空间向量及其应用（二）复习导学案-高二上学期数学人教A版选择性

§空间向量及其应用（二）1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面、相互平行的平面的距离问题和简单夹角问题.2．能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的直线与平面和简单夹角问题.1．利用空间向量法求距离问题(1)点A、B间的距离AB=AB(2)点Q到直线l距离若Q为直线l外的一点，P在直线上，a为直线l的方向向量，b则点Q到直线l距离为d=1PS公式推导如图，d=b(3)点Q到平面α的距离若点Q为平面α外一点，点M为平面α内任一点，平面α的法向量为n，则Q到平面α的距离就等于MQ在法向量n方向上的投影的绝对值，即d=nPS公式推导如图，d=MQ(4)直线a平面α之间的距离当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等.由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离.(5)利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离.2.异面直线所成的角设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角φl1与l2所成的角θ图示范围(0，π)求法cosφ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝|cosφ|＝eq\f(|a·b|,|a||b|)3.求直线与平面所成的角设直线AP的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，则不管哪种情况，都有sinθ＝|cosφ|＝|cos〈a，n〉|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).3.求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉,即.〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉=(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cosθ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).求法：设平面α与平面β的法向量分别为m,n，再设m,n的夹角为φ，平面α与平面β的平面角为θ，则θ为φ或π−φ题型一利用空间向量求空间距离角度1：点线距1．已知，，，则点到直线的距离为.2．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A．B．C． D．名师点拨☞用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点：(1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段．(2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点．(3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．角度2：点面距如图所示，正方体的棱长为是底面的中心，则到平面的距离为．若两平行平面、分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量为，则两平面间的距离是．名师点拨☞求点到平面的距离的主要方法(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离．(2)在三棱锥中用等体积法求解．(3)向量法：d＝eq\f(|n·\o(MA,\s\up6(→))|,|n|)(n为平面的法向量，A为平面上一点，MA为过点A的斜线段)角度3面面距5．正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（

）A． B． C． D．6．已知三棱锥中，两两垂直，且，，，则点P到平面的距离为A． B． C． D．名师点拨☞求两个平行平面的距离，先在其中一个平面上找到一点，然后转化为该点到另一个平面的距离求解．注意：这个点要选取适当，以方便求解为主题型二利用空间向量求线线角7．在长方体中，，，设的中点为，则与所成的角为.8．已知异面直线m，n的方向向量分别为＝(2，－1，1)，＝(1，λ，1)，若异面直线m，n所成角的余弦值为，则λ的值为．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是C1D1的中点，则异面直线DE与AC所成角的余弦值为（

）A．B．C． D．10．如图，正三棱柱中，底面边长为.(1)设侧棱长为，求证：；(2)设与的夹角为，求侧棱的长.名师点拨☞1.利用空间向量求两异面直线所成角的步骤．(1)建立适当的空间直角坐标系．(2)求出两条异面直线的方向向量的坐标．(3)利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角．(4)结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角．2.求两条异面直线所成的角的两个关注点．(1)余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角．(2)范围：异面直线所成角的范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值题型三利用空间向量求线面角11．已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则m+n=.12．若平面α的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，则l与α所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．13．已知正方体中，则直线与平面所成的角的正弦值是A． B． C． D．14．如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值名师点拨☞若直线l与平面α的夹角为θ，利用法向量计算θ的步骤如下：题型四利用空间向量求面面角15．若两个半平面的法向量所成的角为，则这个二面角的平面角的大小为（

）A． B． C．或 D．以上都不对16．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量是，则平面与所成的角等于（）A． B． C． D．17．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为.18．已知两平面的法向量分别为，，则两平面的夹角为.19．如图，在直三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，点在直线上．（1）求直线与平面所成的角最大时，线段的长度；（2）是否存在这样的点，使平面与平面所成的二面角为，如果存在，试确定点的位置；如果不存在，请说明理由.名师点拨☞利用平面的法向量求两个平面的夹角利用向量方法求两平面夹角大小时，多采用法向量法．即求出两个面的法向量，然后通过法向量的夹角来得到两平面夹角．需注意法向量夹角范围是[0，π]，而两平面夹角范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．题型五综合类题目20．如图，在空间直角坐标系中有长方体(1)求与面所成角的正弦值(2)求点B到直线的距离.21．如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．22．在三棱柱中，平面，为的中点，是边长为1的等边三角形.（1）证明：；（2）若，求二面角的大小.23．四棱锥的底面是边长为a的菱形，面，E，F分别是，的中点.（1）求证：平面平面；（2）M是上的动点，若，且与平面所成的最大角为45°，求的长度.24．如图，且，，且，且，平面，．(1)求平面与平面的夹角；(2)求直线到平面的距离．25．如图，在正方体中，为的中点，点在棱上．若，证明：与平面不垂直26．如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点．（1）求异面直线EF与所成角的大小．（2）证明：平面．27．如图，在直角梯形中，，，.以直线为轴，将直角梯形旋转得到直角梯形，且.(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得直线和平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.§1.2空间向量及其应用（二）答案1．【分析】先求向量，的坐标，再求在的投影，再由勾股定理即可求解.【详解】解：,,在的投影为，点到直线的距离为,2．B【分析】建立空间直角坐标系，先求夹角的余弦，再求点A到直线BE的距离.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则＝(0,2,0)，＝(0,1,2)．∴cosθ＝＝.∴sinθ＝.故点A到直线BE的距离d＝||sinθ＝2×..3．【解析】以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得,,设平面的法向量为,,令,则，,到平面的距离,故答案为：.4．【分析】根据给定条件，结合平行平面距离的意义，利用空间向量计算作答.【详解】依题意，平行平面间的距离即为点O到平面的距离，而，所以平行平面、间的距离.故答案为：5．D【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解【详解】由正方体的性质：∥,∥，，，且平面，平面，平面，平面，所以平面平面，则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离．以为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：由正方体的棱长为1，所以，，，，，所以，，，．连接，由，，所以，且，可知平面，得平面的一个法向量为，则两平面间的距离：．6．D【解析】以为原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，表示出相应向量，从而得到平面的法向量，利用空间向量表示出点到平面的距离，得到答案.【详解】因为三棱锥中，,,两两垂直，所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为，，，所以，，，，所以，，，设平面的法向量，则，即，取，得，所以点到平面的距离为：7．【分析】利用建系，计算，然后利用向量夹角公式，可得结果.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，，且为的中点，所以，，所以，设与所成的角为，故，所以.8．【分析】利用空间直线间的夹角求解即可【详解】由，两边平方，化简得6λ＝7，解得．9．B【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线DE与AC所成的角的余弦值.【详解】设正方体棱长为1，以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，则D(0,0,0)，E(0，，1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，所以＝(0，，1)，＝(－1,1,0)，则,则异面直线DE与AC所成角的余弦值为.故选：B.【详解】（1）由已知得，，平面，，，又是正三角形，,；；（2）由（1）得，又，，，解得，即侧棱长为.11．16【分析】由l⊥α得，结合向量坐标关系即可求解．【详解】∵l⊥α，∴，又，，∴==，解得m=6，n=10，∴m+n=16．12．D【分析】利用线面角的向量公式，即得解【详解】设α与l所成的角为θ，则故直线l与α所成角的余弦值为故选：D13．C【解析】建立适当的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，然后利用直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为1，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，设直线与平面所成的角为，则，∴直线与平面所成的角的正弦值为．故选：C．14．【详解】（1）

以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，因为为棱的中点，为棱的中点，所以，所以，设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，因为平面，所以平面.（2）由（1）得，，设直线与平面所成的角为，则.15．C【分析】根据二面角与两个半平面的法向量所成的角的关系即可得解.【详解】解：因为两个半平面的法向量所成的角为，所以这个二面角的平面角的大小为或.16．D【分析】根据得，可得答案.【详解】因为，所以，所以平面与所成的角等于.17．45°或135°【分析】根据二面角夹角与法向量的关系，结合夹角公式求解即可.【详解】因为两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角与相等或互补，因为，且，故.故两平面所成的二面角为45°或135°.18．【分析】利用面面角的向量求法，直接求解即得.【详解】两平面的法向量分别为，，则两个平面的夹角，有，而，则，所以两平面的夹角为.19．（1）；（2）不存在，理由见解析.【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标以及相关向量，（1）根据点在直线上，利用共线定理先求出，再求出平面的一个法向量．利用线面夹角的空间向量坐标公式，求出直线与平面所成的角正弦值的表达式，利用函数的性质求解即可．（2）由题意易知，是平面的一个法向量；再求出平面的一个法向量；利用空间向量求出平面与平面所成的二面角的表达式，令其等于，并对其化简，通过一元二次方程的根的判别式即可得到结果．【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，设，则，；（1）因为是平面的一个法向量，所以所以，当时，取得最大值，此时，，即：当时，取得最大值，此时，故的长度为．设是平面的一个法向量.则得令，得，，所以，所以，化简得因为，所以方程无解；故不存在点使得平面与平面所成的二面角为.20．(1)(2)【分析】（1）连接作出辅助线，可证得是直角，求出的正弦值即可；（2）数形结合，可证得，从而可得是直角，再用正弦定理化简即可求出，坐标，进而求得在上的投影长，即可求得点B到直线的距离即可.【详解】（1）连接，因为该几何体为长方体，则面，面，所以，所以是直角，是与面所成角的平面角，又因为，所以其正弦值为，（2）因为，所以，，所以直线的方向向量，又，所以在上的投影长为，所以点到直线的距离为21．（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面所成的角的正切值为，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公式计算大小可得答案．【详解】（1）是正三角形，为的中点，．又是直三棱柱，平面ABC，．又，平面．（2）连接，由（1）知平面，∴直线与平面所成的角为，．是边长为2的正三角形，则，．在直角中，，，．建立如图所示坐标系，则，，，，．，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．设平面与平面夹角为，则．平面与平面夹角的余弦值为．22．（1）证明见解析；（2）.【详解】解：（1）连接，∵是边长为1的等边三角形，且为的中点，∴，∴∵面，∴面，又面，∴，∵，面，又面，∴.（2）以为原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，.分设平面的法向量为，则∴可取，同理可求得平面的一个法向量为.，且二面角为锐角，∴二面角的大小为.23．（【详解】（1）：由题意，四边形是边长为a的菱形，，E为的中点，故.由余弦定理可得，解得.故.故.故.又面面.故.又，故平面.又平面.故平面平面.（2）由（1）知道，平面.连接，则为与平面所成的角，且在中.在中，，∴，∴当最小，即时，最大，从而最大.∵最大值为45°，∴此时.设，