湖南省2024届高三数学新改革适应性训练二（九省联考题型）(含答案)

湖南2024年高三数学新改革适应性训练二（九省联考题型）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（本题5分）一组数据2，3，3，4，4，4，5，5，6，6的中位数是（

）A．6 B．5 C．4 D．32．（本题5分）已知椭圆x2a2+y2bA．98 B．322 C．43．（本题5分）若Sn是等差数列an的前n项和，a1+2aA．10 B．18 C．20 D．244．（本题5分）设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中正确的是（

）A．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥βB．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥βC．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βD．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β5．（本题5分）一排11个座位，现安排甲、乙2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不能相邻，则不同排法的种数是（

）A．28 B．32 C．38 D．446．（本题5分）已知圆M:x2+y2+4x=0和圆N:x2+y2A．22,4+2C．4−2,227．（本题5分）求值：2sin80°cosA．33 B．22 C．1 8．（本题5分）双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1−c,0,F2c,0，以C的实轴为直径的圆记为A．5 B．5+12 C．5−1二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（本题6分）若函数fx=2sinA．fx的最小正周期为10 B．fx的图象关于点C．fx在0,254上有最小值 D．f10．（本题6分）已知z1,zA．若z12+z2C．z12+11．（本题6分）已知fx是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意x,y∈R都满足fxyA．fB．fxC．若f2=2D．若当x>1时，fx<0，则gx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（本题5分）已知{x|3x−b<4}∩Z=1,2,3，那么实数b13．（本题5分）三个相似的圆锥的体积分别为V1，V2，V3，侧面积分别为S1，S2，S3，且V114．（本题5分）已知函数f(x)=alnx−2xa≠0，若不等式xa≥2e2x四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题13分）设函数f(x)=ln(1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线x−2=0垂直，求(2)在（1）的条件下求f(x)的单调区间和极小值．16．（本题15分）当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破．全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简称）、字节跳动、万兴科技、蓝色光标、华为等领头企业已纷纷加码布局AIGC赛道，某传媒公司准备发布《2023年中国AIGC发展研究报告》，先期准备从上面7个科技企业中随机选取3个进行采访．(1)求选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率；(2)记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望．17．（本题15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，O为BD的中点，BD=4，(1)证明:OP⊥平面ABCD；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.18．（本题17分）已知点P、A、B是抛物线C:x2=4y(1)若点P的坐标为2,1，则动直线AB是否过定点？如果过定点，请求出定点坐标，反之，请说明理由．(2)若PA=PB，求19．（本题17分）已知数表A2n=a①aij②(−1)m+1则称这样的数表A2n具有性质P(1)若数表A22具有性质P，且a12=4，写出所有满足条件的数表A(2)对于具有性质P的数表A2n，当a11+a12(3)对于具有性质P的数表A2n，当n为偶数时，求a参考答案：1．C【详解】由中位数是从小到大排序后，中间两位数的平均值4+42故选：C2．D【详解】因为e=ca=a2故选：D3．B【详解】由等差数列的下角标性质得a1∴a∴S故选：B.4．D【详解】对于A项，因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，因为m//α，过m作平面γ与平面α交线为l，则l∥m，l⊥β，因为l⊂α，由面面垂直的判定定理可得对于B项，因为n⊥β，m⊥n，所以m//β或m⊂β，又因为m//α，所以对于C项，因为n⊥β，m⊥n，所以m//β或m⊂β，又因为m//α，所以对于D项，因为n⊥β，m∥n，所以m⊥β，因为m//α，过m作平面与平面α交线为l，则l∥m，l⊥β，因为l⊂α，由面面垂直的判定定理可得故选：D.5．D【详解】根据两人在三个空位同侧与异侧进行分类，当甲、乙两人在三个空位左侧时：共3×A同理，当甲、乙两人在三个空位右侧时：共3×A当甲、乙两人在三个空位异侧时：共4×4×A即共6+6+32=44（种），故选：D.6．B【详解】圆M:x2+y2+4x=0，即圆N:x2+y2−4y−12=0，即取线段AB的中点E，连接PE，则PA+将圆M与圆N的方程做差可得公共弦AB的方程为x+y+3=0，则ME=则PEmax所以PA+故选：B.

7．A【详解】由积化和差公式可得cos=1故1+4=1+=2cos由和差化积公式可得cos20°+故1+4所以2sin故选：A8．A【详解】设切点为A，∠AF1O=θ，连接OA，则sin过点P作PE⊥x轴于点E，则S△F1因为sinθ=PEP由双曲线定义得PF1−在△PF1F化简得3a2+所以4a2+b2解得ba=2，所以离心率故选：A9．AD【详解】T=2因为f45=2sin−因为f154=2sinπ若x∈0,254，则πf(x)在0,25故选：AD.10．ABC【详解】对于选项A：取z1=2+i，z2=2−满足z12+z2对于选项B：取z1=2+i，z而(z对于选项C：取z1=1，z2=i，则z对于选项D：设z1=a+bi，z1z1=a−bi，z1=故选：ABC.11．ABD【详解】因为fxy令x=y=1，得f1=f1令x=y=−1，得f1所以f−1=0，令y=−1，得f−x所以f−x=−fx，又因为定义域为R令x=2,y=12，得又f1=0,f2当x,y≠0时，由fxy可得fxyxy=∴gxy=gx+gy，在0,+∴gx∵0<x故gx1>g故选：ABD.12．{x|5<b<7}.【详解】由3x−b<4，可得−4<3x−b<4，解得−4+b即{x|−4+b所以0≤−4+b3<1且3<所以实数b的取值范围为{x|5<b<7}.故答案为：{x|5<b<7}.13．32/【详解】设三个圆锥的高分别为ℎ1，ℎ2，ℎ3则V=13π(ℎtan则S=12⋅ℎcos则a3ℎ令f(x)=(1+x2)3令f′x>0，解得x∈0,1；令故fx在0,1上单调递增，在1,+所以fxmax=f1=2故答案为：314．(0,2【详解】xa令t=f(x)，则g(t)=et−2t−cost，g当t≤0时,et≤1,sin当t>0时，et>1,cost≥−1，则ℎ′又因为g′(0)=−1,g′(1)=当0<t<t0时，g′(t)<0，当所以函数g(t)在−∞,t0上单调递减，在又g(0)=0，作出函数g(t)的图像如下：

函数f(x)=alnx−2x(a≠0)定义域为(0,+∞①当a<0时，f′(x)<0，函数f(x)的单调递减区间为当0<x<1时，y=alnx的取值集合为(0,+∞)，而因此函数f(x)在(0,1)上的值域包含(0,+∞当x≥1时，y=alnx的取值集合为(−∞,0]，而因此函数f(x)在[1,+∞)上无最小值，从而函数f(x)的值域为R，即t=f(x)∈R②当a>0时，由f′(x)<0得x>a2，由f′(x)<0得0<x<af(x)max=f(a2)=aln而y=−2x取值集合为(−2,0]，因此函数f(x)在(0,1]上的值域包含(−∞此时函数f(x)的值域为(−∞,aln当alna2−a≤0时，即当当alna2−a>0时，即当a>2e所以实数a的取值范围为(0,2e故答案为：(0,215．(1)k=(2)f(x)的单调减区间是(0,e)，单调增区间是(【详解】（1）由f(x)=lnx+k因为y=f(x)在点(e,f(e所以此切线的斜率为0，即f'(e（2）由（1）可得f′由f′(x)<0得0<x<e，由f所以f(x)的单调减区间是(0,e)，单调增区间是所以当x=e时，f(x)取得极小值16．(1)13(2)分布列见解析；期望为9【详解】（1）选取的3个科技企业中，BAT中有2个的概率为C3BAT中有3个的概率为C3故选取的3个科技企业中，BAT中至少有2个的概率为C3（2）由题意，X的所有取值为0，1，2，3，PX=0=CPX=2=C所以X的分布列为X0123P418121EX=0×417．(1)证明见解析(2)30【详解】（1）证明：连接OC，AB//CD,AB⊥BC，则CD⊥BC，在Rt△BCD中，因为BD=4，则OC=2因为PB=PD=5，OB=OD=2，所以OP⊥BD，OP=所以OP2+O又BD∩OC=O，BD、OC⊂平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD（2）解：因为BC=CD，O为BD的中点，则OC⊥BD，又OP⊥平面ABCD，以O为原点，以OB、OC、OP方向为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，则O0,0,0、B2,0,0、C0,2,0、D所以，DC=2,2,0，AB=2BC=−2,2,0，BP=AD=设平面PBC法向量为m=x1,y1,设平面PAD法向量为n=x2,y2,设平面PAD与平面PBC所成锐二面角的平面角为θ，所以cosθ=18．(1)证明见解析，直线AB过定点−2,5；(2)16.【详解】（1）解：设直线AB⊥x轴，则直线AB与抛物线C有且只有一个交点，不合乎题意.设直线AB的方程为y=kx+b，设点Ax1,y1、B联立y=kx+bx2=4y可得x由韦达定理可得x1+xAP=x1AP=x所以，x1x2故直线AB的方程为y=kx+2k+5=kx+2因此，直线AB过定点−2,5.（2）解：由（1）可知，直线AB的斜率存在，且直线AB的方程为y=kx+b，记线段AB的中点为点M.①当k=0时，则A、B关于y轴对称，此时线段AB的垂线为y轴，因为PA=PB，则点P为坐标原点，又因为PA⊥PB，则则△PAB的两腰所在直线的方程为y=±x，联立y=xx2=4y，解得x=0此时，PA=PB=②当k≠0时，x1+x22因为PA=PB，则设点Px0,y0，其中x0≠由已知可得AP=x所以，x02+直线PM的斜率为kPM=2所以，2kk2+3+k所以，k≠0且x0所以，b=x0=k所以，AB=故S△PAB综上所述，S△PAB因此，△PAB面积的最小值为16.19．(1)答案见解析(2)证明见解析(3)11【详解】（1）满足条件的数表A22为1所以a11（2）若当a11+a12+⋯+由数表A2n具有性质P可得j不妨设此时数表为