2019-2021全国高考数学真题汇编：空间直线、平面的垂直（教师版）

2019-2021全国高考数学真题汇编：空间直线、平面的垂直

多选题（共1小题）

1.（2021•新高考口）如图，下列正方体中，。为底面的中心，M,N为正方体的顶点，则满足尸的是（）

二.解答题（共6小题）

2.（2020•新课标口）如图，在长方体/8CD-48iCiZ）j中，点E,F分别在棱Dd，BB\±,且2OE=E。，BF=

2FBi.证明:

(1)当时，EFLAC-,

（2）点G在平面ZEF内.

3.（2020•江苏）在三棱柱81G中，ABLAC,8|CJ_平面/8C,E,尸分别是ZC,81c的中点.

（1）求证：EF〃平面/8iG；

（2）求证：平面平面/BC.

4.(2019•北京)如图，在四棱锥尸中，为，平面N8C。，E为CZ)的中点.

(□)求证：BD_L平面因C；

(□)若NZ8C=60。，求证：平面平面叫E；

(□)棱P8上是否存在点R使得CF〃平面R1E?说明理由.

5.(2021•乙卷)如图，四棱锥尸的底面是矩形，PO_L底面且P8_L/A/.

(1)证明：平面期A1_L平面尸8。；

(2)若PD=DC=1,求四棱锥尸-N8CQ的体积.

6.(2020•新课标口)如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，P为。。上一点，//PC=90。.

(1)证明：平面平面hC；

(2)设。。=加，圆锥的侧面积为扬，求三棱锥的体积.

D

7.(2019•新课标二)图1是由矩形/OE8,Rt/X/BC和菱形8FGC组成的一个平面图形，其中/8=1,NFBC=

60°.将其沿ZB,8c折起使得8E与8尸重合，如图2.

(1)证明：图2中的4C,G,。四点共面，且平面/8CL平面3CGE；

(2)求图2中的四边形ZCG。的面积.

2019-2021全国高考数学真题汇编：空间直线、平面的垂直

参考答案与试题解析

多选题（共1小题）

1.（2021•新高考口）如图，下列正方体中，。为底面的中心，M,N为正方体的顶点，则满足的是（）

【分析】法一：对于Z,设正方体棱长为2,设儿W与OP所成角为0,求出tan0=返，从而不满足MNLOP；

2

对于8,C,D,作出平面直角坐标系，设正方体棱长为2,利用向量法进行判断.

法二：根据三垂线定理，观察OP在MN所在的底面的投影是否与垂直即可.

【解答】解法一：对于4设正方体棱长为2,

则tan9=k^—=返，不满足MN1OP；

2

对于8,如图，设正方体棱长为5,

则N(2,0,2),0,2),5,1),1,5),

诬=(2,0,-3),0P--1.

诵•而=0,.•.满足血，OP;

对于C,如图，设正方体棱长为6,

则A/(2,2,5),2,0),6,0),0,3),

MN=(-2,0,-5),OP.-I-

MN-OP=O,满足MNLOP；

对于。，如图，设正方体棱长为3,

则/(0,2,4),0,0),8,2),1,2),

诬=(0,-2,而=(6,0,

MN・0P=-4,不满足M7VLOP.

解法二：根据三垂线定理，观察。尸在所在的底面的投影是否与垂直,

对于/,。尸在所在的底面的投影与九W不垂直，故/错误；

对于8,。尸在所在的底面的投影与不垂直，故8错误；

对于C,。户在MN所在的底面的投影与MN垂直，故C正确；

对于。，OP在AW所在的底面的投影与垂直，故。正确.

故选：BC.

【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系基础知识，考查数学运算、逻辑

思维等核心素养，是中档题.

二.解答题(共6小题)

2.(2020•新课标□)如图，在长方体中，点E,厂分别在棱。Di，上，且2OE=EG,BF=

2FBi.证明：

(1)当/8=8C时，EFLAC；

(2)点G在平面/E/内.

【分析】(1)因为48CZ)-小81Gz>|是长方体，S.AB=BC,可得NC_L平面因为EFu平面8囱。1。,

所以EELZC.

(2)取/小上靠近小的三等分点“，连接QM,GF,MF.根据已知条件可得四边形为平行四边形，

得OiM〃/E,再推得四边形Gm店为平行四边形，所以。i〃〃G凡根据直线平行的性质可得/E〃GE所

以4E,F,G四点共面，即点Ci在平面4E/内.

【解答】解：(1)因为488-451c孙是长方体，所以384平面/BCD,而/Cu平面/BCD,

因为/BCD-481c4O1是长方体，且/2=8C,所以/C_L5Di=5.

所以4CL平面仍簿。，又因为点昂，BB4上,所以ER=平面仍1OQ,

所以E口L/C.

(2)取Z4上靠近4的三等分点M,连接。iM,C6F,MF,C\E.

因为点E在。Di，且2。£=皮>|,所以且£d=4W,

所以四边形/£7%M为平行四边形，所以〃/E,且。

又因为尸在上，且8尸=2必所以48M〃尸8”且小

所以小囱户加为平行四边形,

所以尸W〃念81,FM=AIB5,BPFM//C\D\,FM=C$D\,

所以C1D加厂为平行四边形，

所以O1A/〃GR

所以NE〃C/,所以4,E,F,G四点共面.

所以点G在平面ZEF内.

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查直线平行的性质应用，是中档题.

3.(2020•江苏)在三棱柱/8C-481cl中，AB1AC,8C平面48C,E,尸分别是4C,81c的中点.

(1)求证：后尸〃平面/81G；

(2)求证：平面Z8CJ_平面囱.

【分析】(1)证明EF〃/囱，然后利用直线与平面平行的判断定理证明E/〃平面/SG；

(2)证明81cLN8,结合/B_LZC,证明平面Z8C，然后证明平面Z8iC_L平面

【解答】证明：(1)E,E分别是NC,8c的中点.

所以E尸〃Z81，因为£7过平面/&Ci，/Su平面/&G，

所以防〃平面ABG;

(2)因为81。_1_平面/8。，/8u平面/8C,

所以

又因为/8_L4C,ZCD&C=C,/Cu平面/SC,SCu平面N&C,

所以平面NEC,

因为N8u平面

所以平面/&CL平面ABB\.

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理以及平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面平行的判断定

理的应用，是中档题.

4.(2019•北京)如图，在四棱锥尸-Z8CO中，％，平面/BCD,E为CD的中点.

(□)求证：8。_1_平面以。；

(□)若乙48c=60。，求证：平面口8_1_平面均E；

(□)棱尸8上是否存在点尸，使得C尸〃平面为E?说明理由.

【分析】(口)推导出8。，以，BDLAC,由此能证明8。，平面RIC.

(□)推导出48L4E,PALAE,从而NE_L平面以8,由此能证明平面以8_L平面以E.

(□)棱，8上是存在中点尸，取力8中点G,连结G凡CG,推导出CG〃/E,FG//PA,从而平面CFG〃平面

PAE,进而CF〃平面融E.

【解答】证明：(口)•••四棱锥尸-/BCQ中，RJJ_平面48C。，

：.BDLPA,BDLAC,

\'R4QAC^A,.•.^。，平面以仁

(□)•.•在四棱锥P-N8C。中，BI_L平面/8CQ,

E为CD的中点，NN8C=60。，

：.AB±AE,PAYAE,

,：PACiAB=A,平面以8,

平面/ME,二平面以8_L平面以E.

解：(口)棱尸8上是存在中点尸，使得C尸〃平面均£

理由如下：取48中点G,连结GF,

•.,在四棱锥P-/BC。中，刃"L平面/BCD,E为CD的中点,

J.CG//AE,FG//PA,

,：CGCiFG=G,AEQPA=A,

二平面CTG〃平面以£,

：CFu平面CFG,：.CF//平面PAE.

【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查满足线面平行的眯是否存在的判断与求法，考查空间中线线、

线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题.

5.(2021•乙卷)如图，四棱锥P-/8C。的底面是矩形，尸。_1_底面/8CD,且必_L4W.

(1)证明：平面以M_L平面P8Z)；

(2)若PD=DC=l,求四棱锥P-458的体积.

【分析】(1)通过线面垂线即可证明；即只需证明平面反D

(2)根据底面/8CZ),可得尸。即为四棱锥尸-/8CQ的高，利用体积公式计算即可.

【解答】(1)证明：*..PO_L底面/BCD,/Mu平面Z8CD,

.'.PDA.AM,

又,：PBLAM,

PDCPB=P,PB.

平面PSD.

：/A/u平面PAM,

平面口/_1_平面PBD；

(2)解：由PD_L底面/8C。，

；.尸。即为四棱锥P-458的高，△QP8是直角三角形；

底面是矩形，PD=DC=l,且尸

设/£>=8C=2a,取C尸的中点为F,

连接MF,AF,

nJWMF//PB,EF//DP,

那么且片尸='|八口2+£心=信+422,JA/=VAB2+BM6=Va2+r

AF=7EF3+AE2-

:ADPB是直角三角形,

根据勾股定理：8尸=而彳，则MF=近至3；

由△/时产是直角三角形，

可得AM>+MF2=AF2,

解得。=返.

2

底面ABCD的面积S=&,

则四棱锥P-ABCD的体积r=A.h.s=1xix正区.

323

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，体积计算，考查运算求解能力，是中

档题.

6.(2020•新课标口)如图，。为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心，P为DO上一点,4PC=90。.

(1)证明：平面以8_L平面B4C；

(2)设。。=加，圆锥的侧面积为扬，求三棱锥尸-N8C的体积.

【分析】(1)首先利用三角形的全等的应用求出CPA.BP,进一步求出二面角的平面角为直角，进一步

求出结论.

(2)利用锥体的体积公式和圆锥的侧面积公式的应用及勾股定理的应用求出结果.

【解答】解：(1)连接04OB,△力8c是底面的内接正三角形，

所以/8=8C=NC.

O是圆锥底面的圆心，所以：OA=OB=OC,

所以/P2=8P2=cpt=OA2+OP2=OB4+OP2=。。+。尸3,

所以AAPB与ABPC&AAPC,

由于N/PC=90。，

所以N4PB=NBPC=90。,

所以CPA.BP,

由于/PCCP=P,

所以8P_L平面/PC,

由于8Pu平面PAB,

所以：平面/M8JL平面为C.

（2）设圆锥的底面半径为心圆锥的母线长为/,

所以1=[

由于圆锥的侧面积为泥兀，

所以兀・丁日了=夜冗，整理得（*+3）（*-1）=°，

解得r=6.

所以”={i+]_2x1义ix

由于解得

【点评】本题考查的知识要点：面面