第2章-电磁场的基本规律4

12.6麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组

——宏观电磁现象所遵循的基本规律，是电

磁场的基本方程。

2.6.1麦克斯韦方程组的积分形式22.6.2麦克斯韦方程组的微分形式麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场麦克斯韦第三方程表明磁场是无源场，磁感线总是闭合曲线麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场32.6.3媒质的本构关系

代入麦克斯韦方程组中，有限定形式的麦克斯韦方程（均匀媒质）各向同性线性媒质的本构关系为4时变电场的激发源除了电荷以外，还有变化的磁场；而时变磁场的激发源除了传导电流以外，还有变化的电场。电场和磁场互为激发源，相互激发。时变电磁场的电场和磁场不再相互独立，而是相互关联，构成一个整体——

电磁场。电场和磁场分别是电磁场的两个分量。在离开辐射源（如天线）的无源空间中，电荷密度和电流密度矢量为零，电场和磁场仍然可以相互激发，从而在空间形成电磁振荡并传播，这就是电磁波。5在无源空间中，两个旋度方程分别为

可以看到两个方程的右边相差一个负号，而正是这个负号使得电场和磁场构成一个相互激励又相互制约的关系。当磁场减小时，电场的旋涡源为正，电场将增大；而当电场增大时，使磁场增大，磁场增大反过来又使电场减小。62.7电磁场的边界条件

什么是电磁场的边界条件?

为什么要研究边界条件?媒质1媒质2

如何讨论边界条件?

实际电磁场问题都是在一定的物理空间内发生的，该空间中可能是由多种不同媒质组成的。边界条件就是不同媒质的分界面上的电磁场矢量满足的关系，是在不同媒质分界面上电磁场的基本属性。物理：由于在分界面两侧介质的特性参数发生突变，场在界面两侧也发生突变。麦克斯韦方程组的微分形式在分界面两侧失去意义，必须采用边界条件。数学：麦克斯韦方程组是微分方程组，其解是不确定的，边界条件起定解的作用。

麦克斯韦方程组的积分形式在不同媒质的分界面上仍然适用，由此可导出电磁场矢量在不同媒质分界面上的边界条件。72.7.1

边界条件一般表达式媒质1媒质2

分界面上的电荷面密度

分界面上的电流面密度8

边界条件的推证

（1）电磁场量的法向边界条件令Δh→0，则由媒质1媒质2PS即同理，由

在两种媒质的交界面上任取一点P，作一个包围点P的扁平圆柱曲面S，如图表示。或或9（2）电磁场量的切向边界条件在介质分界面两侧，选取如图所示的小环路，令Δh

→0，则由媒质1媒质2故得或同理得或10两种理想介质分界面上的边界条件2.7.2两种常见的情况

在两种理想介质分界面上，通常没有电荷和电流分布，即JS＝0、ρS＝0，故

的法向分量连续

的法向分量连续

的切向分量连续

的切向分量连续

媒质1媒质2

、的法向分量连续媒质1媒质2

、的切向分量连续112.理想导体表面上的边界条件理想导体表面上的边界条件设媒质2为理想导体，则E2、D2、H2、B2均为零，故

理想导体：电导率为无限大的导电媒质

特征：电磁场不可能进入理想导体内理想导体理想导体表面上的电荷密度等于

的法向分量

理想导体表面上

的法向分量为0

理想导体表面上

的切向分量为0

理想导体表面上的电流密度等于

的切向分量

12麦克斯韦方程组时变场静态场缓变场迅变场电磁场(EM)准静电场(EQS)准静磁场(MQS)静磁场(MS)小结：麦克斯韦方程适用范围：一切宏观电磁现象。静电场(ES)恒定电场(SS)13第3章静态电磁场及其边值问题的解14

本章内容

3.1

静电场分析【1】3.2

导电媒质中的恒定电场分析【1】3.3

恒定磁场分析【1】3.4

静态场的边值问题及解的惟一性定理【1】3.5

镜像法【1】3.6

分离变量法【1】

静态电磁场：场量不随时间变化，包括：

静电场、恒定电场和恒定磁场

时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场

静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立

153.1静电场分析

学习内容

3.1.1

静电场的基本方程和边界条件

3.1.2

电位函数

3.1.3

导体系统的电容与部分电容

3.1.4

静电场的能量

3.1.5

静电力162.边界条件微分形式：本构关系：1.基本方程积分形式：或或3.1.1静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即，则17介质2介质1

在静电平衡的情况下，导体内部的电场为0，则导体表面的边界条件为

或

场矢量的折射关系

导体表面的边界条件即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数称为静电场的标量电位或简称电位。18由1.电位函数的定义3.1.2

电位函数192.电位的表达式对于连续的体分布电荷，由同理得，面电荷的电位：故得点电荷的电位：线电荷的电位：203.电位差两端点乘

，则有将上式两边从点P到点Q沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明

P、Q两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至Q点

所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。

电位差也称为电压，可用U表示。

电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。P、Q两点间的电位差电场力做的功21

静电位不惟一，可以相差一个常数，即选参考点令参考点电位为零电位确定值(电位差)两点间电位差有定值

选择电位参考点的原则

应使电位表达式有意义。

应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无

限远作电位参考点。

同一个问题只能有一个参考点。4.电位参考点

为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即22

例3.1.1

求电偶极子的电位.

解

在球坐标系中用二项式展开，由于，得代入上式，得

表示电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。+q电偶极子zod－q23将和代入上式，解得E线方程为

由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度等位线电场线电偶极子的场图

电场线微分方程：

等位线方程：24xyzL-L解

采用圆柱坐标系，令线电荷与z

轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与

无关。在带电线上位于处的线元，它到点的距离，则

例3.1.3

求长度为2L、电荷线密度为的均匀带电线的电位。25

在上式中若令，则可得到无限长直线电荷的电位。当时，上式可写为当时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有并选择有限远处为电位参考点。例如，选择ρ=a

的点为电位参考点，则有26在均匀介质中，有5.

电位的微分方程在无源区域，标量泊松方程拉普拉斯方程由和276.静电位的边界条件

设P1和P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为

1和

2。当两点间距离Δl→0时导体表面上电位的边界条件：媒质2媒质1

若介质分界面上无自由电荷，即常数，28

例3.1.4两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面密度为

的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。

解在两块无限大接地导体平板之间，除x=b处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程方程的解为obaxy两块无限大平行板29利用边界条件，有

处，最后得

处，

处，所以由此解得30电容器广泛应用于电子设备的电路中：

在电子电路中，利用电容器来实现滤波、移相、隔直、旁

路、选频等作用。

通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂

电路。

在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以

减少电能的损失和提高电气设备的利用率。

3.1.3导体系统的电容与部分电容31

电容是导体系统的一种基本属性，是描述导体系统储存电荷能力的物理量。

孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位

的比值，即1.电容

孤立导体的电容

两个带等量异号电荷（

q）的导体组成的电容器，其电容为

电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质

的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。(3)由 ，求出两导体间的电位差；32(1)假定两导体上分别带电荷+q和－q；(2)计算两导体间的电场强度E；

计算电容的步骤：(4)求比值，即得出所求电容。33

解：设内导体的电荷为q

，则由高斯定理可求得内外导体间的电场同心导体间的电压球形电容器的电容当时，

例3.1.4同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为b，其间填充介电常数为ε的均匀介质。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容34

例3.1.5

如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离为D，且D>>a，求传输线单位长度的电容。

解

设两导线单位长度带电量分别为和。由于，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点P的电场强度为两导线间的电位差故单位长度的电容为35

例3.1.6

同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内外导体间填充的介电常数为

的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。内外导体间的电位差

解

设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为和，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为同轴线36＊

2.部份电容

在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的概念加以推广，引入部分电容的概念。

在由N个导体组成的系统中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为式中：——自电位系数——互电位系数（1）电位系数37

αij在数值上等于第i个导体上的总电量为一个单位、而其余导体上的总电量都为零时，第j个导体上的电位，即

αij只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

具有对称性，即αij=αji。

αij>

0；

电位系数的特点：38若已知各导体的电位，则各导体的电量可表示为

式中：——自电容系数或自感应系数

——互电容系数或互感应系数

（2）电容系数39

βij在数值上等于第j个导体上的电位为一个单位、而其余导体接地时，第i个导体上的电量，即

βij只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

具有对称性，即βij=βji。

βii>

0、；

电容系数的特点：40将各导体的电量表示为

式中：（3）部分电容——导体i与导体j之间的部分电容——导体i与地之间的部分电容

41Cii在数值上等于全部导体的电位都为一个单位时，第i个导

体上的电量；

Cij只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质

参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；

具有对称性，即Cij=Cji。

Cij>

0；Cij在数值上等于第j个导体的电位为一个单位、其余

导体都接地时，第i个导体上的电量；

部分电容的特点：42

在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为，则比值称为这两个导体间的等效电容。（4）等效电容如图所示，有三个部分电容导线1和2间的等效电容为导线1和大地间的等效电容为导线2和大地间的等效电容为12大地大地上空的平行双导线43

如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量辐射，充电过程中外加电源所做的总功将全部转换成电场能量，或者说电场能量就等于外加电源在此电场建立过程中所做的总功。

静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。

静电场最基本的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。

任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而做功。3.1.4静电场的能量

441.静电场的能量

设系统从零开始充电，最终带电量为q、电位为

。充电过程中某一时刻的电荷量为αq、电位为α

。(0≤α≤1)当α增加为(α+dα)时，外电源做功为:α

(qdα)。对α从0到1积分，即得到外电源所做的总功为

根据能量守恒定律，此功也就是电量为q的带电体具有的电场能量We

，即

对于电荷体密度为ρ的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV具有的电场能量为45故体分布电荷的电场能量为对于面分布电荷，电场能量为对于多导体组成的带电系统，则有——

第i个导体所带的电荷——

第i个导体的电位式中：462.电场能量密度

从场的观点来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。

电场能量密度：

电场的总能量：积分区域为电场所在的整个空间

对于线性、各向同性介质，则有47由于体积V外的电荷密度ρ＝0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有故

推证：ρρ＝0S48

例3.1.7

半径为a的球形空间内均匀分布有电荷体密度为ρ的电荷，试求静电场能量。

解：方法一，利用计算

根据高斯定理求得电场强度故49

方法二：利用计算

先求出电位分布