2022一模函数探究

1.（顺义一模）某公园内的人工湖里有一组小型喷泉，水柱从位于湖面上方的水枪喷出，水柱

落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如下数据，在距离水枪水平距离为d米的地点，水柱

距离湖面高度为8米.

d侏）00.52.03.55

人（米）1.672.253.002.250

请解决以下问题：

⑴在下面网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线

连接;

⑵请结合所画图象，水柱最高点距离湖面的高度是一米;

⑶求抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；

⑷现有一游船宽度为2米,顶棚到湖面的高度为2.5米.要求游船从喷泉水柱中间通过时,

顶棚不碰到水柱.请问游船是否能符合上述要求通过？并说明理由.

2.（海淀一模）23.数学学习小组的同学共同探究体积为330mL圆柱形有盖容器（如图所示）的设计方

案。他们想探究容器表面积与底面半径的关系.

具体研究过程如下，请补充完整：

（1）建立模型：设该容器的表面积为Sen??,底面半径为xcm,高为jpem,则

330=7vx2y,①

S=2/rx2+2/rxy,②

由①试得），二330¥，,代人②式得

7CX~

c.2660-

S=2TTXH-------③

x

可知，S是x的函数，自变量x的取值范围是x>0.

（2）探究函数：

根据函数解析式③，按照下表中自变量工的值计算（精确到个位），得到了S与x的几组对应值:

x/cm11.522.533.544.555.56…

5/cm2666454355303277266266274289310336

在下面平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象;

S/cm2A

700

600

500

400

300

200

100

（3）解决问题：根据图表回答，

①半径为2.4cm的圆柱形容器比半径为4.4cm的圆柱形容器表面积（填“大”或“小”）；

②若容器的表面积为300cm2,容器底面半径约为cm（精确到0.1）。

3.（西城）25.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出

的水与池中心的水平距离为xm,距地面的高度为ym.测量得到如下数值：

X/H\00.511.522.533.37

y/m2.443.153.493.453.042.251.090

小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对），随x的变化而变化的规律进行了探究.

下面是小腾的探究过程，请补充完整：

（1）在平面直角坐标系rOy中，描出表中各组数值所对应的点（x,y）,并画出函数的图象；

J7m，、

4

3

2--

1

-pli234xAn

⑵结合函数图象，出水口距地面的高度为m,水达到最高点时与池中心的水平距离约为

m（结果保留小数点后两位）；

（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m,如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合

函数图象，估计出水口至少需要______（填“升高”或“降低”）m（结果保留小数点后两位）.

4.（房山）21.如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4

米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米。

设距左侧墙壁水平距离为工米的地点，隧道高度为米。

请解决以下问题：

（1）在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接;

（3）今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过

时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试

判断该卡车能否通过隧道.

5通州

23.如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面.经测

出,两侧墙AD和BC与路面AB垂直•旗道内侧宽

AB=4米.为了确保隧道的安全通行.工程人员在路

面AB上取点E.测证点E到墙面AD的距离和到

■道顶面的距阁EE设AE=x米.EF=y米.

通过取点、测址，工程人员得到了x与》的几组值.

如下表：

1T（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0

y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00

（D隧道顶面到路面AB的最大高度为米；

（2）请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，曲出可以表

示隧道顶面的图象.

（3）今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在陞道中间通过（如图2）.根据隧道通行标准,其车

厢最高点到陡道顶面的距离应大于0.5米.结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：

（填写“是”或“否）

6.（朝阳区一模）23,某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装

喷头从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分.安装后通过测量获得如下数据

喷头高出湖面3米,在距立柱水平距离为d米的地点,水柱距离湖面高度为h米.

d（米）0.501.001.502.002.503.00

IR米）3.754.003.753.001.750

请解决以下问题：

⑴在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接;

（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度;

（3）求h关于d的函数表达式；

（3）公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米,游船的平顶棚到湖面的

高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的

竖直距离也不小于1米.工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足

上述要求，请通过计算说明应如应如何调整。

7.燕山一模

24.某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路

径形状是抛物线.现测量出如下数据，在湖面上距水枪水平距离为d米的位置，水柱距离湖面

高度为0米.

或米)0.51.02.03.03.54.5

岚米)1.62.12.52.1m0

请解决以下问题：

(1)以水枪与湖面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水枪所在直线为y轴，在

下边网格中建立平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接.

(2)请结合表中所给数据或所画图象，写出水柱最高点的坐标.

(3)湖面上距水枪水平距离为3.5米时，水柱距离湖面的高度/〃=米.

(4)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过调节水枪高度，使得公园湖中的游船能从

喷泉下方通过.游船左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，若游船宽(指船的最大宽

度)为2米，从水面到棚顶的高度为2.1米，要求是游船从喷泉水柱中间通过时，为避免游船

被喷泉淋到，顶棚到水柱的垂直距离均不小于0.5米.请问公园该如何调节水枪高度以符合要

求？请通过计算说明理由.

8.平谷

22.某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉,

水柱从垂直于湖面的水枪喷出水柱落于湖面的路径形状是抛物线.现测量出如下数据,

在距水枪水平距离为冰的地点，水柱距离湖面高度为方米.

d(米)01234・・・

力(米)2.04.05.25.65.2・・・

请解决以下问题:

(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接.

(2)请结合表中所给数据或所画图象，

估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为米(精确到0.1)；

(3)

公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷

泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险。

9.门头沟

23.某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路

径形状是一条抛物线.现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖

面高度为/2米.

d（米）0d\12.03di・・・

h（米）h\1.62.12.52.10・・・

（1）在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接.

（2）结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；

（3）求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？

（4）现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目.准备通过调节水枪高度使得公园的平顶

游船能从喷泉最高点的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船

宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距

离不小于0.8米.问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由.

10.丰台

24.某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水

头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分.若记水柱上某

一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米.下面的表中记录了

"与〃的五组数据：

d

01234

（米）

h

0.51.251.51.250.5

（米）

根据上述信息，解决以下问题：

（1）在下面网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示人与d函数关

系的图象；

（2）若水柱最高点距离湖面的高度为加米，则加=；

（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船

能从水柱下方通过.如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时,

顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米.已知