高考数学知识点大全 总结

高考数学知识点大全总结

一、集合与函数

L进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助

数轴和文氏图进行求解。

2.在应用领域条件时，易a忽略就是空集的情况

3.你会用补集的思想解决有关问题吗？

4.直观命题与无机命题存有什么区别？四种命题之间的相互关系就是什么？如何推论

充份与必要条件？

5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别。

6.解与函数有关的问题极易忽略定义域优先的原则。

7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称。

8.谋一个函数的解析式和一个函数的反函数时，极易忽略标示该函数的定义域。

9.原函数在区间［-a,a］上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一

个函数存在反函数，此函数不一定单调。例如：。

10.你熟练地掌控了函数单调性的证明方法吗？定义法（值域，作差，判差值）和导

数法

11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“U”和“或”；单调

区间不能用集合或不等式表示。

12.求函数的值域必须先求函数的定义域。

13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题？

①比较函数值的大小；

②解抽象函数不等式；

③谋参数的范围（恒设立问题）.这几种基本应用领域你掌控了吗？

14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗？

（真数大于零，底数大于零且不等同于D字母底数还须要探讨

15.三个二次（哪三个二次？）的关系及应用掌握了吗？如何利用二次函数求最值？

16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，极易忽略参数的范围。

17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”

不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次

项系数可能为的零的情形？

二、不等式

L利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.

2.绝对值不等式的数学分析及其几何意义就是什么？

3.解分式不等式应注意什么问题？用“根轴法”解整式（分式）不等式的注意事项是什

么？

4.解含参数不等式的通法就是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类探讨就是

关键”，特别注意解完之后必须写下上：“综上，原不等式的边值问题就是……”.

5.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不

等式表示。

6.两个不等式相加时，必须特别注意同向同正时就可以相加，即为同向同正拼车；同

时必须特别注意“同号瓦瑟隆“即a>b>O,a

三、数列

L化解一些等比数列的前项和问题，你注意到必须对公Olmstead两种情况展开探讨

了吗？

2.在“已知，求”的问题中，你在利用公式时注意到了吗？（时，应有）需要验证，有

些题目通项是分段函数。

3.你晓得存有的条件吗？（你认知数列、存有愁数列、无穷数列的概念吗？你晓得无

穷数列的前项和与所有项的和的相同吗？什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存有？

4.数列单调性问题能否等同于对应函数的单调性问题？（数列是特殊函数，但其定义

域中的值不是连续的。）

5.应用领域数学归纳法一必须特别注意步骤齐全，二要特别注意从至过程中，先假设

时设立，再融合一些数学方法用以证明时也设立。

四、三角函数

1.正角、负角、零角、象限角的概念你确切吗，若角的终边在坐标轴上，那它归属于

哪个象限呢？你晓得锐角与第一象限的角;终边相同的角和成正比的角的区别吗？

2.三角函数的定义及单位圆内的三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的定义你知道

吗？

3.在求解三角问题时，你注意到正弦函数、余切函数的定义域了吗？你注意到正弦

函数、余弦函数的有界性了吗？

4.你还记得三角化简的通性通法吗？（切割化弦、降嘉公式、用三角公式转化出现特

殊角。异角化同角，异名化同名，高次化低次）

5.反正弦、反余弦、反正乌函数的值域范围分别就是

6.你还记得某些特殊角的三角函数值吗？

7.掌控正弦函数、余弦函数及正弦函数的图象和性质。你可以写下三角函数的单调区

间吗？可以写下直观的三角不等式的边值问题吗？（必须特别注意数形融合与书写规范，

可以别忘了），你与否确切函数的图象可以由函数经过怎样的转换获得吗？

五、平面向量

1.•数0有区别，的模为数0,它不是没方向，而是方向不定。可以看作与任一向量平

行，但与任一向量都不横向。

2..数量积与两个实数乘积的区别：

在实数中：若,且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若，且，无法面世。

已知实数，且，则a=c,但在向量的数量积中没有。

在实数中存有，但是在向量的数量积中，这是因为左边就是与共线的向量，而右边就

是与共线的向量。

3.是向量与平行的充分而不必要条件，是向量和向量夹角为钝角的必要而不充分条件。

六、解析几何

1.在用点斜式、斜截式求直线的方程时，你是否注意到不存在的情况？

2.使用角公式时，极易将直线11、12的斜率kl、k2的顺序搬倒转。

3.直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是。

4.的定比分点的座标公式就是什么？（起点，中点，分点以及值别忘了厘清），在利

用的定比分点解题时，你注意到了吗？

5.对不重合的两条直线

（建议在解题时，探讨后利用斜率和dT）

6.直线在两坐标轴上的截距相等，直线方程可以理解为，但不要忘记当时，直线在

两坐标轴上的截距都是0,亦为截距相等。

7.化解线性规划问题的基本步骤就是什么？恳请你特别注意解题格式和完备的文字抒

发。

①设出变量，写出目标函数

②写下线性约束条件

③画出可行域

④做出目标函数对应的系列平行线，找出并算出最优求解

8.三种圆锥曲线的定义、图形、标准方程、几何性质，椭圆与双曲线中的两个特征三

角形你掌握了吗？

9.圆、和椭圆的参数方程就是怎样的？常用参数方程的方法化解哪一些问题？

10.利用圆锥曲线第二定义解题时，你是否注意到定义中的定比前后项的顺序？如何

利用第二定义推出圆锥曲线的焦半径公式？如何应用焦半径公式？

11.通径就是抛物线的所有焦点弦中最短的弦。（想一想在双曲线中的结论？）

12.在用圆锥曲线与直线联立求解时，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是

否为零？椭圆，双曲线二次项系数为零时直线与其只有一个交点，判别式的限制。（求交

点，弦长，中点，斜率，对称，存在性问题都在下进行）.

13.解析几何问题的解中，平面几何科学知识利用了吗？题目中与否已经存有坐标系

了，与否须要创建直角坐标系则？

七、立体几何

1.你掌控了空间图形在平面上的直观画法吗？（横二测画法）O

2.线面平行和面面平行的定义、判定和性质定理你掌握了吗？线线平行、线面平行、

面面平行这三者之间的联系和转化在解决立儿问题中的应用是怎样的？每种平行之间转换

的条件是什么？

3.三垂线定理及其逆定理你忘记了吗？你晓得三垂线定理的关键就是什么吗？（一面、

四线、三横向、立柱即面的垂线就是关键）一面四直线，立柱就是关键，横向三处见到

4.线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈;

面面平行的判定定理易把条件错误地记为"一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的

两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大。

5.谋两条异面直线阿芒塔的角、直线与平面阿芒塔的角和二面角时，如果所求的角为

90°,那么就不要忘了除了一种求角的方法即为用证明它们横向的方法。

6.异面直线所成角利用“平移法”求解时，一定要注意平移后所得角等于所求角（或

其补角），特别是题目告诉异面直线所成角，应用时一定要从题意出发，是用锐角还是其

补角，还是两种情况都有可能。

7.你晓得公式：和中每一字母的意思吗？能熟练地应用领域它们解题吗？

8.两条异面直线所成的角的范围：0°<aW90°<p="">

直线与平面阿芒塔的角的范围：0oWaW90°

易错点1遗忘空集致误

错因分析：由于空集就是任何非空集合的真子集，因此，对于子集b高三经典容错笔

记：数学a,就存有b=a,0Wb高三经典容错笔记：数学a,bW0,三种情况，在解题

中如果思维比较周密就有可能忽略了bW6这种情况，引致解题结果错误。尤其就是在求

解所含参数的子集问题时，更必须充份特别注意当参数在某个范围内值域时所给的子集可

能将就是空集这种情况。空集就是一个特定的子集，由于思维定式的原因，学生往往可以

在解题中忘却了这个子集，引致解题错误或是解题不全面。

易错点2忽视集合元素的三性致误

错因分析：子集中的元素具备确定性、无序性、互异性，子集元素的三性中互异性对

解题的影响最小，特别就是具有字母参数的子集，实际上就喑含着对字母参数的一些建议。

在解题时也可以先确认字母参数的范围后，再具体内容解决问题。

易错点3四种命题的结构不明致误

错因分析：如果原命题就是“若a则b”，则这个命题的逆命题就是“若b则a”，

否命题就是“若ra贝卜!b"，逆否命题就是“若rb贝ha”。这里面存有两组等价的命

题，即为“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。在答疑由一个命题写下

该命题的其他形式的命题时，一定必须明晰四种命题的结构以及它们之间的等价关系。另

外，在驳斥一个命题时，必须特别注意全称命题的驳斥就是特称命题，特称命题的驳斥就

是全称命题。例如对“a,b都就是偶数”的驳斥必须就是“a,b不都就是偶数”，而不必

须就是“a飞都就是奇数”。

易错点4充分必要条件颠倒致误

错因分析：对于两个条件a,b,如果a=>b设立，则a就是b的充分条件，b就是a

的必要条件；如果b=>a设立，则a就是b的必要条件，b就是a的充分条件；如果a<=>b,

则a,b互为充份必要条件。解题时最难失效的就是倒转了充分性与必要性，所以在化解

这类问题时一定必须根据充要条件的概念做出精确的推论。

易错点5逻辑联结词理解不准致误

错因分析：在推论不含逻辑联结词的命题时很难因为认知不精确而发生错误，在这里

我们得出一些常用的推论方法，期望对大家有所协助：pVq真＜=＞p真或q真，命题pVq

骗人＜=＞p假且q骗人（归纳为一真即真）；命题pAq真烂〉p真且q真，pAq骗人号＞p

骗人或q骗人（归纳为一骗人即为骗人）；rP真＜=＞P骗人，［P骗人＜=＞P真（归纳为一

真一假）。函数与导数

易错点6求函数定义域忽视细节致误

错因分析：函数的定义域就是并使函数存有意义的自变量的值域范围，因此建议定义

域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的管制条件打听出，highcut不等式组，不

等式组的边值问题就是该函数的定义域。在谋通常函数定义域时必须特别注意下面几点：

（1）分母不为0;

（2）偶次被开放式非负；

3）真数大于0;

（4）0的0次幕没意义。

函数的定义域是非空的数集，在解决函数定义域时不要忘记了这点。对于复合函数，

要注意外层函数的定义域是由内层函数的值域决定的。

易错点7具有绝对值的函数单调性推论错误

错因分析：带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种

基本的判断方法：

一就是在各个段上根据函数的解析式所则表示的函数的单调性求出来单调区间，最后

对各个段上的单调区间展开资源整合；

二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断。研究函数问题

离不开函数图象，函数图象反应了函数的所有性质，在研究函数问题时要时时刻刻想到函

数的图象，学会从函数图象上去分析问题，寻找解决问题的方案。对于函数的几个不同的

单调递增（减）区间，千万记住不要使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增

（减）区间即可。

易错点8求函数奇偶性的常用错误

错因分析：求函数奇偶性的常见错误有求错函数定义域或是忽视函数定义域，对函数

具有奇偶性的前提条件不清，对分段函数奇偶性判断方法不当等。判断函数的奇偶性，首

先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域区间关于原

点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶的函数。在定义域区间关于原点对称

的前提下，再根据奇偶函数的定义进行判断，在用定义进行判断时要注意自变量在定义域

区间内的任意性。

易错点9抽象化函数中推理小说不严格致误

错因分析：很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同“特征”而设计出来的,

在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质。解

答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值可以找到函数的不变性质，这个

不变性质往往是进一步解决问题的突破口。抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何

推理证明一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件,

更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

易错点10函数零点定理使用不当致误

错因分析：如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在cG(a,b),使得f(c)=0,

这个c也是方程f(c)=0的根，这个结论我们一般称之为函数的零点定理。函数的零点有

“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”

的，在解决函数的零点时要注意这个问题。

易错点11混为一谈两类切线致误

错因分析：曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切线，这样的切线只有一

条；曲线的过一个点的切线是指过这个点的曲线的所有切线，这个点如果在曲线上当然包

括曲线在该点处的切线，曲线的过一个点的切线可能不止一条。因此求解曲线的切线问题

时，首先要区分是什么类型的切线。

易错点12混为一谈导数与单调性的关系致误

错因分析：对于一个函数在某个区间上是增函数，如果认为函数的导函数在此区间上

恒大于0,就会出错。研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意：一个函数的导

函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)

于等于0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零。

易错点13导数与极值关系不清致误

错因分析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误就是求出使导函数等于0的

点，而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函

数的极值点。出现这些错误的原因是对导数与极值关系不清。可导函数在一个点处的导函

数值为零只是这个函数在此点处取到极值的必要条件，在此提醒广大考生在使用导数求函

数极值时一定要注意对极值点进行检验。

易错点14惹急基本公式致误

错因分析：等差数列的首项为al、公差为d,则其通项公式an=al+(nT)d,前n项和

公式sn=nal+n(nT)d/2=(al+an)d/2；等比数列的首项为al、公比为q,则其通项公式

an=alpn—1,当公比qWl时，前n项和公式sn=al(l-pn)/(l-q)=(al-anq)/(l-q),当公

比q=l时，前n项和公式sn=nal。在数列的基础性试题中，等差数列、等比数列的这几个

公式是解题的根本，用错了公式，解题就失去了方向。易错点15an,sn关系不清致误

1.函数的奇偶性

(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)；

(2)若f(x)就是奇函数，0在其定义域内，则f(0)=0(可以用作谋参数)；

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)WO)；

(4)若所给函数的解析式较为繁杂，应先化简，再推论其奇偶性；

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相

反的单调性；

2.无机函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定

义域由不等式a〈g(x)Wb解出即可；若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)

的定义域，相当于xG[a,b]时，求g(x)的值域(即f(x)的定义域)；研究函数的

问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)无机函数的单调性由“同增异减至”认定；

3.函数图像(或方程曲线的对称性)

(1)证明函数图像的对称性，即为证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对

称点仍在图像上；

(2)证明图像cl与c2的对称性，即证明cl上任意点关于对称中心(对称轴)的对

称点仍在c2上，反之亦然；

(3)曲线cl:f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的等距曲线c2的方程为f(y-a,

x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0)；

(4)曲线cl:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线c2方程为：f(2a-x,2b-y)

=0；

(5)若函数y=f(x)对xGr时，f(a+x)=f(a-x)恒设立，则y=f(x)图像关于

直线x=a等距；

(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线*=对称;

4.函数的周期性

(1)y=f(x)对xWr时，f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a＞；0)恒

成立，则y=f(x)是周期为2a的周期函数；

(2)若y=f(x)就是偶函数，其图像又关于直线x=a等距，则f(x)就是周期为

虻惹出芷净。数；

(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为❷

虻闹芷冷。数；

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)等距，则f(x)就是周期为2的周期函

数；

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(aWb)对称，则函数y=f(x)是周期为2

的周期函数；

(6)y=f(x)对xer时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=,则y=f(x)就是周

期为2的周期函数；

5.方程k=f(x)有解ked(d为f(x)的值域)；

6.aef(x)恒设立a、[f(x)]max,；aWf(x)恒设立aW[f(x)Jmin；

7.

(1)(a＞；0,aWl,b＞；0,nGr+)；

(2)1ogan=(a＞；0,aWl,b＞；0,bWl)；

(3)1ogab的符号由口诀“同正异负”记忆；

(4)alogan=n(a＞；0,aWl,n＞；0)；

8.推论对应与否为态射时，把握住两点：

(1)a中元素必须都有象且唯一；

(2)b中元素不一定都存有原象，并且a中相同元素在b中可以存有相同的象；

9.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。

10.对于反函数，应当掌控以下一些结论：

(1)定义域上的单调函数必有反函数;

(2)奇函数的反函数也就是奇函数；

(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；

(4)周期函数不存有反函数；

(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性；

(6)y=f(x)与丫=「1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为a,值域为b,则存

有f[f-1(x)]=x(x£b),f—1[f(x)]=x(xGa)。

11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题

用“两看法”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

12.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可以化解谋一类参数的范围问题

13.恒成立问题的处理方法：

(1)拆分参数法；

(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解；

考点一：子集与轻便逻辑

集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的

试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这

些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查

有两种形式：

一就是在选择题和填空题中轻易考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命

题真假的推论、全称命题和特称命题的驳斥等，

二是在解答题中深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。

考点二：函数与导数

函数是高考的重点内容，以选择题和填空题的为载体针对性考查函数的定义域与值域、

函数的性质、函数与方程、基本初等函数(一次和二次函数、指数、对数、嘉函数)的应用

等，分值约为10分，解答题与导数交汇在一起考查函数的性质。导数部分一方面考查导

数的运算与导数的几何意义，另一方面考查导数的简单应用，如求函数的单调区间、极值

与最值等，通常以客观题的形式出现，属于容易题和中档题，三是导数的综合应用，主要

是和函数、不等式、方程等联系在一起以解答题的形式出现，如一些不等式恒成立问题、

参数的取值范围问题、方程根的个数问题、不等式的证明等问题。

考点三：三角函数与平面向量

一般是2道小题，1道综合解答题。小题一道考查平面向量有关概念及运算等，另一

道对三角知识点的补充。大题中如果没有涉及正弦定理、余弦定理的应用，可能就是一道

和解答题相互补充的三角函数的图像、性质或三角恒等变换的题目，也可能是考查平面向

量为主的试题，要注意数形结合思想在解题中的应用。向量重点考查平面向量数量积的概

念及应用，向量与直线、圆锥曲线、数列、不等式、三角函数等结合，解决角度、垂直、

共线等问题是“新热点”题型.

考点四：数列与不等式

不等式主要考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式组和简单线性规划问题、基

本不等式的应用等，通常会在小题中设置1到2道题。对不等式的工具性穿插在数列、解

析几何、函数导数等解答题中进行考查.在选择、填空题中考查等差或等比数列的概念、

性质、通项公式、求和公式等的灵活应用，一道解答题大多凸显以数列知识为工具，综合

运用函数、方程、不等式等解决问题的能力，它们都属于中、高档题目.

考点五：立体几何与空间向量

一是考查空间几何体的结构特征、直观图与三视图;二是考查空间点、线、面之间的

位置关系；三是考查利用空间向量解决立体几何问题：利用空间向量证明线面平行与垂直、

求空间角等（文科不要求）.在高考试卷中，一般有广2个客观题和一个解答题，多为中档

题。

考点六：解析几何

一般有1~2个客观题和1个解答题，其中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的

方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，

解答题则主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等

式交汇，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等。

考点七：算法复数推理小说与证明

高考对算法的考查以选择题或填空题的形式出现，或给解答题披层“外衣”.考查的

热点是流程图的识别与算法语言的阅读理解.算法与数列知识的网络交汇命题是考查的主

流.复数考查的重点是复数的有关概念、复数的代数形式、运算及运算的几何意义，一般

是选择题、填空题，难度不大.推理证明部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立

体几何、解析几何等方面，单独出题的可能性较小。对于理科，数学归纳法可能作为解答

题的一小问.

1、课程内容：

必修课程由5个模块组成：

必修课程1：子集、函数概念与基本初等函数（指、对、基函数）

必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。

必修课程3：算法初步、统计数据、概率。

必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。

必修课程5：求解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容全面覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包含

子集、函数、数列、不等式、求解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。相同的

就是在确保踢不好基础的同时，进一步特别强调了这些科学知识的出现、发展过程和实际

应用领域，而无此技巧与难度上搞过低的建议。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

2、重难点及考点：

重点：函数，数列，三角函数，平面向量，圆锥曲线，立体几何，导数

难点：函数、圆锥曲线

高考相关考点：

⑴子集与轻便逻辑：子集的概念与运算、轻便逻辑、充要条件

⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数

图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用

⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列议和、数列的应用领域

⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、

证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用

⑸平面向量：有关概念与初等运算、座标运算、数量内积及其应用领域

⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、

不等式的应用

⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的边线关系、线性规划、圆、直线与圆的边

线关系

⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、

圆锥曲线的应用

⑼直线、平面、直观几何体：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、

空间向量

⑩排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用

（11）概率与统计数据：概率、原产列于、希望、方差、样本、正态分布

⑫导数：导数的概念、求导、导数的应用

⑬复数：复数的概念与运算

表达式：（a+b）（a-b）=a.2-b-2,两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的

平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式

公式运用

可用于某些分母含有根号的分式：

1/（3-4倍根号2）化简：

IX（3+4倍根号2）/（3-4倍根号2）"2；=（3+4倍根号2）/（9-32）=（3+4倍根

号2）/-23

［解方程］

x~2-y~2=

［思路分析］

利用平方差公式求解

［解题过程］

x*2-y"2=

（x+y）（x-y）=

因为可以分成IX,11X

所以如果x+y=,x-y=l,Champsaurx=,y=

如果x+y=,x-y=l1,x=96,y=85同时也可以是负数

所以第七品x=,y=,或x=,y=-,或乂=-,丫=或*=-,y=-

或x=96,y=85,或x=96,y=-85或x=-96,y=85或x=-96,y=-85

有时应当特别注意以此类推的过程。

圆与圆的位置关系的判断方法

一、设立两个圆的半径为r和r,圆心距为d。

则有以下五种关系：

1、d>r+r两圆外离；两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。

2、d=r+r两圆外切；两圆的圆心距离之和等于两圆的半径之和。

3、d=r一r两圆内乌；两圆的圆心距离之和等同于两圆的半径之差。

4、d<r—rp="两圆内含；两圆的圆心距离之和小于两圆的半径之差。

5、d〈r+rp="两园平行；两圆的圆心距离之和大于两圆的半径之和。

二、圆和圆的位置关系，还可用有无公共点来判断：

1、并无公共点，一圆在另一圆之外叫做外离，在之内叫做附带。

2、有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。

3、存有两个公共点的叫做平行。两圆圆心之间的距离叫作圆心距。

掌握每一个公式定理

搞课本的例题，课本的例题的思路比较简单，其知识点也就是单一不能交叉的，如果

课本上的例题你拎出都会搞了，表明你已经具有了一定的理解力。

做课后练习题，前面的题是和课本例题一个级别的，如果课本上所有的题都会做了，

那么基础夯实可以告一段落。

展开专题训练提升数学成绩

1、做高中数学题的时候千万不能怕难题！有很多人数学分数提不动，很大一部分原

因是他们的畏惧心理。有的人看到圆锥曲线和导数，看到稍微长一点的复杂一点的叙述，

甚至看到21、22就已经开始退却了。这部分的分数，如果你不去努力，永远都不会挣到

的，所以第一个建议，就是大胆的去做。前面亏欠数学这门学科太多，就算让它打肿了又

怎样，后面一点一点的强大起来，总有那么一天你去打它的脸。

2、错题本怎么用。和记笔记一样，整理错题不是抄写不是邵牧君，而是抄录。你只

顾著要自然化问题，就丧失了认知和挑选出题目的过程，笔记同理，如果老师说什么记什

么，那就可以表明你这文言显然没听，真正有效率的人，就是可以把科学知识精简，把书

本念厚的。先学学你能够思索至答案的哪一步，研习着回去偷分。当然，因人而异，如果

你真的除了哪些题须要整理也可以记下来。

3、如何学好高中数学

1)先看看笔记后做作业。有的高中学生深感。老师谈过的，自己已经局外明明白白

了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢？其原因是，学生对教师就是指的内容的认

知，还未能达至教师所建议的层次。因此，每天在做作业之前，一定必须把课本的有关内

容和当天的课堂笔记先看看。若想秉持如此，常常就是不好学生与差学生的最小区别。尤

其练习题不太服务设施时，作业中往往没老师刚刚谈过的题目类型，因此无法对照消化。

如果自己又不特别注意对此全面落实，天长日久，就可以导致很大损失。

2)做题之后加强反思。学生一定要明确，现在正坐着的题，一定不是考试的题目。

而是要运用现在正做着的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思。

总结一下自己的收获。要总结出，这是一道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成

片，问题成串，日久天长，构建起一个内容与方法的科学的网络系统。

3)主动备考总结提升。展开章节总结就是非常关键的。初中时就是教师替学生搞总

结，搞得精细，深刻，完备。高中就是自己给自己搞总结，老师不但不给搞，而且就是谈

至哪，考出哪，不取备考时间，也没明确指出搞总结的时间。

任一x=a,x=b,记做ab

ab,baa=b

ab={x|x=a,且x=b}

ab={x|x=a,或x=b}

card(ab)=card(a)+card(b)—card(ab)

(1)命题

原命题若p则q

逆命题若q则P

否命题若p则q

逆否命题若q,则P

(2)ab,a是b成立的充分条件

ba,a就是b设立的必要条件

ab,a是b成立的充要条件

1、子集元素具备

①确定性；

②互异性；

③无序性

2、子集则表示方法

①列举法；

②叙述法；

③韦恩图；

④数轴法

(3)集合的运算

®aA(bUc)=(aPb)U(a(~lc)

②cu(aCb)=cuaUcub

cu(aUb)=cuadcub

(4)集合的性质

n元子集的字集数：2n

真子集数：2n-l；

非空真子集数：2n-2

第一部分集合

(1)含n个元素的子集的子集数为2%,真子集数为2~n—l；非空真子集的数为

2n—2；

(2)注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。

第二部分函数与导数

1、映射：注意

①第一个子集中的元素必须存有象；

②一对一，或多对一。

2、函数值域的带发修行:

①分析法；

②分体式方法;

③判别式法；

④利用函数单调性；

⑤换元法；

⑥利用均值不等式；

⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距离、绝对值的意义等)；

⑧利用函数有界性；

⑨导数法

3、无机函数的有关问题

(1)复合函数定义域求法：

①若f(x)的定义域为(a,b),则无机函数f[g(x)]的定义域由不等式aWg(x)

Wb求出。

②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于xG[a,b]时，求g

(x)的值域。

(2)无机函数单调性的认定：

①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；

②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；

③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。

特别注意：外函数的定义域就是内函数的值域。

4、分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。

5、函数的奇偶性

(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；

(2)就是奇函数；

(3)是偶函数;

（4）奇函数在原点存有定义，则；

（5）在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调

性；

（6）若所给函数的解析式较为繁杂，应先等价变形，再推论其奇偶性；

三角函数。

特别注意归属于一公式、诱导公式的正确性。

数列题。

1、证明一个数列就是等差（等比）数列时，最后下结论时必须写下上以谁领衔项，

谁为公差（公比）的等差（等比）数列；

2、最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般

考虑用放缩法；如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法（用数学归纳法时，当

n=k+l时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确。利用上假设后，如何把当前的式子转

化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。简洁的方法是，用当前的式子

减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证；

3、证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很直观

立体几何题。

1、证明线面边线关系，通常不须要回去建系，更直观；

2,求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体

积等问题时，要建系；

3、特别注意向量阿芒塔的角的余弦值（范围）与所求角的余弦值（范围）的关系。

概率问题。

1、厘清随机试验涵盖的所有基本事件和所求事件涵盖的基本事件的个数；

2、搞清是什么概率模型，套用哪个公式；

3、记准均值、方差、标准差公式；

4、求概率时,正难则反（根据pl+p2+...+pn=l）；

5、特别注意计数时利用列出、树图等基本方法；

6、注意放回抽样，不放回抽样;

正弦、余弦典型例题。

1、在△abc中，Zc=90°,a=l,c=4,则sina的值为

2、未知a为锐角，且，则a的度数就是()a、30°b、45°c、60°d、90°

3、在△abc中，若，Na,Nb为锐角，则Nc的度数是()a、75°b、90°c、°d、°

4、若Na为锐角，且，则@=()a、15°b、30°c、45°d、60°

5、在△abc中，ab=ac=2,ad±bc,垂足为d,且ad=,e是ac中点，ef_Lbc,垂足

为f,求sinZebf的值。

正弦、余弦解题诀窍。

1、已知两角及一边，或两边及一边的对角(对三角形是否存在要讨论)用正弦定理。

2、未知三边，或两边及其夹角用余弦定理

3、余弦定理对于确定三角形形状非常有用，只需要知道角的余弦值为正，为负，还

是为零，就可以确定是钝角。直角还是锐角。

一、子集有关概念

1.集合的含义

2.子集的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性，

(2)元素的互异性，

(3)元素的无序性，

3.子集的则表示：｛…｝例如：｛我校的篮球队员｝，｛太平洋，大西洋,印度洋，北冰

洋｝

(1)用拉丁字母表示集合：a=｛我校的篮球队员｝,b=｛l,2,3,4,5｝

(2)子集的则表示方法：列出法与叙述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集(即为自然数集)记作：n

正整数集n*或n+整数集z有理数集q实数集r

1)列出法：｛a,b,c...｝

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x?r|x-3>2},{x|x-3>2}

3）语言叙述法：基准：{不是直角三角形的三角形}

4）venn图:

4、子集的分类：

（1）有限集含有有限个元素的集合

（2）无穷集所含无穷个元素的子集

（3）空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5}

二、子集间的基本关系

1.“包含”关系一子集

特别注意：存有两种可能将（Da就是b的一部分，；（2）a与b就是同一子集。

反之：集合a不包含于集合b,或集合b不包含集合a,记作ab或ba

2.“成正比"关系:a=b（525,且5W5,则5=5）

实例：设a={x|x2T=0}b={T,1}“元素相同则两集合相等”

即为：①任何一个子集就是它本身的子集。a?a

②真子集:如果a?b,且a?b那就说集合a是集合b的真子集，记作ab（或ba）

③如果a?b,b?c,那么a?c

④如果a?b同时b?a那么a=b

3.不不含任何元素的子集叫作空集，记为

规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

存有n个元素的子集，所含2n个子集，2n-l个真子集

三、集合的运算

运算类型缴集并集迁调集

定义由所有属于a且属于b的元素所组成的集合,叫做a,b的交集.记作ab（读作

'a交b'）,即ab={x|xa,且xb}.

由所有属子集a或属子集b的元素所共同组成的子集，叫作a,b的补集.记作：a

b（读成'a并b'）,即ab={x|xa,或xb}）.

设s是一个集合，a是s的一个子集，由s中所有不属于a的元素组成的集合，叫做

s中子集a的补集（或余集）

由于空集就是任何非空集合的真子集，因此b=?时也满足用户b?a。求解所含参数的

子集问题时，必须特别注意当参数在某个范围内值域时所给的子集可能将就是空集这种情

况。

忽视集合元素的三性致误

子集中的元素具备确定性、无序性、互异性，子集元素的三性中互异性对解题的影响

最小，特别就是具有字母参数的子集，实际上就暗含着对字母参数的一些建议。

混淆命题的否定与否命题

命题的“驳斥”与命题的“否命题”就是两个相同的概念，命题p的驳斥就是驳斥命

题所作的推论，而“否命题"就是对''若P，则q”形式的命题而言，既必须驳斥条件也

必须驳斥结论。

充分条件、必要条件颠倒致误

对于两个条件a,b,如果a?b设立，则a就是b的充分条件，b就是a的必要条件；

如果b?a设立，则a就是b的必要条件，b就是a的充分条件;如果a?b,贝Ua,b互为充

份必要条件。解题时最难失效的就是倒转了充分性与必要性，所以在化解这类问题时一定

必须根据充分条件和必要条件的概念做出精确的推论。

“或”“且”“非,，理解不准致误

命题pVq真?p真或q真，命题pVq骗人?p假且q骗人（归纳为一真即真）；命题pAq

真?P真且q真，命题pAq骗人?p骗人或q骗人（归纳为一骗人即为骗人）：❷❷p真?p骗

人，。❷P骗人?P真（归纳为一真一假）。谋参数值域范围的题目，也可以把

“或”“且”“非”与子集的“并”“缴”“迁调”对应出来展开认知，通过子集的运算

解。

函数的单调区间理解不准致误

在研究函数问题时必须时时刻刻想起''函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、

找寻解决问题的方法。对于函数的几个相同的单调递减（减至）区间，切勿采用并集，只要

阐明这几个区间就是该函数的单调递减（减至）区间即可。

判断函数奇偶性忽略定义域致误

推论函数的奇偶性，首先必须考量函数的定义域，一个函数具有奇偶性的必要条件就

是这个函数的定义域关于原点等距，如果不具备这个条件，函数一定不为奇非偶函数。

函数零点定理使用不当致误

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图像就是一条已连续的曲线，并且存有

f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，但f(a)f(b)>0时,无法驳斥函

数y=f(x)在(a,b)内有零点。函数的零点存有“变号零点”和“维持不变号零点”，对于

“维持不变号零点”函数的零点定理就是“无能为力”的，在化解函数的零点问题时必须

特别注意这个问题。

三角函数的单调性判断致误

对于函数y=asin(3x+6)的单调性，当3>0时，由于内层函数u=3x+巾就是单调递

减的，所以该函数的单调性和丫=$简x的单调性相同，故可以全然按照函数y=sinx的单

调区间化解;但当3<0时，内层函数U=3X+。就是单调递增的，此时该函数的单调性和

函数y=sinx的单调性恰好相反，就无法再按照函数y=sinx的单调性化解，通常就是根据

三角函数的奇偶性将内层函数的系数变成正数后再加以解决。对于具有绝对值的三角函数

必须根据图像，从直观上展开推论。

忽视零向量致误

零向量就是向量中最特定的向量，规定零向量的长度为0,其方向就是任一的，零向

量与任一向量都共线。它在向量中的边线正像实数中0的边线一样，但存有了它难引发一

些混为一谈，稍微考量没就可以失效，学生应当给与足够多的注重。

向量夹角范围不清致误

解题时必须全面考量问题。数学试题中往往暗含着一些难被学生所忽略的因素，能够

无法在解题时把这些因素考虑到，就是解题顺利的关键，如当a-b<0时，a与b的夹角不

一定为钝角，必须特别注意。=五的情况。

an与sn关系不清致误

在数列问题中，数列的通项an与其前n项和sn之间存有以下关系：an=sl,n=l,

sn-sn-1,n22。这个关系对任一数列都就是设立的，但必须特别注意的就是这个关系式

就是分段的，在n=l和n》2时这个关系式具备全然相同的表现形式，这也就是解题中经

常失效的一个地方，在采用这个关系式时必须牢牢忘记其“分段”的特点。

对数列的定义、性质理解错误

等差数列的前n项和在公差不为零时就是关于n的常数项为零的二次函数;通常地，

存有结论"若数列｛an｝的前n项和sn=an2+bn+c(a,b,cer),则数列｛an｝为等差数列的

充要条件就是c=0”；在等差数列中,sm,s2m-sm,s3nrs2m(mWnx)就是等差数列。

数列中的最值错误

数列问题中其通项公式、前n项和公式都就是关于正整数n的函数，必须擅于从函数

的观点重新认识和认知数列问题。数列的通项an与前n项和sn的关系就是中考的命题重

点，解题时必须特别注意把n=l和n'2分离探讨，再非得无法统一。在关于正整数n的

二次函数中其挑arctan的点要根据正整数距离二次函数的对称轴的远近而的定。

错位相减求和项处理不当致误

错位相乘议和法的适用于条件：数列就是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘

积所共同组成的，谋其前n项和。基本方法就是设立这个和式为sn,在这个和式两端同时

除以等比数列的公比获得另一个和式，这两个和式错一位相乘，就把问题转变为以期一个

等比数列的前n项和或前n-1项和居多的议和问题.这里最难发生问题的就是错位相乘后

对余下项的处置。

不等式性质应用不当致误

在采用不等式的基本性质展开推理小说论证时一定必须精确，特别就是不等式两端同

时除以或同时除以一个数式、两个不等式相加、一个不等式两端同时n次方时，一定必须

特别注意并使其能这样搞的条件，如果忽略了不等式性质设立的前提条件就可以发生错误。

忽视基本不等式应用条件致误

利用基本不等式a+b22ab以及变式abWa+b22等求函数的最值时，务必特别注意a,

b为正数（或a,b非负），ab或a+b其中之一应当就是定值，特别必须特别注意等号设立

的条件。对形似y=ax+bx（a,b〉0）的函数，在应用领域基本不等式求函数最值时，一定必

须特别注意ax,bx的'符号，必要时必须展开分类探讨，另外必须特别注意自变量x的值

域范围，在此范围内等号若想挑至。

一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节

主要就是托福函数和导数，因为这就是整个高中阶段中最核心的部分，这部分里还重

点实地考察两个方面：第一个函数的性质，包含函数的单调性、奇偶性;第二就是函数的

答疑题，重点实地考察的就是二次函数和高次函数，分后函数和它的一些原产问题，但是

这个原产重点还涵盖两个分析。

二、平面向量和三角函数

对于这部分科学知识重点实地考察三个方面：就是划减与表达式，第一，重点掌控公

式和五组基本公式;第二，掌控三角函数的图像和性质，这里重点掌控正弦函数和余弦函

数的性质;第三，正弦定理和余弦定理能解三角形，这方面难度并不小。

三、数列

数列这个板块，重点托福两个方面：一个通项;一个就是议和。

四、空间向量和立体几何

在里面重点实地考察两个方面：一个就是证明；一个就是排序。

五、概率和统计

概率和统计数据主要属数学应用领域问题的范畴，须要掌控几个方面：……等可能将

的概率;……事件;单一制事件和单一制重复事件出现的概率。

六、解析几何

这部分内容说道出来难搞出来容易，须要掌控几类问题，第一类直线和曲线的边线关

系，必须掌控它的通法;第二类动点问题;第三类就是弦短问题;第四类就是等距问题;第五

类重点问题，这类题往往真的存有思路却没一个准确的答案，但须要必须掌控比较不好的

算法，去提升做题的准确度。

七、压轴题

同学们在最后的复习备考中，还必须把重点放到不等式排序的方法中，难度虽然非常

大，但是也切勿在试卷中领空白，平时多搞些压轴题真题，谋求能够解题就解题，能够思

索就思索。

1.数列的定义

按一定次序排序的一列数叫作数列，数列中的每一个数都叫作数列的项.

(D从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而

排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1,2,3,4,5与数列5,4,3,2,

1是不同的数列.

(2)在数列的定义中并没规定数列中的数必须相同，因此，在同一数列中可以发生多

个相同的数字，例如：-1的1次幕，2次幕，3次幕，4次幕，…形成数列：-1,1,-1,

1,….

(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是

一个函数值，也就是相当于f(n),而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的

值，相当于f(n)中的n.

(5)次序对于数列来说就是十分关键的，存有几个相同的数，由于它们的排序次序相

同，形成的数列就不是一个相同的数列，似乎数列与数集存有本质的区别.如：2,3,4,

5,6这5个数按相同的次序排序时，就可以获得相同的数列，而｛2,3,4,5,6｝中元素

不论按怎样的次序排序都就是同一个子集.

2.数列的分类

(1)根据数列的项数多少可以对数列展开分类，分成存有愁数列和无穷数列.在写下数

列时，对于存有愁数列，必须把末项写下，比如数列1,3,5,7,9,2n-l则表示存

有愁数列，如果把数列译成1,3,5,7,9,…或1,3,5,7,9,2nT,…，它就

则表示无穷数列.

(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减

数列、摆动数列、常数列.

3.数列的通项公式

数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规

律通常是用式子f(n)来表示的，

这两个通项公式形式上虽然相同，但则表示同一个数列，正如每个函数关系不都能够

用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能够写下它的通项公式;有的数列虽然有通项

公式，但在形式上，又不一定就是的，仅仅晓得一个数列前面的非常有限项，并无其他表

明，数列就是无法确认的，通项公式更非.如：数列1,2,3,4,

轨迹方程的求解

合乎一定条件的动点所构成的图形，或者说，合乎一定条件的点的全体所共同组成的

子集，叫作满足用户该条件的点的轨迹.

轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹

性(也叫做必要性)；凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必

在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性).

【轨迹方程】就是与几何轨迹对应的代数叙述。

一、求动点的轨迹方程的基本步骤

1.创建适度的坐标系，设立增派点m的座标；

2.写出点m的集合；

3.列举方程=0;

4.化简方程为最简形式；

5.检验。

二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定

义法、相关点法、参数法和交轨法等。

1.意译法：轻易将条件翻译成等式，整理化简后即为得动点的轨迹方程，这种谋轨迹

方程的方法通常叫作意译法。

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