2020-2021学年上海市高三（上）春季高考数学模拟试卷（三）（附答案详解）

2020-2021学年上海市高三（上）春季高考数学模拟试卷

（三）

一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）

1.已知点P（a,b）,曲线G的方程y=Hl—/,曲线C2的方程M+y2=1,则“点

P（a,b）在曲线G上“是”点P（a,b）在曲线上“的（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既非充分又非必要条件

2.复数z满足|z-3i|=2（i为虚数单位），则复数z-4模的取值范围是（）

A.[3,7]B.[0,5]C.[0,9]D.以上都不对

"2cinvXNO

{：，7：器（X+&）%<0（。€[°'2兀））是奇函数，贝打=（）

A.0B.7C.nD.y

/alla12a13\

4.由9个互不相等的正数组成的矩阵。21。22&23中，每行中的三个数成等差数列,

\a31a32a33/

且+02+%3、。21+@22+。23、。31+。32+。33成等比数列，下列判断正确的

有（）

①第2列中的由2、。22、的2必成等比数列；②第1列中的。11、。21、。31不一定成等

比数列；③为2+a32>a21+。23；

A.1个B.2个C.3个D.0个

二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）

5.方程lg（x—3）+Igx=1的解X=.

6.已知/（%）=loga%（a>0,。01）,且ft（-1）=2,则fT（X）=.

7,若对任意实数均不等式/NI+Q恒成立，则实数a的取值范围是.

8.设五=6,sina）,B=（cosaj）,且五〃邑则cos2a=.

9.在（产一§5二项展开式中，X的一次项系数为（用数字作答）.

10.甲、乙两人从6门课程中各选修3门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有

______种.

11.如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为

全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边成

为1,那么这个几何体的表面积是.

俯视图

12.参数方程卜=Win^+cosR,。6[0,2兀）表示的曲线的普通方程是____.

ly=1+sind

13.已知函数/（x）=sbuox+cosa）x（3>0）,xER,若函数/（x）在区间（话,弓）内单调

递增，则3的取值范围为.

14.根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于（等于）20毫克/100毫升的行为

属于饮酒驾车.假设饮酒后，血液中的酒精含量为Po毫克八00毫升，经过x个小时，

酒精含量降为p毫克/100毫升，且满足关系式p=Po-er«r为常数）.若某人饮酒后

血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫

克/100毫升，则此人饮酒后需经过小时方可驾车.（精确到小时）

15.若正方体力Mz&Av-BiBzBsBd的棱长为1,则集合口比=硒'•病"6

{1,2,3,4}JG{1,2,3,4}}中元系的个数为.

16.已知直线y=x+1上有两个点4（%,瓦）、B（a2,b2）,已知由、伉、a2>电满足

&1的（12+瓦历|=,=+*xJa：+历,若%>a2,=我+2,则这样的点

4有个.

三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

17.已知圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,点M是母

线P4的中点，4B是底面圆的直径，点C是弧4B的

中点；

（1）求三棱锥P-AC。的体积；

（2）求异面直线MC与P。所成的角的余弦值.

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18.已知函数/'(x)=+必—2)(a>0),且/'⑴=2；

(1)求a和/1(X)的单调区间；

(2)/(%+1)-/(%)>2.

19.平面内任意一点P到两定点及(-75,0)、尸2(75,0)的距离之和为4.

(1)若点P是第二象限内的一点且满足两•恒=0,求点P的坐标；

设平面内有关于原点对称的两定点、判别西•丽是否有最大值和最

(2)MlM2,

小值，请说明理由？

20.函数/(x)=sin(tanaix),其中3=0.

(1)讨论f(x)的奇偶性;

(2)3=1时，求证:/(X)的最小正周期是7T;

(3)36(1.50,1.57),当函数f(x)的图象与g(x)="x+3的图象有交点时，求满足

条件的3的个数，说明理由.

21.设数列｛即｝的前n项和为当,若乎W2(n€N*),则称｛即｝是“紧密数列”；

4an

Q

(1)若%=1,a2=a3=x,a4=4,求x的取值范围；

(2)若依高为等差数列，首项内，公差d,且0<dWa「判断｛a"是否为"紧密数

列”；

(3)设数列｛即｝是公比为q的等比数列，若数列｛即｝与｛S"都是“紧密数列”，求q的

取值范围.

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答案和解析

1.【答案】

A

【解析】

解：已知点P(a,b),

曲线G的方程丫=斤》，即曲线G为圆心在原点，半径为1的圆的曲线x轴交点即上

方部分图形：

曲线C2的方程M+y2=i,即曲线C2为圆心在原点，半径为1的圆的整个图形；

①若"点P(a,b)在曲线G上”则点P(a,b)满足曲线G的方程y=VF三正，有6=

V1—a2>

因为曲线Ci为圆的曲线x轴交点即上方部分图形，b>0；

所以点P(a,b)在曲线G上“能推出''点P(a,b)在曲线上”即能推出+川=1成立,

②若“点P(a,b)在曲线C2上”则点P(a")满足曲线C2的方程/+y2=1,即+廿=

1成立，

则不一定有b=五二'港，b20成立；

所以点P(a,b)在曲线。2上“不能推出点P(a,b)在曲线G上“

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断可得

曲线G的方程y=V1-x2.曲线C2的方程/+y2=1,则“点p(a,b)在曲线6上“是"

点P(a,b)在曲线C2上“的充分非必要条件，

故选：A.

根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可.

本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题

的关键.

2.【答案】

A

【解析】

解：由|z-3i|=2,可知复数z对应点的轨迹为以B(0,3)为

圆心，以2为半径的圆上，

如图：

则复数z-4模的最小值为-2=5-2=3,最大值为

|/B|+2=5+2=7.

・••复数z-4模的取值范围是[3,7].

故选：A.

由题意画出图形，数形结合得答案.

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

3.【答案】

D

【解析】

解:由题意可知，函数是奇函数，即/(—4)+f(x)=O,

不妨设》<0,则一无>0.

则有：/(%)=-x2+cos(x+a),

/(-%)=x2—sinx

那么：—/+cos(x+a)+x2-sinx=0

解得：a=-^+2fc7T(fceZ)

vaG[0,2兀)

•••a=—37r

2

故选：D.

根据奇函数的性质建立关系式求解.

本题考查了函数的奇偶性的性质和诱导公式进行对三角函数的化简的能力.属于中档题.

4.【答案】

C

【解析】

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a,Q+d,a+2d\

解：由题意设由9个正数组成的矩阵是:b,b+m,b+2m卜

,c,c+弭c+2n/

由的1+%2+。13，a21+a22+a23^。31+。32+。33成等比数歹汁，

则有：(8+m)2=(G+d)(c+九)，故①正确；

(a+d)+(c+n)N2j(a+d)(c+九)=2(h+m),故③正确；

再题意设由9个正数组成的矩阵是：(214(5),故②正确；

\6.589.5/

故选：C.

a,a+d,a+2d

先由题意设列出由9个正数组成的矩阵(b,b+m,b+2mI,由由i+a12+a13,a21+

\cfc+n,c+3n/

a22+a23»。31+。32+。33成等比数列，则有：3+小＞=(Q+d)(C+H),得出①正

确；再由(a+d)+(c+n)22yl(a+d)(c+n)=2(b+m),得到③正确；再根据题设

列举出由9个正数组成的特殊矩阵判断②正确即可.

本小题主要考查等比数列的性质、等差数列的性质、三阶矩阵等基础知识，考查运算求

解能力，考查化归与转化思想.属于中档题.

5.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了对数的运算性质，关键是注意对数式本身有意义，是基础题.

在保证对数式的真数大于0的前提下由对数的和等于乘积的对数去掉对数符号，求解一

元二次方程得答案.

【解答】

解：由lg(x-3)+Egx=1,得：

%-3>0

%>0

lgx[x-3)=1

故答案为5.

6.【答案】

1

何

【解析】

解：由题意，•••/-i(-l)=2,

-/(2)=loga2=-1；

故a=p

故/'T(x)=(}x；

故答案为：G尸.

由题意可得/⑵=10ga2=—1；从而得到。=会再写反函数即可.

本题考查了反函数的应用及指数对数函数的应用，属于基础题.

7.【答案】

(-00,-1]

【解析】

解：若对任意实数x,不等式1+a恒成立=若对任意实数X,不等式/—12a恒

成立，

又因为一一1的最小值为—1,所以aS—1.

故答案为：(—°°,-1].

若对任意实数x,不等式/>1+a恒成立o若对任意实数x,不等式--12a恒成立，

求一一1的最小值即可.

本题考查分离参数法求参数范围及二次函数最值问题，考查数学运算能力，属于基础题.

8.【答案】

0

【解析】

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解：由五=(|,sina),B=(cosa,1),且方〃另，

31

贝ijsinacosa--x-=0,

^VXsinacosa=

所以sin2a=1；

所以2a=]+2/CTT,kEZ；

所以cos2a=0.

故选：0.

由平面向量的共线定理列方程求出si712a的值，再求cos2a的值.

本题考查了平面向量的共线定理与三角函数求值问题，是基础题.

9.【答案】

-80

【解析】

解：(/一§5二项展开式中，通项公式为卷+1=c>(一2y.炉。-3『，令10—3r=l,

求得r=3,

可得x的一次项系数为底•(-2)3=-80,

故答案为：—80.

先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幕指数等于1,求得r的值，即可求得展开式

中的x的一次项系数.

本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于

基础题.

10.【答案】

180

【解析】

解：根据题意，甲乙所选的课程有1门相同，有Cx量x废=180种情况.

故答案为180

先确定相同的1门，再各自选2门不同的课程，利用乘法原理可得结论.

本题考查组合公式的运用，解题时注意事件之间的关系，属中档题.

11.【答案】

3+V3

-2~

【解析】

解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，

所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，

即：3x；xlxl+fx（鱼）2=等.

故答案为：上丑.

2

由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出

三棱锥的表面积即可.

本题考查由三视图求几何体的表面积，考查由三视图还原直观图形，考查四棱锥的表面

积，本题是一个基础题.

12.【答案】

x2=y(0<x<V2,0<y<2)

【解析】

解：x=|sin-+cos-|

(y=14-sin。

•••0G[0,2/1),

/.|cos|+sin1|=|V2sin(1+^)|E[0,V2]

1+sinO=(cos14-sin^)2G[0,2]

故答案为：x2=y(0<x<V2,0<y<2)

把上面一个式子平方，得到/=l+sin0,代入第二个参数方程得到一=y,根据所给

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的角的范围，写出两个变量的取值范围，得到普通方程.

本题考查参数方程化为普通方程，本题解题的关键是看出怎么应用三角函数的恒等变换

得到结果，注意题目中变量的取值范围不要漏掉.

13.【答案】

(0,1]

【解析】

解：/(%)=sina)x+coswx=V2sin(0)x+》，

••・函数/⑶在区间(g,令内单调递增，

--a)+->2kTt--

•••L3tt4n2,kez

-co+-4<2kn+-2

解得3<8/c+1,

M>0,

*3的取值范围为(0,1],

故答案为：(0,1].

--0>+->2kn--

根据正弦函数的性质可得，7r342,解得即可.

-co4--<+?

(442

本题考查了正弦函数的单调性的运用和计算能力.属于基础题.

14.【答案】

8

【解析】

解：由题意，61=89e2r,得r=；lnM<0

289

In空

由89-exr<20,•­•%>2x-4i»7.9,

故答案为8.

本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题.

15.【答案】

【解析】

解：如图,

①当无瓦力砾时，

,••正方体442A344-B1B2B3B4,&B；1仪；,••・&B；♦4a=0,(Je{1,2,3,4})>

&Bi±B]Bj,：.4&•B$j=0,(j={2,3,4)),

—44++B]Bj,

*'',AjA^=AiB],(4/1+4iBi+B1Bj)=A1B1,AjA1++•B〔Bj=1,

•••集合{x|x=硒'W瓦,i6{1,2,3,4}Je{1,2,3,4}}中元系的个数为1；

②无瓦=福时，

x—-A(Bj-A1B1-—AIB1=1-

此时，集合{x|x=不瓦-硒,ie{1,2,3,4}J6{1,2,3,4}}中元素的个数为1.

综上，集合{x|x=五瓦•硒/e(1,2,3,4},；e{1,2,3,4}}中元素的个数为1.

故答案为：1.

将硒=(而+硒(+瓦瓦)代入不瓦•硒，结合向量垂直的性质化简，能求出集

合{小=4瓦-硒,ie[1,2,3,4),;e{1,2,3,4}}中元素的个数.

本题考查集合中元素个数的求法，考查向量运算法则、向量夹角余弦公式性质等基础知

识，考查运算求解能力，是中档题.

16.【答案】

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3

【解析】

解：设<OA,OB>=6,,:四氏。2+瓦切=dW+*xq6+岭,

•••cose=喘湍11=圣则夹角为弓或拳如下图’

当力B关于y=—“对称时，BD=AE=0D=0E=1,则NBOD=^AOE=2故/40B=

乎（这是一个临界值），此时有一个点4

根据对称性，在4B上下移动过程中，既要保持|48|=应+2,又要保持乙4OB=t，

这样的点4上下各有一个，

故一共有三个点4

故答案为：3.

依题意，向量万彳，砺的夹角为?或手，作图容易得出结论.

本题主要考查数形结合思想的运用，考查转化思想及逻辑推理能力，属于中档题.

17.【答案】

解：（1）•••圆锥母线长为5,底面圆半径长为4,

・••AB—8,0C=4,

P0=y/PA2-AO2=V25-16=3，

是底面圆的直径，点C是弧4B的中点，

•••OC1AB,

二三棱锥P-4C。的体积为：

1

^P-ACO=WXSAAOCXOP

=|x|x4x4x3=8.

(2)以。为原点，0C为X轴，。8为y轴，0P为z轴，建立空间直角坐标系,

X

0(0,0,0),4(0,-4,0),P(0,0,3),M(0,-2,f),C(4,0,0),

MC=(4,2,—g),PO=(0,0,—3)>

设异面直线MC与P。所成的角为0,

_I就前I__1__迺

C0SU~\MC\\PO\~底一辛-,

故异面直线MC与P。所成的角的余弦值为迹.

89

【解析】

本题考查柱、锥、台体的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力

与计算能力，是基础题.

(1)由已知得48=8,OC=4,OC1AB,PO=3,由此能出三棱锥P-AC。的体积.

(2)以。为原点，OC为支轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能

求出异面直线MC与P。所成的角.

18.【答案】

解：(1)函数/(x)=+a*-2)(。>0),且/'(1)=2,

2

•••log2(a+a-2)=2=log24,

.(a?+a-2>0

la2+a-2=4，

解得a=2,

2xx

/(x)=log2(2+2-2),

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设t=22X+2*-2>0,解得x>0,

•••/(x)的递增区间(0,+8);

(2)/(x+l)-/(%)>2,

2z+2X+12xX

l°g2(2+2—2)—log2(2+2—2)>2=log24,

22x+2+2X+1-2>4(22X+2X-2),

2X<3,

•••x<log23,

vx>0

•••0<x<log23

・•.不等式的解集为(0,<log23)

【解析】

(1)代值计算并根据复合函数的单调性求出单调区间，注意函数的定义域，

(2)根据函数的单调性得到关于x的不等式，解得即可.

本题考查了对数函数的定义和性质以及复合函数的单调性和不等式的解的问题，属于中

档题

19.【答案】

解：•・•曲线C上任意一点P到两定点尸1(_百,0)与尸2(遮,0)的距离之和为4,

•••曲线是焦点为尸式一0)与尸2(8,0)、长轴长为4的椭圆，

设椭圆的方程：W+l(a>b>0),

a2b2v'

由2a=4,a=2,c=V3,

b2=a2—c2=1,

2

椭圆的标准方程：-+y2=l

4；

(1)设p(%,y),则

22

PF1=(%+V3,y)fPF2=(%—V3,y)=PFr-PF?=%+y-3;

vPF；-PF；=0,

:.x2+y2-3=0联立9+y2=i==g,y2-1.

・•点•p是第二象限内的一点;

所以点P(-平,日)；

(2)设则M2(-m,-n)；

•••PM；•PM；=(m—x,n—y)■(—m-x,—n—y)=x2+y2-(m2+n2)①：

吟+y2=i②；

②代入①

:.PM；-PM；=1+^x2—(m2+n2)；

又因为一2WxW2；

二当x=±2时，PM；-PM;最大值4-(m2+n2),

当x=0时啊>•丽^是最小值1-(/+n2)

【解析】

由题意知曲线是焦点为&(一8,0)与尸2(6,0)、长轴长为4的椭圆，由此能求出曲线C的

方程.

(1)结合数量积为0以及椭圆方程的运用即可求出点的坐标；

(2)设出两点的坐标，结合椭圆中变量的取值范围即可求解.

本题考查曲线方程的求法以及平面向量的数量积的应用，解题时要认真审题，注意椭圆

定义的灵活运用.

20.【答案】

解：(1)由于3X丰上兀+1(kGZ)得函数fQ)的定义域所在的区间关于y轴对称，

且/(一%)=sin(tan(—cox))=—sin(tana>x)=—/(x),

所以函数/(%)为奇函数；

(2)当3=1时,f(x)=sin(tanx),

所以/(久+fczr)=sin(tan(%+fczr))=sin(tanx)=/(%),fc6Z,

所以当k=l时，函数的最小正周期为TT.

(3)因为f(