高中数学讲义微53 求数列的通项公式

微专题53求数列的通项公式

一、基础知识一一求通项公式的方法

1、累加(累乘法)

(1)累加法：如果递推公式形式为：4川一4=/(〃)，则可利用累加法求通项公式

①等号右边为关于〃的表达式，且能够进行求和

②a,』,。,,的系数相同，且为作差的形式

例：数列｛叫满足：q=l,且1+]-%=2"+1,求见

解：%+|-%=2"+1

4-aa=2"T+l

a2-a,=2'+1

累加可得：a„-a,=2+22+---+2n-'+(n-l)

二----------F〃-1=2"+〃-3

2-1

dfl—2〃+〃—2

(2)累乘法：如果递推公式形式为：也=/(")，则可利用累加法求通项公式

%

例：已知数列｛4｝满足:q=1,且+，求

解：〃。m=(〃+1”“=也=辿

a”〃

.4%a_nn-\2

...............2=..............

%an-2a\〃T"21

an

=>—=nan==〃

2、构造辅助数列：通过对递推公式进行变形，变形为相邻项同构的特点，进而将相同的结构

视为一个整体，即构造出辅助数列。通过求出辅助数列的通项公式，便可算出原数列的通项

公式

(1)形如。"=/根,1+4(〃。1，4。0)的形式：通常可构造出等比数列，进而求出通项公式。

例：数列｛《,｝中，4=1,a“=3a,i+2,求数列｛%｝的通项公式

思路：观察到凡与。,一有近似3倍的关系，所以考虑向等比数列方向构造，通过对/与％_1

分别加上同一个常数X,使之具备等比关系，考虑利用待定系数法求出X

解:设4+2=3(*+2)即an=3%+22

对比a“=3a,-+2,可得2=1

・“”+1=3(%+1)

.•.｛4+1｝是公比为3的等比数列

.•.a“+l=(q+l>3"T:.4=2-3"T-1

(2)形如a“=pa.i+q",此类问题可先处理q",两边同时除以q",得a=〃4+1,

qq

进而构造成"="・餐+1,设仇=&,从而变成/=£■/“i+i,从而将问题转化为第

q"qqiqnq

(1)个问题

例：在数列｛4｝中,q=l,a„=3a„_1+2-3"

n

解：a„=3an.,+2-3

当争+2

4

是公差为2的等差数列

3"

：.—=^-+(n-\Y2=2n-—

3"3'V'3

2n-|j-3,1

小结：对于以上两个问题，还有一个通用的方法：对于形如a'=pa,1+/(〃)(其中/(〃)为

关于〃的表达式），可两边同时除以P",2=冬+/®。设力=2,即

pnpp"pn

2-勿1=/皿，进而只要上⑷可进行求和，便可用累加的方法求出或，进而求出女。

p"pn

以（i）中的例题为例：

,/a=3a“।+2+2.

n""T3"3"-'⑶

设"=号，则

••也-或_产2俱

]_

1-

3

J.一仕丫色

:也

3\3)33\3>

=>?=23"—1

（3）形如：qa,i-pa”=a“a,r,可以考虑两边同时除以1，转化为幺-一2=1的形

anan-\

式，进而可设递推公式变为4勿-〃么1=1,转变为上面的类型求解

例：已知在数列｛an｝中，/H0,%=2,且an+i-an=2an+xan

解：«n+i-%=2«„+1«„-------=-2

%+ia,,

anan-\an-\2。2

/.累加可得：-------=—2(n—1)

%4

1cc1cc15c

—=2-2〃H——2—2〃H———2〃

anq22

12

----2rl

2

(4)形如p%+2—(〃+4)4用+44,=4，即中间项的系数与两边项的系数和互为相反数，

则可根据两边项的系数对中间项进行拆分，构造为：P(a“+2—。”+1)一纸氏+1—%)=左的形

式，将“=%+1-4,进而可转化为上面所述类型进行求解

例：已知数列｛a“｝中，％=1,。2=3,且a”？-2a“+|+a“=4,求a“

解：4+2一为用+4,=4n(4+2一为+J一(4,+i一%)=4

设b“=a,+i-%,则2+1-d=4,且仇=々一％=2

.・・｛〃｝为公差是4的等差数列

伪,=4+(〃-1)-4=4/2-2

•.•4+「％=4〃―2

4一%=4(〃-1)-2

a2-aA=4x1-2

cin-ciy=4[l+2+.・・+(〃-1)]-2(〃-1)

vJ2

=4-2-2(n-l)=2n-4n+2

2

an=2n-4〃+3

4、题目中出现关于S〃,。〃的等式：一方面可通过特殊值法（令〃=1）求出首项，另一方面

可考虑将等式转化为纯S,或纯a”的递推式，然后再求出a„的通项公式。

例：已知数列｛凡｝各项均为正数，5“二%（竽求凡

解：s.二生用百,「吟上D

两式相减，可得：S._S.I=:（3+1）_%（?T+1）（“eN*,〃22）

4+%=（4+）（%一%）

•.•a〃>0an-an_｛=\

.・.｛a“｝是公差为1的等差数列

在S%（%+1）中,令〃=i,可得s=4（4+l）na=1

"22

/.an=4+（“-1）4=n

5、构造相减：当所给递推公式无法直接进行变形，则可考虑根据递推公式的形式再构造出下

一组相邻项的递推公式，通过两式相减可构造出新的递推公式，再尝试解决。尤其是处理递

推公式一侧有求和特征的问题，这种做法可构造出更为简单的递推公式。（详见例5,例8）

以上面的一个例子为例：数列｛4｝中，q=l,an=3a„_,+2,求数列｛4｝的通项公式

解：；a“=3a"T+2①

J=3a“+2②

②—①可得：

4+1一4=3(4一。,1)

，包山-a“}是公比为3的等比数列%=3%+2=5

/.a2-a}=4

/.an+l-an=(a2—«1)-3〃-=4・3〃一,

=4-3n-2

a2-a\=4-3°

/、3〃T_i

累加后可得：a„-a,=4(l+3+---+3"-2)=4---------=2-3n-'-2

3—1

a„=2-3"i-1

6、先通过数列前几项找到数列特点，从而猜出通项公式，再利用数学归纳法证明(详见数学

归纳法)

例1：在数列｛怎｝中，a,=l,a„=——a,i+2〃x3”-2(〃eN,〃N2),求数列也｝的通项

公式％

思路：观察递推公式中(」一1•〃的特点，两边同时除以〃可得%=」一4।+2X3"2,

1)nn-\

进而可将％•视为一个整体，利用累加法即可得到生的表达式，从而求出

nn

yi

解：a=-----a_+2nx3n"2

nn-1nx

+2x3"-2即幺—也=2x3”2

nn-1nn-1

则有4■一乌a=2x3""

nn—\

1_。"-2_2x3〃-3

n-1〃一2

a2ay_2

T-T-

累加可得：%一q=2(1+3+…+3"-2)=鼻彳」

即％=4+3"T_]=3"T

n

...4=〃•3"T

?v2

例2：已知在数列｛a“｝中，q=l,a“=±J,则｛凡｝的通项公式为

2s,一1

思路：在本题中很难直接消去S,，所以考虑/用S“-S“T进行表示，求出S.之后再解出4

解：•.•当"N2,〃eN*时，an=S„-S„_,

S._S,I=著yn2S；-S„-2S„Sn_,+5,一=25：,整理可得:

八〃一1

S.「S“=2S,£r

v£=2I”-为公差为2的等差数列

111

—=--------F(«-1)-2=2«-1S,,

Sns12〃一1

11

,n>2

2〃—12〃—3

l,n=1

点评：在S”％同时存在的等式中,

例3:数列｛《,｝满足4=0,all+l+an=2〃，则%)15

思路：只从所给递推公式很难进行变形,所以考虑再构造一个递推公式并寻找关系：即

+4i=22,力wN*),两式相减可得：an+x-an_x=2,(«>2,HG,从而

可得在｛4｝中，奇数项和偶数项分别可构成公差为2的等差数列，所以

。到5=%+1007t/=2014

答案：2014

33〃4T

例4：己知数列｛%｝满足：4=],且％2,〃eN*),则数列｛a,,｝的通

2an—.\+n-1

项公式为

思路：观察到递推公式的分子只有,所以考虑两边同取倒数，再进行变形：

3〃—12a“t+〃T2n-1M2M1

=>—---------1------------------=>------=--------1---------------,从而找到同构特

2a„_,+/1-1an3413n3〃%a„33a„.,

n

点，并设为辅助数列：b“=一,求出｛/?“｝通项公式后即可解出

1,2,,lz,_1-1)｛d—1｝为公比是』的等比数列

,、(1V-1即”制

2T=(a-1),§J

n九・3"

旦旦+王++盘=％求

例5：已知数列｛4｝为正项数列，

q+2出+2+2

即4sl4S,4S.

解：++---F-S”①

4+2+2ct/｛+/

■+£+...+£’2=S"-i(n>2,n^N)②

q+2%+2。〃一1+

①一②可得：

4s

—^=4n4S“=a；9+2a.,n>2

为+2

4s\"En4S]=q(q+2)③，满足上式

在已知等式中令〃=1,可得：

4S“=a；,+2an④

4S,_|=<,+2a“_1⑤

-a

两式相减可得：4an=a-+2anLi~2%.1

=2(%+%)=«,"-<i,成_<i=(4,+«„-|)

n-\2

「•｛4｝为公差是2的等差数列，由③可解得：q=2

:.=a]+(〃-l)d=2n

例6：已知数列｛4｝的各项均为正数，且求见

1(1、

思路：所给为S〃,。〃的关系，先会想到转为。〃递推公式，S〃_]=—an_｛+--(/2>2),两

21an-\J

式相减可得：2an=an+—-an_x———=>+an_x=-----,很难再往下进行。从而

4%anan-\

考虑化为S”的递推式：时，S“=Us“—S“1+—'—从而应｝

n，“。“n—iC1C*〃n—\'in\

，I3”-3〃-"

为公差是1的等差数列，可求出S“，进而求出a.

11

当有T

“22,nS“。=_nS._n—Si“Q+---Q------

2S=S„-S.+—1—nS.+S,1

n/ni—ic*c*〃i

□一

nd〃一1.S“—S,T

・••S：—S3=l，｛s；｝为公差是1的等差数列

I(]、

，S：=S：+(〃—l)在S“=Jan+一中，

2kan)

if11

令〃=1可得：S=—q+—可解得q=1

21a\)

1.S；=n/.Sn=y[n

S—S_1,n>2y/n>2

a=<nn=>a=<

n[S^n=ln=]

小炼有话说：在处理S〃,a〃的式子时，两种处理方向如果一个没有进展，则立刻尝试另一个方

向。本题虽然表面来看消去S〃方便，但通过运算发现递推公式无法再进行处理。所以立刻调

转方向，去得到S〃的式子，迂回一下再求出耳

例7：已知数列｛4｝满足(fl„+1-1)(%—1)=3(%—an+l),a]=2,求｛a,,｝的通项公式

解：(4+iT)3〃T)=3[(。.T)-(％T)]

.T)=1=>_J________\__=1

一1>(。“+1-1)3an+l-1a„-l3

1.­—1―是公差为1的等差数列

4“一113

i3几+5

-an-i=—7：=>an=—7：

〃+2〃+2

例8：设数列｛4｝中，a,=2,an+l=——^,bn=^—^,neN\则数列出｝的通项公式为

壮=-----

思路：题目中所给的是的递推公式，若要求得为，则考虑以。“作为桥梁得到关于｛2｝的

aa+i+22

递推b“+i代入a,-1可得

a”+iT4+1

_2%+4

=2=22，所以可得｛4｝为等比数列，且

q+22"+i

仿==4,从而可得：b,=b\-2'j

q—1

n+,

答案:bn=2

例9：在数列｛%｝中，/=1,.+"4〃=与Ll〃+]("£N*),求数列｛〃〃｝的

%+2a2+3%+

通项4“

解：4+2a,+3a3+....+na„=~~~a«+i(neN,)

1

4+2/+3<Zj++(»-)«n-i=-a„(n>T)

n

na〃+1(C-

n=—r-an+i--an[n>2,neN*)

3〃〃+14+13n

?见=<4用=3

22ann+\

anan-\“3_3〃-2/i-ln-22

an-\〃202nn-\3

%=3〃-2.2

a?=6Z1—1

凡n

2・3'T

〃22,〃wN*)

2-3"-2c

--------,n>2

n

1,n=1

例10：设数列｛qj满足：q=l,%=2,且对于其中任意三个连续的项4T，a〃Me，都有:

,〃+1）矶,求｛«,｝通项公式

思路：由已知条件可得：2〃a〃=（〃一l）a“_]+（〃+1）4什],观察发现的系数和与。〃

相等，所以可将〃拆为（〃一1）%和+从而与配对，将原递