第6章《三角》教材解读讲义-高一数学（2020）3

【原卷版】正弦余弦定理及其应用【沪教版2020】数学必修第二册教材解读在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质；为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据，需要引入一个角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角学的基本理论；在初中，当一个角为锐角时，已经对有关的概念及结论做了初步的讨论，并介绍了求解直角三角形的方法及其应用；本章将拓展角的概念，并对一个任意给定的角给出其相应的正弦、余弦、正切、余切的定义，学习使用三角恒等变换化简三角表达式，进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系，从而有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础；【本章教材目录】第6章三角6.1正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角；6.2常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用；6.3解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；【本章内容提要】1、正弦、余弦、正切、余切弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制；扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，；单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆；正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有，，（），（）；同角三角公式：，，，；诱导公式：（），，，；诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限.2、常用三角公式和角与差角公式：，，；倍角公式：，，；3、解三角形正弦定理：；余弦定理：，，；三角形面积公式：；【要点方法解读】解读点035对正弦定理的理解与推导1、正弦定理三角形的各边和它所对角的正弦之比相等；即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).【说明】1、正弦定理的适用范围是：正弦定理对任意三角形都成立．2、在△ABC中，eq\f(a,sinA)、eq\f(b,sinB)、eq\f(c,sinC)各自等于：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为三角形的外接圆半径)．3、解斜三角形（1）解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余未知元素的过程．（2）利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题：①已知两角与任一边，求其他两边和一角；②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)；4、正弦定理的主要功能是：实现了三角形中边角关系的转化；【典例】1、在钝角△ABC中，证明正弦定理．2、如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明eq\f(a,sinA)＝2R.【说明】1、注意与任意角的三角比的定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使理解更深刻，记忆更牢固；2、要证eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力；解读点036利用正弦定理已知两角及一边解三角形【典例】1、在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c；2、在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．【说明】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路：1、若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角；2、若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边；解读点037利用正弦定理已知两边及一边的对角解三角形【典例】1、在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，BC＝3，AB＝eq\r(6)，则角C等于()A．eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)2、在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝45°，a＝2，解这个三角形；【说明】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路：1、首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；2、如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；3、如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论；解读点038利用正弦定理判别三角形形状【典例】1、在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状；2、在△ABC中，若b＝acosC，试判断△ABC的形状；【说明】1、判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．2、注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)等；3、由eq\f(a,sinA)＝2R，eq\f(b,sinB)＝2R，eq\f(c,sinC)＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？【解析】(角化边)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，(边化角)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，(边角互化)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.4、三角形中常见边角之间的关系有哪些？【解析】在△ABC中，①a＋b＞c，|a－b|＜c；②a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB；③A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sinC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；解读点039利用正弦定理对三角形解的个数的判断【典例】1、满足B＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，则k的取值范围是()A．k＝8eq\r(3)B．0＜k≤12C．k≥12D．0＜k≤12或k＝8eq\r(3)2、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．（1）a＝10，b＝20，A＝80°；（2）a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°.【说明】对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明图形关系式解的个数A为锐角①a＝bsinA；②a≥b一解bsinA<a<b两解a<bsin_A无解解读点040利用正弦定理求三角形的面积【典例】1、在△ABC中，若a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.2、在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________．【说明】已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；解读点041利用余弦定理已知两边与一角解三角形【典例】1、在△ABC中，a＝2eq\r(3)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，B＝45°，解这个三角形．2、在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，求角A，角C和边a；【说明】已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理已知两边和一边的对角求解；若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题在0，π上，余弦值所对角的值是唯一的，故用余弦定理求解较好；解读点042利用余弦定理已知三边解三角形【典例】1、在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.2、已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求△ABC的各角的大小．【说明】1、已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一；2、若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解；解读点043正、余弦定理的综合应用【典例】1、在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状．2、在△ABC中，若acosA＋bcosB＝ccosC，判断△ABC的形状．【说明】判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状；解读点044正、余弦定理在几何中的应用【典例】1、如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.（1）求：cos∠CBE的值；（2）求：AE.2、如图，在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，AC＝2eq\r(5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).（1）(1)求sin∠BAC的值；（2）设BC的中点为D，求中线AD的长；【说明】角形中几何计算问题的解题思路1、正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决；2、此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件【针对性即时练】1、在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.2、已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，则sinA＝________.3、在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝________.4、已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________________5、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC的面积为4eq\r(3)，且2bcosA＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为6、在△ABC中，AC＝2，BC＝2eq\r(2)，∠ACB＝135°，过点C作CD⊥AB交AB于点D；则CD＝7、在△ABC中，sin2eq\f(A,2)＝eq\f(c－b,2c)，则△ABC的形状为()A．正三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形8、锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是()A．1<a<3 B．1<a<5C．eq\r(3)<a<eq\r(5) D．不确定9、在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边长．10、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－eq\f(1,4)；（1）求sinC的值；（2）当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．【解析版】正弦余弦定理及其应用【沪教版2020】数学必修第二册教材解读在平面几何中我们已经知道，在一个三角形中，大角对大边，但这只是一个关于边与角之间关系的定性性质；为了定量地刻画三角形的边与角之间的关系，为测量、航海及天文等方面的实际应用提供依据，需要引入一个角的正弦、余弦、正切、余切等概念，建立三角学的基本理论；在初中，当一个角为锐角时，已经对有关的概念及结论做了初步的讨论，并介绍了求解直角三角形的方法及其应用；本章将拓展角的概念，并对一个任意给定的角给出其相应的正弦、余弦、正切、余切的定义，学习使用三角恒等变换化简三角表达式，进一步探讨三角形中边与角之间的定量关系，从而有效地解决有关的实际问题，并为下章学习三角函数的性质以及学习解析几何、立体几何等后续章节奠定基础；【本章教材目录】第6章三角6.1正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角；6.2常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用；6.3解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；【本章内容提要】1、正弦、余弦、正切、余切弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制；扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，；单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆；正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有，，（），（）；同角三角公式：，，，；诱导公式：（），，，；诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限.2、常用三角公式和角与差角公式：，，；倍角公式：，，；3、解三角形正弦定理：；余弦定理：，，；三角形面积公式：；【要点方法解读】解读点035对正弦定理的理解与推导1、正弦定理三角形的各边和它所对角的正弦之比相等；即eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).【说明】1、正弦定理的适用范围是：正弦定理对任意三角形都成立．2、在△ABC中，eq\f(a,sinA)、eq\f(b,sinB)、eq\f(c,sinC)各自等于：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R为三角形的外接圆半径)．3、解斜三角形（1）解斜三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余未知元素的过程．（2）利用正弦定理可以解决的两类解斜三角形的问题：①已知两角与任一边，求其他两边和一角；②已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)；4、正弦定理的主要功能是：实现了三角形中边角关系的转化；【典例】1、在钝角△ABC中，证明正弦定理．【解析】如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：eq\f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，eq\f(CD,a)＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).故eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).2、如图所示，锐角△ABC的外接圆O半径为R，证明eq\f(a,sinA)＝2R.【证明】连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A.∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝eq\f(BC,A′B)＝eq\f(a,2R)，∴sinA＝eq\f(a,2R)，即eq\f(a,sinA)＝2R；【说明】1、注意与任意角的三角比的定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使理解更深刻，记忆更牢固；2、要证eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD.初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力；解读点036利用正弦定理已知两角及一边解三角形【典例】1、在△ABC中，a＝5，B＝45°，C＝105°，求边c；【解析】由三角形内角和定理知A＋B＋C＝180°，所以A＝180°－(B＋C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得c＝a·eq\f(sinC,sinA)＝5·eq\f(sin105°,sin30°)＝5·eq\f(sin60°＋45°,sin30°)＝5·eq\f(sin60°cos45°＋cos60°sin45°,sin30°)＝eq\f(5,2)(eq\r(6)＋eq\r(2)).2、在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形．【解析】因为A＝45°，C＝30°，所以B＝180°－(A＋C)＝105°.由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)得a＝eq\f(csinA,sinC)＝10×eq\f(sin45°,sin30°)＝10eq\r(2).因为sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，所以b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(10×sinA＋C,sin30°)＝20×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝5eq\r(2)＋5eq\r(6).【说明】已知三角形的两角和任一边解三角形的思路：1、若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角；2、若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边；解读点037利用正弦定理已知两边及一边的对角解三角形【典例】1、在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，BC＝3，AB＝eq\r(6)，则角C等于()A．eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)B．eq\f(3π,4)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)【答案】C；【解析】由正弦定理，得sinC＝eq\f(sinA·AB,BC)＝eq\f(\r(2),2).因为BC＞AB，所以A＞C，则0＜C＜eq\f(π,3)，故C＝eq\f(π,4)；2、在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝45°，a＝2，解这个三角形；【解析】因为eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，所以sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(6)×sin45°,2)＝eq\f(\r(3),2)；因为0°＜C＜180°，所以C＝60°或C＝120°.当C＝60°时，B＝75°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin75°,sin60°)＝eq\r(3)＋1；当C＝120°时，B＝15°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin15°,sin120°)＝eq\r(3)－1.所以b＝eq\r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq\r(3)－1，B＝15°，C＝120°.【说明】已知两边及其中一边的对角解三角形的思路：1、首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；2、如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；3、如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论；解读点038利用正弦定理判别三角形形状【典例】1、在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状；【提示】解决本题的关键是利用sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)把sin2A＝sin2B＋sin2C转化为三角形三边的关系，从而判定出角A，然后再利用sinA＝2sinBcosC求解；【解析】方法1：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴sinB＝eq\f(\r(2),2).∵0°<B<90°，∴B＝45°，C＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形．方法2：(利用角的互补关系)根据正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角．∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0.又－90°<B－C<90°，∴B－C＝0，∴B＝C，∴△ABC是等腰直角三角形；2、在△ABC中，若b＝acosC，试判断△ABC的形状；【解析】∵b＝acosC，由正弦定理，得sinB＝sinAcosC．(*)∵B＝π－(A＋C)，∴sinB＝sin(A＋C)，从而(*)式变为sin(A＋C)＝sinAcosC，∴cosAsinC＝0.又∵A，C∈(0，π)，∴cosA＝0，A＝eq\f(π,2)，即△ABC是直角三角形；【说明】1、判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系．2、注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用，如eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)等；3、由eq\f(a,sinA)＝2R，eq\f(b,sinB)＝2R，eq\f(c,sinC)＝2R可以得到哪些变形形式？这些变形形式有什么功能？【解析】(角化边)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，(边化角)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，(边角互化)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.4、三角形中常见边角之间的关系有哪些？【解析】在△ABC中，①a＋b＞c，|a－b|＜c；②a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB；③A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sinC，sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；解读点039利用正弦定理对三角形解的个数的判断【典例】1、满足B＝60°，AC＝12，BC＝k的△ABC恰有一个，则k的取值范围是()A．k＝8eq\r(3)B．0＜k≤12C．k≥12D．0＜k≤12或k＝8eq\r(3)【答案】D；【解析】已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，由正弦值求角时，需对角的情况进行讨论：当AC＜BCsinB，即12＜ksin60°，即k＞8eq\r(3)时，三角形无解；当AC＝BCsinB，即12＝ksin60°，即k＝8eq\r(3)时，三角形有一解；当BCsinB＜AC＜BC，即eq\f(\r(3),2)k＜12＜k，即12＜k＜8eq\r(3)时，三角形有两解；当0＜BC≤AC，即0＜k≤12时，三角形有一解综上，0＜k≤12或k＝8eq\r(3)时，三角形有一解；2、已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．（1）a＝10，b＝20，A＝80°；（2）a＝2eq\r(3)，b＝6，A＝30°.【解析】（1）a＝10，b＝20，a<b，A＝80°<90°，讨论如下：∵bsinA＝20sin80°>20sin60°＝10eq\r(3)，∴a<bsinA，∴本题无解．（2）a＝2eq\r(3)，b＝6，a<b，A＝30°<90°，∵bsinA＝6sin30°＝3，a>bsinA，∴bsinA<a<b，∴三角形有两解．由正弦定理得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(6sin30°,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝eq\f(asinC1,sinA)＝eq\f(2\r(3)sin90°,sin30°)＝4eq\r(3)；当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝eq\f(asinC2,sinA)＝eq\f(2\r(3)sin30°,sin30°)＝2eq\r(3).∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4eq\r(3)；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2eq\r(3).【说明】对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a，b和A解三角形为例说明图形关系式解的个数A为锐角①a＝bsinA；②a≥b一解bsinA<a<b两解a<bsin_A无解解读点040利用正弦定理求三角形的面积【典例】1、在△ABC中，若a＝2，C＝eq\f(π,4)，coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.【提示】根据C＝eq\f(π,4)及coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，利用sinA＝sin(B＋C)求出sinA的值，然后利用正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)求出c值，利用S＝eq\f(1,2)acsinB求解；【解析】∵coseq\f(B,2)＝eq\f(2\r(5),5)，∴cosB＝2cos2eq\f(B,2)－1＝eq\f(3,5)；∴B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴sinB＝eq\f(4,5).∵C＝eq\f(π,4)，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(7\r(2),10).∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(2,\f(7\r(2),10))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(10,7).∴S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×2×eq\f(10,7)×eq\f(4,5)＝eq\f(8,7).2、在△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于________．【答案】eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4)；【解析】由正弦定理得sinC＝eq\f(AB·sinB,AC)＝eq\f(\r(3)×\f(1,2),1)＝eq\f(\r(3),2)，又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC·sinA＝eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(3),4).]【说明】已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；解读点041利用余弦定理已知两边与一角解三角形【典例】1、在△ABC中，a＝2eq\r(3)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，B＝45°，解这个三角形．【解析】根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(2eq\r(3))2＋(eq\r(6)＋eq\r(2))2－2×2eq\r(3)×(eq\r(6)＋eq\r(2))×cos45°＝8，∴b＝2eq\r(2).又∵cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(8＋\r(6)＋\r(2)2－2\r(3)2,2×2\r(2)×\r(6)＋\r(2))＝eq\f(1,2)，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°；2、在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，求角A，角C和边a；【解析】方法1：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3eq\r(3))2－2a×3eq\r(3)×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由正弦定理sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(6×\f(1,2),3)＝1.∴A＝90°，∴C＝60°.方法2：由b<c，B＝30°，b>csin30°＝3eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(3\r(3),2)知本题有两解．由正弦定理sinC＝eq\f(csinB,b)＝eq\f(3\r(3)×\f(1,2),3)＝eq\f(\r(3),2)，∴C＝60°或120°，当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(32＋3\r(3)2)＝6，当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.【说明】已知三角形的两边及一角解三角形的方法,先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理已知两边和一边的对角求解；若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题在0，π上，余弦值所对角的值是唯一的，故用余弦定理求解较好；解读点042利用余弦定理已知三边解三角形【典例】1、在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.【解析】∵a>c>b，∴A为最大角，由余弦定理的推论，得：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2)，∴A＝120°，∴sinA＝sin120°＝eq\f(\r(3),2).由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得：sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(5×\f(\r(3),2),7)＝eq\f(5\r(3),14)，∴最大角A为120°，sinC＝eq\f(5\r(3),14)；2、已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求△ABC的各角的大小．【提示】已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而问题转化为已知三边求三角，可利用余弦定理求解；【解析】设a＝2k，b＝eq\r(6)k，c＝(eq\r(3)＋1)k(k>0)，利用余弦定理，有cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6k2＋\r(3)＋12k2－4k2,2\r(6)\r(3)＋1k2)＝eq\f(\r(2),2)，∴A＝45°.同理可得cosB＝eq\f(1,2)，B＝60°.∴C＝180°－A－B＝75°；【说明】1、已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一；2、若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解；解读点043正、余弦定理的综合应用【典例】1、在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状．【解析】方法1：(角化边)∵(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，∴由正、余弦定理可得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．方法2：(边化角)根据正弦定理，原等式可化为：(sinA－sinCcosB)sinB＝(sinB－sinCcosA)sinA，即sinCcosBsinB＝sinCcosAsinA.∵sinC≠0，∴sinBcosB＝sinAcosA.∴sin2B＝sin2A.∴2B＝2A或2B＋2A＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).∴△ABC是等腰三角形或直角三角形；2、在△ABC中，若acosA＋bcosB＝ccosC，判断△ABC的形状．【解析】由余弦定理知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，代入已知条件得a·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＋b·eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＋c·eq\f(c2－a2－b2,2ab)＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形．【说明】判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状；解读点044正、余弦定理在几何中的应用【典例】1、如图所示，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2.（1）求：cos∠CBE的值；（2）求：AE.【解析】（1）因为∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，所以∠CBE＝15°.所以cos∠CBE＝cos(45°－30°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).（2）在△ABE中，AB＝2，由已知和(1)知∠ABE＝∠ABC－∠CBE＝45°－15°＝30°，∠AEB＝∠ACB＋∠EBC＝90°＋15°＝105°，由正弦定理，得eq\f(AE,sin30°)＝eq\f(2,sin105°)，∴AE＝eq\f(2sin30°,sin105°)＝eq\f(2×\f(1,2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝eq\r(6)－eq\r(2).2、如图，在△ABC中，B＝eq\f(π,4)，AC＝2eq\r(5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5).（1）(1)求sin∠BAC的值；（2）设BC的中点为D，求中线AD的长；【提示】（1）由平方关系，可以求得sinC，再利用两角和的正弦求得sin∠BAC；（2）由正弦定理求得BC，求得，再求得AD；【解析】（1）因为cosC＝eq\f(2\r(5),5)，且C是三角形的内角，所以sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(5),5)))2)＝eq\f(\r(5),5).所以sin∠BAC＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2\r(5),5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(5),5)＝eq\f(3\r(10),10).（2）在△ABC中，由正弦定理得，eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\f(AC,sinB)，则BC＝eq\f(AC,sinB)×sin∠BAC＝eq\f(2\r(5),\f(\r(2),2))×eq\f(3\r(10),10)＝6，所以CD＝eq\f(1,2)BC＝3.又在△ADC中，AC＝2eq\r(5)，cosC＝eq\f(2\r(5),5)，所以由余弦定理得，AD＝eq\r(AC2＋CD2－2AC·CD·cosC)＝eq\r(20＋9－2×2\r(5)×3×\f(2\r(5),5))＝eq\r(5).【说明】角形中几何计算问题的解题思路1、正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决；2、此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件【针对性即时练】1、在△ABC中，若A＝105°，C＝30°，b＝1，则c＝________.【答案】eq\f(\r(2),2)；【解析】由题意，知B＝180°－105°－30°＝45°.由正弦定理，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(1×sin30°,sin45°)＝eq\f(\r(2),2).2、已知a，b，c分别是△ABC的三个内角所对的边，若a＝1，b＝eq\r(3)，A＋C＝2B，则sinA＝________.【答案】eq\f(1,2)【解析】∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，∴由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),sin\f(π,3))；∴sinA＝eq\f(1,2).3、在单位圆上有三点A，B，C，设△ABC三边长分别为a，b，c，则eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝________.【答案】7；【解析】∵△ABC的外接圆直径为2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R＝2，∴eq\f(a,sinA)＋eq\f(b,2sinB)＋eq\f(2c,sinC)＝2＋1＋4＝7.4、已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________________