【初中数学】+勾股定理++小结与复习+++课件+沪科版数学八年级下册++

第18章勾股定理义务教育沪科版数学八年级下册小结与复习内容整理勾股定理勾股定理勾股定理的逆定理主要知识回顾一、勾股定理1.如果直角三角形两直角边分别为

a，b，斜边为

c，那么a2

＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.ABCcab在直角三角形中才可以运用2.勾股定理的应用条件3.勾股定理表达式的常见变形：

a2

＝

c2

－

b2，b2

＝

c2

－

a2，

二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长

a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.ABCcab满足

a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.2.勾股数ABCcab复习题A组

4.如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(0，2)，B(4，0)，C(6，4)，求△ABC的周长与面积.

5.立在地上的旗杆，有一根绳子从杆顶垂下，绳碰到地

面后还余3m，把绳的着地端沿地面移动到离杆9m

远的一点，恰好把绳子拉直，问这根旗杆有多高?设旗杆高xm，则绳子长为(x

＋3)m，∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为x2＋92

＝(x

＋3)2解得x

＝12.∴旗杆的高为12m.6.一艘轮船以16nmile/h的速度离开港口向东南方向航

行，另一艘轮船在同时同地以12nmile/h的速度向西

南方向航行.它们离开港口1.5h后相距多远?如图，由已知得，OB＝16×1.5＝24(海里)，OA

＝12×1.5＝18(海里)，在△OAB中，

7.关于勾股定理，数学史上还有一段佳话：美国第20

届总统加菲尔德于1876年公开发表了一个简明证法.

他利用两个全等直角三角形构造了一个如图所示的图

形来得出证明.你能写出这个证明吗?

略复习题B组1.(1)已知：△ABC的三个角度数的比∠A∶∠B∶∠C

＝

1∶2∶3，AB

＝c，BC

＝a，AC

＝b.

求证∶b2

＝3a2.设∠A、∠B、∠C分别为x、2x、3x，由三角形内角和定理得，x＋2x＋3x

＝180°，解得，x

＝30°，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°.∴c

＝2a，由勾股定理得，a2＋b2

＝c2，∴a2

＋b2

＝4a2∴b2

＝3a2(2)已知：△ABC的三个角度数的比∠A∶∠B∶∠C

＝

1∶1∶2，AB

＝c，BC

＝a，AC

＝b.

求证∶c2

＝

2a2.设∠A、∠B、∠C分别为x、x、2x，由三角形内角和定理得，x＋x＋2x

＝180°，解得，x

＝45°，∵∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°，∴a

＝b，由勾股定理得，a2＋b2＝c2。∴c2

＝2a2.2.如图，将AB

＝10cm，AD

＝8cm的长方形纸片ABCD，

沿过顶点A

的直线AP为折痕折叠时，顶点B

与边CD

上的点Q

重

合，试分别求出DQ，PQ

的长.

∵DQ＝6，∴CQ＝DC－DQ＝4，设PQ＝x，则PB＝PQ＝x，∴CP＝BC－BP＝8－x，∴x2＝42＋(8－x)2解得：x＝5.∴线段PQ的长度是5.3.利用勾股定理讨论以下问题：(S1，S2，分别表示直角

三角形中直角边上的图形的面积，S3表示斜边上的图

形的面积)(1)以直角三角形的三边为边分别向形外作等边三角

形，则S1＋S2与S3是什么关系?

在Rt△ABC中，∠ACB

＝90°.∴AC2

＋

BC2

＝

AB2，∴S1

＋S2

＝S3.(2)以直角三角形的三边为直径分别向形外作半圆，则S1

＋S2与S3是什么关系?

(3)做过上面的两小题后，你有什么发现?由(1)、(2)可知，以直角三角形的两直角边所作的等边三角形的面积和等于以斜边为边所作等边三角形的面积；以直角三角形的两直角边为直径所作的半圆的面积和等于以斜边为直径所作半圆的面积.4.△ABC中，∠C

＝90°，AB

＝c，BC

＝a，AC＝b.

证明：当a，b，c为勾股数时ka，kb，kc(k

为正整数)

也是勾股数.∵△ABC中，∠CAB

＝90°，AB

＝c，BO

＝a，AC

＝b.∴a2＋b2

＝c2，∴(ka)2

＋(kb)2

＝k2a2

＋k2b2

＝k(a2＋b2)＝k2c2

＝(kc)2.∴ka，kb，kc也是勾股数.5.如果m，n是任意给定的正整数(m＞n)，证明：m2＋n2，2mn，m2－n2是勾股数(又称毕达哥拉斯数).∵(m2－n2)＋(2mn)2＝m4

－2m2n2＋n4

＋4m2n2＝m4＋n4＋2m2n2＝(m2＋n2)2∴m2＋n2，2mn，m2－n2是勾股数6.如图，点P是等边三角形ABC

内的一

点，且PA

＝6，

PB

＝8，PC＝10.

若将△PAC

绕点A逆时针旋转后得到

△P′AB，求PP′的长和∠APB的度数.∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴∠PAP′

＝60°，P′A＝

PA＝6，∴△APP′是等边三角形∴PP′＝

PA＝6.∵△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，∴P′B＝PC

＝10，∵△APP′是等边三角形，∴∠APP′＝60°，∵PB2

＋PP′2

＝82＋62

＝100，

P′B2＝102＝100，∴PB2

＋

PP′2

＝

P′B2，∴△P′PB是直角三角形，

∠BPP′＝90°.∴∠APB＝

∠APP′

＋

∠BPP′

＝60°＋90°＝150°7.在行距、列距都是1的n×n

方格网中，连接任意两

个格点，若把得到的长度相同的线段看作一类，则(1)当n

＝1，2，3，4时，在下表中分别写出不同长度线段的种类和种类数.n的值1234方格网图不同长度线段的种类不同长度线段的种类数Sn的值1234方格网图不同长度线段的种类不同长度线段的种类数S1×12×23×34×4

22＋3

2＋3＋42＋3＋4＋5(2)根据表格内容，猜想S与n

的关系；

(3)当n

＝5时，验证你猜想的结论是否成立.5×5

复习题C组1.在下列表格中，已知△ABC

的三边长分别为a，b，c.(1)计算并填写下表：边长/cm三边间关系abca2b2c2a2＋b2a2＋b2与c2(用=，>或<)①45716254641a2＋b2＜c2②6810③6912④567⑤51213⑥4810⑦569边长/cm三边间关系abca2b2c2a2＋b2a2＋b2与c2(用=，>或<)①45716254641a2＋b2＜c2②6810③6912④567⑤51213⑥4810⑦5693664100100a2＋b2＝c23681144117a2＋b2＜c225364961a2＋b2＞c225144169169a2＋b2＝c2166410080a2＋b2＜c225368161a2＋b2＜c2(2)用尺规作出上面各个三角形，观察图形，看看三角形中最长边所对的角是锐角、直角还是钝角，对照上表最后一列关系，你能发现什么规律?边角关系最长边最长边所对的角7钝角10直角12钝角7锐角13直角10钝角9钝角发现的规律：最大边的平方大于另两边的平方和时，最大边所对的角是钝角；最大边的平方等于另两边的平方和时，最大边所对的角是直角；最大边的平方小于另两边的平方和时，最大边所对的角是锐角.2.如图.图中曲线是地形图中等高线(同一条曲线上点的海

拔是一样的)，如果线段AB

在图中被量得的长是2.5cm，

那么两个地点A，B间的水平距离和实际直线距离各约

多少米?(图中表示等高线数

据的单位为m)

∴x

＝12500，∵在直角三角形AOB中，AO

＝800，

AB

＝12500.∴OB2

＝AB2

－AO2.OB

≈12474(m)答：两个地点A，B间的水平距离和实际直线距离分别为12474m和12500m3.如图，有两艘船在海上航行，测得两船的位置分别为P(30，50)，Q(105，150).求两船之间的距离.

4.在平面直角坐标系中，下列两点关于直线y