d)=,d≥5,求导可得f'(d)=,∴f(d)在[5,6)单调递减,在(6,+∞)单调递增,,又∵当d趋近于正无穷时,f(d)趋近于0,∴f(d)的取值范围为[﹣1,0),则的取值是[﹣1,0).故选:A.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率.先由计算器给出0到9之间取整数的随机数,规定0,1,2表示没有击中目标,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标,以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数:60113661959769471417469803716233261680457424761042817527029371409857034743738636根据以上数据估计该运动员射击4次至少击中3次目标的概率为0.6.解:根据题意,在20组随机数中,表示至少击中3次目标的3661、9597、6947、4698、6233、8045、7424、7527、9857、0347、4373、8636;共12个,则该运动员射击4次至少击中3次目标的概率P==0.6;故答案为:0.6.14.若命题“任意的x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,则实数a的取值范围是(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞).解:∵命题“任意的x∈R,x2+ax+1≥0”是假命题,∴△=a2﹣4>0,∴a>2或a<﹣2.故答案为:(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞).15.已知实数x,y满足,则的取值范围是[﹣1,3].解:由约束条件作出可行域如图,联立方程组解得A(2,1),B(1,3),则t=∈[,3],∴=,可知当t=1时,有最小值﹣1;当t=3时,有最大值3.∴的取值范围是[﹣1,3].故答案为:[﹣1,3].16.已知函数f(x)=lnx﹣x,g(x)=ex﹣x,若存在实数m,n,使得f(m)﹣g(n)≥﹣2成立,则实数m﹣n=1.解:∵f(x)=lnx﹣x,∴f'(x)=(x>0),令f'(x)=0,则x=1,当0<x<1时,f'(x)>0,当x>1时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,∴f(x)在x=1上取得极大值点,也为最大值点,即f(x)max=f(1)=﹣1,∵g(x)=ex﹣x,∴g'(x)=ex﹣1,令g'(x)=0,则x=0,当x<0时,g'(x)<0,当x>0时,g'(x)>0,∴g(x)在(﹣∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,∴g(x)在x=0上取得极小值点,也为最大值点,即g(x)min=g(0)=1,∴任取m,n都有f(m)﹣g(n)≤f(1)﹣g(0)=﹣2,∴若要使f(m)﹣g(n)≥﹣2成立,则必有m=1,n=0,∴m﹣n=1.故答案为:1.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.如图,A,B,C为山脚两侧共线的三点,在山顶P处测得这三点的俯角分别为α=30°,β=60°,γ=45°,现计划沿直线AC开通一条穿山隧道DE,经测量AD=100m,BE=34m,BC=85m.(Ⅰ)求PB的长;(Ⅱ)求隧道DE的长(精确到1m).附:;.【解答】(Ⅰ)由题意知:∠BPC=β﹣γ=600﹣450=150,∠PBC=180°﹣β=1200,所以∠PCB=180°﹣150﹣1200=450.在△PCB中,由正弦定理得:,=,即PB=m.(Ⅱ)在△PAB中,∠PAB=α=300,∠ABP=β=600,所以∠APB=90°,所以AB=2PB=464,所以DE=AB﹣AD﹣BE=464﹣100﹣34=330m.18.为进一步保护环境,加强治理空气污染,某市环保监测部门对市区空气质量进行调研,随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度(单位:μg/m3),整理数据得到如表:SO2的浓度空气质量等级[0,50](50,150](150,475]1(优)28622(良)5783(轻度污染)3894(中度污染)11211若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”,根据上述数据,回答以下问题.(Ⅰ)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(Ⅱ)完成下面的2×2列联表,SO2的浓度空气质量[0,150](150,475]空气质量好空气质量不好(Ⅲ)根据(Ⅱ)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关?附:.P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828解:(1)由表格可得,该市100天中空气质量为1的有28+6+2=36天,空气质量为2的有5+7+8=20天,空气质量为3的有3+8+9=20天,空气质量为4的有1+12+11=24,则该市一天的空气质量等级为1的概率为,该市一天的空气质量等级为2的概率为,该市一天的空气质量等级为3的概率为该市一天的空气质量等级为4的概率为.(2)由表格数据,可得列联表如下:SO2的浓度空气质量[0,150](150,475]空气质量好4610空气质量不好2420(3)由(2)可得,∴有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关.19.如图,O1,O2分别是圆台上、下底面的圆心,AB是下底面圆的直径,AB=2O1O2,点P是下底面内以AO2为直径的圆上的一个动点(点P不在AO2上).(Ⅰ)求证:平面APO1⊥平面PO1O2;(Ⅱ)若AB=2,当三棱锥O1﹣APO2体积最大时,求点B到平面APO1的距离.解:(Ⅰ)证明:由题意可得O1O2⊥平面PAB,所以O1O2⊥PA,因为AO2为直径,所以AP⊥PO2,因为PO2∩O1O2=O2,所以AP⊥平面PO1O2,又AP⊂平面APO1,所以平面APO1⊥平面PO1O2;(Ⅱ)由题意可得,当AP=PO2时,三棱锥O1﹣APO2的体积最大,设点O2到平面APO1的距离为d,由(Ⅰ)可得AP⊥PO2,AP⊥平面PO1O2,因为AB=2,所以AO2=O1O2=1,AP=PO2=,V=V,即S•O1O2=S•d,所以d=====,所以B到平面APO1的距离为.20.已知面积为16的等腰直角△AOB(O为坐标原点)内接于抛物线y2=2px(p>0),OA⊥OB,过抛物线的焦点F且斜率为2的直线l与该抛物线相交于P,Q两点,点M是PQ的中点.(Ⅰ)求此抛物线的方程和焦点F的坐标;(Ⅱ)若焦点在y轴上的椭圆C经过点M,其离心率,求椭圆C的标准方程.解:(Ⅰ)由题意可知点A与点B分别在直线y=x和y=﹣x上,不妨设A(m,m)(m>0),则S△AOB=m2=16,所以m=4,所以A(4,4),因为点A在抛物线y2=2px上,所以p=2,所以此抛物线的方程为y2=4x,焦点F的坐标为(1,0).(Ⅱ)由(Ⅰ),得F(1,0),直线l的方程为x=y+1,设P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),由,得y2﹣2y﹣4=0,所以y1+y2=2,所以y0=1,x0=,所以M(,1),由题意可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由,解得,所以椭圆C的标准方程为+=1.21.已知函数f(x)=alnx﹣+1﹣ln2在点(2,f(2))处的切线方程为y=﹣x+1.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)=f(x)﹣m的两个零点,求证:x2﹣x1<﹣4m.【解答】(Ⅰ)解:∵f(x)=alnx﹣+1﹣ln2,∴f′(x)=﹣(x>0),∵f′(2)=,∴a=1,∴f′(x)=﹣=,令f′(x)>0,得0<x<,令f′(x)<0,得x>,∴f(x)的单调增区间为(0,),单调减区间为(,+∞);(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)得,f(x)=lnx﹣+1﹣ln2,

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