2020-2021学年新题速递高二数学07 数列（填空题）（12月）（理）（解析版）

专题07数列（填空题）

一、填空题

1.4与9的等比中项为.

【试题来源】湖北省宜昌市秫归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】±6

【解析】由题得4与9的等比中项为±"万=±6.

1,1

2.已知"京五'b=则a、b的等差中项是

【试题来源】内蒙古集宁一中（西校区）2020-2021学年高二上学期期中考试（文）

【答案】百

【解析】ia=忑1-^=百一0,〃=耳=6+四,百.

3.在等比数列｛%｝中，已知4/8=10,则/兀/的值为.

【试题来源】江苏省苏州市相城区陆慕高级中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】100

3

［解析】由题可得a5.%=（%『.（％.%）=（%）2•（4）2=（%.4）2=（4.4）2=100•

4.等差数列｛4｝的前〃项和为s“，若/+<7=10,则S|9=.

【试题来源】宁夏大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）

【答案】95

【分析】根据等差中项以及S2,i=（2〃—l）a“，即可容易求得结果.

【解析】因为数列｛q｝是等差数列，又4+%7=1°，故可得2aI0=10,

解得《0=5：由S2”_1=（2〃一l）a“，得S|9=194（）=19x5=95.

5.在等差数列｛小｝中，a\=\,02+06=10,则07=.

【试题来源】黑龙江省肇东市第四中学校2021届高三上学期期中考试（文）

【答案】9

【解析】设等差数列｛。〃｝的公差为止因为在等差数列仅“｝中，0=1,。2+。6=10,

〃=1,%=L

所以《.1；J1八解得《，4，所以47=ai+6d=l+8=9.

q+d+%+5d=10,d=一,

3

6.已知递增等差数列｛〃〃｝满足：%+%=12,4%=2。，则/=

【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】8

【解析】因为数列｛%｝是递增等差数列，所以4+%=42+包=12,

%+%=12

4=2

所以1%・%=20,解得<所以数歹^｝的公差仁三二2,

cz5=10

4<a5

所以4=%=8.

，、2，

7.数列｛%｝中，4=1,。“+1=丁+1,则％=-

【试题来源】贵州省六盘水市第一中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】|

22225

［解析］因为q=l,%+i=一+1，所以4=—+1=2+1=3,%=—+1=-+1=-.

anqa233

8.已知数列｛%｝的前〃项和S“=〃2,则数列｛4｝的通项公式a,=.

【试题来源】北京市铁路第二中学2021届高三上学期期中考试

【答案】2«-1

2

【解析】当〃=1时，q=5|=l,当时，an=Sll-Sn_l=n-(//-l)'=2n-l,

经检验q=1满足勺=2〃-1,所以卬=2〃-l.

【名师点睛】已知S.求册的一般步骤：

(1)当〃=1时，由q=S1,求q的值；

(2)当2时，an=Sn-S„_,,求得an的表达式;

(3)检验6的值是否满足(2)中。“的表达式，若不满足则分段表示％,

（4）写出。“的完整的表达式.

9.已知等差数列｛凡｝的前〃项和为S“，且4+4=3,则$9=.

【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）

27

【答案】—

2

【解析】因为等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且4+4=3,

3

由等差数列的性质可得，4+4=2%=3,所以%=/,

因此邑=9（4；%）=9%=£.

10.数列｛4“｝的前〃项和S,,=-8/7,则该数列的通项公式为.

【试题来源】甘肃省庆阳市宁县第二中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】an=2n-9

［解析】由题可得an=S„-S,-="—8“——I）?+8（〃—1）=2“—9（“22）,

又4=5=1-8=-7也满足上式，所以a“=2〃-9.

11.已知数列｛4｝满足a,*+。“=a.+i（〃eN*）,且q=1,出=2,则。2。18=.

【试题来源】吉林省辽源市第五中学2019-2020学年高一下学期期末考试（理）

【答案】2

【分析】由。“+2+。“=怎+i（"eN*）,且6=1,生=2，依次求出%，。4，％，。6，%，。8，从

而可得数列｛q｝是周期为6的数列，进而可求得结果

【解析】因为4+2+4,=a“+i（〃eN*）,所以%+2=a“+i-%，因为q=1，%=2,

以—=2—1=1,=“3—。2=12=—1，=“4—=11=—2>

&=%-=_2一（_1）——］,々7=4一〃5=一［一（一2）—1>=Q?-%=1-（—1）=2,

所以数列｛«„）是周期为6的数列，所以%）18=436x6+2=4=2.

12.已知数列｛q｝的前〃项和-则%=.

【试题来源】福建省福州市八县（市）一中2021届高三上学期期中联考

—3,72=1

【答案】

2九一4,n>2

【解析】当〃=1时，q=5=1-3—1=—3,

22

当时，«„=5„-S„_l=n-3n-l-［(n-l)-3(n-l)-l］=2n-4,

—3,n=l

当〃=1时，2—4=-2。。］,所以.

［2/1-4,n>2

13.在数列｛%｝中，4=2,%+i=2alt+1,则a5为.

【试题来源】内蒙古化德一中2020-2021学年高三上学期期中考试(文)

【答案】47

［解析］由。］=2,an+｝=2an+1,得。？=26+1=5,a3=2a2+1=11,

%—2a3+1=23,a5-2a4+1=47.

14.设S“为数列仅〃｝的前〃项和，若25〃=5。〃-7,则为=.

【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研

75

【答案】§•(1)

【解析】由题意，数列｛%｝满足2S,,=5。“一7,当〃22时，可得2S,i=5%-7,

两式相减，可得2s“-2S,i=5。“-7-(5%_1-7),g|J2an=5an-5an_x,

a57

即口•=W(〃N2),当〃=1时，可得2E=5q—7,即2q=54-7,解得&=一，

«„-i33

75

所以数列｛4｝表示首项为q=-,公比为4=§的等比数列，

75

所以数列｛%｝的通项公式为%

1,几=1/\

15.已知数列｛叫满足4=+3)42”N*'定义使4。以.(丘N)

为整数的k叫做“幸福数”，则区间［1,2020］内所有“幸福数”的和为.

【试题来源】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高二上学期期中

【答案】1349

【分析】利用换底公式可得log4(&+3)=肛meZ,求出&=4"'一3,结合［1,2020］可得

2<m<5,再利用等比数列的前〃项和即可求解.

【解析】当人=1时，4=1为幸福数，符合题意；

当出之2时,a｝a2a3---ak=log45-log56..logy(k+3)=log.女+3)

令log4(k+3)=/n,/neZ，则在+3=4'",;M=4"'-3.

由2W左=4m-3<20205<4m<2023,，2<m<5.

故“幸福数”的和为1+(42-3)+⑷—3)+(44-3)+(45-3)

=(4-3)+(42-3)+(43-3)+(44-3)+(45-3)

=止*5=空、15=1349.

1-44-1

16.在正项等比数列｛%｝中，若。6,3%，%依次成等差数列，贝可可｝的公比为.

【试题来源】江苏省镇江市四校2020-2021学年高三上学期第一次联考

【答案】2

【解析】正项等比数列｛4｝的公比设为4,4>0，%，3a5，%依次成等差数列，可得

6a5=4+%，即有6aM"=+4/,化为q2+g_6=o,解得4=2(-3舍去)，

则｛4｝的公比为2.

2

17.已知数列｛“”｝中，a\—2,且一^包=4(a”+i—a")(〃GN*),则其前9项和S9=.

%

【试题来源】吉林省乾安县第七中学2020-2021学年高二上学期第二次质量检测(理)

【答案】1022

【解析】由题意可知a*=4%(。”+］一%),即4：1-4a,"“+|+4a：=0,

整理得用—24y=0,则%1"=2,.•.数列｛斯｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

q,(l-^)_2(l-29)

则其前9项和S91022.

"q1-2

18.己知S“为等比数列｛4“｝的前n项和，且$3=8,§6=7,贝!]%+。5+…+%=

【试题来源】安徽省蚌埠市第三中学2019-2020学年高一下学期5月月考

7

【答案】一g

【解析】根据由题意知S6-S3,Sg-S6成等比数列,

即8,7-8,S9-7成等比数列,所以(-1)2=8(09-7),解得59=71.

8

17

所以％+〃5+・一+々9=Sg—S3=7—8=—.

88

19.已知等比数列｛%｝单调递增，若0+44=7,42+43=6,则0+42=.

【试题来源】江苏省苏州市吴中区2020-2021学年高二上学期期中

【答案】4

6(1+/)=7

【解析】设等比数列｛4｝的公比为＞1,由题意,

qq(l+q)=6

4。+4)二q=6

两式相除得(l+q)[-q+q2)\-q+q-7

40+7)

q26

解得4=5或q=§(舍去)，所以4+生=q(i+q)=/=4.

20.数列｛«„｝的前"项和为s"，首项q=2,若S,,=4向—2（〃eN*）,则％侬=

【试题来源】广东省汕头市澄海中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】22020

【解析】数列｛4｝的前〃项和为S“，首项q=2,若S“=a“+|—2,①,

当比.2时，S,i=4—2②，①一②得a"=S“一S,i=a“+1—a“，

整理哪=2

（常数），所以数列｛4｝是以2为首项，2为公比的等比数歹

所以a,=q.2"T=2",（首项符合通项）.所以%=2",则丹四=Z?。”.

21.已知等比数列｛。“｝的前〃项和5“=”+'2",且。2,9,%成等差数列，则。一匕的值为

【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期二调

【答案】-2

【解析】因为等比数列｛%｝的前〃项和5“=a+62”，

当“22时；%=S“一S,i=（a+6・2"）-（a+b-2"T）=b-2"T；

a

当〃=1时，aA=S,=a+2h=b-2,所以a+0=0①，

乂。2,9,七成等差数列，所以。2+%=18,即力+21。=18②，

由①②解得q=-11=1，所以。一匕=一2.

22.己知等比数列｛%｝的前〃项和5“=4.+。，则实数。=.

【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理）

【答案】-4

【分析】根据题意，由等比数列｛%｝的前〃项和S“求出数列的前三项，由等比中项的性质

可得（16+0）x192=（48）2,解可得a的值,即可得答案.

【解析】根据题意，等比数列｛4｝的前〃项和S“=4用+a,则4=&=42+a=16+a,

4=S2—Sl=（64+«）-（16+a）=48,6=S3-S2=（256+a）-（64+a）=192,

则有（16+a）x192=（48）2,解得“=7

23.已知等比数列｛a“）的前〃项和为S”，ai=2,S4-S2=24,则的=.

【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题（文）

【答案】64

【解析】设公比为夕,因为4=2,5-2=24,所以生+%=24=4/+4/，

所以4+才一12=0,变形得（q-2乂q2+3g+6）=0,易知才+34+6>0恒成立,

所以q=2,所以4=445=26=64.

24.已知数列｛凡｝是等差数列，S“是其前〃项和.若％%+/=0，$9=27,则S“的最

小值是.

【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2020-2021学年高二上学期期中考试

【答案】-9

【解析】设等差数列｛%｝的公差为d，由$9=9（4；佝）=9%=27,得%=3,

a,+4d=3[a,=­5

所以。2〃5+〃8=。可化为3。2+6=0，所以八rzz解得《，一，

3（q+a）+a｝+/a=0[a=2

所以S“=—5〃+3（Dx2=〃2—6〃=（〃-3）2—9,所以当〃=3时，s.取得最小值-9.

25.位于宁夏青铜峡市的108塔建于西夏时期，塔的排列顺序自上而下，第一层1座，第二

层3座，第三层3座，第四层5座，第五层5座，从第五层开始塔的数目构成一个首项为5,

公差为2的等差数列，则该塔共有_________层.

【试题来源】宁夏大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中考试（理）

【答案】12

【解析】已知从第五层开始塔的数目构成一个首项为5,公差为2的等差数列，

将第五层有的塔的数目设为《，设从第五层开始自上而下，每一层的塔的数目为4,〃wN*，

则〃〃=q+（九一1）。=5+2（〃-1）=2〃+3，设前几项和为Sn,

Sn=nat+〃（；D4=5〃+〃（〃-1）=〃2+4〃，前四层共有塔的数目为1+3+3+5=12

（座），108—12=96（座），令5”=96,即〃？+4〃=96乂〃eN*,解得"=8,

所以该塔共有8+4=12（层）.

26.在等差数列｛%｝中，4=-8,其前〃项和为S,,,若｝一,=2,则So的值为

【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考

【答案】10

【解析】设等差数列｛4｝的公差为d，

4x3（2x1、

因为S4-2SZ=8,所以40,+三一d—22q+；-t/=8,解得d=2，

inxg

即80+90=10.

27.已知数列｛4｝的前"项和S,=/+〃一1,则数列｛4｝通项公式为

【试题来源】江西省赣州市十五县(市)十六校2021届高三上学期期中联考(文)

二1

【答案】巴二

2n,n>2

【解析】由Sa="+〃一1,得当〃=1时，0=Si=l；

当/?>2时，4=Sl｝S,—=〃-+H—1—[(〃-1)~+(〃-1)—1]=2n,

1,72=1

验：当〃=1时，0=1W2,不符合上式.所以数列的通项公式为。〃=《八7

2n,n>2

28.设数列｛%｝的前〃项和为S„，且a“=2〃—1,则数列｛｝｝的前20项和为.

【试题来源】广东省茂名市五校联盟2021届高三上学期第一次联考

【答案】210

【分析】先根据等差数列前〃项和公式得S“=〃2,进而得'=〃，再根据等差数列前〃项

n

和公式即可得答案.

【解析】因为数列｛%｝满足4=2〃-1,所以数列｛4｝是等差数列，

所以s'=^isL〃(i+2〃—1)=/所以之=〃，

"22〃

所以数列｛9｝的前20项和为心=迎詈2=210.

已知｛疯｝的前n项和S.=n2,数列1的前5项和£=

29.

八一1

【试题来源】广西南宁市第十中学2020-2021学年高二上学期段考

【答案】3

24

22

【解析】当“22时，^,=Sn-S,,.,=n-(n-1)=2«-1,

当〃=1时，8=51=1满足上式，故疯=2〃一1,所以为=(2〃-1)2,

11

4+1T4〃(〃+1)4n〃+154223564624

2

30.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，%=5,$5=15,则数歹人下的前2020项

和为.

【试题来源】福建省莆田第二十五中学2020-2021学年高二上学期期中考试

4040

【答案】

2021

q+4d=5

4=1

【解析】由题意，设等差数列｛斯｝的公差为止则〈U5x4«，解得，

5。1+-y-JJ=15d=l

所以数列｛&｝的通项公式为小=1+（n-1）xl=n,〃£N*.

22112

所以----~--7-7=2(---—).设数列〈，的前”项和为Tn,

4%+nn+\

2—•+2222

则Tn=----+--------=--------h------+・.，+

%%1x22x3H(H+1)

111112〃

=：2(1-----F------+•••-!-------------)：=2(1--------)

223nn+\〃+1〃+1

,4040

所CC1以72O2O=-------.

2021

己知等差数列｛%｝的前〃项和为若$6=

31.S”,Sg=18,42,则S32

【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）

【答案】108

【分析】由等差数列片段和的性质可求得S32的值.

【解析】由题意，58、sl6-ss.s24rl6、832-824成等差数列，

・所以，等差数列既、邑？—的公差为，

•.58=18,S|6-S8=24,516-S8,524-5I6,S?’6

S24-S|6=

则24+6=30,S32-524=30+6=36,

因此，S3,=(§32—S24)+一工6)+(，6—Sg)+工=36+30+24+18=108.

故答案为108.

32.己知等差数列｛q｝的前”项和为S“，若5=5,则去=

a\34

【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）

【答案】9

【解析】等差数列｛4｝中，—=5,即4+2—=5,所以”=2q,S12=12q+66d,

12。]+66d6q+33d6a,4-33x2a.

$4=44+61,所以游=—^――=------=----------L=9

S44q+6d2a]+3d2“+3x2a]

33.设S“为等差数列｛%｝的前〃项和，已知S?=2,S4=16,贝ij4=.

【试题来源】江苏省南通市平潮高级中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】三29

2

［2ax+d=21

【解析】TS?=2,S4=16,,/.a--,d=3,

4〃1+6d=16x2

129

4=4+5d=-Q+15=.

34.已知数列｛《J满足q=10吗+|-4="（〃eN*），则生取最小值时〃=

【试题来源】内蒙古通辽第五中学2020-2021学年高三年级第三次月考试卷（文）

【答案】4或5

【解析】；4=10,4+1-。“=〃，（”eN*）,

a

n=（4_4-J+（a“T-412）+•.•+（见-4）+4=（n-l）+（n-2）+•••+1+10

（〃一1）〃»2-n+20•'%="一"+2°，+3」之2出」

--------+10=--------------

n2n2〃22

当且仅当4=3时，等号成立，又由于〃wN,

2n

所以，当〃=4或〃=5时，口•均取得最小值4,故答案为4或5.

n

35.已知数列｛4,满足％=6,a“+i=an+2n,则%的最小值为.

【试题来源】江西省赣州市十五县（市）十六校2020-2021学年高二上学期期中联考（理）

【答案】4

【解析】因为4+i=a“+2〃,所以％+1=2〃，

所以（。2—。1）+（。3—。2）+（。4一%）-1---^（。"一。"-1）=2［（1+2+3H---（•（〃-1）］,

即a,-q=2x（〃D（l+〃D,所以4,=6+〃（〃-1）,所以工=9+〃-1,

2nn

因为色+〃22/9乂〃=2c，当且仅〃=述时，等号成立，

nvn

又neN*，所以当〃=2或〃=3时，9+〃取得最小值，

n

当〃=2时，一+〃=—+2=5,当〃=3时，一+〃=—+3=5,

n2n3

所以当〃=2或力=3时，/取得最小值4.

n

36.已知数列｛《,｝的前〃项和3=（〃+；）"",且q=1,则数列｛4｝的通项公式为

【试题来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）

【答案】a"="（〃eN*）

【解析】§,=■%,当让2时，%=s“-%=心区-"叫

整理可得（〃-1）4-W“T=0,即殳=4+，所以1色4为常数列，

nn-\InJ

故%="=1,所以a,=〃.

n1

1,n=\

37.已知数列｛斯｝满足：a„=</c、口*,定义使areas…以（ACN*）

bg"+2（〃+3），n>zJaneNKT

为整数的女叫做“幸福数”，则区间［1,2020］内所有“幸福数”的和为.

【试题来源】湖南省五市十校2020-2021学年高二上学期第一次联考

【答案】1349

【分析】根据题意，分类讨论，当k=1时，6=1为幸福数，当出22时，

由4a2%…％=log45」og56••…log&+2（攵+3）=log4（Z+3）,由log/人+3）为整数，即

可得解.

【解析】当％=1时，q=1为幸福数，符合题意；

当％22时,qa2a3…q=1。845log56...log=2+3)=log/&+3)

令log4（A+3）=犯mwZ,则&+3=4加.•.后=4'"-3.

由24&=4H,-3<20205<4'"<2023,/.2<m<5.

故“幸福数”的和为1+⑷—3)+⑷—3)+(44-3)+⑷-3)=丝L二12-15=1349.

4-1

【名师点睛】本题考查了与数列相关的新定义，考查了对数的运算以及等比数列求和，考查

了分类讨论思想，属于中档题.本题解题关键为：

(1)首先理解新定义，对新定义的正确理解是解题关键；

(2)阳生的问题熟悉化，把新定义问题转化为熟悉的代数关系.

38.在AABC中，三边mh,c所对应的角分别是A,B,C,已知a,b,c成等比数列.若

si”8=亚，数列｛4｝满足an=2"|cos当网，前“项和为S„,S2n=__________.

sinAsinC32

【试题来源】福建省莆田二中、泉州一中、南安一中2021届高三年级上学期三校联考

22,7+2_4

［答案］-------

3

【分析】由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出sinB,由内角的范围和特殊角

的三角函数值求出5,可得4=2〃，再利用等比数列求和公式计算可得.

匚.sinB2>/3,sinB2V3

［解析］,/--------=-----,由厅=ac得，sirr9B=sinAsinC,--z—=----

sinAsinC3sin~B3

所以=走，又a,b,c成等比数列知b不是最大边，所以8=工.

23

=2"cos—nB=2"cos—

22

所以S=0+2、0+24+…+0+22"=40-2)=2二一4

2"1-43

39.已知数列｛4｝的前〃项和为S“，4=1，4+尸2。,+2,则S5的值为

【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题(理)

73

【答案】—

2

（解析】•/an+l=2an+2,ail+l+2=2（a“+2）,

故数列｛4+2｝是以2为公比，以%+2=3为第二项的等比数列，

73

故4+2=3-2"-2,故%,=3-2"-2一2,12,，5_-

【名师点睛】'（〃工1，4#0的常数）递推关系求通项，构造等比数列是解

题关键，属于基础题.

40.在数列｛%｝中，若q=1,%+2+（-1）"%=2,记S,,是数列他“｝的前〃项和，则5网=

【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】2550

【解析】因为4=1,*+（T）"%=2，

所以当〃为奇数时，。“+2-4=2,即数列｛%｝的奇数项为公差为2的等差数列，

50x49

为偶数时，。〃+2+。〃=2,所以q+/+%+••,+%9=50x14----——x2—2500,

（火+包）+（4+@）+（4（）+a12）+,,•+（"48+区0）=2x25=50,

所以S100=2500+50=2550.

41.下列命题正确的是.（填写正确的序号）

①在等差数列｛%｝中，有4+4o=26,则为+4+%=39；

②己知数列｛%｝是正项等比数列，且一+—=。6,则%的值可能是友；

Clj

③已知函数/（X）是定义在R上的奇函数，且对任意xeR,都有尸（1一x）=f（1+x）成

立，则/d）+f⑵+/（3）+…+/（2019）+/（2020）=0.

【试题来源】江西省赣州市十五县（市）十六校2021届高三上学期期中联考（文）

【答案】①③

【分析】①直接利用等差数列的下标性质可得解：

I-23、

②利用等比数列表示%=下(24+—),利用基本不等式可判断；

V6q-

③由函数的奇偶性和对称性可得周期，从而得解.

【解析】①在等差数列｛%｝中，有4+4。=26,得2%=26,所以4=13,

所以/+/+%=4+。6+。10=39,所以①正确；

②设数列｛4｝是正项等比数列的公比为夕，则2+2=2^-+-^=&，

生«7%aq

1,31I~,3广

所以为二r=(2/+=后一^乂2/27•方=2,所以%的值不可能是夜，②不正确；

V6<7v6vq

③已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，且对仆意xeR,都有尸(1—x)=f(1+x)成

立,所以/(l-x)=/(l+x)=-/(x—l),所以W(x+2)=f(x+4),

所以函数/(幻是周期为4的函数，

由/(x)=-f(x+2)可得/(1)+/(3)=0,/(2)+/(4)=0,

所以/⑴+/(2)+〃3)+/(4)=0.

所以/(1)+/⑵+/(3)+…+/(2019)+/(2020)=505x0=0,所以③正确.

故答案为①③.

42.若数列｛%｝为单调递增数列，且％=2〃-1+/，则的的取值范围为.

【试题来源】湖北省宜昌市秫归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中

【答案】(-8,6)

【分析】先利用数列的单调性得到/<8,再求g的取值范围.

【解析】当论2时，a”-a,-=2〃-1+?-(2"-3+白)=2-1，

因为数列｛“”｝为单调递增数列，所以2>0对，G2(〃CM恒成立，

即2V26对*2(〃eN)恒成立，所以4<8,所以为=5+—<6,

8

故“3的取值范围为(-8,6).

【名师点睛】解答本题的关键是如何转化数列单调递增，转化数列的单调性一般利用单调性

的定义即a“一见T>0(〃N2,〃GN).转化出了数列的单调性，后面就容易解答.

,「、S2n-3a.

43.已知｛4｝,｛〃｝均为等差数列，其前〃项和分别为s“,7；,且宁n=则萨=

【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2019-2020学年高一下学期期中（文）

【解析】因为｛4｝,｛2｝均为等差数列，令公差分别为4,〃2,

则有S,,=+---4'T“=nb]+---d2

Snnd,+2a,-d,2n-31

所以+令4=2，&=1，则有4=-y2,

&a+445

所以又=力x才="

44.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：”今有金维，长五尺，斩本一尺，重四斤,

斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是"现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细,

在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”

设该金杖由粗到细是均匀变化的，现将该金杖截成长度相等的15段，记第〃段的重量为%

斤（〃=1,2....15）,且…</，若2（其中表示不超过的最大

整数），则数列｛d｝的所有项和为

【试题来源】河南省商丘市虞城县高级中学2020~2021学年高三11月质量检测（文）

…上、86

【答案】—

9

【分析】先根据等差数列的通项公式列方程求出公差与首项，可得置，结合新定

义与等差数列的求和公式可得答案.

【解析】由题意，由细到粗每段的重量成等差数列｛4｝,

‘34+34=2111

4+。2+“3=2,

设公差为d,则〈，解得a=—,d=一

画+394=4x11818

.63+44+《5=4，

0,1<n<7,

所以所以［4』=,

1ol,8<n<15.

因此数列出｝的所有项和为《+佝+…+《5=18+19；…+25=.

45.设S,是数列｛凡｝的前〃项和，q=3,当『22时有S.+S,I—2S£T=2W“，则使

SR2…鼠22021成立的正整数"?的最小值为.

【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）

【答案】1010

【分析】由s“与4关系，当〃22时，将4=S“一S,T代入条件等式，得到数歹四十一｝

为等差数列，求出S,,进而求出SB2…S,“，即可求出结论.

【解析】因为S“+S“_「2S£T=2”,所以S,+S.T-2ssT=2〃（S,-S,I）,

所以2s5-=（2〃+1）5,1-（2〃-1）5“，所以飞一一—=2.

令bn=——，则"一〃1=2(〃>2),

33

所以数列｛2｝是以4=k=一=1为首项，公'*d=2的等差数列,

>CL

2〃+1c,2/1+1

所以"=2〃_1,即？一=2〃—1,所以S“=-----

所以…鼠=3x?x…x/一=2m+1,

32m-1

由2加+122021,解得加上1010,即正整数优的最小值为1010.

【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查递推关系式，求通项公式的主要方法有:

（I）观察法：若已知数列前若干项，通过观察分析，找出规律：

（2）公式法：已知数列是等差数列或等比数列，或者给出前〃项和与通项公式的关系；

（3）累加法：形如4m=4+/（〃）的递推数列；

（4）累乘法:形如氏+1=4•/（〃）的递推数列.

46.设xeR,［x］表示不超过x的最大整数，则称y=［划为高斯函数.设正项数列｛《,｝满

足：」£=生斗("..2,〃€“)，q=1,设数列出｝的前“项和为S“，且a=3,则凡］=

4，TJa„

【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题(文)

【答案】4

【分析】先由题设=%-%=1(〃..2),从而说明数列｛““｝为首项、公差均为1的等差数列,

求得。“，进而求得a与S“，再通过对％放缩得到S”的范围，进而求得［怎］即可•

aa.+1^)/、/、

【解析】由n二=得—％=°，即&+---1)=。,

因为。，＞0,所以。“一。,1=1(〃22),所以数列｛%｝为等差数列，可得4=〃，所以

C,11

所以S,,=l+&+存

因为~~f==-f=T=<-7=/=2(Vn-yjn-1),

yjny/n+\Jnyjn+yjn-\

所以〃>1时，5„<l+2[(V2-l)+(V3-V2)+..-+(V«-Vn^l)l=2Vw-l.

因为~r=-~j=尸>7=1—2(J〃+1—y/n),

sinyJn+\Jn，〃+，〃+1

所以S”>2[(夜-1)+(6-0)+…—〃)]=2(7^1—1)，

所以4=2(次—1)<2(J15—1)<&<2囱-1=5，

所以，从而[Sj=4.

【名师点睛】裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有：

1111

(1)已知数列的通项公式为。“=刀一八，求前〃项和：~~八=-------；

1

(2)已知数列的通项公式为4=(2〃二1)(2〃+1)'求前〃项和：

ar11_______

a"~（2rt-l）（2n+l）-212n-l2n+lJ：

1

（3）已知数列的通项公式为勺=-7=~f=,求前〃项和:

7n+4〃+1

a„=—j=~T==A/H+1-Vn.

yjn+yJn+\

47.有一个数阵排列如下：

1247111622....

358121723........

69131824............

10141925................

152026....................

2127........................

28............................

则第40行从左至右第6个数字为.

【试题来源】吉林市普通高中2021届高三第一次调研测试(期中)(理)

【答案】1030

【分析】利用观察法和累加法得到见一/=7+8+9+…+(〃+5),进而求解即可

【解析】第1行从左至右第6个数字：16=4；第2行从左至右第6个数字：23=4；

第3行从左至右第6个数字：31=4；第4行从左至右第6个数字：40=%：

第5行从左至右第6个数字：50=%;.............................；

第n行从