知识资料不等式的证明

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页不等式的证实8.1基本概念、内容、定理、公式8.1.1常用函数的若干不等式1.拉格朗日估和公式设在上延续，是它的一个原函数，则当单调减少时，；当单调增强时，不等式反向.2.平均有穷不等式1）设是正数列，，则规定：（1）算术平均值；（2）调和平均值；（3）几何平均值；（4）次幂平均值容易知道，，且可以证实：.这样在上延续.定理1在上关于是单调增强函数,即若，则.推论：.2）加权平均值定理定理2设：都是正数，：都是正数，且（也称为权），则.（1）加权几何平均值小于等于加权算术平均值.异常地当：都是正数时，（1）可改为：3）霍尔德几何平均不等式定理3加权几何平均值的和小于或等于和的加权几何平均值.即：设正数列：；：：，都是正数，且，则有.其中等号成立的条件是对应成比例.4）加权幂平均值设：是正数列，：都是正数，且（也称为权），称为的加权幂平均值.记为的加权几何平均值.用洛比达法则可证实.定理4：是关于的单增函数.8.1.2积分不等式1.正当延续函数在闭区间上各种平均值的定义与计算：将等分为个区间，分点为，其中，.1）在闭区间上的算术平均值==.2）在闭区间上的几何平均值==.3）在闭区间上的调和平均值=.4）在闭区间上的次幂平均值=记号：，，.设是闭区间上的正当延续函数，则.定理5是关于的单增函数.2.常见的用来证实积分不等式三种主意：1）设都是上下界是正的可积函数，都是正数，且，则有（霍尔德几何平均不等式的积分形式）异常地，对两个函数的情形且时，就是柯西—施瓦兹不等式.2）利用凸性证实不等式（1）凸函数等价定义（ⅰ）倘若是凸函数对，满意，都有.对，满意，都有.（自变量的平均值的函数大于等于函数值的平均值）异常地，当，则上述不等式称为Jensen不等式.（ⅱ）若可导，则是凸函数是单调减少.（ⅲ）若二阶可导，，则是凸函数.（直观理解：若是二阶可导凸函数，则的图形位于任一点处切线的下方.）（2）凸函数不等式的积分形式设是上可积函数，且，是上延续凸函数，则.（倘若是凹函数，则不等式反向）（3）利用矩形区域上变量可分离的二元函数的二重积分的计算公式设，在上定义二元函数，则====.即=.8.2例题选讲1.利用拉格朗日估和公式首先证实拉格朗日估和公式.证实：是的一个原函数，，在上对使用拉格朗日中值定理，则，使得.不妨设单调增强，则，.即.将这个不等式相加得：,从而，.当单调减少时，同理可证得.例8-1求极限分析：数列极限的常用主意有：Stolz定理，定积分定义，拉格朗日估和公式加夹逼法则等等.解法1：设，，==.解法2：原式===.解法3：，首先预计的大小.考虑函数，则是它的一个原函数.而且容易知道在上单增，故由拉格朗日估和公式得：即.从而所以由夹逼法则有=.例8-2求证：.证实：设在上单减，又是它的一个原函数，则由拉格朗日估和公式有：,即.2.利用平均有穷不等式例8-3设，都是正数，且，则.证实：且都是正数，，且.，.即；.将上面两式两边分离同时取与次幂，得；（1）.（2）得.注重到，并且两边同时开次方有.即.例8-4已知，，且，求证：（杨格不等式）.证实：.例8-5设都是正数，则有证实：原不等式等价于两边同时开次方，即.设=，=，则，，，由定理即可证得.3.利用高低性首先证实凸函数不等式的积分形式：证实：设是凸函数，将等分，设分点为，则，由凸函数的Jensen不等式有：，令两边求极限得.注：若二阶可导，则可用泰勒公式证实.（提醒：设，将在处展开.）例8-6对，，则有

分析：乘积要变成和，需要考虑对数函数.证实：对数函数是凸函数，又上式左边=即.又对数函数是增函数，.练习：例8-7设在上延续，且，则.分析：利用高低性的积分形式关键要选取合适的高低函数，注重看见被积函数中关于的运算.证实：考虑在上的高低性.，.在上是凹函数.，即.4.利用二重积分的计算公式例8-8设，都是上的延续增函数，求证：.分析：能用二重积分证实的不等式，普通都有一个特点：不等式左右两边都能变成两个定积分的乘积.证实：设=.==.，都是上的增函数，..即.例8-9设在上非负单减，求证：.证实：利用二重积分计算公式令===，，在上单减，即..即.5.利用霍尔德不等式首先证实霍尔德不等式：证实：===1..例8-10设是上的延续正当函数，求证：.证实1：（用霍尔德不等式）,即.证实2：（利用高低性）令是凹函数，.即..证实3：（用二重积分）令==.引申：仿上例用三种主意证实下列不等式：，其中，都是上的正当延续函数.6.利用函数的单调性例8-11设，求证：.分析：即证，若令，则.这就暗含着函数的单调性：时，，要证时，，即函数单增.证实：令，，即.又，当时，，，.，即.例8-12设在上具有一阶延续的导函数，且，，求证：.分析：考虑，，只须证实即可.证实：令，，，，令，，，，.从而.，.令，即得证.练习1：设天然数,求证：。分析：不等式，于是令，又，于是从而。同理不等式，于是令注重到：，于是。从而。练习2：在区间内，试比较函数与的大小，并证实你的结论。提醒：令，则，（1）当时，，于是，令，，于是即，从而，进一步，于是，又，所以。而（2）时，，因为，于是，从而。故，都有。练习3：设具有二阶导数，满意，且对随意，都有，证实：对随意，都有。提醒：不等式两边同乘，得到，，不等式两边同乘，得到，，。7.利用微分中值定理及积分中值定理例8-13设，在上具有一阶延续导数，求证：.证实：由积分中值定理知：，使得，从而原不等式变为.即有.引申：事实上结论可改为：，.注：设在上具有一阶延续导数，则有结论：.例8-14设在上具有一阶延续导数，且，求证：，使得.证实1：设在处取得最大值，即.设，则在上分离使用拉格朗日中值定理得：，.，.又，，；，.于是==.证毕！证实2：设，则在上有延续的二阶导数，，故有.考虑两函数：，；，；则由柯西中值定理有，.即，.同理，.以上两式相加，得==，其中.令，则，即.例8-15设，且，为实常数，试证：.证实：由，得，，注重到，故只需证实.因为，令两边求极限得.从而.8.利用最大值和最小值证实例8-16若，求证：，都有.证实：设，令，解得.，，，故有.例8-17若在上延续，且，其中均大于零且为常数，求证：.证实1：，即.两边取积分得.即.证实2：是凹函数，设过点的直线为，则，且有.于是由，，.9.利用泰勒公式例8-18设在上具有二阶延续导数，且，求证：.证实：在上具有二阶延续导数，，使得.若，则不等式取等号成立；若，，由费尔玛定理知：.于是由泰勒公式在点展开分离取处的值：，，，.又，从而，，.即.例8-19设在上具有二阶延续导数，且，试证：.证实：在上具有二阶延续导数，，使得.若，则不等式取等号成立；若，于是在上分离用拉格朗日中值定理得：，；，，即，.于是=，即.例8-20设在上可导，且，求证：.证实：==.例8-21设，，则.分析：由条件知道该函数为凸函数，可以用Jensen不等式来处理；另外，该函数存在二阶导数，故又可考虑泰勒展开.证实1：因为，，故为凸函数，即.令，有,两边对求极限，得.证实2：将在点处展开并求处的值.，因为，故，两边积分，得.10、杂例（曲线曲面积分重积分不等式）例1：设曲线，试证：。提醒：，令，由，得到，故，从而。注：（1）若在曲线上，，曲线的长为，则；（2）若在曲面上，，曲面的面积为，则练习：设曲面是圆柱体位于和之间的立体的表面，证实：。提醒：例2：设在上延续，证实：。证实1：因为，故。证实2：利用轮换对称性，。例3：设，证实不等式：。证实：，因为被积函数是交错级数，故有不等式：。练习：证实不等式。提醒：=，令。例4：设曲线的方向为逆时针方向，证实：。证实：练习：证实不等式，其中。提醒：设圆心，对，令，则有。从而，于是两边积分得证。例5：设在上延续，且，证实：。证实：令，则，从而，故。8.3练习题8-1设，，都是正数，且，则.8-2都是正数，，求证：.8-3设，，则当时，；当或时，（伯努利不等式）.8-4求证：对，.8-5求证：.8-6求证：，其中是闭区间上的正当延续函数.8-7设在上具有二阶延续导数，则对，有.8-8设函数在上延续，在内可导，且有及，试证：.8-9设函数在上具有非负的二阶导数，证实：对任何在区间上延续的函数，都有.8-10设函数是上的正当函数，且，则.8-11设，证实当时，有.8-12证实：.8-13设函数是上的延续函数，不恒为零，满意，则.8-14设函数在上有延续导数，且，又在内取得最大值，证实：.8-15设是上的非负延续函数，，则对，.8-16设，证实：.8-17证实：.8-18设在上具有延续导函数，且，证实：.8-19设在上具有延续导函数，且，证实：.8-20设为正常数，证实：.8-21设，又在上非负延续，且，证实：.8-22设在上延续，且，证实：.8-23设在上延续且单减，证实：当时，.8-24设在上具有二阶延续导函数，且，证实：.8-25设在上可导，且，求证：.8-26设为常数，且，，试证实：.8.4答案与提醒8-1仿例3即可得证.8-2利用，即，故.8-3当时，;当时，,即.8-4，即.8-5可利用拉格朗日估和公式或凸函数的性质，即考虑函数在上是凹函数，故，即，从而得证.8-6仿例10可用三种主意求证.8-7在上用拉格朗日中值定理，，又，故,从而得证.8-8，故.8-9将分成等分，令，则，两边取极限，注重到即得证.8-10证实1设，将在随意点处展开并取最大值.即，两边积分，得，即=故.从而得证.证实2对，，即得证.（几何意义，凸函数曲边梯形的面积大于或等于梯形的面积）8-11利用单调性，考虑函数，证实在上单调减少即可.8-12利用单调性，令即可.8-13令辅助函数求导得到==.令，则，.即可得证.8-14设，则.对在区间，上分离用拉格朗日中值定理即得证.8-15利用霍尔德不等式即得证.8-16利用拉格朗日估和公式即得.8-17考虑函数是凹函数，并利用定积分定义.8-18注